角平行線的性質(zhì)-2020-2021學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期高頻考點(diǎn)專題突破（人教版）（解析版）

考點(diǎn)02、角平分線的性質(zhì)

知識(shí)框架

角平分線的性質(zhì)

角平分線的判定

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)4

尺規(guī)作圖

.三角形的內(nèi)心和旁心

,角平分線的定義和性質(zhì)的應(yīng)用

三角形內(nèi)心的應(yīng)用

重難點(diǎn)題型■角平分線定理的應(yīng)用（補(bǔ)充）

尺規(guī)作圖及應(yīng)用

角平分線的壓軸題

基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)

知識(shí)點(diǎn)1角平分線的性質(zhì).

1）角平分線的定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫作這個(gè)角的平分線。

2）角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等

1.（2020?江蘇張家港初一月考）射線OC在/ZO8的內(nèi)部，下列給出的條件中不能得出OC是//O8的平

分線的是（）

A.ZAOC^ZBOCB.ZAOC+ZBOC^ZAOBC.ZAOB^2ZAOCD.ABOC=—ZAOB

2

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線的定義分析出角之間的倍分關(guān)系進(jìn)行判斷.

【解析】解：當(dāng)OC是/AOB的平分線時(shí)?，ZAOC=ZBOC,ZAOB=2ZAOC,ZBOC=-ZAOB,所

2

以A、C、D選項(xiàng)能判斷OC是NAOB的平分線.

NAOB=NAOC+NBOC只能說(shuō)明射線OC在/AOB內(nèi)，不一定是角平分線.故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義.正確表述角之間的倍分關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?廣東郁南初二期末）如圖，口1=口2,PDDOA,PEQOB,垂足分別為D,E,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是

（）

A.PD=PEB.OD=OEC.ODPO=DEPOD.PD=OP

B

E

【答案】D

【解析】：1=口2,PDOA,PEOB,；.PD=PE,

VOP=OP,ARtOPOECRtOPOD(HL),.-.OD=OE,匚DPO=DEPO.

；.A、B、C正確，D錯(cuò)誤，故選D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì).

3.(2020?甘肅肅州初一期末)如圖，OP是NAO8的平分線，PCL04于點(diǎn)C,PC=2,點(diǎn)、D是邊OB

上一動(dòng)點(diǎn)，則PO長(zhǎng)度最小為.

【答案】2

【分析】根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)PDJ_OB時(shí)最短，再根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得

PD=PC,從而得解.

【解析】???垂線段最短，.?.當(dāng)PDLOB時(shí)PD最短，

「OP是/AOB的平分線，PC±OA,；.PD=PC,

VPC=2,.*.PD=2,即PD長(zhǎng)度最小為2.故答案為：2.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，確定出PD最小時(shí)

的位置是解題的關(guān)鍵.

4.（2019?黑龍江龍鳳初二期末）如圖所示，在AABC中，NACB=90。°,BE平分于

如果AC=3cm,那么AE+DE等于（）

A.2cmB.4cmC.3cmD.5cm

【答案】C

【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)得出DE=CE,求出AE+DE=AC,即可得出答案.

【解析】解：???在4ABC中，ZACB=90°,BE平分/ABC,DE_LAB于D,

.?.CE=DE,；.AE+DE=AE+CE=AC=3cm,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查J'角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能根據(jù)性質(zhì)得出DE=CE是解此題的關(guān)鍵，注意：角平分線上的

點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.

5.（2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）如圖，BP平分乙4BC,D為BP上一點(diǎn),E,尸分別在比1,BC上,且滿足

DE=DF,若28^0=140。，則/BED的度數(shù)是（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【答案】A

【分析】作DGLAB于G,DHLBC于H,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DH=DG,證明RsDEG名R3DFH,

得到/DEG=NDFH,根據(jù)互為鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到答案.

【解析】作DGLAB于G,DHJ_BC于H,

；D是NABC平分線上一點(diǎn)，DG_LAB,DH±BC,，DH=DG,

（DG^DH

在RSDEG和RtADFH中，〈八八八廠Z.RtADEG^RtADFH（HL）,

[DE—DF

.?.NDEG=NDFH,又/DEG+NBED=180°,AZBFD+ZBED=180°,

ZBFD的度數(shù)=180。-140。=40。，故選A.

【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作輔助線

6.（2020?遼寧沈陽(yáng)初一月考）如圖，在RAABC中，NC=90°,以頂點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧,

分別交AC,AB于點(diǎn)M，N,再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)尸，

2

作射線AP交邊8c于點(diǎn)。，若CD=3,AB=\6,則八45。的面積是（）

A.48B.24C.16D.12

【答案】B

【分析】根據(jù)題意得到AD平分/BAC,再根據(jù)角平分線的性質(zhì)作DE_LAB,得到DE=DC,即可根據(jù)面積

公式計(jì)算求出答案.

【解析】由題意得：AD平分/BAC,過(guò)點(diǎn)D作DE_LAB交AB于E,

VZC=9O°./.DC±AC,，DE=DC=3,

的面積?力E='xl6x3=24,故選：B.

22

【點(diǎn)睛】此題考查角平分線的畫(huà)法，角平分線的性質(zhì)，正確理解題中的畫(huà)法得到角平分線是解題的關(guān)鍵.

7.（2020?甘肅玉門初一期末）如圖，是△NBC中Nb4c的平分線，DELAB于點(diǎn)E,于點(diǎn)E若

SAXBC=28,DE=4,4B=8,則/C長(zhǎng)是（）

【分析】首先由角平分線的性質(zhì)可知DF=DE=4,然后由SAABC=SMBD+SAACD及三角形的面積公式得出結(jié)果.

【解析】解：?.,/￡＞是△NBC中/A4c的平分線，DEL4B于點(diǎn)E,。尸，/C交NC于點(diǎn)尸，.二。尸=。￡=4.

,又■:SAABC=SAABD-S4ACD,AB—8,28=-x8x4d—xACx4,；./C=6.故選C.

22

【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)；利用三角形的面積求線段的大小是一種很好的方法，要注意掌

握應(yīng)用.

8.（2020?遼寧沈河初二期末）如圖，點(diǎn)尸是/力。8的角平分線0c上一點(diǎn)，PNLOB于點(diǎn)、N,點(diǎn)、M是線段

ON上一點(diǎn).已知OM=3,ON=5,點(diǎn)。為。/上一點(diǎn)，若滿足尸。=尸加，則。。的長(zhǎng)度為.

【答案】3或7.

【分析】過(guò)點(diǎn)P作PE_LOA于點(diǎn)E,分點(diǎn)D在線段OE上，點(diǎn)D在射線EA上兩種情況討論，利用角平分線

的性質(zhì)可得PN=PE,即可求OE=ON=5,由題意可證△PMN絲APDE,可求OD的長(zhǎng).

【解析】解：如圖：過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E,

；OC平分/408,PELOA,PN1OB,:.PE=PN,

*：PE=PN,OP=OP,：.△OPE^△OPN{HL）,：.OE=ON=5,

CW=5,:.MN=2,

A

若點(diǎn)。在線段OE上，-：PM=PD,PE=PN,:./XPMNm/XPDE(HL),

：.DE=MN=2,：.OD=OE-DE=3,

若點(diǎn)D在射線及4上，；PM=PD,PE=PN,：./\PMN^/\PDE(HL),

：.DE=MN=2,：.OD=OE+DE=1.故答案為：3或7.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練運(yùn)用全等三角形的判定和性質(zhì)解決

問(wèn)題是本題的關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)2角平分線的判定

1)角平分線的判定：①NAOB=NBOC；②角的內(nèi)部到兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上

1.(2019?江西廣豐?南屏中學(xué)初二月考)在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小明提出這樣一個(gè)問(wèn)題：NB=/C=90。,E是

8c的中點(diǎn)，DE平分N4DC,/CDE=55°.如圖，則/及18的度數(shù)為

【答案】35。

【分析】過(guò)點(diǎn)E作力力于尸，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CE=E尸，再根據(jù)到角的

兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上可得/￡是NR4D的平分線，然后求出//E8,再根據(jù)直角三角形兩銳角

互余求解即可.

(解析］過(guò)點(diǎn)E作EF±AD于F.,：DE平分ZADC,：.CE=EF.

是8c的中點(diǎn)，：.CE=BE,：.BE=EF,.?./￡1是NA4。的平分線，:.NEAB=NE4E.

'：ZS=ZC=90°,：.ZCDA+ZDAB=\^O°,：.2ZCDE+2ZEAB=\?,0°,

AZCDE+ZEAB=90°,/.ZEAB=90°-NCDE=90°-55°=35°.故答案為：35°.

D

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，角平分線的判定，熟記性質(zhì)并作輔助

線是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?河北新華石家莊新世紀(jì)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校初三二模）已知A/8C,兩個(gè)完全一樣的三角板如圖擺放，它們

的一組對(duì)應(yīng)直角邊分別在N8/C上，且這組對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)M,點(diǎn)”一定在（）.

A.//的平分線上B./C邊的高上C.8c邊的垂直平分線上D.邊的中線上

【答案】A

【分析】根據(jù)角平分線的判定推出M在/BAC的角平分線上，即可得到答案.

【解析】如圖，

VME1AB,MF1AC,ME=MF,；.M在/BAC的角平分線上，故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)角平分線的判定定理的理解和掌握，能熟練地利用角平分線的判定定理進(jìn)行推理

是解此題的關(guān)鍵.

3.（2020?江蘇秦淮初三月考）如圖，N/CO是△/BC的外角，ZBAC=SO°,和/AC。的平分線相

交于點(diǎn)E,連接NE,則/。E的度數(shù)是（）

A.35°B.40°C.50°D.55°

【答案】C

【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和和角平分線的定義列式并整理得到

ZBAC=2ZBEC,過(guò)點(diǎn)E作EF_LBA交延長(zhǎng)線于F,作EGLAC丁G,作EHLBD于H,根據(jù)角平分線上

的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得EF=FH,EG=EH,然后求出EF=EG,再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角

的平分線上判斷出AE是NCAF的平分線，再根據(jù)角平分線的定義解答即可.

【解析】：NABC與NACD的角平分線相交于點(diǎn)E,：.ZCBE=—ZABC,ZECD=-ZACD,

22

由三角形的外角性質(zhì)得，ZACD=ZABC+ZBAC,ZECD=ZBEC+ZCBE,

—ZACD=ZBEC+—ZABC,—（ZABC+ZBAC）=ZBEC+—ZABC,整理得，/BAC=2NBEC,

2222

VZBAC=80°,/.ZBEC=40°,過(guò)點(diǎn)E作EF_LBA交延長(zhǎng)線于F,作EG_LAC于G,作EH_LBD于H,

TBE平分NABC,；.EF=EH,：CE平分NACD,/.EG=EH,；.EF=EG,AE是NCAF的平分線,

AZCAE=—（180°-ZBAC）=—（180°-80°）=50°.故選C.

22

C.D

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理與角平分線的判定定

理，難點(diǎn)在于作輔助線并判斷出AE是口48。外角的平分線.

4.（2020?山東曹縣初二期末）如圖，A4OB的外角NC4B,NOBA的平分線AR8尸相交于點(diǎn)P,PELOC

于E,，PE，。。于F，下列結(jié)論：（1）PE=PR;（2）點(diǎn)尸在ZCOD的平分線上；（3）NAP8=9（）°—NO,

其中正確的有（）

FD

A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)

【答案】C

【分析】過(guò)點(diǎn)P作PGLAB,由角平分線的性質(zhì)定理，得到PE=PG=PF,可判斷（1）（2）正確；由

ZAPB=-ZEPF,ZEPF+ZO=180°,得到NAPB=90?！?0,可判斷（3）錯(cuò)誤；即可得到答案.

22

【解析】解：過(guò)點(diǎn)P作PG_LAB,如圖：

：AP平分NCAB,BP平分NDBA,PE上OC，PF1OD.PG1AB,

:.PE=PG=PF；故（1）正確；...點(diǎn)P在NCW的平分線上；故（2）正確；

ZAPB=ZAPG+NBPG=-ZEPF,

2

乂NEPE+NO=180。，ZAP8=；x（180°-/。）=90°-;N。；故（3）錯(cuò)誤；

,正確的選項(xiàng)有2個(gè)；故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定定理和性質(zhì)定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的判定和性質(zhì)進(jìn)行

解題.

5.（2020?河南海池初二期末）小明同學(xué)在學(xué)習(xí)了全等三角形的相關(guān)知識(shí)后發(fā)現(xiàn)，只用兩把完全相同的長(zhǎng)方

形直尺就可以作出一個(gè)角的平分線.如圖：一把直尺壓住射線OB,另一把直尺壓住射線OA并且與第一把

直尺交于點(diǎn)P,小明說(shuō)：“射線OP就是/BOA的角平分線.”他這樣做的依據(jù)是（）

A.角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上B.角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等

C.三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三條邊的距離相等D.以上均不正確

【答案】A

【分析】過(guò)兩把宜尺的交點(diǎn)C作CFBO與點(diǎn)F,,由題意得CEAO因?yàn)槭莾砂淹耆嗤拈L(zhǎng)方形直尺,

可得CE=CF,再根據(jù)角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上可得0P平分NAOB

【解析】如圖所示：過(guò)兩把直尺的交點(diǎn)C作CFB0與點(diǎn)F由題意得CEA0

??,兩把完全相同的長(zhǎng)方形直尺，CE=CF

匚OP平分NAOB（角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上），故選AD

【點(diǎn)睛】本題主要考查/基本作圖，關(guān)鍵是掌握角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上

這一判定定理口

6.（2020?遼寧和平初二期末）如圖，點(diǎn)P是^ABC內(nèi)一點(diǎn)，PD_LAB于D,PE_LBC于E,PF_LAC于F,

且PD=PE=PF,則點(diǎn)P是AABC（）

A.三邊垂直平分線的交點(diǎn)B.三條角平分線的交點(diǎn)

C.三條高的交點(diǎn)D.三條中線交點(diǎn)

【答案】B

【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)的逆定理即可得出答案.

【解析】解：P到三條距離相等，即PD=PE=PF,連接PA、PB、PC,

：PD=PE,；.PB是NABC的角平分線，同理PA、PC分別是/BAC,/ACB的角平分線，

故P是aABC角平分線交點(diǎn)，故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形角平分線的交點(diǎn)，?掌握角平分線的性質(zhì)的逆定理是解題的關(guān)鍵.

7.（2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）如圖，△/8C是等邊三角形，AQ=PQ,PRL4B于點(diǎn)、R,PSL力C于點(diǎn)S,PR=PS.

下列結(jié)論：①點(diǎn)尸在NN的角平分線上；②AS=AR；③QP〃AR；?/\BRP^^QSP.其中，正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【解析】???△N8C是等邊三角形，PR±AB,PS±AC,且PR=PS,在/Z的平分線上，故①正確；

由①可知，PB=PC,NB=NC,PS=PR,:.△BPRQACPS,：.AS=AR,故②正確；

'：AQ=PQ,：.ZPQC=2ZPAC=60°=ZBAC,：.PQ//AR,故③正確；

由③得，APOC是等邊三角形，二△尸QS絲△PCS,又由②可知，④）XBRP沿4QSP,故④也正確，?.?①②③④

都正確，D.

點(diǎn)睛：本題考查了角平分線的性質(zhì)與全等三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確識(shí)圖并熟練掌握全等三角形的判定方

法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

8.（2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）已知：如圖，DE_LAB于E,DF_LAC于F,若BD=CD,BE=CF；求證：

AD平分/BAC.

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)已知條件證明aBDE絲ACDF,得到DE=DF,再根據(jù)角平分線的判定定理即可得到結(jié)論.

【解析】證明：VDE1AB,DF1AC,AZDEB=ZDFC=90°,

BD=CD

RtABDERtACDF,RtBDERtCDF,；.DE=DF,

BE=CF

XVDE1AB,DF1AC,；.AD平分NBAC.

【點(diǎn)睛】此題考查三角形全等的判定及性質(zhì)，角平分線的判定定理，正確理解題意證明...RtABDE絲R3CDF

是解題的關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)3.尺規(guī)作圖

五種基本作圖：

①作一條線段等于已知線段（已學(xué)）；②作一個(gè)角等于已知角；③作已知角的角平分線：

④作已知線段的垂直平分線（見(jiàn)第十三章）；⑤過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線（見(jiàn)第十三章）

1.（2020?北京垂楊柳中學(xué)初一期末）下面是小明同學(xué)設(shè)計(jì)的“作一個(gè)角等于已知角”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

已知：ZO,

求作：一個(gè)角，使它等于NO.

作法：如圖：

①在NO的兩邊上分別任取一點(diǎn)A,B；②以點(diǎn)A為圓心，OA為半徑畫(huà)弧；以點(diǎn)B為圓心，OB為半徑畫(huà)

??；兩弧交于點(diǎn)C；③連結(jié)AC,BC,所以NC即為所求作的角.

請(qǐng)根據(jù)小明設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下列證明.

證明：連結(jié)AB,

VOA=AC,OB=,,

絲△C43（）（填推理依據(jù)）.

二zc=zo.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）BC,AB=AB,邊邊邊

【分析】（1）根據(jù)描述利用尺規(guī)作出圖形；

（2）根據(jù)作圖可得AO=AC,BO=BC,AB=AB,再利用SSS判定△AOB四4ACB即可得出/O=/C.

【解析】解：（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

A

C

B

（2）BC,AB=AB,邊邊邊

【點(diǎn)睛】此題主要考查了基本作圖，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握作一個(gè)角等于已知角的方法，掌握三角形全等

的判定方法.

-2.（2020?遼寧丹東初一期末）校園的一角如圖所示，其中線段AB，BC,8表示圍墻，圍墻內(nèi)是學(xué)生

的一個(gè)活動(dòng)區(qū)域，小明想在圖中的活動(dòng)區(qū)域中找到一點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到三面圍墻的距離都相等.請(qǐng)?jiān)趫D中

找出點(diǎn)P.（用尺規(guī)作圖，，不用寫作法，保留作圖痕跡）

【答案】圖見(jiàn)解析.

【分析】由點(diǎn)P到三面圍墻的距離都相等，所以P是NABC,/BC。的角平分線的交點(diǎn)，作出兩個(gè)角的角

平分線的交點(diǎn)即可.

【解析】解：分別作/ABC,NBC。的角平分線，如圖，

:.交點(diǎn)P即為所求.

【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)與尺規(guī)作圖.

3.（2020?廣東省深圳市龍崗區(qū)南芳學(xué)校初一期中）如圖，已知直線AB和點(diǎn)P,用尺規(guī)作直線CD,使CD//AB,

且CD過(guò)點(diǎn)P;

?P

AB

【答案】見(jiàn)解析

【分析】利用P點(diǎn)作NEPF=LPMB,進(jìn)而得出答案;

【解析】解：如圖，作"EPF=PMB

【點(diǎn)睛】此題主要考查了作一角等于已知角以及過(guò)一點(diǎn)作一直線的平行線，正確作一角等于已知角是解題

關(guān)鍵.

4.（2020?浙江西湖初二期中）如圖，已知Na,Zp,線段a,完成下面的尺規(guī)作圖：

（1）Za+ZP；（2）A4BC,使//=/a,BC=a.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析

【分析】（D根據(jù)尺規(guī)作圖過(guò)程即可作出Na+/|3；

（2）先根據(jù)尺規(guī)作圖作出NC=180。-Na-Np,再進(jìn)行其它作圖即可作出三角形.

【解析】解：（D如圖NZOC即為所求作的圖形.

B

（2）如圖即為所求作的△48C.作8C=a,作/8=N（3,ZC=180°-Za-Zp,ZB,NC的兩條邊相

交于點(diǎn)4則NZ=/a.

答：△N8C即為所求作的圖形.

【點(diǎn)睛】本題考查了尺規(guī)作圖，解決本題的關(guān)鍵是規(guī)范作圖，注意畫(huà)NC時(shí)，先作出180。-/a-NB.

5.（2020?上海市靜安區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)單元測(cè)試）已知Ua、Op,用尺規(guī)畫(huà)出UAOB=2a-口仇（不寫作法，標(biāo)明

字母）

【答案】見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)用尺規(guī)作圖作角等于已知角作圖即可.

【解析】解：分別以□叫口。的頂點(diǎn)為圓心，任意長(zhǎng)度為半徑作弧，分別交口心口?的邊于P、Q、M、N；

作射線0B,以O(shè)為圓心，以相同長(zhǎng)度為半徑作一個(gè)優(yōu)弧，交射線OB于點(diǎn)C,以C為圓心，PQ的長(zhǎng)度為

半徑作弧，交優(yōu)弧于點(diǎn)D,作射線0D,再以D為圓心，PQ的長(zhǎng)為半徑作弧，交優(yōu)弧（ZDOB外部）于點(diǎn)

E,作射線OE,然后以E為圓心，MN的長(zhǎng)為半徑作弧，交優(yōu)弧（NEOB內(nèi)部）于點(diǎn)A,作射線OA,如圖

所示：UAOB=2Ua-NAOB即為所求.

【點(diǎn)睛】此題考查的是用尺規(guī)作圖作角等于已知角，掌握用尺規(guī)作圖作角等于已知角是解決此題的關(guān)鍵.

6.（2019?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知用尺規(guī)將一個(gè)任意角三等分是不可能的，但對(duì)于一些特殊角則可

以利用作等邊三角形的方法三等分，請(qǐng)用直尺和圓規(guī)把平角CDE和4408=45。這兩個(gè)角三等分（尺規(guī)作

圖，要求保留作圖痕跡，不必寫出作法）

【答案】詳見(jiàn)解析

【分析】根據(jù)平角的三分之一等于60。，所以以點(diǎn)D為頂點(diǎn)，分別以CD、DE為邊在同一側(cè)作等邊三角形

7CDM和UDEN,則射線DM、DN即為所求作的平角CDE的三等分線；

根據(jù)45。角的三分之一等于15。，以點(diǎn)。為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與0B相交于點(diǎn)F,再作FH=OF,然

后以點(diǎn)F、H為圓心，以FH長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧相交于點(diǎn)P,連接OP,根據(jù)一邊上的中線等于這邊的一半的三角

形是直角三角形可判定△（）/>〃是直角三角形，再根據(jù)30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半可得NPOH=30。,

從而得到NAOP=15。，再作出NPOH的角平分線即可把NAOB=45。三等分.

【解析】解：如圖所示，射線DM、ON為平角CDE的三等分線；

如圖所示，射線OP、。。為N4OB=45°的三等分線.

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)雜作圖，根據(jù)角度的三分之一的度數(shù)，利用等邊三角形作出60。的角，利用直角三角

形30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)作出30。的角是解題的關(guān)鍵.

知識(shí)點(diǎn)4.三角形的內(nèi)心和旁心

1）三角形內(nèi)心：三條角平分線的交點(diǎn)（三角形內(nèi)切圓）

內(nèi)心特點(diǎn)：兩條角平分線交于一點(diǎn)，第三條角平分線一定交于這一點(diǎn)

內(nèi)心性質(zhì)：內(nèi)心到三邊距離相等（利用角平分線性質(zhì)證明）

2）三角形旁心（了解）：三角形兩外角平分線及一個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)

旁心特點(diǎn)：兩條角平分線交于一點(diǎn)，第三條角平分線一定交于這一點(diǎn)

旁心性質(zhì)：旁心到三邊距離相等（與內(nèi)心證明方法相同）

I.（2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）某鎮(zhèn)要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)砂石場(chǎng)，如圖，要使這個(gè)砂石

場(chǎng)到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址（）

A.僅有一處B.有四處C.有三處D.有無(wú)數(shù)處

【答案】A

【分析】利用角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等，所以是三個(gè)內(nèi)角平分線的交

點(diǎn)有1個(gè)，外角平分線的交點(diǎn)有3個(gè)，又要求砂石場(chǎng)要在三條公路圍成的一塊平地上修建，所以只有三個(gè)內(nèi)

角平分線的交點(diǎn)符合要求.

【解析】解：..?砂石場(chǎng)到三條公路的距離相等，，該點(diǎn)應(yīng)該是三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)，滿足條件的點(diǎn)有:

三角形內(nèi)部：三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)1個(gè)（內(nèi)心）；三角形外部：三個(gè)外角角平分線3個(gè)（旁心），

?.?要求砂石場(chǎng)要在三條公路圍成的一塊平地上修建，-

...滿足條件的只有F個(gè)，即為三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn).故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生對(duì)角平分線的性質(zhì)的理解和掌握.解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線的性質(zhì)定理.

2.（2019?齊齊哈爾市第五十三中學(xué)校初二期中）如圖，是三條兩兩相交的筆直公路，某物流公司現(xiàn)要修建

一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，使它到三條公路的距離相等，這個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站可選的位置有（）

A.1個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】C

【分析】根據(jù)角平分線性質(zhì)，同時(shí)貨物中轉(zhuǎn)站的位置到三條公路的距離相等，從而得到三角形內(nèi)心一個(gè)位

置，旁心三個(gè)位置.

???內(nèi)心和旁心都是角平分線的交點(diǎn)，，由角平分線性質(zhì)知內(nèi)心和旁心心到角兩邊的距離相等.

如圖所示，符合條件的有4個(gè)點(diǎn).故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，熟練掌握性質(zhì)是關(guān)鍵.

3.（2020?南通市八一中學(xué)初一月考）如圖，a、b、c三條公路的位置相交成三角形，現(xiàn)決定在三條公路之

間建一購(gòu)物超市，使超市到三條公路的距離相等，則超市應(yīng)建在（）

A.三角形兩邊高線的交點(diǎn)處B.三角形兩邊中線的交點(diǎn)處

C.Na的平分線上D.Na和N0的平分線的交點(diǎn)處

【答案】D

【分析】根據(jù)題意知，超市應(yīng)該是AABC的內(nèi)心，即該三角形的內(nèi)角平分線的交點(diǎn).

【解析】???如圖，要建一超市到a、b、c三條公路的距離相等，，該超市是AABC的內(nèi)心，

超市應(yīng)該建在/a和的平分線的交點(diǎn)處.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

4.（2020?山東萊州初一期末）如圖，直線表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)在要建設(shè)一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它

到三條公路的距離相等，請(qǐng)確定中轉(zhuǎn)站p的位置.要求：尺規(guī)作圖，保留痕跡，標(biāo)注字母，不寫作法.

【答案】作圖見(jiàn)解析部分.到三條公路的距離相等的點(diǎn)有四個(gè).

【分析】利用角平分線的性質(zhì)定理解決問(wèn)題即可，注意到三條公路的距離相等的點(diǎn)有四個(gè).

【解析】解：如圖，滿足條件的點(diǎn)P有四個(gè)，如圖所示：

?7

出3

II

【點(diǎn)睛】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)，角平分線的性質(zhì)定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)

知識(shí)解決問(wèn)題.

重難點(diǎn)題型

題型1角平分線的性質(zhì)和定義的應(yīng)用

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等

解題技巧：過(guò)角平分線上的點(diǎn)向兩邊作垂線

1.（2019?湖北武漢初二期中）如圖，/C=90°,4D平分NB4C交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,則

點(diǎn)。到的距離為（）cm.

【答案】C

【分析】過(guò)點(diǎn)。作。E4B于E,通過(guò)角平分線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可得到點(diǎn)。到"8的距離.

【解析】作OEABTE,如下圖，49平分口切。，DCOAC,DE3AB,EDC=DE,

BC=5cm,BD=3cm,CD=2cm,DE=2cm,即點(diǎn)。到的距離為2si,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查/角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線性質(zhì)的應(yīng)用并利用性質(zhì)進(jìn)行輔助線作圖是解

決本題的關(guān)鍵.

2.（2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）如圖，NB=NC=90ODM是BC的中點(diǎn)，DM平分NADC,且/ADC=110。，

則/MAB=D

A.30°B.35°C.45°D.60°

【答案】B

【分析】作MN_LAD于N,根據(jù)平行線的性質(zhì)求出/DAB,根據(jù)角平分線的判定定理得到/MAB=，/DAB,

2

計(jì)算即可.

［解析】作MN_LAD于NZIVZB=ZC=90°□，AB〃CDZ1ZDAB=180°IJZADC=70°i

：DM平分/ADCMN±ADMC±CDD/.MN=MC

：M是BC的中點(diǎn)，；.MC=MB，MN=MB,又MNJ_ADMB±AB

/.ZMAB=-ZDAB=35°故選B

2

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)與判定，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容、正確添加輔助線是解題

的關(guān)鍵.

3.（2020?四川巴州初一期末）如圖，AB//CD,F為NBAC,NAC。的平分線的交點(diǎn)，于點(diǎn)E,

且EF=6,則AB與CD之間的距離是（）

【答案】D

【分析】過(guò)點(diǎn)尸作于點(diǎn)M，交CDF點(diǎn)N,根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得

MF=EF=FN,再根據(jù)平行線間的距離的定義解答.

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)/作MNLAB于點(diǎn)M，交CD于苴N,?.?AB//CD,；.MNLCD.

?；F為NBAC、NACD的平分線的交點(diǎn)，EF=6,

;.MF=EF=FN=6,,AB與CO之間的距離=MF+ZW=12.故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，平行線間的距離的求解，熟記性質(zhì)并作

出輔助線是解題的關(guān)鍵.

4.（2020?西安市鐵一中學(xué)初一期末）如圖，已知口43。的周長(zhǎng)是16,A/5和分別平分乙43。和//C5,

過(guò)點(diǎn)A/作8c的垂線交8c于點(diǎn)。，且又。=4,則口相。的面積是（）

【答案】C

【分析】連接4W,過(guò)/作MEL48于￡,于尸，利用角平分線的性質(zhì)可得：ME=MF=MD,

再利用三角形的面枳公式可得答案.

【解析】解：連接4W,過(guò)例作A/E_L/8于E,例尸_L/C于尸，

和A/C分別平分N4BC和NZCB,MD1BC,MD=4,：.ME^=MD=4,MF=MD=4,

二口鈉。的周長(zhǎng)是16,.../8+8C+/C=16,.;□ABC的面枳S=SAMC+SBCM+SABM

^-ACxMF+-BCxDM+-ABxME^-ACx4+-BCx4+-ABx4=2（ZC+8C+Z8）=32,

222222

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的角平分線的性質(zhì)，同時(shí)考查了三角形的高，?三角形的面積的計(jì)算，掌握以

上知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

5.（2020?廣東惠來(lái)初二期末）如圖，在RtA/8C中，/C=90。，/歷1C的平分線交BC于點(diǎn)。，C￡>=2,Q

為48上一動(dòng)點(diǎn)，則。。的最小值為（）

I:

0

C

Lf5

A.2B.2J2C.J3D.一

【答案】A

【分析】作DHLAB于H,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離垂線段最短可得DQ的最小值為力〃的長(zhǎng)，利用角平分線的

性質(zhì)可得即可求解.

【解析】解：作。于H,如圖，平分NB4C,DHLAB,DCLAC,：.DH=DC^2,

為Z8上一動(dòng)點(diǎn)，六。。的最小值為。，的長(zhǎng)，即O0的最小值為2.故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等是解

題的關(guān)鍵.

6.（2019?云南楚雄初一期末）如圖，在口相。中，C0L4B于點(diǎn)。，BE平分NABC，交.CD于點(diǎn)E，

若S"C￡=10，BC=5,則OE等于（）

A.10B.7C.5D.4

【答案】D

【分析】作EFLBC于F,根據(jù)三角形的面積公式求出EF,根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理解答即可.

【解析】作EFLBC于F,

VSABCE=10,A—XBCXEF=10,BP—X5XEF=10,解得，EF=4,

22

..?BE平分/ABC,CD±AB,EFXBC,，DE=EF=4,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵.

7.（2020?江蘇江陰初二期中）如圖，AD是1ABe的角平分線，DFDAB,垂足為F,DE=DG,OADG^OAED

的面積分別為50和39,則LJEDF的面積為（）

A.11B.5.5C.7D.3.5

【解析】作DM=DE交AC于M,作DNAC,DE=DG,DM=DE,

AD是DABC的角平分線，DFAB,ODE=DN,nDDEFLDNM,

匚匚ADG和IEJAED的面積分別為50和39,

SAMDG=SAADG-SAAMG=590-39=11,SADNM=SADEF=/SAMDG=1X11=5.5

2

8.（2020?山東東平初一期末）如圖所示，□ABC的外角NACD的平分線CP與NABC的平分線相交于點(diǎn)

P,若NBPC=36°,則NC4P=.

【答案】540

【分析】如圖（見(jiàn)解析），設(shè)NCBP=x,從而可得NABC=2x,先根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可求出

NB4C=72。，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得尸"=PN,PM=PE,從而可得=然后根據(jù)直角三

角形全等的判定定理與性質(zhì)可得ZPAN=ZPAE,最后根據(jù)平角的定義即可得.

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)P分別作于點(diǎn)M,PNLBA丁點(diǎn)N,PEJ_AC于點(diǎn)E,

設(shè)NCBP=x，則ZABC=2x,?;/BPC=36。,ZDCP=NCBP+/BPC=x+36°,

-CP是ZACD的平分線，ZACD=2ZDCP=2x+72°,

二NB4C=NACO-ZABC=2x+72。-2x=72。，

?.?BP是NABC的平分線，PMLBD，PNIBA,PM=PN,

同理可得：PM=PE，:.PN=PE,

\PN=PE

在及Q4VP和中，《，:.RtUANP=RtDAEP(HL),

PA=PA

：.ZPAN=ZPAE,即NRW=NC4P,

又APAN+ZCAP+ABAC=180°,2NC4P+72°=180°,

解得NC4尸=54°,故答案為：54°.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義與性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、直角三角形全等的判定定理與性質(zhì)等知

識(shí)點(diǎn)，通過(guò)作輔助線，利用角平分線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

題型2三角形內(nèi)心的應(yīng)用

性質(zhì)：三角形內(nèi)心到三邊距離相等

解題技巧：過(guò)內(nèi)心這個(gè)點(diǎn)，向三邊分別作垂線，利用角平分線性質(zhì)解題

1.（2020?江蘇無(wú)錫初三二模）如圖，點(diǎn)I為AABC的內(nèi)心，AB=4,AC=3,BC=2,將/ACB平移使其頂

點(diǎn)與I重合，則圖中陰影部分的周長(zhǎng)為.

【答案】4

【分析】連接AI、BI,因?yàn)槿切蔚膬?nèi)心是角平分線的交點(diǎn)，所以AI是NCAB的平分線，由平行的性質(zhì)

和等角對(duì)等邊可得：AD=DL同理BE=EI,所以圖中陰影部分的周長(zhǎng)就是邊AB的長(zhǎng).

【解析】連接AI、BL

?點(diǎn)I為AABC的內(nèi)心，，AI平分NCAB,AZCAI=ZBAI,

由平移得：AC//DI,/.ZCAI=ZAID,ZBAI=ZAID,，AD=D［，同理可得：BE=EI,

.?.△DIE的周長(zhǎng)=DE+DI+EI=DE+AD+BE=AB=4,即圖中陰影部分的周長(zhǎng)為4,故答案為：4.

【點(diǎn)睛】此題考查平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于作輔助線.

2.（2020?四川成都正興中學(xué)初二二模）已知，如圖，［JABC中，NC=90°,點(diǎn)。為口抽。的三條角平

分線的交點(diǎn)，垂直BC,OEJ_AC,OFJ_A3,點(diǎn)。、E、尸分別是垂足,且AB=10cm,=8cm,

CA-6cm,則。尸=.

【答案】2cm

【分析】連接04、08、OC,如圖，利用角平分線的性質(zhì)8=OE=O尸，設(shè)。尸=%，則OD=QE=x,

根據(jù)三角形面積公式，利用SMOC+IMC+得到丸6+（況8+g%U0=g*6*8,然后解方程.

【解析】解：連接。4、OB、OC，如圖，

???點(diǎn)O為八鉆。的三條角平分線的交點(diǎn)，8垂直BC,OE1AC，OF上AB,:.OD=OE=OF,

設(shè)OE=x,則OD=OE=x,

+

SM0C+S^OC+SM0B=SMCB''''+^LIO=1X6X8,解得X=2,

即的長(zhǎng)為2cm.故答案為：20n.

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.也考查了三角形面積公式.

4.（2019?偃師市實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二月考）如圖，直線a,h,c表示三條公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它

到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址有處.（填數(shù)字）

【答案】4

【分析】由三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，可得三角形內(nèi)角平分線的交點(diǎn)滿足條件；

然后利用角平分線的性質(zhì)，可證得三角形兩條外角平分線的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，這樣的點(diǎn)有3個(gè),

可得可供選擇的地址有4個(gè).

【解析】VAABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，

...△ABC內(nèi)角平分線的交點(diǎn)滿足條件：如圖：點(diǎn)P是AABC兩條外角平分線的交點(diǎn)，

過(guò)點(diǎn)P作PE_LAB,PDXBC,PF±AC,APE=PF,PF=PD,/.PE=PF=PD,

...點(diǎn)P到AABC的三邊的距離相等，

/.△ABC兩條外角平分線的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，滿足這條件的點(diǎn)有3個(gè)；

綜上，到三條公路的距離相等的點(diǎn)有4個(gè)，.?.可供選擇的地址有4個(gè).故答案是：4.

【點(diǎn)睛】考查了角平分線的性質(zhì).注意掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)

用，小心別漏解.

5.（2020?武漢市光谷實(shí)驗(yàn)中學(xué)初二月考）在直角AABC中，已知/ACB=90。，AB=13,AC=12,BC=5.在

△ABC的內(nèi)部找一點(diǎn)P,使得P到4ACB的三邊的距離相等，則這個(gè)距離是.

【答案】2

【分析】連接PC、PB、PA,作PDJ_AB于D,PELAC于E,PF_LBC于F,根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算

即可.

【解析】連接PC、PB、PA,作PD_LAB于D,PE_LAC于E,PF_LBC于F,由題意得，PE=PD=PF,

11II

SAAPC+SAAPB+SABPLSAACB,??一AC,PEH—AB,PDH—BC,PF=—AC,BC,

2222

即LX12?PD+』X13?PD+1X5?PD=1X5X12,解得，PD=2,故答案為：2.

2222

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的面積計(jì)算，掌握三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵.

6.（2019?安徽馬鞍山初二期末）如圖，口ABC的三條角平分線交于點(diǎn)。。到Z8的距離為3,且口/3。的

周長(zhǎng)為18,則CA3C的面積為□

【答案】27

【分析】作OD_LABOEACJOFBC,垂足分別為DE、F,將AABC的面積分為：SAABC=SAOBC+SAOAC+SA°AB,

而三個(gè)小三角形的高0D=0E=0F,它們的底邊和就是aABC的周長(zhǎng)，可計(jì)算aABC的面積.

【解析】如圖□作0D_LABOEACHOFBC,垂足分別為DDEF

VOB,0C分別平分NABC和/ACB,匚OD=OE=OF=3口

1111I

SAABC=SAOBC+SAOAC+SAOAB=—AB*ODH—AC,OEH—BC*OF=—ODAB+BC+AC=—X3X18=27

22222

DB

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積；利用三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)，將三角形面

積分為三個(gè)小三角形面積求和，發(fā)現(xiàn)并利用三個(gè)小三角形等高是正確解答本題的關(guān)鍵.

題型3.角平分線定理的應(yīng)用（補(bǔ)充）

三角形的角平分線定理：如圖所示，在AA3C中，AO是它的角平分線.則：SMBD:SMCD=AB:AC

證明：作DE_LAB,DF1AC,垂足為E、F,：AD平分NBAC,；.DE=DF,

SAABD：SAACD=(—xABxDE)：(—xACXDF)=AB：AC.

22

1.（2020?全國(guó)初二課時(shí)練習(xí)）如圖，在口43。中，4。是NS4C的平分線，AB=6cm,AC=8cm,則

BD:CD=.

【分析】根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得點(diǎn)D到AB、AC的距離相等，再根據(jù)等高的三角形

的面積的比等于底邊的比求解.

【解析】?.?AD是N84C的平分線，，點(diǎn)。到4C的距離相等，??.SAB。：SACO=6：8=3:4.

過(guò)點(diǎn)A作AE_LBC于點(diǎn)E,SABD=—BD-AE，SACD=\cD-AE,

/\DLf2/iCix2

.?.8。：CO=S"C:SA。=3：4.故答案為：3:4.

A

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，等高的三角形的面積的比等于底邊的比，

熟記性質(zhì)與等高的三角形的面積的關(guān)