工程測量員培訓(xùn)附自測試題八

491§5-1測量誤差概念一、測量誤差產(chǎn)生的原因二、測量誤差的分類與處理原則三、偶然誤差的特性492一、測量誤差產(chǎn)生的原因產(chǎn)生測量誤差的三個因素：

儀器原因—儀器精度的局限性,軸系殘余誤差等；人的原因—判斷力和分辨力的限制,經(jīng)驗缺乏等；外界影響—氣象因素如溫度變化,風(fēng)力,大氣折光等

。結(jié)論：觀測誤差不可避免(粗差除外)有關(guān)名詞：觀測條件—上述三大因素總稱為觀測條件觀測精度—在觀測條件基本相同的情況下進行的觀測，稱為“等精度觀測”；否則，稱為“不等精度觀測”。

493二、測量誤差的分類與處理原則（一）系統(tǒng)誤差

在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列觀測，如果誤差的出現(xiàn)在符號(正負號)和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。系統(tǒng)誤差對觀測值的影響有一定(數(shù)學(xué)或物理)的規(guī)律性。如能夠發(fā)現(xiàn)其規(guī)律，則可進行改正或用一定方法使其削弱或抵消。494

按測量誤差產(chǎn)生原因和對觀測成果的影響，分為系統(tǒng)誤差、偶然誤差和粗差。495

鋼尺尺長誤差Dk

鋼尺檢定,尺長改正

鋼尺溫度誤差Dt

鋼尺檢定,溫度改正

水準儀視準軸誤差

i

中間法水準,前后視等距

經(jīng)緯儀視準軸誤差C

盤左盤右觀測,取平均值

對系統(tǒng)誤差采取措施舉例：誤差來源采取措施在相同的觀測條件下，對某一量進行一系列觀測，誤差出現(xiàn)的符號和數(shù)值大小都不相同，從表面看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為“偶然誤差”，是由許多無法精確估計的因素綜合造成(人的分辨能力,儀器的極限精度,天氣的無常變化,以及環(huán)境的干擾等)。

偶然誤差不可避免，但在一定條件下的大量的偶然誤差，在實踐中發(fā)現(xiàn)具有統(tǒng)計學(xué)規(guī)律。（三）粗差

由于觀測者的粗心大意,或某種特別大的干擾而產(chǎn)生較大的誤差稱為“粗差”(俗稱錯誤)，應(yīng)避免和舍棄粗差。

偶然誤差舉例：儀器對中誤差,氣泡居中判斷、目標瞄準、度盤讀數(shù)等誤差,氣象變化等外界環(huán)境等影響觀測。496（二）偶然誤差（四）誤差處理原則497粗差

—細心觀測，用多余觀測和幾何條來件來發(fā)現(xiàn)，將含有粗差的觀測值剔除。系統(tǒng)誤差

—找出發(fā)生規(guī)律，用觀測方法和加改正值等方法抵消。偶然誤差

—用多余觀測減少其影響，利用幾何條件檢核，用“限差”來限制。三、偶然誤差的特性

偶然誤差的定義設(shè)某一量的真值為X，對該量進行n

次觀測，得n個觀測值，產(chǎn)生n個真誤498l1,l2,…,lnΔ1,Δ2,…,Δn真值與觀測值之差定義為“真誤差”,真誤差屬于偶然誤差,但真值必須已知才能求得真誤差。測量的觀測和計算中,在一般情況下真值是不知道的，只能根據(jù)幾何條件等間接知道真值,例如三角形三個內(nèi)角之和為180°(真值),而三個內(nèi)角的觀測值之和也可以作為一個獨立的觀測值，據(jù)此求得三內(nèi)角之和的真誤差(稱為三角形角度閉合差)。

多次觀測中尋找偶然誤差的規(guī)律：對358個三角形在相同的觀測條件下觀測了全部內(nèi)角,三角形內(nèi)角之和的真值為180°，觀測值為三個內(nèi)角之和

(i+i+i)，因此其真誤差(三角形閉合差)為：i

=180°–

(i

+

i+i)觀測數(shù)據(jù)統(tǒng)計結(jié)果列于表5-1,據(jù)此分析三角形內(nèi)角和的真誤差i的分布規(guī)律。499

表5-1

偶然誤差的統(tǒng)計4910誤差區(qū)間dΔ"負誤差正誤差誤差絕對值kk/nkk/nkk/n0～3450.126460.128910.2543～6400.112410.115810.2266～9330.092330.092660.1849～12230.064210.059440.12312～15170.047160.045330.09215～18130.036130.036260.07318～2160.01750.014110.03121～2440.01120.00660.01724以上000000Σ1810．5051770．4953581．000偶然誤差的特性有限性：在有限次觀測中，偶然誤差不超過一定數(shù)值；漸降性：誤差絕對值小的出現(xiàn)的頻率大，誤差絕對值大的出現(xiàn)的頻率??；對稱性：絕對值相等的正負誤差頻率大致相等；抵償性：當觀測次數(shù)無限增大時，由于正負相消，偶然誤差的平均值趨近于零。用公式表示為：4911三角形閉合差的頻率直方圖

正態(tài)分布曲線以及標準差和方差4912

在統(tǒng)計理論上如果觀測次數(shù)無限增多(n→∞)，而誤差區(qū)間dΔ又無限縮小，則頻率直方圖成為一條光滑的曲線，在統(tǒng)計學(xué)中稱為偶然誤差的“正態(tài)分布曲線”,其數(shù)學(xué)方程式為：式中參數(shù)σ稱為“標準差”,其平方σ

2

稱為“方差”,方差為偶然誤差(真誤差)平方的理論平均值：標準差的計算式：§5-2評定測量精度的標準一、中誤差4913用標準差衡量測量觀測成果的精度，在理論上是嚴格和合理的。但在實際測量工作中，不可能對某一量進行無窮多次觀測。因此，定義：根據(jù)有限次觀測的偶然誤差，用標準差計算式求得的稱為“中誤差”，其計算式為：選擇兩組三角形內(nèi)角之和的觀測值，求得三角形角度閉合差，分別按上式在表5-2中計算中誤差，得到：第1組:

m1=

±2.7″

第2組:

m2=

±3.6″可見第1組的觀測精度高于第2組。按觀測值的改正值計算中誤差4914表5-2m1較小,誤差分布比較集中，觀測值精度較高；m2較大，誤差分布比較離散，觀測值精度較低。兩組觀測值誤差的正態(tài)分布曲線的比較：m1=

2.7m2=

3.64915不同中誤差的正態(tài)分布曲線

4916二、相對中誤差三、極限誤差

某些觀測值的精度如果僅用中誤差衡量，還不能正確反映其質(zhì)量，例如，距離測量誤差應(yīng)與長度成正比。觀測值的中誤差除以觀測量，稱為“相對中誤差”(簡稱相對誤差)，例如200m距離的測距中誤差為2cm,測距的相對誤差為1∶10000;

500m距離測距中誤差也為2cm，則測距相對誤差為1∶25000；后者精度高于前者。

根據(jù)正態(tài)分布方程式，可以表示誤差出現(xiàn)在微小區(qū)間dΔ的概率：將上攏式積杰分，躍得到穗偶然書誤差末在任貿(mào)意大燭小區(qū)鳥間中輸出現(xiàn)姑的概問率。掘設(shè)以k倍中薪誤差扶作為姿區(qū)間獲,則拼在此棍區(qū)間安中誤膀差出稅現(xiàn)的將概率返：4917分別們以k=1析,k=2獲,k=3代入搭上式削，可兔得到魯偶然辟誤差營的絕德對值酷不大炕于中凝誤差頸、2倍中井誤差岡、3倍中爐誤差振的概裙率：由此昌可見杠，大倚于2倍中肢誤差催出現(xiàn)吳的概方率小抵于5％，大于3倍中睬誤差幣出現(xiàn)洋的概躍率小液于0.依3％。述因此雖，測粒量工母作中以2倍中幅誤差倦作為俘允許月的誤杜差極使限，派稱為晨“允許耳誤差”或“限差”。4918§5縫-3觀測眠值的約算術(shù)樂平均吼值及椒改正灣值一、堅算術(shù)余平均碗值在相達同的征觀測蕩條件倍下，釋對某迎一量暢進行n次觀正測，匆觀測犯值為li(i=膠1～狡n),腳取慶其算術(shù)覆平均悄值作為逐該量棋的最詞可靠爬的數(shù)悉值（匯故也膨稱“最或逢然值”）墊：算術(shù)習(xí)平均泡值為寸何是肥該量竟最可鋒靠的砌數(shù)值載？可滑以用番偶然媽誤差窮的特國性來霸證明璃：證明起算術(shù)燃平均笨值是零最或說然值4919按真把值計圖算各逢個觀伐測值后的真曉誤差背：將上癥列等沃式相忌加，并除冰以n,得到忠：故算叢術(shù)平欣均值販比較接近畫于真波值，駝而成為最些可靠轉(zhuǎn)的數(shù)野值：二、道觀測譽值的遣改正壺值最或槍然值魂與觀鞠測值志之差存稱為鉤“觀賞測值煩的改嬸正值陽”(暑簡稱改正蛛值)v:4920對［vv銷]求極社小值澡：算術(shù)披平均透值符義合最肅小二賄乘法記原理取改厘正值范總和孕：說明紫：一愛組觀滲測值有取算剩術(shù)平陰均值拆后，封各個賄觀測惰值的改正值之梨和恒恨等于舞零，此貼可以誕作為違計算方的檢皂核。§5典-4觀測忽值的蓄精度喬評定在同頁樣觀翼測條臟件下陣對某殃一量改進行戰(zhàn)n次俊觀測迎，求澡得算球術(shù)平補均值及閃觀測貨值的聾各個艘改正臟值v，據(jù)此擔計算速觀測便值的侄中誤嘉差：4921對比披按真火誤差Δ計算濟中誤抗差的強公式溉：兩竟者差濫別僅族在于沃以（n－1）代弱替n，以撞代替踩真值X：兩式傻取總屢和并顧緩及偶尿然誤催差的噸相消響性，爛可以咸證明拘：因此可以按觀谷測值火的改值正值房誠計算印中誤卻差算術(shù)槐平均開值計粗算的逃實用妻公式由于念各個昂觀測晝值相稅差很久小，守為計霞算方墨便令榮其數(shù)直值的繞相同炕部分切為l0,差匪異部括份為Δl，即li=l0+Δ孩li,算術(shù)掃平均崗值的撫實用冤公式捏：4922按各創(chuàng)個觀辨測值乳的改匙正值聽計算振觀測舌值中濁誤差闖的公抵式：按觀鋤測值恭的改厭正值喂計算有中誤拜差的眉算例（一設(shè)段水磁平距偉離的急多次障觀測瞞）4923次序觀測值l(m)Δl(cm)改正值v(cm)vv

(cm2)算術(shù)平均值及觀測值中誤差1120.031+3.1-1.41.96算術(shù)平均值:=120.017(m)觀測值中誤差:=±3.0(cm)2120.025+2.5-0.80.643119.983-1.7+3.411.564120.047+4.7-3.09.005120.040+4.0-2.35.296119.976-2.4+4.116.81Σ(lo=120.000)+10.20.045.26計算皺算術(shù)棒平均胃值及推其中替誤差賓的小蔥結(jié)：一、句已幅知真墾值X,進雨行n次觀晝測，納則計缺算觀深測值贈的真慘誤差舍與中置誤差搶。二、紗真值到不知會,則疲進行n次觀各測，終計算池算術(shù)艦平均街值、抓改正錄值及駝其中娃誤差銅。4924中誤冬差：真誤救差：中誤肉差：改正動值：算術(shù)周平均霜值：§5榆-5誤差帳傳播賺定律4925一、伙觀測鋒值的數(shù)函數(shù)測量劍所采艘集的桐數(shù)據(jù)(量)并非骨都是歪直接呀觀測迫值，晃而是施觀測漢值的賄函數(shù)看。觀預(yù)測值遼的誤悅差使背其函損數(shù)也愧具有野一定慌的誤套差。舊例如織：和差毀函數(shù)—例如笨算術(shù)臣平均睜值例如答斜距食改平例如隆分段送量距制相加例如洞圖上龍量長混度,化為篇實地抬長度倍函蛋數(shù)—線性躁函數(shù)—一般革函數(shù)—二、岸一般蠻函數(shù)屢的中棗誤差4926舉例蛛說明陡：矩厚形地衣塊，錦量長舌度a、寬拍度b，求其齊面積P。面積格是觀寬測值屋長度a和寬度b的函上數(shù)，灑函數(shù)顫式為隨：對函舉數(shù)式度中的矩自變五量a、b求偏岡微分:將微螺分元宋素以主偶然智誤差Δi代替面積偵誤差(圖中余陰影植面積)具有直觀朵的幾朗何意付義4927對于惜上述衣地塊丹的長狡度和糊寬度老進行n次觀處測：上列n個等呈式平陳方后車取其坡總和情，并狐除以n,得到稻：根據(jù)巷偶然先誤差引的抵朽償性妖，得再到：按照柿中誤睛差的存定義肺，上殘式可跨改寫核為求面占積中尺誤差公式蹦：4928誤差見傳播牌定律—一般電函數(shù)向的中朵誤差休計算式中xi為自扮變量(獨立島觀測奮值)，設(shè)mi為觀訪測值瓣的中雕誤差童，Z為獨壤立變懷量的四函數(shù)殲。則Z的中撓誤差部為：式中勒為獸各個厭變量而的偏導(dǎo)講數(shù)。4929三、摟線性筑函數(shù)脊和倍稼函數(shù)匹的中掠誤差線性扛函數(shù)買：自變歉量的蹲偏導(dǎo)獨數(shù)：按照詳誤差菌傳播慚定律說，得賄到線斷性函靜數(shù)的哪中誤影差：算術(shù)區(qū)平均祥值寨也屬姑于觀鉆測值授的線餐性函隆數(shù)，凈根據(jù)漸誤差傳播逢定律風(fēng)：4930由于襪是等亭精度柿觀測,因此m1=m2=…=mn=m由此罪可見悼，算趨術(shù)平狀均值訓(xùn)的中求誤差敘比觀案測值怠的中漸誤差小插倍耳。如果閃線性摘函數(shù)曉只有劈燕一個掉自變掀量：,則成倡為倍函冷數(shù)，其丸中誤可差為諸：上式表中的評系數(shù)k，即為纏誤差裝擴大老的倍瓦數(shù)。4931函數(shù)廢式為那：D=藏50練0d實地樹距離趙和量伙距中燙誤差察為：該距誼離及臟其中層誤差陳可以忽寫成恒：例：螺量得攜比例扭尺為1∶50左0的地押形圖尚上兩坊點間史長度d=1巾34他.7mm,圖上封量距列中誤際差為0.鋼2mm,換算雨為實出地距章離D和量浩距中掙誤差mD。4932其中怖誤差情均為如：和差京函數(shù)稍的中蓮誤差微計算臣方式英也可見用于礎(chǔ)多種腰獨立灑誤差賀來源的觀富測值灑中誤柜差的甲計算菌。例淘如用買測角吼儀器甩觀測迫水平優(yōu)方向時，廈同時額受到房誠對中犁、瞄示準、揮讀數(shù)膜、儀存器誤茅差、爭大氣蛙折光等誤胡差影舌響，沙觀測委水平述方向疊的偶厚然誤醋差是笛這些當誤差擱的代溫數(shù)和弦：故觀劍測水憲平方遲向的桑中誤奇差為德：誤差潔傳播極定律折小結(jié)第一王步：彼寫出座包含真各個則自變莊量(巷獨立廈觀測味值)婆的函挨數(shù)式第二督步：搏寫出豪全微寸分式捐(計慨算對部各個糕自變烘量的叮偏導(dǎo)挑數(shù))第三躬步：就按誤澇差傳啦播定苗律寫岡出中業(yè)誤差府關(guān)系典式注意功：誤差懲傳播少定律宏只適原用于豎將各鉤個獨查立觀塘測值竊作為自久變量壩。如接果觀涉測值韻之間統(tǒng)是相紡關(guān)的介，則字得到的結(jié)棵果將厚是不敞嚴格錄的。4933函數(shù)癥式：函數(shù)困中誤謹差：§5愉-6誤差伴傳播突定律洞的應(yīng)聾用4934一、瞇距離偵測量殃的精紗度光電比測距口的誤留差來相源有只：儀綠器誤而差、名氣溫街氣壓淹測定寨誤差悶、儀筍器對做中誤鍛差、權(quán)傾斜合改正擊垂直謊角測績定誤稠差等脂。這爽里僅庸討論司前二玩者，縫即儀鈴器頻烤率調(diào)傍制誤暴差df、測趁定相換位的筑誤差dΔφ以及艷氣象迷測定蘭誤差狹影響元折射酷率dn。斜距宅測定的函嶄數(shù)式對各賣個自戀變量求偏瞞導(dǎo)數(shù)領(lǐng)得到真誤粒差關(guān)潑系式用誤險差傳勞播定可律得沿到光虹電測挽距中泉誤差交的估輸算式困：4935上式造根號犬內(nèi)第咸一項雙為測乖定相油位誤泡差的敏影響猜，它污與距與離長鑒短無慚關(guān)，管稱為賤“常誤繁差a”；第禮二、世第三隱相為喝氣象趟測定辮誤差安與頻惹率誤忍差的毅影響敢，它飲們均遙與距順離長宇度成金正比倍，稱鉗為“比例霉誤差b”。板因此,光電灘測距翠的誤欠差估筆算式選：上式抬常作籮為測鬧距儀娃本身神的精型度指唯標，a的單巨位為mm，b為百忠萬分突率，襪即每扭公里抵的毫獎米數(shù)(mm/km)。二、辯角度縫測量帝的精覽度DJ始6級繞經(jīng)緯竹儀和拳6秒被級全災(zāi)站儀都一測奏回方員向觀栗測值倉中誤差m=±右6″原，水防平角項為兩庭個方守向觀贈測值導(dǎo)之差袖，故紛一測回水躍平角駐觀測孝的中四誤差沃為：4936一測殲回水龜平角笨取盤潔左盤籮右角稼度的凈平均弊值，斑故半旨測回有水平勒角值傍的中蠟誤差林為：盤左串、盤白右水粘平角彼值之葵差的婆中誤順差為軌：以2倍中魄誤差葉作為恰極限瞧誤差歸為±3選4″哨(一般彈規(guī)定40尺″)多邊匪形水胖平角為觀測刊角度狐閉合閉差的搶規(guī)定多邊店形內(nèi)趕角(貞水平同角β)之泰和在趨理論蕉上應(yīng)剃為(n-吹2)1炒80°,牲由于區(qū)水平角侍觀測搭中的麥偶然鐮誤差移，產(chǎn)華生角歡度閉知合差養(yǎng)：4937每個拒角度革的測代角中喊誤差劑為mβ,則n個角蠟度之鏡和的嚷中誤唇差:以2倍中噴誤差菜作為點極限龍誤差,則n邊形涉的角伏度的窯允許籌閉合襖差例：活設(shè)水斧平角解觀測隊的中湊誤差mβ=±糠18疏″,則三盡角形秤的允許角者度閉膝合差暖：三、艙水準峽測量束的精喝度水準揚測量辟高差揮測定私的計展算式h=a-b,設(shè)掀用S3勵水準霞儀在術(shù)水準坐尺讀蓬數(shù)的帶中誤岡差m=計±強1脈mm，則一次啦測定返高差他的中原誤差王：4938兩次爭測定墨高差督之差Δh=h1-h2,則高溉差之界差的中誤拌差：以2倍中墻誤差傭作為蜜極限州誤差,則允圾許的蓄高差適之差為±4mm水準妨路線臭高差掏測定隙的精智度4939在一蛙條附間合水雅準路胞線進捎行水梁準測束量,共設(shè)n個測糟站,其高牲差的總鼻和：設(shè)水菜準尺管讀數(shù)父誤差偷為m,每次癢高差妙測定燥中誤植差為mh,則線軋路的領(lǐng)高差叼總和宜的中頁誤差減：設(shè)水就準線井路長假度為L,各測舞站前雀、后姿視平表均長選度為d,單位長度溜的高坦差測觀量中坦誤差返為m0,則：，，L以公亦里為議單位m0為每半公里奧高差測工量中停誤差4940上式賺說明膏：水貧準測產(chǎn)量的吸精度牛與水床準路焰線的填長度滔的平獻方根成正鞭比。水準黃測量輛的等座級以倚每公籃里高量差測廉量的暗中誤院差mo作為卵精度勇指標碌：水準測量等級一等二等三等四等

mo±1mm±2mm±6mm±10mm據(jù)此,可以揭按水役準測瓣量等津級和料設(shè)計在水準撥路線值長度,估算水準焦測量司全程謙的高凡差中禿誤差再。例兆如,路線晨長5k灰m的四獸等水準離測量轟的精侍度：四、姑坐標瓜計算仗的精剩度4941兩點頓之間,如果稻已測鬧定其喊水平禍距離D和方捎位角α,則可休按下向式計慕算其求坐標舟增量陷：對觀見測值(自變民量)D和α求偏渴導(dǎo)數(shù),得到葉函數(shù)鑒式的授全微爪分：按誤湯差傳逐播定年律,將上再式轉(zhuǎn)塑換為扣坐標堂增量尊的中郊誤差堡表達志式4942坐標倘增量梢的中遲誤差:上式帖右邊鑰根號市內(nèi)第拜一項鮮為縱爭向誤村差,是由撐距離襲誤差殿造成,第二涌項為橫橫向畫誤差,是由貝角度默誤差兔造成暮。由鴨縱橫挎坐標增量價誤差山或縱耀橫向互誤差地，形恨成兩靈點間死的相騙對點薄位誤胞差：一、勝不等錢精度莫觀測愚與觀遵測值京的權(quán)4943§5照-7加權(quán)猾平均寨值及委其中膚誤差同一起量的度一系灑列等漸精度辭觀測殖值可痰以取膛其算愈術(shù)平逮均值別，而同自一量惹的一顧系列秀不等承精度慌觀測疲值則怕應(yīng)取蹤蝶其加權(quán)噸平均旬值。“權(quán)桿”(P)意為游衡量浙輕重,觀測浩值的毫中誤違差(m)小,則權(quán)盟大;反之猜則權(quán)蓮小。定義但權(quán)與犬中誤拼差的賀平方假成反變比：C為任遵意常除數(shù)。和等于1的權(quán)伏稱為堆“單香位權(quán)稼”,權(quán)等現(xiàn)于1的中誤形差稱關(guān)為“單位塘權(quán)中逗誤差”(mo)。因黎此,權(quán)和臉中誤充差的陰另一腫種表省達式教為：4944為了逆使“熔權(quán)”星的概謠念簡俯單明叫了，施取一騎次觀朝測、綱一個謊測回窄或單柴位長耍度（崇例如1誘km）等講的測素量誤富差作動為單純位權(quán)窄中誤膊差。學(xué)例如濫，以庭一測興回的趟水平希角觀打測中屢誤差mβ為測紡角的檔單位掃權(quán)中盛誤差,則n測回雕取其悉算術(shù)他平均向值的丟角度耐中誤請差及邁其權(quán)譜為:又例徒如水劑準測極量以改一公戲里的汁高程完測量聾中誤完差mo作為陷單位鍬權(quán)中鋤誤差鉤，則L