版數(shù)學(xué)人教A版必修1課件3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例

常用函數(shù)模型常用函數(shù)模型一次函數(shù)模型①

y=kx+b

(k,b為常數(shù),k≠0)二次函數(shù)模型②

y=ax2+bx+c

(a,b,c為常數(shù),a≠0)反比例函數(shù)模型③

y=

(k為常數(shù),k≠0)冪函數(shù)模型④

y=axn+b

(a,b為常數(shù),a≠0)指數(shù)函數(shù)模型⑤

y=bax+c

(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型⑥

y=mlogax+n

(m,a,n為常數(shù),m≠0,a>0且a≠1)分段函數(shù)模型y=

3.2.2函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例

解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的步驟1.利用函數(shù)知識(shí)和函數(shù)觀點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),一般按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行:(1)審題——弄清題意,分清條件和結(jié)論,理清數(shù)量關(guān)系,必要時(shí)畫(huà)出散點(diǎn)圖,初步選

擇模型;(2)建模——利用數(shù)學(xué)知識(shí)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型;(3)求?！蠼鈹?shù)學(xué)模型,得出數(shù)學(xué)模型,利用數(shù)學(xué)模型解決數(shù)學(xué)問(wèn)題;(4)還原——將數(shù)學(xué)結(jié)論還原為實(shí)際問(wèn)題.2.這些步驟用框圖表示如圖:判斷正誤,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“?”.1.實(shí)際問(wèn)題中兩個(gè)變量之間一定有確定的函數(shù)關(guān)系.(

?)2.利用函數(shù)模型求實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題的最大(小)值時(shí),要特別注意取得最大(小)值時(shí)自

變量的值是否滿足實(shí)際意義.

(√)3.某種細(xì)胞分裂時(shí),由1個(gè)分裂成2個(gè),2個(gè)分裂成4個(gè),……,現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞,分裂x次后得到細(xì)胞的個(gè)數(shù)y與x的函數(shù)關(guān)系式是y=2x.

(

?)4.用來(lái)擬合散點(diǎn)圖的函數(shù)圖象一定要經(jīng)過(guò)所有散點(diǎn).(

?)擬合函數(shù)的圖象不需要經(jīng)過(guò)散點(diǎn)圖中的所有點(diǎn),只需誤差小就行.5.在函數(shù)模型中,要求定義域只需使函數(shù)式有意義即可.

(

?

)實(shí)際問(wèn)題中函數(shù)的定義域不僅要使函數(shù)解析式有意義,還要使自變量表達(dá)的任何

量都滿足實(shí)際意義.6.用函數(shù)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果和實(shí)際結(jié)果必須相等,否則函數(shù)模型就無(wú)存在意義了.(

?)用函數(shù)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果和實(shí)際結(jié)果可以有誤差,好的函數(shù)模型預(yù)測(cè)的結(jié)果與實(shí)際

結(jié)果誤差較小.

已知函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用

解決“已知函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用”問(wèn)題的常見(jiàn)步驟:1.利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式;2.根據(jù)函數(shù)解析式,結(jié)合題中需要研究的函數(shù)的性質(zhì),進(jìn)而解決實(shí)際問(wèn)題.

商場(chǎng)銷售某種商品的經(jīng)驗(yàn)表明,該商品每日的銷售量y(單位:千克)與銷售價(jià)格x

(單位:元/千克)滿足關(guān)系式y(tǒng)=

+10(6-x),其中3<x<6,a為常數(shù),已知銷售價(jià)格為5元/千克時(shí),每日可售出該商品11千克.(1)求a的值;(2)若該商品的成本為3元/千克,試確定當(dāng)銷售價(jià)格x為多少時(shí),商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.解析

(1)因?yàn)閤=5時(shí),y=11,所以

+10=11,解得a=2.(2)由(1)可知,該商品每日的銷售量y與銷售價(jià)格x的關(guān)系式為y=

+10(6-x).設(shè)商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)為f(x),則f(x)=(x-3)

=2+10(x-3)(6-x)=-10x2+90x-178=-10

+

(3<x<6).當(dāng)x=

時(shí),函數(shù)f(x)在定義域(3,6)上取得最大值,最大值為

,即當(dāng)銷售價(jià)格為4.5元/千克時(shí),商場(chǎng)每日銷售該商品所獲得的利潤(rùn)最大.利用函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)要注意函數(shù)定義域的求法,以及函數(shù)定義域的運(yùn)

用,防止出現(xiàn)定義域誤求、定義域漏用,導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.跟蹤訓(xùn)練1(

)“長(zhǎng)征”二號(hào)F型火箭的起飛質(zhì)量M是箭體(包括搭載的飛行器)的質(zhì)量m(噸)和燃料質(zhì)量x(噸)之和.在不考慮空氣阻力的條件下,假設(shè)火箭的最

大速度y(km/s)關(guān)于x(噸)的函數(shù)關(guān)系式為y=k[ln(m+x)-ln(

m)]+4ln2(其中k≠0).當(dāng)燃料質(zhì)量為(

-1)m噸時(shí),該火箭的最大速度為4km/s.(1)求“長(zhǎng)征”二號(hào)F型火箭的最大速度y與燃料質(zhì)量x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)已知“長(zhǎng)征”二號(hào)F型火箭的起飛質(zhì)量M是479.8噸,則應(yīng)裝載多少噸燃料才能

使火箭的最大飛行速度達(dá)到8km/s?(結(jié)果精確到0.1)思路點(diǎn)撥利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式

利用對(duì)數(shù)函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.解析(1)由題意得4=k{ln[m+(

-1)m]-ln(

m)}+4ln2,解得k=8,所以y=8[ln(m+x)-ln(

m)]+4ln2=8ln

,即y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=8ln

.(2)由已知得M=m+x=479.8,則m=479.8-x,又y=8,所以8=8ln

,解得x≈303.3.故應(yīng)裝載大約303.3噸燃料才能使火箭的最大飛行速度達(dá)到8km/s.

某商場(chǎng)銷售一批名牌襯衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元,為了擴(kuò)大銷量,增

加盈利,盡快減少庫(kù)存,商場(chǎng)決定采取適當(dāng)降價(jià)措施.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),如果每件襯衫每

降價(jià)1元,商場(chǎng)平均每天可多售出2件.于是商場(chǎng)經(jīng)理決定每件襯衫降價(jià)15元.問(wèn)題1.請(qǐng)問(wèn)經(jīng)理的決定正確嗎?提示:判斷是否正確,這需要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,用函數(shù)模型來(lái)解決.2.解決函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的基本步驟是什么?提示:用函數(shù)知識(shí)和函數(shù)觀點(diǎn)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),一般按以下幾個(gè)步驟進(jìn)行:①審題;

②建模;③求模;④還原.未知函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用解決未知函數(shù)模型的實(shí)際問(wèn)題時(shí),主要抓住四點(diǎn):“求什么,設(shè)什么,列什么,限制什么”.1.“求什么”:就是弄清楚要解決什么問(wèn)題,完成什么任務(wù),通常表示為函數(shù)值.2.“設(shè)什么”:就是弄清楚這個(gè)問(wèn)題中有哪些變化因素,找出變化的根源,通常設(shè)

變化的根源為自變量.3.“列什么”:就是從函數(shù)值出發(fā)逐步應(yīng)用公式,將函數(shù)值表示為自變量與已知

量,直至求出函數(shù)解析式.4.“限制什么”:就是指自變量所應(yīng)滿足的限制條件,不僅要考慮自變量有意義,

還要考慮用自變量表示的其他所有量都要有意義,另外還要考慮變量的實(shí)際含

義,如整數(shù)解等.

要在墻上開(kāi)一個(gè)上部分為半圓,下部分為矩形的窗戶(如圖),在窗框?yàn)槎ㄩL(zhǎng)l的條件下,要使窗戶的透光面積S最大,窗戶應(yīng)具有怎樣的尺寸?

解析

由題意得窗框總長(zhǎng)l=

x+x+2y,∴y=

,∴S=

x2+xy=

x2+x·

=-

+

.由

可得x∈

.所以當(dāng)x=

時(shí),S最大,且Smax=

,此時(shí)y=

.所以當(dāng)x=

,y=

時(shí),窗戶的透光面積最大.

解題時(shí)要注意定義域的求法,不僅要使得自變量表示的量有意義(如本題中x>0),

還要使得自變量表示的其他量也有意義

,防止出現(xiàn)定義域求錯(cuò)導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.跟蹤訓(xùn)練2(

)商場(chǎng)銷售某一品牌的羊毛衫,購(gòu)買人數(shù)是羊毛衫標(biāo)價(jià)的一次函數(shù),標(biāo)價(jià)越高,購(gòu)買人數(shù)越少.把購(gòu)買人數(shù)為零時(shí)的標(biāo)價(jià)稱為無(wú)效價(jià)格,已知無(wú)效價(jià)

格為每件300元.現(xiàn)在這種羊毛衫的成本價(jià)是100元/件,商場(chǎng)以高于成本價(jià)的價(jià)格(標(biāo)價(jià))出售.(1)若商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn),則羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件多少元?(2)通常情況下,獲取最大利潤(rùn)只是一種“理想結(jié)果”,如果商場(chǎng)要獲得最大利潤(rùn)

的75%,那么羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)為每件多少元?思路點(diǎn)撥選擇自變量與函數(shù)值

求出解析式與定義域

利用函數(shù)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題.解析(1)設(shè)購(gòu)買人數(shù)為n,羊毛衫的標(biāo)價(jià)為每件x元,利潤(rùn)為y元,則x∈(100,300],可設(shè)n=kx+b,易知k<0,由題意知0=300k+b,即b=-300k,∴n=k(x-300),∴y=k(x-300)(x-100)=k(x-200)2-10000k,x∈(100,300].∵k<0,∴當(dāng)x=200時(shí),y最大,ymax=-10000k,即若商場(chǎng)要獲取最大利潤(rùn),則羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)定為每件200元.(2)由題意及(1),知k(x-100)·(x-300)=-10000k·75%,可得x2-400x+37500=0,解得x=250或x=150,所以商場(chǎng)要獲得最大利潤(rùn)的75%,則羊毛衫的標(biāo)價(jià)應(yīng)為每件250元或150元.

分段函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用

應(yīng)用分段函數(shù)時(shí)的三個(gè)注意點(diǎn):1.分段函數(shù)的“段”一定要分得合理,不重不漏.2.分段函數(shù)的定義域?yàn)閷?duì)應(yīng)每一段自變量取值范圍的并集.3.分段函數(shù)值域的求法:逐段求函數(shù)值的范圍,進(jìn)行比較后再下結(jié)論.某市居民自來(lái)水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:當(dāng)每戶每月用水量不超過(guò)4噸時(shí),每噸1.80元;

當(dāng)每戶每月用水量超過(guò)4噸時(shí),超過(guò)部分每噸3.00元.某月甲、乙兩戶共交水費(fèi)y

元,已知甲、乙兩戶該月用水量分別為5x噸、3x噸.(1)求y關(guān)于x的函數(shù);(2)若甲、乙兩戶該月共交水費(fèi)26.4元,分別求出甲、乙兩戶該月的用水量和水

費(fèi).解析

(1)當(dāng)甲的用水量不超過(guò)4噸,即5x≤4時(shí),x≤

,此時(shí)乙的用水量也不超過(guò)4噸,則y=(5x+3x)×1.8=14.4x;當(dāng)甲的用水量超過(guò)4噸,乙的用水量不超過(guò)4噸,即3x≤4,且5x>4時(shí),

<x≤

,則y=4×1.8+3x×1.8+3(5x-4)=20.4x-4.8;當(dāng)乙的用水量超過(guò)4噸,即3x>4時(shí),x>

,則y=2×4×1.8+(3x-4)×3+(5x-4)×3=24x-9.6.所以y=

(2)設(shè)y=f(x),由(1)知y=f(x)在各段區(qū)間上均單調(diào)遞增,因此當(dāng)x∈

時(shí),y≤f

<26.4;當(dāng)x∈

時(shí),y≤f

<26.4;當(dāng)x∈

時(shí),令24x-9.6=26.4,解得x=1.5,所以甲戶該月的用水量為5×1.5=7.5(噸),水費(fèi)為4×1.8+3.5×3=17.70(元);乙戶該月的用水量為3×1.5=4.5(噸),水費(fèi)為4×1.8+0.5×3=8.70(元).跟蹤訓(xùn)練3(2020山東臨沂高一上期末,

)某地區(qū)上年度電價(jià)為0.7元/(kW·h),年用電量為akW·h.本年度該地政府實(shí)行惠民政策,要求電力部門(mén)讓利給用戶,將

電價(jià)下調(diào)到0.45元/(kW·h)至0.6元/(kW·h)之間,而用戶的期望電價(jià)為0.35元/(kW

·h).經(jīng)測(cè)算,下調(diào)電價(jià)后新增用電量和實(shí)際電價(jià)與用戶的期望電價(jià)的差成反比(比

例系數(shù)為k).該地區(qū)的電力成本價(jià)為0.2元/(kW·h).(1)寫(xiě)出本年度電價(jià)下調(diào)后電力部門(mén)的收益y(單位:元)關(guān)于實(shí)際電價(jià)x(單位:元/

(kW·h))的函數(shù)解析式;(收益=實(shí)際用電量×(實(shí)際電價(jià)-成本價(jià)))(2)設(shè)k=0.05a,當(dāng)電價(jià)最低定為多少時(shí),可保證電力部門(mén)的收益比上年至多減少20%?解析(1)設(shè)下調(diào)電價(jià)后新增用電量為ukW·h,因?yàn)橄抡{(diào)電價(jià)后新增用電量和實(shí)際電價(jià)與用戶期望電價(jià)的差成反比(比例系數(shù)為k),所