第12講帶點(diǎn)粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)（解析版）

2020年強(qiáng)基計(jì)劃物理專題講解（核心素養(yǎng)提升）帶點(diǎn)粒子在復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)目錄TOC\o"1-3"\h\u知識(shí)精講1一.洛倫茲力1二.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律2三．復(fù)合場(chǎng)中離子的運(yùn)動(dòng)31．電場(chǎng)和磁場(chǎng)區(qū)域獨(dú)立32．空間區(qū)域同時(shí)存在電場(chǎng)和磁場(chǎng)3四．應(yīng)用51.質(zhì)譜儀52.磁流體發(fā)電機(jī)53.回旋加速器6典型例題6知識(shí)精講一.洛倫茲力載流導(dǎo)線所受的安培力，我們可看為是磁場(chǎng)作用給運(yùn)動(dòng)電荷即自由電子的力，經(jīng)自由電子與導(dǎo)體晶格的碰撞而傳遞給導(dǎo)線的。根據(jù)安培定律，而電流強(qiáng)度與運(yùn)動(dòng)電荷有關(guān)系，角既是電流元與B的夾角，也可視為帶電粒子的速度與之間的夾角，長(zhǎng)導(dǎo)線中有粒子數(shù)，則每個(gè)電子受到的力即洛倫茲力為洛倫茲力總是與粒子速度垂直，因此洛倫茲力不作功，不能改變運(yùn)動(dòng)電荷速度的大小，只能改變速度的方向，使路徑發(fā)生彎曲。洛倫茲力的方向從圖3-4-1可以看出，它一定與磁場(chǎng)(B)的方向垂直，也與粒子運(yùn)動(dòng)()方向垂直，即與、B所在的平面垂直，具體方向可用左手定則判定。但應(yīng)注意，這里所說(shuō)的粒子運(yùn)動(dòng)方向是指正電荷運(yùn)動(dòng)的方向，它恰與負(fù)電荷沿相反方向運(yùn)動(dòng)等效。二.帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律與粒子的初始狀態(tài)有關(guān)具體如下：如果帶電粒子原來(lái)靜止，它即使在磁場(chǎng)中也不會(huì)受洛倫磁力的作用，因而保持靜止。如果帶電粒子運(yùn)動(dòng)的方向恰與磁場(chǎng)方向在一條直線上，該粒子仍不受洛倫磁力的作用，粒子就以這個(gè)速度在磁場(chǎng)中做勻速直線運(yùn)動(dòng)。帶電粒子速度方向與磁場(chǎng)方向垂直，帶電粒子在垂直于磁場(chǎng)方向的平面內(nèi)以入射速度作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的四個(gè)基本公式。(1)向心力公式：(2)軌道半徑公式：(3)周期、頻率和角頻率公式，即：，，(4)動(dòng)能公式：如圖所示，在洛倫茲力作用下，一個(gè)作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的粒子，不論沿順時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)還是沿逆時(shí)針?lè)较蜻\(yùn)動(dòng)，從A點(diǎn)到B點(diǎn)，均具有下述特點(diǎn)：(1)軌道圓心(O)總是位于A、B兩點(diǎn)洛倫茲力(f)的交點(diǎn)上或AB弦的中垂線與任一個(gè)f的交點(diǎn)上。(2)粒子的速度偏向角等于回旋角，并等于AB弦與切線的夾角(弦切角)的兩倍，即。磁場(chǎng)中帶電粒子運(yùn)動(dòng)的方向一般是任意的，但任何一個(gè)帶電粒子運(yùn)動(dòng)的速度()都可以在垂直于磁場(chǎng)方向和平行于磁場(chǎng)方向進(jìn)行分解，得到和兩個(gè)分速度。根據(jù)運(yùn)動(dòng)的獨(dú)立性可知，這樣的帶電粒子一方面以在磁場(chǎng)方向上作勻速運(yùn)動(dòng)，一方面又在垂直于磁場(chǎng)的方向上作速率為的勻速圓周運(yùn)動(dòng)。實(shí)際上粒子作螺旋線運(yùn)動(dòng)(如圖)，這種螺旋線運(yùn)動(dòng)的周期和螺距大小讀者自己分析并不難解決。其螺旋運(yùn)動(dòng)的周期，其運(yùn)動(dòng)規(guī)律：螺旋運(yùn)動(dòng)回旋半徑：螺旋運(yùn)動(dòng)螺距：三．復(fù)合場(chǎng)中離子的運(yùn)動(dòng)1．電場(chǎng)和磁場(chǎng)區(qū)域獨(dú)立磁場(chǎng)與電場(chǎng)不同，磁場(chǎng)中，洛倫磁力對(duì)運(yùn)動(dòng)電荷不做功，只改變帶電粒子速度方向，所以在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中帶電粒子的運(yùn)動(dòng)主要表現(xiàn)為：勻速圓周運(yùn)動(dòng)、螺旋運(yùn)動(dòng)、勻速直線運(yùn)動(dòng)。而電場(chǎng)中，電荷受到電場(chǎng)力作用，電場(chǎng)力可能對(duì)電荷做功，因而改變速度大小和方向，但電場(chǎng)是保守場(chǎng)，電場(chǎng)力做功與運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)。處理獨(dú)立的電場(chǎng)和磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)電荷問(wèn)題，是分開(kāi)獨(dú)立處理。例：如圖所示，在平面內(nèi)，y＞O區(qū)域有勻強(qiáng)電場(chǎng)，方向沿-y方向，大小為E，y＜O區(qū)域有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向垂直紙面向里，大小為B，一帶電+q、質(zhì)量為m的粒子從y軸上一點(diǎn)P由靜止釋放，要求粒子能經(jīng)過(guò)x軸上Q點(diǎn)，Q坐標(biāo)為(L，O)，試求粒子最初釋放點(diǎn)P的坐標(biāo)。分析：解決上述問(wèn)題關(guān)鍵是明確帶電粒子的受力和運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)。從y軸上釋放后，只受電場(chǎng)力加速做直線運(yùn)動(dòng)，從O點(diǎn)射入磁場(chǎng)，然后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，半圈后可能恰好擊中Q點(diǎn)，也可能返回電場(chǎng)中，再減速、加速做直線運(yùn)動(dòng)，然后又返回磁場(chǎng)中，再經(jīng)半圓有可能擊中Q點(diǎn)。那么擊中Q點(diǎn)應(yīng)滿足的條件。2．空間區(qū)域同時(shí)存在電場(chǎng)和磁場(chǎng)（1）電場(chǎng)和磁場(chǎng)正交如圖所示，空間存在著正交的電場(chǎng)和磁場(chǎng)區(qū)域，電場(chǎng)平行于紙面平面向下，大小為E，磁場(chǎng)垂直于紙面向內(nèi)，磁感強(qiáng)度為B，一帶電粒子以初速進(jìn)入磁場(chǎng)，，，設(shè)粒子電量+q，則受力：洛=方向向上，F(xiàn)電=qE方向向下。若滿足：=qE=E/B則帶電粒子將受平衡力作用做勻速直線運(yùn)動(dòng)，這是一個(gè)速度選擇器模型。若粒子進(jìn)入正交電磁場(chǎng)速度，則可將分解為，粒子的運(yùn)動(dòng)可看成是與兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，因而粒子受到的洛倫茲力可看成是與的合力，而與電場(chǎng)力qE平衡，粒子在電場(chǎng)中所受合力為，結(jié)果粒子的運(yùn)動(dòng)是以的勻速直線運(yùn)動(dòng)和以速度所做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。例：如圖正交電磁場(chǎng)中，質(zhì)量m、帶電量+q粒子由一點(diǎn)P靜止釋放，分析它的運(yùn)動(dòng)。分析：粒子初速為零釋放，它的運(yùn)動(dòng)軌跡是如圖3-4-10所示的周期性的曲線。初速為零，亦可看成是向右的與向左-兩個(gè)運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，其中大小為：=E/B所以+q粒子可看成是向右勻速直線運(yùn)動(dòng)和逆時(shí)針的勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)。電場(chǎng)方向上向下最大位移一個(gè)周期向右移動(dòng)距離L即PP之距為代入，得：最低點(diǎn)Q點(diǎn)速度（2）電場(chǎng)和磁場(chǎng)平行如圖所示的空間區(qū)域有相互平行的電場(chǎng)和磁場(chǎng)E、B一帶電+q粒子以初速射入場(chǎng)區(qū)(或B)。則帶電粒子在磁場(chǎng)力作用下將做圓周運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力作用下向上做加速運(yùn)動(dòng)，由于向上運(yùn)動(dòng)速度分量始終與B平行，故粒子受洛倫磁力大小恒為，結(jié)果粒子運(yùn)動(dòng)是垂直于E(或B)平面的半徑R=m/qB的勻速圓周運(yùn)動(dòng)和沿E方向勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，即一個(gè)螺距逐漸增大的螺旋運(yùn)動(dòng)。（3）電場(chǎng)力、洛倫磁力都與方向垂直，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。例如電子繞原子核做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，電子質(zhì)量m，電量為e，現(xiàn)在垂直軌道平面方向加一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度大小為B，而電子軌道半徑不變，已知電場(chǎng)力3倍與洛倫磁力，試確定電子的角速度。在這里電子繞核旋轉(zhuǎn)，電場(chǎng)力、洛倫磁力提供運(yùn)動(dòng)所需向心力，即電+洛=而f洛可能指向圓心，也可能沿半徑向外的，因而可能是或四．應(yīng)用1.質(zhì)譜儀密粒根油滴實(shí)驗(yàn)可測(cè)定帶電粒子的電量，而質(zhì)譜儀能測(cè)定帶電粒子荷質(zhì)比q/m，兩者結(jié)合可測(cè)定帶電粒子質(zhì)量。如圖為質(zhì)譜儀的原理圖。圖中粒子源產(chǎn)生質(zhì)量m、電量q的粒子，由于初始速度很小，可以看做是靜止的。粒子經(jīng)加速電壓U后，速度為，由動(dòng)能定理：帶電粒子進(jìn)入磁感強(qiáng)度為B勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子運(yùn)動(dòng)半圈后打在P點(diǎn)的照相底片上，測(cè)得，則半徑，根據(jù)向心力公式得2.磁流體發(fā)電機(jī)磁流體發(fā)電機(jī)是一種不依靠機(jī)械傳動(dòng)，而直接把熱能轉(zhuǎn)變?yōu)殡娔艿难b置。如圖所示為磁流體發(fā)電機(jī)原理圖。在距離為d的兩平行金屬板間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感強(qiáng)度為B。從左側(cè)有高速運(yùn)動(dòng)的等離子體(含有相等數(shù)量正、負(fù)離子)射入其間，離子在洛倫磁力作用下發(fā)生偏轉(zhuǎn)，正離子向上偏、負(fù)離子向下偏，結(jié)果M板帶正電，N板帶負(fù)電，使M、N板成為能提供正、負(fù)電荷的電源兩極，隨著電荷的聚集，兩板間產(chǎn)生電場(chǎng)阻礙電荷偏轉(zhuǎn)，最終穩(wěn)定時(shí)，射入兩板間離子所受洛倫磁力與電場(chǎng)力平衡兩板間場(chǎng)強(qiáng)，兩板間電勢(shì)差為電鍵K斷開(kāi)時(shí)，此電勢(shì)差即為磁流體發(fā)電機(jī)電動(dòng)勢(shì)，即：當(dāng)電鍵K閉合時(shí)，M、N板放電，對(duì)外做功，此時(shí)兩板間電勢(shì)差小于電動(dòng)勢(shì)。.3.回旋加速器回旋加速器是利用帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)周期與速度無(wú)關(guān)的原理，實(shí)現(xiàn)對(duì)粒子反復(fù)加速的裝置。如圖所示，回旋加速器核心部分是兩個(gè)D型金屬扁盒，兩D型盒之間留有狹縫，在兩D型盒之間加高頻交變電壓，于是狹縫間形成交變電場(chǎng)，由于電屏蔽，D型金屬盒內(nèi)電場(chǎng)幾乎為零。D型盒置于真空容器中，整個(gè)裝置又放在巨大電磁鐵兩極之間。磁場(chǎng)垂直于D型盒。狹縫中心處有粒子源，當(dāng)發(fā)出帶電粒子首先通過(guò)狹縫被加速，調(diào)節(jié)高頻交變電壓變化周期與粒子在D型盒中運(yùn)動(dòng)周期相等，使粒子每次通過(guò)狹縫時(shí)都被電場(chǎng)加速，經(jīng)過(guò)反復(fù)加速，粒子速度越來(lái)越大，回旋半徑也越來(lái)越大，趨近盒邊緣時(shí)粒子加速達(dá)到最大速度引出，如圖．粒子在磁場(chǎng)中回旋時(shí)有：粒子速度最大時(shí)r=R，R為D型盒半徑，所以粒子達(dá)最大速度為最大動(dòng)能，典型例題1．(復(fù)旦大學(xué)自主招生)把動(dòng)能和速度方向相同的質(zhì)子和α粒子分離開(kāi)，如果使用勻強(qiáng)電場(chǎng)及勻強(qiáng)磁場(chǎng)，可行的方法是()A．只能用電場(chǎng) B．只能用磁場(chǎng)C．電場(chǎng)和磁場(chǎng)都可以 D．電場(chǎng)和磁場(chǎng)都不行【答案】A【解析】帶電粒子垂直電場(chǎng)方向射入勻強(qiáng)電場(chǎng)中，利用類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，帶電粒子在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)距離y＝eq\f(1,2)at2＝eq\f(1,2)eq\f(qE,m)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(L,v)))2＝eq\f(qEL2,2mv2)。由于質(zhì)子和α粒子帶電量q不同，在電場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)距離y不同，可以把動(dòng)能和速度方向相同的質(zhì)子和α粒子分離開(kāi)，選項(xiàng)A正確。帶電粒子垂直磁場(chǎng)方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，利用洛倫茲力等于向心力，qvB＝meq\f(v2,R)，解得R＝eq\f(mv,qB)＝eq\f(\r(2mEk),qB)。而質(zhì)子的eq\f(\r(m),q)與α粒子的eq\f(\r(m),q)相等，所以利用勻強(qiáng)磁場(chǎng)不能把動(dòng)能和速度方向相同的質(zhì)子和α粒子分離開(kāi)，選項(xiàng)B、C、D錯(cuò)誤。2．(清華五校自主招生)如圖，圓形區(qū)域內(nèi)有一垂直紙面的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，P為磁場(chǎng)邊界上的一點(diǎn)。有無(wú)數(shù)帶有同樣電荷、具有同樣質(zhì)量的粒子在紙面內(nèi)沿各個(gè)方向以同樣的速率通過(guò)P點(diǎn)進(jìn)入磁場(chǎng)。這些粒子射出邊界的位置均處于邊界的某一段圓弧上，這段圓弧的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的eq\f(1,3)。將磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小從原來(lái)的B1變?yōu)锽2，結(jié)果相應(yīng)的弧長(zhǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的一半，則eq\f(B2,B1)等于()A．2 B．3C.eq\r(2)D.eq\r(3)【答案】D【解析】設(shè)圓形區(qū)域磁場(chǎng)的半徑為r，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B1時(shí)，從P點(diǎn)入射的粒子射出磁場(chǎng)時(shí)與磁場(chǎng)邊界的最遠(yuǎn)交點(diǎn)為M(見(jiàn)圖甲)，由題意知∠POM＝120°，則該帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡是以PM為直徑的圓。由幾何關(guān)系得軌跡圓半徑為R1＝eq\f(\r(3),2)r，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B2時(shí)，從P點(diǎn)入射的粒子射出磁場(chǎng)時(shí)與磁場(chǎng)邊界的最遠(yuǎn)交點(diǎn)為N(見(jiàn)圖乙)，由題意知∠PON＝60°，由幾何關(guān)系得軌跡圓半徑為R2＝eq\f(r,2)，R＝eq\f(mv,qB)∝eq\f(1,B)，所以eq\f(B2,B1)＝eq\f(R1,R2)＝eq\r(3)，選項(xiàng)D正確。3．(“北約”自主招生)如圖所示，在一豎直平面內(nèi)有水平勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B的方向垂直該豎直平面朝里。豎直平面中a、b兩點(diǎn)在同一水平線上，兩點(diǎn)相距l(xiāng)。帶電量q>0，質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)P，以初速度v從a對(duì)準(zhǔn)b射出。略去空氣阻力，不考慮P與地面接觸的可能性，設(shè)定q、m和B均為不可改的給定量。(1)若無(wú)論l取什么值，均可使P經(jīng)直線運(yùn)動(dòng)通過(guò)b點(diǎn)，試問(wèn)v應(yīng)取什么值？(2)若v為(1)問(wèn)可取值之外的任意值，則l取哪些值，可使P必定會(huì)經(jīng)曲線運(yùn)動(dòng)通過(guò)b點(diǎn)？(3)對(duì)每一個(gè)滿足(2)問(wèn)要求的l值，計(jì)算各種可能的曲線運(yùn)動(dòng)對(duì)應(yīng)的P從a到b所經(jīng)過(guò)的時(shí)間。(4)對(duì)每一個(gè)滿足(2)問(wèn)要求的l值，試問(wèn)P能否從a靜止釋放后也可以通過(guò)b點(diǎn)？若能，再求P在而后運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可達(dá)到的最大運(yùn)動(dòng)速率vmax?！窘馕觥?1)要使P經(jīng)直線運(yùn)動(dòng)通過(guò)b點(diǎn)，必有：mg＝qvB，解得：v＝eq\f(mg,qB)。 ①(2)設(shè)質(zhì)點(diǎn)速度為v＋Δv，質(zhì)點(diǎn)所受洛倫茲力為q(v＋Δv)B，與重力合力為q(v＋Δv)B－mg＝qΔvB，所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可視為沿ab連線方向做速度為v的勻速直線運(yùn)動(dòng)和速度為Δv的圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，要使質(zhì)點(diǎn)通過(guò)b點(diǎn)，t＝nT，②T＝eq\f(2πm,qB)， ③l＝vt， ④聯(lián)立①②③④解得：l＝eq\f(2πnm2g,q2B2)(n＝1,2,3,4，…)。⑤(3)由②③解得：t＝eq\f(2πnm,qB)(n＝1,2,3,4，…)。(4)質(zhì)點(diǎn)P從a靜止釋放后的運(yùn)動(dòng)可視為沿水平方向速度v＝eq\f(mg,qB)的勻速直線運(yùn)動(dòng)和沿反方向的線速度v＝eq\f(mg,qB)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，一個(gè)周期質(zhì)點(diǎn)前進(jìn)距離L＝vT＝eq\f(mg,qB)·eq\f(2πm,qB)＝eq\f(2πm2g,q2B2)。所以P從a靜止釋放后可以通過(guò)b點(diǎn)。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)運(yùn)動(dòng)速率最大，最大運(yùn)動(dòng)速率vmax＝2v＝eq\f(2mg,qB)?！敬鸢浮?1)eq\f(mg,qB)(2)eq\f(2πnm2g,q2B2)(n＝1,2,3,4，…)(3)eq\f(2πnm,qB)(n＝1,2,3,4，…)(4)eq\f(2mg,qB)4．(“華約”自主招生)如圖所示，在xOy平面內(nèi)有磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，其中x∈(0，a)內(nèi)有磁場(chǎng)方向垂直xOy平面向里，在x∈(a，∞)內(nèi)有磁場(chǎng)方向垂直xOy平面向外，在x∈(－∞，0)內(nèi)無(wú)磁場(chǎng)。一個(gè)帶正電q、質(zhì)量為m的粒子(粒子重力不計(jì))在x＝0處，以速度v0沿x軸正方向射入磁場(chǎng)。(1)若v0未知，但粒子做圓運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r＝eq\r(2)a，求粒子與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)。(2)若無(wú)(1)中r＝eq\r(2)a的條件限制，粒子的初速度仍為v0(已知)，問(wèn)粒子回到原點(diǎn)O需要使a為何值？【解析】(1)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)其軌道半徑為R，其在第一象限的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示。此軌跡由兩段圓弧組成，圓心分別在C和C′處，軌跡與x軸交點(diǎn)為P。由對(duì)稱性可知C′在x＝2a直線上。設(shè)此直線與x軸交點(diǎn)為D，P點(diǎn)的x坐標(biāo)為xP＝2a＋DP。過(guò)兩段圓弧的連接點(diǎn)作平行于x軸的直線EF，則DF＝R－eq\r(R2－a2)，C′F＝eq\r(R2－a2)，C′D＝C′F－DF，DP＝eq\r(R2－C′D2)由此可得P點(diǎn)的x坐標(biāo)為xP＝2a＋2eq\r(R\r(R2－a2)－R2－a2)，代入題給條件得：xP＝2(1＋eq\r(\r(2)－1))a。(2)若要求帶電粒子能夠返回原點(diǎn)，由對(duì)稱性，其運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，這時(shí)C′在x軸上。設(shè)∠CC′O＝α，粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，由幾何關(guān)系得：α＝eq\f(π,6)軌道半徑r＝eq\f(a,cosα)＝eq\f(2\r(3),3)a。設(shè)粒子入射速度為v0，由牛頓第二定律和洛倫茲力公式得，qv0B＝eq\f(mv02,r)，解得a＝eq\f(\r(3)mv0,2qB)?！敬鸢浮?1)xP＝2(1＋eq\r(\r(2)－1))a(2)eq\f(\r(3)mv0,2qB)5.（28屆預(yù)賽）圖中坐標(biāo)原點(diǎn)O(0,0）處有一帶電粒子源，向y≥0一側(cè)沿Oxy平面內(nèi)的各個(gè)不同方向發(fā)射帶正電的粒子，粒子的速率都是v，質(zhì)量均為m，電荷量均為q．有人設(shè)計(jì)了一方向垂直于Oxy平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B的均勻磁場(chǎng)區(qū)域，使上述所有帶電粒子從該磁場(chǎng)區(qū)域的邊界射出時(shí)，均能沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)．試求出此邊界線的方程，并畫(huà)出此邊界線的示意圖．參考解答：先設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直xy平面向里，且無(wú)邊界．考察從粒子源發(fā)出的速率為v、方向與x軸夾角為θ的粒子，在磁場(chǎng)的洛侖茲力作用下粒子做圓周運(yùn)動(dòng)，圓軌道經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，且與速度方向相切，若圓軌道的半徑為R，有（1）得(2)圓軌道的圓心O’在過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O與速度方向垂直的直線上，至原點(diǎn)的距離為R，如圖1所示．通過(guò)圓心O’作平行于y軸的直線與圓軌道交于P點(diǎn)，粒子運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)時(shí)其速度方向恰好是沿x軸正方向，故P點(diǎn)就在磁場(chǎng)區(qū)域的邊界上．對(duì)于不同人射方向的粒子，對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的位置不同，所有這些P點(diǎn)的連線就是所求磁場(chǎng)區(qū)域的邊界線．P點(diǎn)的坐標(biāo)為x＝—Rsinθ(3)y＝一R+Rcosθ(4)這就是磁場(chǎng)區(qū)域邊界的參數(shù)方程，消去參數(shù)θ，得x2+(y+R)2=R2(5)由（2）、（5）式得(6)這是半徑為R圓心O’’的坐標(biāo)為（0，一R)的圓，作為題所要求的磁場(chǎng)區(qū)域的邊界線，應(yīng)是如圖2所示的半個(gè)圓周，故磁場(chǎng)區(qū)域的邊界線的方程為(7)若磁場(chǎng)方向垂直于xy面向外，則磁場(chǎng)的邊界線為如圖3示的半圓，磁場(chǎng)區(qū)域的邊界線的方程為x2+(y—R)2=R2（8)或（9）證明同前6.（18屆預(yù)賽）如圖預(yù)18－7所示，在半徑為的圓柱空間中（圖中圓為其橫截面）充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為的均勻磁場(chǎng)，其方向平行于軸線遠(yuǎn)離讀者．在圓柱空間中垂直軸線平面內(nèi)固定放置一絕緣材料制成的邊長(zhǎng)為的剛性等邊三角形框架，其中心位于圓柱的軸線上．邊上點(diǎn)（）處有一發(fā)射帶電粒子的源，發(fā)射粒子的方向皆在圖預(yù)18-7中截面內(nèi)且垂直于邊向下．發(fā)射粒子的電量皆為（＞0），質(zhì)量皆為，但速度有各種不同的數(shù)值．若這些粒子與三角形框架的碰撞均為完全彈性碰撞，并要求每一次碰撞時(shí)速度方向垂直于被碰的邊．試問(wèn)：1．帶電粒子速度的大小取哪些數(shù)值時(shí)可使點(diǎn)發(fā)出的粒子最終又回到點(diǎn)？2.這些粒子中，回到點(diǎn)所用的最短時(shí)間是多少？帶電粒子（以下簡(jiǎn)稱粒子）從點(diǎn)垂直于邊以速度射出后，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其圓心一定位于邊上，其半徑可由下式求得，為（1）1.要求此粒子每次與的