考研網(wǎng)804材料力學前面一章我們利用分離體的平衡條件給出了求解靜定桿件系內(nèi)力

前面一章我們利用分離體的平衡條件，給出了求解靜定桿件系的內(nèi)力的方法。桿件截面上的內(nèi)力是截面上分布力的合力。一般情況下，截面上力的分布是不均勻的。就是說，不僅內(nèi)力是軸向坐標x為了分析結(jié)構(gòu)的強度和破壞，僅知道“截面”的位置還是不夠的，須進一步確定截面上應力處于臨界狀態(tài)的“點”。為了研究材料內(nèi)部各點的受力狀態(tài)和變形狀態(tài)，必須研究各點處的應力和應變。這一章的任務是推導應力分量隨坐標變換時的變換公式；推導應變與位移的幾何關系以及應變分量隨坐標變換時的變換。以便深入地理解應力和應變的概念?！?－13－1aoy－z坐標平面設o點的應力為p，將它以矢量形式表示為p＝pxipyjpz xy= xz= 每一個應力分量有兩個下標，其中第一個下標用來指明應力作用的面，第二個下標指明應力分量所指的方向。應力分量xx為正應力。第一個下標x表示作用面為x面，第二個下y

o

pxxyzx

o（3－）3－2面體的每一個側(cè)面都有三個應力分量：一個正應力分量，兩個切應力分量。假設o于微單元的中心。如果這個微單元足夠小，那么單元內(nèi)應力可以認為是均勻的；同時可以認為，圖3－2中AD面的三個應力分量就是通過o點的正x面上的應力分量，Hox圖 的切應力xy，是作用在負x面上的應力，取向與y軸相反，所以也是正的切應力。可以將它們看作是通過o點的正x面和負x面y,yx,

GC為,, xz

Byx

yz x面，yz面上的三個應力分量。然而這九個分量不全獨立，例如，考慮對線段EF的力矩平衡：mEF0（xydydz)dx(yxyxzxzy

x,y,z,xy,yz,zx。

§3-2在許多場合下，受力物體的應力狀況比圖3－2所表示的要簡單。一個典型的例子是3－3所示薄板，所有的力都作用在板的中面內(nèi)。如果將板的中面作為xy平面，由于yx量沿厚度z方向是常數(shù)，也就是應力沿z方向均勻分布。由于薄板的表面定理可知xzzxyzzy0。薄板z=03－4a所示為這種狀態(tài)下的微單元，只有應力分量yx零。四個應力分量可以寫成如下的矩 圖 圖 xy y這種受力狀態(tài)稱為平面應力狀態(tài)（state nestress）。根據(jù)切應力互等定理，yx應力可以用兩維的投影圖表示（3－4b）。對于平面應力，如果坐標面上的應力分量xy和xy已知，如何求得任意斜截面上的3－5所示，它沿x和y軸的邊長分別為dx和dy，z方向的厚度為1。設AC為外法線方向與x軸成夾角的截面，逆時針方向的轉(zhuǎn)角為正。建立一個新的坐標系ox'y'，使x'軸與斜截面的外法向一致，即ox'軸與ox軸的夾角為。截取三角形棱柱體單元ABC為分離體。利用x'和y'方向的力的平衡條件，可以建立關系：Fy'x'y'AC1(xAB1)sin(xyAB1)x'xcos2ysin22xysin ()sincos(cos2sin2 x'y 'y'xsin2ycos22xysin A

A B

C

x' T

y' y x'y' xy l 2mlT l 2ml ml l2m2lcos mcos(90o)

xyxycos2 xysin

xysin2

xyxycos2

上式建立了任意斜截面上應力分量x'y'，x'y'yx那么任意方向的截面上的應力分量都可以求出。上式所表示的應力分量隨坐標變換而變化的規(guī)律表明，應力是張量（tnor）。矢量也可以用它的分量隨坐標變換而變化的規(guī)律來定義。事實上，矢量是一階張量，應力是二階張量。附錄A以作為補充知識選讀。x'y'xyconstan 用90代替式（3－9b）中的，可以發(fā)現(xiàn)，在與x’0o=-，就是說，相互垂直的截面上的切應力符號相反。這是否與切應力互等定律相？事實上，是以90o是以9的坐標系里的切應力，它們不屬于同一坐標系。所以這兩個量符號相反與切應力互等定律不。dx'()sin22cos2

xysin2 xycos2將上式與式（3－9b）中x’y’的表達式相比較，可以發(fā)現(xiàn)，上式左邊正好等于x’y’。所以可以推斷，使正應力取極值的截面上切應力為零。切應力為零的截面定義為主平面（principalne）。主平面外法向?qū)妮S稱為應軸（principalaxisforstress）。將平面應力狀態(tài)的最大正應力和最小正應力記為I和II。它們所對應的截面就是主平面。主平面上的正應力稱為主應力（principalstress）。上式還可以用以確定主平面法向與x軸

x

1或 02arctan

x(xy)222＝0(xy)222I,IIxy2

dx'y'()cos22sin2

xtan2S

(xy)2(xy)222I,II

x2

與 2290o，或者 平面應力狀態(tài)的單元體，z面上的正應力為零，切應力也為零。所以z而且面上的主應力為零。從三向應力狀態(tài)來考慮，應該有三個主應力。我們規(guī)定三個主應力以代數(shù)值的大小排列，依次記為1，2，3。如果式（3－2）求出的I,II均為＝I，2＝II，3＝0I>0,II<0,1＝3－1已知平面應力單元體的x10MPa，y2MPaxy3MPa（3－7a），求相對于x－y坐標面順時針方向旋轉(zhuǎn)25的x－y坐標面上的應力。計算主應力，并求主233

x

102sin(50o)(3)cos(50o)2.67MPa

根據(jù)式 x x ( 根據(jù)式

)xy2

tan22(3) 226.6, 13.3, 3－7c所示為主應力大小和方向。主應力為1＝10.71MPa，2＝0，3＝－2.71MPa。和(xy)2(xy)222

)(3)

10＋2 x10＋2 4.0MPa2x'2cos2()4sin

xsin2o ，cos2o ( 4

()24

2cos2( ) x由上式可見，當xy時，正值的cos2ox'的二階導數(shù)小于零，這表明22o2時（2o在I,IV象限時）xycos2使的二階導數(shù)大于零，這表明 2 x §3-5平面應力的表由式（3－9）表示的應力變換，也可以用圖解法進行。假定某點的平面應力狀態(tài)如3－6xx軸的夾角為。式（3－9b）可以寫成

xyxycos2 xysin xysin2x'y

xycos y 2 y x'y yxya2

Rx2y2x2y2 1,建立－坐標系，坐標向下為正（3－8）2,確定圓心的坐標為o(a,0)。確定坐標為X(x，xy的點X。以o為圓心，oX為半徑作圓，這個圓稱為應力圓（Mohr'scircleforstress）。X點的坐標代表x面上的兩個應3,將半徑oX2度，在圓應力和切應力

yRcos(2)

yR(coscos2sinsinx

x因為Rcos ，Rsinxy，所以得x

y

ycos2

x x’面上的切應力一致。可見單元體上夾角為的兩個截面上的正應力和2的兩個點的橫坐標和縱坐標值。應力圓上點的坐標4,半徑oX向反方向延伸，與圓周交于點Y(y，-xy)，因為它與X點的圓心角為180o，所以’(3－23－9ax=40MPay20MPa((xy)222

a

x2

4020((4020)221

52.4322 45, )arctan(1.0) 22.5, x 2xy2xy22(402 xy2,2 22C(xy2 22(402 (402 從應力圓上X點逆時針轉(zhuǎn)45到達軸與應力圓的交點X’，該點的橫坐標就是主應力I

x x

o

圖 從Y45到達Y’點，該點的橫坐標就是主應力II。在單元體上從正x22.5到達I的主平面，IaR52.43MPa，順時針轉(zhuǎn)67.5到達II的主平面，IaR32.43MPaIR302MPa最大切應力所在截面的正應力為x"a10MPa y

例－3－0（）應力狀態(tài)；（b）純剪切應力狀態(tài)；（c）拉（壓）剪復合應力狀態(tài)。分別作出它們的應力圓，求出主應力的大小和截面方向，以及最大切應力。1，單向拉伸應力狀態(tài)，已知x=，y=xy=0,主應力1=x=，2=3=0 X’(,

X’(1,X’(/2,yxx

X(0,

x

x 面，主應力為1=，2=0，3=。()221I()22 2 II 223

，21 1arctan (x(x2)22

x (()22dadaaadcb

B(50,體，已知＝50（MPa），斜面a上不受力。求切應力以及主應力的大小和方向。b面，相應于應力圓上從A點逆時針轉(zhuǎn)90o的點B（50，50）?？梢奲面上切應力=（MPa）。從應力圓可知主平面為a面以及與a面垂直的d截面，主應力1=2§3-6在彈性力學中，應力分量的數(shù)目總是多于平衡方程的數(shù)目，彈性力學問題需要引進幾何協(xié)調(diào)方程才能求解。從這個意義上講應力分析是靜不定問題。然而，有些問題，例如細長的軸力桿、薄壁圓管、薄壁壓力容器等，可以通過應力在截面上均勻分布的假設使問題大大簡化，使得我們僅利用平衡條件就可求出應力。這類問題姑且稱其為“靜定應力問題”。由于僅用到平衡關系，所以這類問題的解與材料性質(zhì)無關。3－53－13所示，一 解：因為截面尺寸與半徑相比很小，假定截面上沒有切應力，正應力在截面上均勻分布，并忽略徑向正應力r。設圓環(huán)單元體的慣性力為dF，dF(thrd)2r2thsin( 所以r例3－6如圖3－14a所示的圓筒型薄壁壓力容器，內(nèi)部壓力氣體，氣體的壓力為p。Dt，忽略容器的自重。試分析容器壁橫截面上和解：在圓筒壁的中面建立局部坐標系：x軸沿筒的軸向，軸沿圓周方向，z軸沿圓筒壁xn－n面截取下半部筒體，連同內(nèi)部的氣體一起作為分離體（見圖3－14b）。因為筒體壁很薄，假設筒壁截面xozxozDnpn

p(Dt)12tp(D 再用垂直于x軸的m-m面截取左半部筒體連同內(nèi)部的氣體為分離體（3－14c）(D (Dt)2x

比x、都要小得多，所以沿壁厚度方向的應力z（不包括兩個端面）都處于沿軸向和雙向拉伸的應力狀態(tài)。應力大約是軸向解：如圖3－15 ’’Fx’’p

段薄壁圓管作為分離體，端部Tx 的扭矩T由橫截面上的切應力來平衡。由于管壁很薄，假設圖 切應力沿圓周方向，并且F壁厚方向均勻分布。由于此問題是關于x軸的軸對稱問題，所以切應力沿也均勻分Trtrd0所

3－8一個兩端開口的薄壁圓柱體（3－16），中面的半徑r＝10cm，壁厚t＝0.1cmpF作用。在圓柱壁的中面建立局部坐標系，x’－’x－30。x和pF的值，并求x''。（1）x'150MPa，'（2）x'150MPa，'

x面和面上沒有切應力，所以x和是主應力?？梢杂脩A來分析。（1）應力圓的原點為（a，0），ax'2100MPa。設應力圓上與x'對應的點為X’，oX’與60X’的坐標為（150，50）。3x'' 3從應力圓上可見x200MPa0xF2rt20.1m0.001m200xp x 'sin(60) (x'(x'')222xR

既然現(xiàn)在x''150MPa，x0。可見x''0，應力圓半徑R＝0。即應力 為一個點(150，0)。所以x150MPa。此時,F2rtx20.1m0.001m事實上，這種應力狀態(tài)下任一斜截面上的切應力都等于零，即任一斜截面都是主平面。由式（3－9）易見，如果某處的應力在兩個互相正交的截面上的正應力相等，切應力為零，即兩個主應力相等，那么該處的任何斜截面上正應力都等于這一數(shù)值，切應力為零。即任一截面都為主平面。§3-7三向應力圓及最大切應力圖3－17a所示是處于x-y-z坐標系的平面應力狀態(tài)下的某一微單元。假定通過坐標變換已經(jīng)找到了主應力1和2，1面和2面為相應的主平面。因為z面上的正應力和切應力2y2y1x3 1z

1

變換（3－9）仍然適用。圖3－17a斜截面上的正應力和切應力構(gòu)成了1與2之間的應力圓（圖3－17d）。從1方向轉(zhuǎn)45的斜截面上切應力有最大值1,2（圖3－

12 yx

類似地，可以考慮以1和3為主應力的平面內(nèi)應力的變換（圖3－17b）

12如果以2和3為主應力（3－17c），還可以進行以2和3為主應力的平面內(nèi)的應的應力圓表示（圖3－17d）。從2方向轉(zhuǎn)45的斜截面上切應力有最大值2,3（圖3－

22

1

前面將30時xy平面內(nèi)的應力變換稱為平面應力狀態(tài)。有趣的是，平面應力并不1－245夾角的截面上（3－18b）。此時 1310或

13033 如前所述，我們規(guī)定主應力1，2，3按代數(shù)值大小次序排列，即1>3。在平面應力狀態(tài)下，xy平面內(nèi)有兩個主應力，z面上正應力和切應力都為零，所以三個主應力中至少有一個為零。不等于零的兩個主應力有三種可能性（3－9）： xyz直角坐標系中（3－20），如果一點附近的三個互相垂直的x,y,z,xy,yz,zxncos(n,x) cos(n,y) cos(n,z)G

GnGnF yE

E

FEGdA FEBdA FBGdApn＝pxipyjpzk Fx pxdAxdAlyxdAmzxdA所 pxxlyxm pyxylym pzxzlyzmzpn2px2py2pz

px,py,pz在法向npn在n方向的分量，即為正應力n，所plpmpnl2m2n22lm2mn2 x

y,z,xy,yz,zx已知，那么任何n方向截面上的正應力n事實上，在一般應力狀態(tài)下，每一點處都存在三個互相垂直的切應力為零的平面，即為主平面。這三個平面的法向即為應軸方向?！?－9yPx對于變形體，在外力作用下產(chǎn)生的變形分析與應力分析同樣重要。對于形狀復雜的構(gòu)件，其應力yPx定律進行變換。所以，應變分析是實驗應力分析的前當有外力作用在一個物體上時，物體的各點會移動。一個點相對于一個參考坐標系的移動稱為位移（discement）。以二維的情形為例（3－21），物體中的一點，原位置為P（x,y），加載后的位置為Pu(xy)iv(x Puvxy方向的分u(x,y)x' v(x,y)y'- 一般情況下物體各點的位移都不相同。位移包括了物體的兩部分運動：剛移和變形。物體作為整體的移動和繞定點的轉(zhuǎn)動稱為剛體運動，物體內(nèi)部各點的相對運動稱為變形。變形使物體的形狀，尺寸發(fā)生變化。應力表示物體內(nèi)部某一點附近力的傳 狀態(tài)，應變則表示某一點附近的局部形狀 3－22x-y平面內(nèi)取出一個微單元，變形前是矩形OABC，變形后成為四邊形OABCxy方limO'A' limO'C' lim(AOCA'O'C')=lim(A'O'C

22上式表示的切應變稱為工程切應變。當A’O’C’是銳角時，xy為正。正應變也稱為線應xyxzyzx,y,z,xy,yz,xz。uy2vvCBuy2vvCBvAvvOxuyuuxBCx方向，Ou，A點在x方向的位移比O點多一個增量u。xOA的改變量與原長度的比值，即線段在 (uudx)

同理，在y方向原長度為dy的線段

O

dy。y(vvdy)limO'C'OC udy xylim A'O'C')lim

dx0

dx0dy0

dy v 情況下，三個應變分量x,y,xy確定了一點的應變狀態(tài)。容易證明，在一般應變狀態(tài)u v w xyxy xzxz yzyu(xu(x,y) xy)byc3dv(x,y)ay3 d3ua(x2y2) vay2 vu 這一節(jié)將討論平面應變的分量隨坐標方向變化時的變換。如圖3－24所示，將xy坐標系逆時針旋轉(zhuǎn)x’yu，v來表示，那u' v'B B v'u x'y x y u'u'xu' xx yx v'v'xv'y y xy yy v'u'(v'xv'y)(u'xu'yx'y x y xx yx xy yyxx'cosy'sinyx'sinyu'ucosvsinv'usinvxyxycos2xysin x 2 2

y

ycos2

xysin x

x

cos2

sin x'

y

ycos2 xx'y' sin2xycos x' x [T]

y' yx'y' xy 2mllcos

ml l2m2mcos(90o)與平面應力狀態(tài)下的應力分量變換（3－7）相比較后可以發(fā)現(xiàn)，應變分量隨坐標轉(zhuǎn)動的變換與應力分量的變換具有完全相同的形式。事實上，應變也是二階張量，而xy是應變張量的分量。在平面應變情況下，應變張量可以表示為 xy y xz y y yz z相同的形式。因此，與應力圓類似，將x,y,xy作為已知量，我們也可以在(x,xy平面x x'y（a)2 )2x x'yx式中a 2((2y)2R以C（a,0）為應變圓圓心，以 為應變圓半徑，點

x',x'y

) 軌跡構(gòu)成了應變圓（3－5）。容易證明，若應變圓上的點X(xxyx方向的正應變和切應變， 圖Xx',x'y')2xx直的兩個軸向，它們在變形后仍然互相垂直，沿這兩個軸向只有正應變，沒有切應變。這兩個軸稱為應變主軸（princplxisorstran）。對應的正應變值為最大和最小正應l(2y)2I(2y)22(2y)2II(2y)22

tan20x

從應變圓可知，最大切應變的方向與主應變方向成45

((y)2