地球橢球及其數(shù)學(xué)

地球橢球及其數(shù)學(xué)第一頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.1-

旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)1、橢球方程：表面上平行于赤道面的緯圈均為圓起始子午面0ZXYWENSabQQ′平行圈赤道第二頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、經(jīng)線和緯線的曲線方程M0饒Z軸旋轉(zhuǎn)，形成緯圈（平行圈），其半徑：經(jīng)度為L(zhǎng)的經(jīng)線方程：OXYZM1M0MLrSyx在XOZ坐標(biāo)面上的起始經(jīng)線方程：1）、經(jīng)線方程：§4.1-

旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)第三頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2）、緯圈方程：或：§4.1-

旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)OXYZM1M0MLLrRSyx第四頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五3、地球橢球的幾何、物理元素扁率：第一偏心率：第二偏心率：長(zhǎng)半軸：短半軸：1）、幾何元素幾個(gè)關(guān)系式：§4.1-

旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)第五頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五1954年北京坐標(biāo)系，克拉索夫斯基橢球元素：§4.1-

旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)第六頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五我國(guó)1980年大地坐標(biāo)系采用第16屆IAG—IUGG橢球，其橢球元素為：2）、地球橢球的幾何、物理元素§4.1-

旋轉(zhuǎn)橢球面的參數(shù)表示及數(shù)學(xué)性質(zhì)第七頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.2-

常用坐標(biāo)系及關(guān)系1、大地坐標(biāo)系：以大地經(jīng)度L、大地緯度B和大地高為點(diǎn)的坐標(biāo)。起始子午面PH1）、基準(zhǔn)：橢球面與法線2）、大地高H：地面點(diǎn)沿法線到橢球面的距離。3）、大地高H與正常高H正常及正高H正的關(guān)系：注：水準(zhǔn)測(cè)量的一般為正常高或正高，GPS測(cè)量的為大地高一、常用坐標(biāo)系第八頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、天文坐標(biāo)系：以天文經(jīng)度λ

和天文緯度φ為點(diǎn)的坐標(biāo)天文起始子午面Pλφ以鉛垂線和水準(zhǔn)面為依據(jù)天文子午面：過(guò)地面點(diǎn)P的鉛垂線和地球旋轉(zhuǎn)軸組成的面。3、空間直角坐標(biāo)系：以地心（參心）為原點(diǎn)，以平均自轉(zhuǎn)軸為Z軸，指向平均北極，X軸指向平均起始子午面與平均赤道面的交點(diǎn)，Y軸與XOZ平面垂直而建立的坐標(biāo)系。起始子午面PY

zxxyzo赤道當(dāng)原點(diǎn)在總地球橢球質(zhì)心時(shí)稱地心空間直角坐標(biāo)系。當(dāng)原點(diǎn)在參考橢球質(zhì)心時(shí)稱參心空間直角坐標(biāo)系?！?.2-

橢球面上常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系第九頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五在過(guò)P點(diǎn)的子午面上，以P點(diǎn)的

子午橢圓中心為原點(diǎn)，長(zhǎng)軸為X軸，短軸為Y軸而建立的平面直角坐標(biāo)系。4、子午面直角坐標(biāo)系XYOPxy設(shè)P點(diǎn)的大地經(jīng)度為L(zhǎng)，則P點(diǎn)的坐標(biāo)表示為(L，x，y).5、地心緯度坐標(biāo)系XYφOM地心緯度：橢球面上一點(diǎn)到地心的連線與赤道面之間的夾角φ。設(shè)M點(diǎn)的經(jīng)度為L(zhǎng)，則其地心緯度坐標(biāo)為（L，φ

，ρ

）若P點(diǎn)的大地高為H，則其坐標(biāo)為（L，φ

，ρ

，H）。§4.2-

橢球面上常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系第十頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五歸化緯度：從子午橢圓上M點(diǎn)作X軸的垂線，與以長(zhǎng)半軸為半徑的圓相交于M’,M’與橢圓中心O的連線與X軸的夾角。6、地心歸化緯度坐標(biāo)系XuaYOM′Mb設(shè)M點(diǎn)的經(jīng)度為L(zhǎng)，則其坐標(biāo)為（L，u）,若M點(diǎn)的大地高為H，則其坐標(biāo)為（L，u，H）。在XOY子午面內(nèi)，有:§4.2-

橢球面上常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系第十一頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五7、站心地平坐標(biāo)系起始子午面NWSEnPoXZyMX(北)Z(天頂)Y(東)PZMSA1).大地站心地平坐標(biāo)系:

以測(cè)站P為原點(diǎn)，以P點(diǎn)法線為Z軸，天頂方向?yàn)檎?，以子午線切線方向?yàn)閄軸,向北為正，Y軸與XPZ平面垂直，向東為正.Z為天頂距,A為大地方位角,S為M點(diǎn)到站心點(diǎn)的斜距.M點(diǎn)直角坐標(biāo)(x,y,z),極坐標(biāo)為(S,A,Z)§4.2-

橢球面上常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系第十二頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2).天文站心地平坐標(biāo)系8.大地極坐標(biāo)系A(chǔ)PNMSMN為過(guò)M點(diǎn)的子午線，S為大地線的長(zhǎng)度，A為大地線S的大地方位角，則P點(diǎn)的大地極坐標(biāo)為（S，A）。大地極坐標(biāo)（S，A）可與大地坐標(biāo)（L，B）相互換算?！?.2-

橢球面上常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系第十三頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、坐標(biāo)系間的關(guān)系1、子午平面坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系的關(guān)系切線MT的斜率的導(dǎo)數(shù)式：由橢圓方程求導(dǎo)得：代入第一式得：2XYnB90°+BOTMXy1§4.2-

橢球面上常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系M點(diǎn)子午平面坐標(biāo)(L，x，y)<=>大地坐標(biāo)（L，B）第十四頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五引入輔助符號(hào)：則有：代入橢圓方程，化簡(jiǎn)后得：2將XYnB90°+BOTMXyabQ另外,如圖可知：§4.2-

橢球面上常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系第十五頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、子午平面坐標(biāo)系與歸化緯度坐標(biāo)關(guān)系由橢圓的參數(shù)方程可知：3、空間直角坐標(biāo)同子午面直角坐標(biāo)的關(guān)系uayOM′MbxM″§4.2-

橢球面上常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系XYZ(y)MOXYZLM″第十六頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五4、空間直角坐標(biāo)同歸化緯度坐標(biāo)的關(guān)系uayOM′MbxM″XYZM0XYZLM″§4.2-

橢球面上常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系第十七頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五5、空間直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的關(guān)系又因?yàn)椋核杂钟校?）、M在橢球面上§4.2-

橢球面上常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系XYZM0XYZLnBM′Q第十八頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2）、M不在橢球面上§4.2-

橢球面上常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系XYZM0XYZLnBP′QHP第十九頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五3）、軸空間直角坐標(biāo)推算大地坐標(biāo)其中B要采用迭代法計(jì)算,直至兩次之差小于允許誤差為止.§4.2-

橢球面上常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系XYZM0XYZLnBP′QHP(X,Y)ZM0ZnP′HPBP″BQ第二十頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五1)、大地緯度B與歸化緯度u的關(guān)系

uayOM′MbxM″ynBOMXyx

由子午平面坐標(biāo)系與大地坐標(biāo)系的關(guān)系有:由子午平面坐標(biāo)系與歸化緯度坐標(biāo)關(guān)系有:6、大地緯度B，歸化緯度u，地心緯度φ之間的關(guān)系由上可得:所以大地緯度B與歸化緯度u的關(guān)系式:§4.2-

橢球面上常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系第二十一頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2)、大地緯度B與地心緯度φ的關(guān)系ynBOMXyxφ3)、歸化緯度u與地心緯度φ的關(guān)系由子午平面坐標(biāo)可得:所以:§4.2-

橢球面上常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系第二十二頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五大地緯度B，歸化緯度u，地心緯度φ之間的關(guān)系公式匯總:4)、大地緯度B，歸化緯度u，地心緯度φ之間的大小關(guān)系：

B>u>φ三者之間的差異很小。§4.2-

橢球面上常用坐標(biāo)系及其相互關(guān)系第二十三頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.3-

橢球面上的幾種曲率半徑橢球面上的法截面與法截線法截面：過(guò)橢球面任意點(diǎn)的法線的平面。法截線：法截面與橢球面的交線。（1）、過(guò)一點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)法截線（2）、過(guò)一點(diǎn)的不同方向的法截線的曲率半徑不同。卯酉圈：過(guò)某點(diǎn)的法線且與該點(diǎn)的子午面垂直的法截面與橢球的交線。子午圈與卯酉圈是兩條相互垂直的法截線。第二十四頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五一、子午圈曲率半徑dS是子午圈上的一段微分弧長(zhǎng)，M為子午圈上K點(diǎn)處的曲率半徑，由曲率半徑的定義有：如圖由上兩式可得根據(jù)子午平面直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的關(guān)系有：因而§4.3-橢球面上的幾種曲率半徑目的：M=f(B)第二十五頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五又則進(jìn)而可得：而因而有即那么§4.3-橢球面上的幾種曲率半徑第二十六頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五又因?yàn)閯t即或§4.3-橢球面上的幾種曲率半徑第二十七頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五PT是平行圈和卯酉圈的公切線。

麥尼爾定理：通過(guò)曲面上一點(diǎn)引兩條截弧，一為法截弧，另一條為斜截弧，且在該點(diǎn)上兩截弧有公共切線，則斜截弧在該點(diǎn)的曲率半徑為法截弧在該點(diǎn)的曲率半徑乘以兩截弧平面夾角的余弦。根據(jù)子午平面直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的關(guān)系有：比較以上兩式可知卯酉曲率半徑為：二、卯酉圈曲率半徑根據(jù)以上定理有：可知，N為P點(diǎn)處卯酉曲率半徑。其長(zhǎng)度等於橢球面到短軸的距離Pn,由此可見(jiàn)，卯酉圈曲率部心位于橢球的旋轉(zhuǎn)軸上．§4.3-橢球面上的幾種曲率半徑第二十八頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五又因?yàn)閯t或或§4.3-橢球面上的幾種曲率半徑第二十九頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、主曲率半徑的計(jì)算：子午圈曲率半徑M與卯酉圈曲率半徑N用級(jí)數(shù)展開(kāi)，取至8次項(xiàng)有：1、子午圈曲率半徑M其中將相應(yīng)的橢球參數(shù)代入便可求得各系數(shù)?！?.3-橢球面上的幾種曲率半徑第三十頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、卯酉圈曲率半徑N用級(jí)數(shù)展開(kāi)，取至8次項(xiàng)有：其中將相應(yīng)的橢球參數(shù)代入便可求得各系數(shù)。§4.3-橢球面上的幾種曲率半徑第三十一頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五或用級(jí)數(shù)展開(kāi)，取到8次項(xiàng)有其中§4.3-橢球面上的幾種曲率半徑第三十二頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五四、任意法截弧的曲率半徑

根據(jù)微分幾何中的尤拉公式，任意方向法截線的曲率與子午、卯酉曲率因此，任意方向的曲率半徑為：半徑的關(guān)系為：將上式分子分母同除以M，并顧及則有1§4.3-橢球面上的幾種曲率半徑第三十三頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五展開(kāi)為級(jí)數(shù)得：1將用R表示平均曲率半徑，根據(jù)平均曲率公式有因而有可見(jiàn)，RA與方位角A和緯度B有關(guān)。當(dāng)A為0，時(shí)，RA取極小值M，/2，

3/2時(shí)，RA取得極大值N。當(dāng)A由00→900時(shí)，RA由M→N，當(dāng)A由900→1800時(shí)，RA由N→M。其變化周期為1800，并關(guān)于子午圈和卯酉圈對(duì)稱。由此可知：N＞RA＞M§4.3-橢球面上的幾種曲率半徑第三十四頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五五、平均曲率半徑

過(guò)曲面上任意一點(diǎn)的所有方向的法截弧曲率半徑RA的算術(shù)平均值，用R表示。我們知道，當(dāng)A由00→900時(shí)，RA由M→N，所以只要計(jì)算該區(qū)間的平均值則可。

§4.3-橢球面上的幾種曲率半徑第三十五頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五M、N、R的關(guān)系：M、N、R計(jì)算公式對(duì)照：由于可知§4.3-橢球面上的幾種曲率半徑因而有：可見(jiàn),R為主曲率半徑的幾何平均值.第三十六頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.4-

橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算一、子午弧長(zhǎng)的計(jì)算從赤道E開(kāi)始到緯度為B的P點(diǎn)之間的子午弧長(zhǎng)。如圖可知E則第三十七頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五將上式代入積分后整理得：由于最后一項(xiàng)很小，通常忽略不計(jì)。根據(jù)克拉索夫斯基橢球元素，子午弧長(zhǎng)計(jì)算公式為：根據(jù)1975年國(guó)際橢球元素，子午弧長(zhǎng)公式為：§4.4-

橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算第三十八頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五公式的應(yīng)用：（1）.計(jì)算子午圈長(zhǎng)： 將B=900代入一個(gè)象限內(nèi)的子午弧長(zhǎng)，其4倍為子午圈長(zhǎng)（2）.同一子午圈上兩個(gè)緯度為B1，B2的點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)計(jì)算:①、⊿X=X2-X1，其中X1為赤道至緯度為P1的點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)；

X2為赤道至緯度為P2的點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)。②、也可直接將△X展開(kāi)為△B=B2-B1的級(jí)數(shù)：由式在P1點(diǎn)處展開(kāi)，得：1§4.4-

橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算第三十九頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五得：代入1式有：§4.4-

橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算1第四十頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五也可在Pm處展開(kāi)：代入相關(guān)數(shù)值得：對(duì)于小于40km的弧長(zhǎng)，可進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：§4.4-

橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算第四十一頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五（3）、由△X計(jì)算△B的反算公式：進(jìn)而可得：對(duì)于小段弧，則可用下式求△B

：§4.4-

橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算第四十二頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、由子午線長(zhǎng)度球大地緯度：1、迭代法：（采用克拉索夫斯基橢球參數(shù)計(jì)算）第一步：計(jì)算Bf的初始值：以后每步按下式反復(fù)迭代計(jì)算：計(jì)算步驟：根據(jù)子午弧長(zhǎng)計(jì)算公式重復(fù)迭代直到為止?！?.4-

橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算第四十三頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、直接法：（采用1975年橢球參數(shù)計(jì)算）令則利用三角級(jí)數(shù)回代公式：根據(jù)弧長(zhǎng)計(jì)算公式可得：§4.4-

橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算第四十四頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、平行圈的半徑與弧長(zhǎng)

可見(jiàn)，相同經(jīng)差在不同緯度的平行圈上的弧長(zhǎng)是不同的，在赤道最長(zhǎng)，越靠近兩極越小。由子午平面直角坐標(biāo)與大地坐標(biāo)的關(guān)系可知平行圈半徑：那么，平行圈上兩點(diǎn)之間的弧長(zhǎng)為：§4.4-

橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算第四十五頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五將相應(yīng)的偏導(dǎo)數(shù)代入有：令，由于則§4.4-

橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算針對(duì)相同經(jīng)度差，比較不同緯度上弧長(zhǎng)的變化：第四十六頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五四、子午線弧長(zhǎng)和平行圈弧長(zhǎng)變化的比較單位緯度差的子午線弧長(zhǎng)隨緯度升高而緩慢地增長(zhǎng)，而單位經(jīng)度差的平行圈弧長(zhǎng)則隨緯度升高而急劇縮短。 如右圖：

AB->BC緩慢減少

BD->CE急劇縮短§4.4-

橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算第四十七頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五五、利用經(jīng)緯格網(wǎng)計(jì)算橢球面的面積LL+dLBB+dBMdBNcosBdLd如圖可知，橢球面梯形面積微分可用下列式子表示：那么，橢球面梯形面積為：§4.4-

橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算第四十八頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五據(jù)此可以計(jì)算整個(gè)地球橢球面積約為5.1億km2.如果假設(shè)地球?yàn)閳A球，則表面積為4πR2=>R=6371km將（1-e2sin2B）-2展開(kāi)為級(jí)數(shù),則:將L2-L1=2π,B1=0,B2=π/2代入上式,并將其值乘以2,則可得地球橢球的全面積PE.§4.4-

橢球面上的弧長(zhǎng)計(jì)算第四十九頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.5-

大地線

如圖，AB兩點(diǎn)緯度不同，在A點(diǎn)安置經(jīng)緯儀照準(zhǔn)B點(diǎn)（設(shè)不考慮垂線偏差，即鉛垂線與法線重合）。

A點(diǎn)的法線（鉛垂線）與B點(diǎn)的法線（鉛垂線）不共面。說(shuō)明A->B點(diǎn)的照準(zhǔn)面與B->A點(diǎn)的照準(zhǔn)面不重合。

AB之間存在兩條法截線。一、法截弧與相對(duì)法截弧引言

法截?。哼^(guò)橢球面上某點(diǎn)的法線的法截面與橢球面相交得到的曲線問(wèn)題：某點(diǎn)上安置經(jīng)緯儀，照準(zhǔn)面？第五十頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

如圖，AB兩點(diǎn)緯度不同，在A點(diǎn)安置儀器觀測(cè)B點(diǎn)，照準(zhǔn)面與橢球面的交線AaB稱A點(diǎn)的正法截線，或B點(diǎn)的反法截線；在B點(diǎn)安置儀器觀測(cè)A點(diǎn)，照準(zhǔn)面與橢球面的交線BbA稱B點(diǎn)的正法截線，或A點(diǎn)的反法截線。AaB與BbA稱A、B兩點(diǎn)的相對(duì)法截線。

相對(duì)法截弧：

A到B的法截弧與B到A的法截弧稱為相對(duì)法截弧。1、定義

§4.5-

大地線第五十一頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、法截弧的性質(zhì)①緯度不同的兩點(diǎn)其正反法截弧不重合

過(guò)A、B兩點(diǎn)的法線交短軸于na、nb，B1≠B2時(shí)，ona≠onb,na與nb不重合。當(dāng)兩點(diǎn)不再同一子午圈上也不在同一平行圈上時(shí)，兩點(diǎn)間有兩條法截弧。當(dāng)兩點(diǎn)在同一子午圈上或同一平行圈上，兩點(diǎn)間只有一條法截弧，即正反法截線重合。如圖可知：而所以可見(jiàn)，當(dāng)B1≠B2時(shí)，Ona≠Onb,na與nb不重合。§4.5-

大地線思考：若AB兩點(diǎn)緯度相同，AB之間存在幾條法截線？為什么？若經(jīng)度相同，情況又如何？第五十二頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五②、某點(diǎn)的緯度愈高，其法線與短軸的交點(diǎn)愈低，即當(dāng)B2>B1時(shí)，

Onb>Ona,則法截線BbA偏上，而AaB偏下?！?.5-

大地線第五十三頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五③

、由于當(dāng)緯度不同時(shí)正反法截線不重合，故在橢球面上A、B、C三點(diǎn)所測(cè)角度不能構(gòu)成閉合三角形。解決辦法：用大地線代替相對(duì)法截線§4.5-

大地線第五十四頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、大地線（測(cè)地線）（1）、定義：橢球面上兩點(diǎn)間最短程曲線。①、大地線上每點(diǎn)的密切面（無(wú)限接近的三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的平面）都包含該點(diǎn)的法線。即大地線上各點(diǎn)的法線與曲面法線重合。各點(diǎn)的法線不相交，大地線是空間曲線。②、大地線上任何點(diǎn)的密切面就是該點(diǎn)的法截面；（2）、大地線的性質(zhì)③、曲面上連接任何兩點(diǎn)的最短曲線必為大地線。④、大地線的曲率顯然,子午圈和赤道及其上的弧段都是大地線.§4.5-

大地線第五十五頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五（3）、正反法截線之間的夾角（4）、大地線與正法截弧之間的夾角為：在一等三角測(cè)量中，可達(dá)千分之一二秒，不容忽視。（5）、大地線與法截線長(zhǎng)度之差只有百萬(wàn)分之一毫米，可以忽略。在橢球面上進(jìn)行測(cè)量計(jì)算時(shí)，應(yīng)當(dāng)以兩點(diǎn)間的大地線為依據(jù)，在地面上測(cè)得的方向、距離、角度等，應(yīng)當(dāng)歸算到相應(yīng)大地線的方向、距離、角度?！?.5-

大地線第五十六頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、大地線的微分方程和克萊勞方程1、大地線的微分方程:即dL、dB、dA與dS之間的關(guān)系式如圖，P為大地線上任意一點(diǎn)，其經(jīng)度為L(zhǎng)，緯度為B，該點(diǎn)處大地線方位角訓(xùn)A，當(dāng)大地線增加dS到P1點(diǎn)時(shí)，L，B，A的變化相應(yīng)為dL、dB、dA、dS。dS在子午圈上分量P1P2=MdB,dS在平行圈上分量PP2=rdL=NcosBdL,又⊿PP2P1為一微分直角三角形，則有：§4.5-

大地線第五十七頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2由此可得1由球面直角三角形p1p3N

，根據(jù)角的余弦定理有：dA即：又近似地認(rèn)為：§4.5-

大地線第五十八頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五因而有：又因故有：3三個(gè)微分關(guān)系式可整理為：§4.5-

大地線第五十九頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、克萊勞方程由得代入有：得微分方程又因§4.5-

大地線第六十頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五解微分方程得克萊勞方程：式中常數(shù)C亦稱大地線常數(shù)①、克萊勞定理表明：在旋轉(zhuǎn)橢球面上，大地線各點(diǎn)的平行圈半徑與大地線在該點(diǎn)的大地方位角的正弦的乘積等于常數(shù)。②、稱大地線常數(shù)C的意義當(dāng)大地線穿越赤道時(shí)，B=0o，A=A0，赤道半徑為a，則：當(dāng)大地線與平行圈相切時(shí)，B=B0，A=900，r=r0，則：§4.5-

大地線第六十一頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五③、由克萊勞方程可知：可見(jiàn)，某一大地線常數(shù)等于橢球半徑與該大地線穿越赤道時(shí)的大地方位角的正弦乘積，或等于該大地線上具有最大緯度的那點(diǎn)的平行圈半徑。則有：④、由于r=NcosB,克萊勞方程又可寫成：

rsinA=NcosBsinA=C

設(shè)u為歸化緯度，a為長(zhǎng)半徑，根據(jù)歸化緯度與子午平面直角坐標(biāo)的關(guān)系有r=x=acosu，克萊勞方程還可表示為：克萊勞方程的意義：是經(jīng)典的大地主題解算的基礎(chǔ)?！?.5-

大地線第六十二頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五一、歸算原因與歸算要求1、原因：測(cè)量計(jì)算是以參考橢球面和法為基準(zhǔn)的，而野外地面觀測(cè)的基準(zhǔn)線是鉛垂線，不是法線，而垂線與法線存在著垂線偏差，不能直接在地面上處理觀測(cè)成果，應(yīng)將地面元素歸算到橢球面。2、歸算的基本要求：（1）、以橢球面的法線為基準(zhǔn)；（2）、將地面觀測(cè)元素化為橢球面上大地線的相應(yīng)元素。§4.6-將地面觀測(cè)值歸算至橢球面第六十三頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、將地面觀測(cè)的水平方向歸算至橢球面將地面觀測(cè)的水平方向歸算至橢球面上的三差改正：垂線偏差改正δu：垂線偏差影起標(biāo)高差改正δh

：照準(zhǔn)點(diǎn)高于橢球面截面差改正δg：正反法截弧不重合§4.6-將地面觀測(cè)值歸算至橢球面第六十四頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五在⊿R1RM中，由球面正弦定理得：1、垂線偏差改正δu：如圖A為測(cè)站，M為觀測(cè)目標(biāo)，若M在ZZ1O垂直面內(nèi)，無(wú)論以垂線為基準(zhǔn)還是以法線為準(zhǔn)，照準(zhǔn)面均為ZZ1O，若M不在ZZ1O垂直面內(nèi)，以垂線為基準(zhǔn)的照準(zhǔn)面為Z1MR1，以法線為基準(zhǔn)的照準(zhǔn)面為ZMR，以AO方向?yàn)閰⒖挤较颍螼AR1與∠OAR相差δu=∠RAR1。P′§4.6-將地面觀測(cè)值歸算至橢球面第六十五頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五在球面⊿ZZ1M中，根據(jù)正弦定理有：由上式可見(jiàn),垂線偏差改正主要與測(cè)站點(diǎn)的垂線偏差和觀測(cè)方向的天頂距(或豎直角)有關(guān).§4.6-將地面觀測(cè)值歸算至橢球面P′第六十六頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、標(biāo)高差改正δh：由照準(zhǔn)點(diǎn)高度引起的改正經(jīng)過(guò)垂線偏差改正后，測(cè)站點(diǎn)的觀測(cè)值已加垂線垂線偏差改正，其法線便與垂線一致，測(cè)站高度對(duì)水平方向無(wú)影響。則通過(guò)某一照準(zhǔn)點(diǎn)只能有一個(gè)法截面（黃色面）。由于不在同一子午面或同一平行圈上的兩點(diǎn)的法線是不共面的，當(dāng)照準(zhǔn)點(diǎn)高出橢球面某一高度時(shí)，照準(zhǔn)面就不能通過(guò)照準(zhǔn)點(diǎn)的法線與橢球面的交點(diǎn)（綠色面），由此引起方向偏差δh.

§4.6-將地面觀測(cè)值歸算至橢球面第六十七頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.6-將地面觀測(cè)值歸算至橢球面標(biāo)高改正主要與照準(zhǔn)點(diǎn)的高程有關(guān)。經(jīng)此改正后,地面觀測(cè)的水平方向值歸化為橢球面上相應(yīng)法截弧方向。第六十八頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五3、截面差改正δɡ:將法截弧方向化為大地線方向應(yīng)加的改正。式中N1為測(cè)站處的卯酉曲率半徑。該項(xiàng)改正很小，100公里約0.03”，只有一等控制網(wǎng)才估計(jì)此項(xiàng)改正。經(jīng)過(guò)以上三項(xiàng)改正，則將地面方向觀測(cè)值歸算到橢球面上大地線的相應(yīng)方向元素。§4.6-將地面觀測(cè)值歸算至橢球面第六十九頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五三差改正主要關(guān)系量是否要加改正一等二等三、四等垂線偏差加加酌情標(biāo)高差截面差不加經(jīng)過(guò)三項(xiàng)改正，則將地面方向觀測(cè)值歸算到橢球面上大地線的相應(yīng)方向元素?！?.6-將地面觀測(cè)值歸算至橢球面第七十頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、將地面觀測(cè)的長(zhǎng)度歸算至橢球面根據(jù)測(cè)距方法不同，有兩種情形：基線尺量距的歸算與電磁波測(cè)距歸算.1、基線尺量距的歸算（學(xué)生自學(xué)）：將基線尺量取的距離經(jīng)傾斜改正后，可認(rèn)為是基線平均高程（Hm）面上的長(zhǎng)度S0，平均高程面上的長(zhǎng)度S0歸算至橢球面上的大地線長(zhǎng)s。A2B1L1h1S1L1S2h2§4.6-將地面觀測(cè)值歸算至橢球面第七十一頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五（1）、垂線偏差對(duì)長(zhǎng)度的影響①、垂線偏差在任方向（方位角為A）的分量：②、垂線偏差對(duì)長(zhǎng)度的影響即水準(zhǔn)面不平行于橢球面對(duì)長(zhǎng)度的影響。AB'umHHSabS0DLBB""B"'B"h△HΔζ參考橢球面過(guò)A點(diǎn)的水準(zhǔn)面過(guò)A點(diǎn)的橢球面

設(shè)u1與u2是A、B兩點(diǎn)在基線方向的垂線偏差分量，又設(shè)垂線偏差沿基線方向是線性變化的，則有：如圖h為A、B兩點(diǎn)的高差，可用水準(zhǔn)測(cè)量得到，D為A、B兩點(diǎn)在水準(zhǔn)面上的距，S0為在平均高的橢球面距離，由于垂線偏差的存在，水準(zhǔn)面不平行橢球面，D與S0不相等?！?.6-將地面觀測(cè)值歸算至橢球面第七十二頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五由圖可知：那么有：即：進(jìn)而可得：AB'umHHSabS0DLBB""B"'B"h△HΔζ參考橢球面過(guò)A點(diǎn)的水準(zhǔn)面過(guò)A點(diǎn)的橢球面§4.6-將地面觀測(cè)值歸算至橢球面第七十三頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五經(jīng)過(guò)垂線偏差改正，基線平均水準(zhǔn)面則平行于橢球面。

該項(xiàng)改正主要與垂線偏差分量u及基線端點(diǎn)的大地高差∑⊿h有關(guān)，數(shù)值較小，根據(jù)具體情況決定是否改正。③、高程對(duì)長(zhǎng)度歸算的影響如圖可知：其中將上式展開(kāi)高極數(shù)，取至二次項(xiàng)有：§4.6-將地面觀測(cè)值歸算至橢球面第七十四頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五可得：顧及以上兩項(xiàng)改正，地面基線歸算到橢球面上的長(zhǎng)度公式：至此，便將地面基線長(zhǎng)度歸算到橢球面上的長(zhǎng)度?！?.6-將地面觀測(cè)值歸算至橢球面第七十五頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五測(cè)線端點(diǎn)A、B的大地高為：2、電磁波測(cè)距的歸算

由于法截線長(zhǎng)度與大地線長(zhǎng)度相差很小，法截線長(zhǎng)度與以起點(diǎn)A曲率半徑為半徑的圓弧長(zhǎng)相差也很小，則可認(rèn)為大地線長(zhǎng)是半徑為RA的圓弧長(zhǎng)。i為儀高，v為覘標(biāo)高，ζ為高程異常。ABDH1H2地面橢球面大地水準(zhǔn)面1）、電磁波測(cè)距的歸算公式§4.6-將地面觀測(cè)值歸算至橢球面第七十六頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五在⊿Q1Q2O中，由余弦定理有：根據(jù)三角函數(shù)半角公式有：則§4.6-將地面觀測(cè)值歸算至橢球面第七十七頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五上式則為電磁波測(cè)距的歸算公式。下面將上式進(jìn)一步化簡(jiǎn)，令H1≈H2≈Hm=(H1+H2)/2,⊿h=H2-H1,則：展開(kāi)級(jí)數(shù)，舍去五次項(xiàng)則，得：按反正弦函數(shù)1經(jīng)過(guò)以上各項(xiàng)改正，則將電磁波測(cè)距儀所測(cè)斜距公算到參考橢球面上。§4.6-將地面觀測(cè)值歸算至橢球面第七十八頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五由上式可知：第一項(xiàng)原始斜距第二項(xiàng)是由兩點(diǎn)高差引起的改正，經(jīng)此改正將測(cè)線化為平距；第三項(xiàng)是由平均測(cè)線高出參考橢球面引起的改正，經(jīng)此改正后測(cè)線變?yōu)橄揖€；第四項(xiàng)為由弦線變?yōu)榛【€的改正?！?.6-將地面觀測(cè)值歸算至橢球面第七十九頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五1式還可用下式表達(dá)：令H1≈H2≈Hm=(H1+H2)/2,⊿h=H2-H1,可以證明：橢球半徑的誤差對(duì)邊長(zhǎng)歸算結(jié)果影響很小，而高差誤差對(duì)邊長(zhǎng)歸算比較敏感。弦長(zhǎng)公式：§4.6-將地面觀測(cè)值歸算至橢球面1第八十頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五四、將地面觀測(cè)高程歸算至大地高程§4.6-將地面觀測(cè)值歸算至橢球面第八十一頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.7-大地測(cè)量主題解算概述大地元素：大地經(jīng)度L、大地緯度B、大地線長(zhǎng)S、正反大地方位角A12與A21。 ？大地主題解算：已知某些大地元素推求另一些大地元素，分為正解與反解已知Pl點(diǎn)的大地坐標(biāo)(L1，B1)，P1至P2的大地線長(zhǎng)S及其大地方位角A12，計(jì)算P2點(diǎn)的大地坐標(biāo)(L2，B2)和大地線S在P2點(diǎn)的反方位角A21，這類問(wèn)題叫做大地主題正解。1、大地主題正解：已知(L1

，B1)，A12，S，計(jì)算(L2

，B2)，A21一、大地主題解算定義第八十二頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

由于計(jì)算公式均為極數(shù)式，收斂速度不同，解算精度與S有關(guān)，故根據(jù)大地線的長(zhǎng)短，大地主題解算可分為：短距離(400km以內(nèi))，中距離(400—l000km)及長(zhǎng)距離(1000km以上)三種。如果已知P1和P2點(diǎn)的大地坐標(biāo)(L1，B1)和(L2，B2)，計(jì)算P1至P2的大地線長(zhǎng)S及其正、反方位角A12，A21，這類問(wèn)題叫做大地主題反解。2、大地主題反解：已知(L1，B1)，(L2，B2)，計(jì)算A12，S12，A21§4.7-大地測(cè)量主題解算概述第八十三頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五3、大地主題解算方法：70余種，按基本思想可分為以下幾類:（1）、以大地線微分方程為基礎(chǔ)：

勒讓德級(jí)數(shù)式，高斯平均引數(shù)公式都是以大地線微分方程為基礎(chǔ)。這類方法特點(diǎn)：解算精度與距離有關(guān)，距離越長(zhǎng)，收斂越慢，只適用于較短距離?！?.7-大地測(cè)量主題解算概述第八十四頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）、白塞爾大地主題解算方法

基本思想:基本特點(diǎn)：解算精度與距離無(wú)關(guān)，既適合短距離解算，又適合長(zhǎng)距離解算。（展開(kāi)式為e2或e’2的極數(shù)）§4.7-大地測(cè)量主題解算概述第八十五頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五（3）、利用地圖投影理論進(jìn)行大地主題解算；（4）、對(duì)大地微分方程進(jìn)行數(shù)值積分的大地主題解算方法；（5）、依據(jù)大地線外的其它線為基礎(chǔ)的大地主題解算方法?！?.7-大地測(cè)量主題解算概述第八十六頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、大地微分方程解法已知P1（L1，B1），則在P1處大地方位角為A12的大地線S上的任意點(diǎn)P2（L2，B2）及其大地方位角A21必是大地線的長(zhǎng)度S的函數(shù):B2=B(S）L2=L(S)A21=A(S)在P1處展開(kāi)為S的級(jí)數(shù)有：大地主題正解公式§4.7-大地測(cè)量主題解算概述A1P2(L2,B2)NP1(L1,B1)S若能求出各階導(dǎo)數(shù)，便可得正解公式。下面來(lái)求各階導(dǎo)數(shù):第八十七頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五由大地線的微分公式，得其一階導(dǎo)數(shù)為：§4.7-大地測(cè)量主題解算概述

同理，可求出B對(duì)S的高階導(dǎo)數(shù)以及L、A對(duì)S的各階導(dǎo)數(shù)。代入麥克勞林級(jí)數(shù)展開(kāi)式，即可得正算公式。第八十八頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五并將上述符號(hào)及各階導(dǎo)數(shù)代入級(jí)數(shù)展開(kāi)式即可大地正解公式：引用符號(hào)§4.7-大地測(cè)量主題解算概述第八十九頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五因其級(jí)數(shù)收斂較慢，只適用于邊長(zhǎng)短于30km的情況?！?.7-大地測(cè)量主題解算概述第九十頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五1）、基本思想：①、把勒讓德在大地線中點(diǎn)M展開(kāi)，以使項(xiàng)數(shù)少，收斂快，精度高。②、由于求定中點(diǎn)M很復(fù)雜，將M點(diǎn)用大地線兩端點(diǎn)平均緯度及平均方位角相對(duì)應(yīng)的m點(diǎn)來(lái)代替，并用迭代計(jì)算實(shí)現(xiàn)大地主題正算。

三、高斯平均引數(shù)公式1、高斯平均引數(shù)正算公式：

已知(L1,B1)，A12，S12，計(jì)算(L2，B2)，A21。設(shè)M點(diǎn)是大地線P1P2的中點(diǎn)，P1P2=S則有：MP2=S/2，MP1=-S/2仿勒讓德級(jí)數(shù)，在M點(diǎn)展開(kāi)得：122）、公式推導(dǎo)：§4.7-大地測(cè)量主題解算概述第九十一頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五類似地，有：兩式相減（偶數(shù)項(xiàng)全被抵消），得：12與若能求得以上各式中的各階導(dǎo)數(shù)，便可得到高斯引平均數(shù)正算公式。下面來(lái)討論相關(guān)計(jì)算?！?.7-大地測(cè)量主題解算概述12第九十二頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五類似地，有：其中：兩式相加（奇數(shù)項(xiàng)全被抵消）除以2，得：12與式中:12先來(lái)求的各階導(dǎo)數(shù)：已知：§4.7-大地測(cè)量主題解算概述第九十三頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五由大地線微分方程：可知是大地緯度B和大地方位角A的函數(shù)，那么有：將上式中的系數(shù)在均點(diǎn)Bm，Am處再展開(kāi)為級(jí)數(shù)得：§4.7-大地測(cè)量主題解算概述目的：求各階系數(shù)注意：中點(diǎn)M并非均點(diǎn)m第九十四頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五亦即：由大地線的微分公式：對(duì)上式求導(dǎo)，得：由于BM與Bm相差很小，?。簩⒁陨细魇酱胍韵拢罕銓⑶蠡癁榍蟾麟A導(dǎo)數(shù)、（BM-Bm）及（AM-Am）.§4.7-大地測(cè)量主題解算概述第九十五頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五將以上各式代入正式便可得：將上式兩邊同乘以S得：§4.7-大地測(cè)量主題解算概述令將上所求代入：第九十六頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五將上所求代入：可得：§4.7-大地測(cè)量主題解算概述第九十七頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五依照以上可得：以上三式可用于解算120km主題問(wèn)題，當(dāng)距離小于70km時(shí)，可略去ηm2項(xiàng)。進(jìn)而：§4.7-大地測(cè)量主題解算概述第九十八頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五因計(jì)算Bm,Lm，Am要用到B2,L2,

A2，而B2,L2,

A2為求知量，因此需要迭代計(jì)算。3）、用迭代法計(jì)算Bm,Lm，AmB、則Bm,Am,Lm的初值為：A、由4-221式：§4.7-大地測(cè)量主題解算概述第九十九頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五C、迭代計(jì)算公式為：直到：

其中ΔB（K）

，ΔA（K）可用下式計(jì)算?！?.7-大地測(cè)量主題解算概述D：最后結(jié)果：第一百頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、高斯平均引數(shù)反算公式已知(L1，B1)，(L2

，B2)，計(jì)算A12，S12

，A21.由于已知(L1，B1)，(L2，B2)，

⊿B，⊿L，Bm亦已知.那么可由正解公式推求反算公式.由正算公式移項(xiàng)，將分母采用級(jí)數(shù)展開(kāi)，整理可得:§4.7-大地測(cè)量主題解算概述第一百零一頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五右端第二項(xiàng)與第一項(xiàng)相比為小量，可以作近似：將右端第二項(xiàng)中所含S·sinAm，S·cosAm用上式右端代入可得：第一百零二頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五由此求出S·sinAm，S·cosAm，便可得平均方位角和大地線長(zhǎng)度如下：再將以上求得的S·sinAm，S·cosAm

代入下式又可求得⊿A，最后得起終點(diǎn)的大地方位角為：12§4.7-大地測(cè)量主題解算概述第一百零三頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五一、地圖數(shù)學(xué)投影變換的意義和投影方程1、地圖數(shù)學(xué)投影：將橢球面上的元素（L，B，A，S）按一定的數(shù)學(xué)法則投影到平面上。投影方程可表示為：

X=F1(L,B)Y=F2(L,B)上式表達(dá)了橢球面上一點(diǎn)同投影面上相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)之間的解析關(guān)系，也叫坐標(biāo)投影方程，F(xiàn)1和F2稱投影函數(shù)。2、地圖投影主要研究?jī)?nèi)容：

1）、投影方法

2）、投影方程的解析式投影方法的本質(zhì)特征都是由投影條件和投影函數(shù)F的具體形式?jīng)Q定的?！?.8-

地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念第一百零四頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五dSds二、地圖的投影變形1、長(zhǎng)度比m：投影面上無(wú)限小微分線段ds與橢球面上相應(yīng)的微分線段dS之比。（1）、不同點(diǎn)的長(zhǎng)度比不同（2）、同一點(diǎn)上不同方向的長(zhǎng)度比不同（3）、m可大于1，等于1，小于1?！?.8-

地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念第一百零五頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、主方向和變形橢圓（1）、主方向：在橢球面上有兩個(gè)正交的方向投影到平面上后仍然正交，則這兩個(gè)方向?yàn)橹鞣较颉?/p>

性質(zhì)：主方向投影后具有最大和最小長(zhǎng)度比?！?.8-

地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念第一百零六頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）變形橢圓若對(duì)應(yīng)于最大和最小長(zhǎng)度比方向在橢球

面上為x軸和y軸方向，在投影面上為x′和y′方向，a為x軸方向的長(zhǎng)度比,b為y軸方向的長(zhǎng)度比,則有：即橢球面上1AB則變形橢圓方程為XY投影面上rA′B′y′x′§4.8-

地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念單位圓第一百零七頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五3、投影變形（1）、長(zhǎng)度變形v：長(zhǎng)度比m與1之差

v=m-1任意方向的長(zhǎng)度比m:§4.8-

地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念橢球面上1ABXY投影面上rA′B′y′x′投影后的變形橢圓投影前的單位圓單位圓第一百零八頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五（2）、方向變形:設(shè)投影前從主方向起OP的方位角為α,投影后O′P′的方位角為α′,(α′-α)之差稱為方向變形.投影面上xy某方向（以主方向起始）投影后為1，則有：橢球面上

ηξ§4.8-

地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念第一百零九頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五由三角公式，得：顯然，當(dāng)=′時(shí),亦即在主方向,沒(méi)有方向變形當(dāng)+′

=90°或270°時(shí)，方向變形最大,若0與0′為最大變形方向，則最大變形量可表示為：顧及：§4.8-

地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念解得最大變形方向?yàn)椋旱谝话僖皇?yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五（3）、角度變形：投影前的角度u與投影后的角度u′之差。

Δu=u′-u兩方向、所夾角u的變形稱為角度變形，用Δu表示。即：xyABαβuo投影前的角度ux′y′A′B′α′β′u′o投影后的角度u′§4.8-

地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念若角度變形最大，則方向變形應(yīng)最大，即思考：直觀上理解，角度變形與方向變形有何關(guān)系？第一百一十一頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

顯然，當(dāng)+′

=90°、+′=270°或+′=270°、+′=90°時(shí)，角度變形最大，最大角度變形可表示為：§4.8-

地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念角度變形是方向變形的兩倍第一百一十二頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五（4）、面積變形：p-1

原面單位圓面積為π，投影后變形橢圓面積abπ,則投影面積比為：得面積變形(p-1)。投影前的單位圓投影后的變形橢圓其中，a為x軸方向的長(zhǎng)度比,b為y軸方向的長(zhǎng)度比?！?.8-

地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念第一百一十三頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五四、地圖投影分類1、按變形性質(zhì)分：①、等角投影——正形投影：長(zhǎng)度比只與位置有關(guān)，與方向無(wú)關(guān)，某點(diǎn)的長(zhǎng)度比為一常數(shù)。a-b=0或a=b②、等積投影：投影前后面積不變，即面積比為1。P=ab=1③、等距投影：某一主方向長(zhǎng)度比為1。

a=1或b=1④任意投影：a≠b，ab≠1§4.8-

地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念第一百一十四頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、按采用的投影面和投影方式分類§4.8-

地圖數(shù)學(xué)投影變換的基本概念第一百一十五頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

一、控制測(cè)量對(duì)地圖投影的要求1、應(yīng)采用等角投影

等角投影的優(yōu)點(diǎn):.可以免除大量角度觀測(cè)元素的投影歸算工作；

.可以在有限的范圍內(nèi)使地圖上圖形與橢球上原形保持相似。2、長(zhǎng)度和面積變形應(yīng)不大

.能用簡(jiǎn)單的公式計(jì)算變形改正數(shù)；3、分帶投影

.為了使變形量控制在一定范圍內(nèi)應(yīng)分帶投影，各帶可聯(lián)成一整體，并能相互換算?！?.9-

高斯平面直角坐標(biāo)系第一百一十六頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五二、高斯投影由高斯提出并最先使用（但未發(fā)表），由史賴伯1866年整理發(fā)表，后來(lái)，克呂格對(duì)其補(bǔ)充和完善。所以又稱高斯-克呂格投影。

假想將地球橢球套在一個(gè)橢圓柱筒內(nèi)，地球橢球的某一子午線（中央子午線）與橢圓柱相切，用一定的投影方法將中央子午線兩側(cè)一定范圍內(nèi)的地區(qū)投影到橢圓柱面上，再將橢圓柱面展開(kāi)為平面。目前，英國(guó)、美國(guó)、德國(guó)、中國(guó)、俄羅斯等均采用該投影?！?.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百一十七頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、高斯投影（正形投影）的性質(zhì)：（1）投影后角度不變（2）長(zhǎng)度比與點(diǎn)位有關(guān)，與方向無(wú)關(guān)（3）離中央子午線越遠(yuǎn)變形越大（4）投影后，除中央子午線外，長(zhǎng)度增大3、高斯投影帶的劃分

為控制投影后的長(zhǎng)度變形，采用分帶投影的方法。常用3度帶或6度帶分帶，城市或工程控制網(wǎng)坐標(biāo)采用任意帶分帶。1、高斯投影的條件：

（1）、是正形投影，投影后角度不變；

（2）、中央子午線不變形§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百一十八頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五已知6度帶的帶號(hào)n計(jì)算其中央子午線的經(jīng)度L0：已知某點(diǎn)的經(jīng)度L計(jì)算其所在6度帶的帶號(hào)n：已知3度帶的帶號(hào)n′計(jì)算其中央子午線的經(jīng)度L0′：已知某點(diǎn)的經(jīng)度L計(jì)算其所在3度帶的帶號(hào)n′：§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百一十九頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五

4、國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)理論上中央子午線的投影是x軸，赤道的投影是y軸，其交點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)。x坐標(biāo)是點(diǎn)至赤道的距離；y坐標(biāo)是點(diǎn)至中央子午線的距離，有正有負(fù)。為了避免y坐標(biāo)出現(xiàn)負(fù)值，其名義坐標(biāo)加上500公里。為了區(qū)分不同投影帶中的點(diǎn)，在點(diǎn)的Y坐標(biāo)值上加帶號(hào)N

所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)通用表示的值為

y=N1000000+500000+y1919年德國(guó)學(xué)者巴烏蓋爾建議采用30帶，將坐標(biāo)縱軸西移500km，并在縱坐標(biāo)前冠以帶號(hào)?！?.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百二十頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五5、橢球面元素化算到高斯投影面主要內(nèi)容：（1）.（L，B）=>（x，y)，稱之為高斯正算； 為了檢核，還要反算，即(x,y)=>

（L，B）（2）.角度：將橢球面上起算大地方位角APK歸算到高斯平面上相應(yīng).邊P′K′的坐標(biāo)方位角αP′K′，需計(jì)算收斂角γ與方向改化δ。橢球面高斯投影面大地線平行圈中央子午線赤道中央子午線平行圈大地線§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百二十一頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五（3）.邊長(zhǎng)：將橢球面上起邊PK長(zhǎng)S歸算到高斯平面上的直線長(zhǎng)s。（4）、內(nèi)角：將橢球面上各三角形內(nèi)角歸算到高斯平面上由相應(yīng)直線組成的三角形內(nèi)角。需計(jì)算曲率改化即方向改化δ。橢球面高斯投影面大地線平行圈中央子午線赤道中央子午線平行圈大地線§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百二十二頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五三、正形投影的一般條件高斯投影為正形投影的一種特例，故先研究正形投影的一般條件出發(fā)點(diǎn)：在正形投影中，長(zhǎng)度比與方向無(wú)關(guān)。1、長(zhǎng)度比的通用公式如圖，在微分直角三角形P1P2P3及P1′P2′P3′中有：MdBNcosBdl§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百二十三頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)則m2為：令則因?yàn)閝只與緯度B有關(guān)，所以稱q為等量緯度，由于B與L相互獨(dú)立，因而dB與dl也相互獨(dú)立。MdBNcosBdl第一百二十四頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五則長(zhǎng)度比m2可表示為：等量緯度的物理意義：相同的dq與dl所對(duì)應(yīng)的橢球面上的弧長(zhǎng)相同.其中：r=NcosB令§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百二十五頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五根據(jù)投影關(guān)系可知平面坐標(biāo)x、y是大地坐標(biāo)B、L的函數(shù)：X=F1(L,B)Y=F2(L,B)那么平面坐標(biāo)x、y必是等量緯度q、經(jīng)差l的函數(shù)，設(shè)其函數(shù)式為：X=X(l,q)Y=Y(l,q)求微分，得dx、dy與dq與dl的關(guān)系式：將上式代入§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百二十六頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五可得：并令：則，長(zhǎng)度比公式為：代入§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百二十七頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2、柯西－黎曼條件：由圖可知：MdBNcosBdl當(dāng)A=0°或180°，得經(jīng)線方向長(zhǎng)度比：當(dāng)A=90°或270°，得緯線方向長(zhǎng)度比：§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百二十八頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五正形投影長(zhǎng)度比與方向A無(wú)關(guān)，要使m與A脫離關(guān)系，則必須滿足F=0，E=G，即：12由式可得：13將式代入式可得：23§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百二十九頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五考慮到導(dǎo)數(shù)的方向（x隨q增加而增加,y隨l增加而增加），開(kāi)根得：再代入由此可得橢球面到平面的正形投影的一般公式，又稱柯西－黎曼條件：12§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百三十頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五同理可得由平面正形投影到橢球面上的一般條件：當(dāng)F=0，E=G時(shí)長(zhǎng)度比公式可化為：§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百三十一頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五3、柯西－黎曼條件的幾何意義ABC如圖：AB是子午線（L=常數(shù)）上的微分弧在平面上的投影，AC是平行圈上（B=常數(shù)）的微分弧在平面上的投影，

△ABB′與△ACC′相似，故有：γ是A點(diǎn)處子午線收斂角?！?.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百三十二頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五平行圈微分弧上，B＝常數(shù)對(duì)投影方程全微分有：子午微分弧上，L＝常數(shù)

投影方程那么Y隨B增加而減少§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百三十三頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五那么由上式可得：柯西－黎曼條件進(jìn)而可得子午線收斂角計(jì)算公式：長(zhǎng)度比計(jì)算公式：§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百三十四頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五高斯投影必須滿足的三個(gè)投影條件中央子午線投影后為直線中央子午線投影后長(zhǎng)度不變正形投影條件，投影后角度不變X為l的偶函數(shù)，y為l的奇函數(shù)

即當(dāng)B＝常數(shù)，l以-l代換時(shí)，x值不變號(hào)，y值則變號(hào),其中l(wèi)=L-L0，L0為中央子午線經(jīng)度?！ぁ?l,B)(X,Y)P1(-l,B)(X,-Y)P2四、高斯投影坐標(biāo)的正反算公式第一百三十五頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五1、高斯投影正算公式橢球面到平面的投影方程可表示為

x=x(l,B),y=y(l,B)

將以上兩式展開(kāi)為經(jīng)差l的級(jí)數(shù)形式：··(l,B)(X,Y)P1(-l,B)(X,-Y)P2§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)mi均為B的函數(shù)，且：x為l的偶函數(shù)，故只有偶數(shù)次項(xiàng)；y為l的奇函數(shù)，幫只有奇數(shù)資項(xiàng)。第一百三十六頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五式中：mi是緯度B的函數(shù)，也是等量緯度q的函數(shù)如確定了各系數(shù)，則x，y與l，B的轉(zhuǎn)換關(guān)系式便確定了。上兩式對(duì)l,q求偏導(dǎo)數(shù)有：根據(jù)高斯投影的第三個(gè)條件：正形投影條件（柯西-黎曼條件）§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百三十七頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五則：即：可見(jiàn)，要求（x,y）與（l,q）的關(guān)系式，關(guān)鍵在于確定m0，m1，m3…，其中關(guān)鍵又在于確定m0?！?.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百三十八頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五l（x，y）如圖，當(dāng)l=0，即點(diǎn)在中央子午線上時(shí)，有x=m0=X,其中X為從赤道到緯度為B處中央子午線上的子午弧長(zhǎng)?？梢杂没￠L(zhǎng)計(jì)算公式求得。那么可求得m0：顧及子午弧長(zhǎng)微分公式及則那么可求得m1：§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百三十九頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五仿此依次求得m3，m4…可求得m2：

最后得高斯正算公式：§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百四十頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五設(shè)從高斯平面投影到橢球面的投影方程為:B=φ1(x,y)l=φ2(x,y)并滿足如下條件：（1）、x軸投影后為中央子午線，是投影的對(duì)稱軸（2）、x軸長(zhǎng)度投影后不變（3）、正形投影顯然B是y的偶函數(shù)，l是y的奇函數(shù)。因而投影方程可寫成如下級(jí)數(shù)形式:··(l,B)(X,Y)P1(-l,B)(X,-Y)P22、高斯反算公式：第一百四十一頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五式中:n0，n1，n2，n3，…，是待定系數(shù)，都是x的函數(shù)。若求出各系數(shù)，便可得到兩種坐標(biāo)的換算關(guān)系式，下面來(lái)求各系數(shù)：又：可得：§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百四十二頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五因面得：令兩邊系數(shù)相等：可見(jiàn)要求得n0,n1,n2，…，關(guān)鍵在于求n0?！?.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百四十三頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五當(dāng)y=0時(shí)，x=X，中央子午線上與弧長(zhǎng)X對(duì)應(yīng)的緯度用Bf表示，則

B=n0=Bf

Bf稱為底點(diǎn)緯度，可以用弧長(zhǎng)X計(jì)算得到。那么n0為：

n0=Bf又因?yàn)榭傻胣1為：§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百四十四頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五依次求得其它各系數(shù)：將各系數(shù)代入級(jí)數(shù)式可得高斯反算公式：§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百四十五頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五1）、正算：由于l不大，將正算公式寫成l的級(jí)數(shù)形式：3、高斯投影正反算公式的幾何解釋：當(dāng)l=0時(shí)，x=X，y=0,即位于P′處；當(dāng)l≠0時(shí)，y≠0,

x≠X，其差為△x，即位于P處。正算是在中央子午線上P′點(diǎn)展開(kāi)l的級(jí)數(shù).§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百四十六頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五當(dāng)y=0時(shí)，l=0,x=X,B=Bf；當(dāng)y≠0時(shí)，x≠X，B≠BfB＝Bf－⊿B反算是在中央子午線上P?點(diǎn)展開(kāi)y的級(jí)數(shù)。2）、反算：由于y不大，將反算公式寫成y的級(jí)數(shù)形式：§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百四十七頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五2）、高斯正、反算特點(diǎn)：§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)①、橢球面上除中央子午線外，其它子午線投影后，均向中央子午線彎曲，并向兩極收斂，同時(shí)還對(duì)稱于中央子午線和赤道。②、橢球面上對(duì)稱于赤道的緯圈，投影后仍成為關(guān)于赤道對(duì)稱的曲線，同時(shí)與子午線的投影曲線互相垂直，并凹向兩極。③、距中央子午線愈遠(yuǎn)的子午線，投影后彎曲愈厲害，長(zhǎng)度變形也愈大。4、高斯投影正反算公式的實(shí)用公式-P173-176：第一百四十八頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五五、平面子午線收斂角的計(jì)算公式平行圈子午線沿平行圈緯度B不變，dq=0,求微分得：1、用L，B計(jì)算平面子午線收斂角的計(jì)算公式如圖,兩曲線為子午線與平行圈在平面上的投影,為收斂角.§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百四十九頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五求微分得：對(duì)高斯正算公式代入公式§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百五十頁(yè)，共一百六十九頁(yè)，編輯于2023年，星期五可得：根據(jù)進(jìn)而可得：1§4.9-

高斯平面直角坐標(biāo)第一百五十一頁(yè)，共一百六十