平面幾何證明

初中數(shù)學(xué)重點歸納－平面幾何證明［競賽知識點撥］1．線段或角相等的證明利用全等△或相似多邊形；利用等腰厶；利用平行四邊形；利用等量代換；利用平行線的性質(zhì)或利用比例關(guān)系利用圓中的等量關(guān)系等。2．線段或角的和差倍分的證明轉(zhuǎn)化為相等問題。如要證明a=b±c,可以先作出線段p=b±c,再去證明a=p,即所謂“截長補短”，角的問題仿此進行。直接用已知的定理。例如：中位線定理，Rt△斜邊上的中線等于斜邊的一半；△的外角等于不相鄰的內(nèi)角之和；圓周角等于同弧所對圓心角的一半等等。3．兩線平行與垂直的證明利用兩線平行與垂直的判定定理。利用平行四邊形的性質(zhì)可證明平行；利用等腰△的“三線合一”可證明垂直。利用比例關(guān)系可證明平行；利用勾股定理的逆定理可證明垂直等?！靖傎惱}剖析】【例1】從00外一點P向圓引兩條切線PA、PB和割線PCD。從A點作弦AE平行于CD,連結(jié)BE交CD于F。求證：BE平分CD。

連結(jié)ED、AC、AF。CF二連結(jié)ED、AC、AF。CF二DF—AACF竺AEDF—AC=EDk^AEZ/CDZACF^ZEDFZAFC=ZEFD^-^ZEFD=ZAEF=ZABPZAFC=ZABP^A.F、E、P四點共圓j—ZPAB=ZAEB=ZPFB注：連結(jié)OP、OA、OF,證明A、0、F、P四點共圓亦可。p【例2】△ABC內(nèi)接于00,P是弧AB上的一點，過P作0A、0B的垂線，與AC、BC分別交于S、T,AB交于M、N。求證：PM=MS充要條件是PN二NT。pPM_TOA【分析】只需證NP,PM?PN=MS?NT。A(Zl=Z2,Z3=Z4)fAAPMs^PBNPM_AMfBNPNfPM?PN二AM?BN(ZBNT二ZAMS,ZBTN二ZMAS)fABNTs^SMAMS_AMfBNNTfMS?NT二AM?BN

ffi2-1【例3】已知A為平面上兩半徑不等的圓0和0的一個交點,12兩外公切線ffi2-1【例3】已知A為平面上兩半徑不等的圓0和0的一個交點,12兩外公切線PP、QQ分別切兩圓于P、P、Q、Q,M、M分1212121212別為PQ、PQ的中點。求證：ZOAO二ZMAM。11221212【分析】設(shè)B為兩圓的另一交點，連結(jié)并延長BA交P1P2于C,交00于M,則C為PP的中121點，且PM〃CM〃PM,1122為MM的中垂線。12在0M上截取MO=M0,1 3 2ZMA0=ZMA0。1 3 2 2圖3-12故CM故只需證Z01AM1=Z03AM1,即OZA6叫由厶P0MSP0M,M0=M0,0P=0A,0P=0A可得。1 1 1 222 1 3 22 1 1 1 22 2【例4】在厶ABC中，AB>AC,ZA的外角平分線交AABC的外接圓于D,DE丄AB于E,山月一山O求證：AE=2 。圖4 4-1 圖4-2【分析】方法1、2AE=AB-AC-在BE上截取EF=AE,只需證BF=AC,連結(jié)DC、DB、DF,從而只需證△DBF竺ADCA—DF=DA,ZDBF=ZDCA,ZDFB=ZDACZDFA二ZDAF二ZDAG。方法2、延長CA至G,使AG=AE，則只需證BE=CG連結(jié)DG、DC、DB，則只需證△DBE^^DCG

DE=DG,ZDBE=ZDCG,ZDEB=ZDGC=RtZ?！纠?】ZABC的頂點B在00夕卜，BA、BC均與00相交，過BA與圓的交點K引ZABC平分線的垂線，父00于P,父BC于M。匚求證：線段PM為圓心到ZABC平分線距離的2倍。.【分析】若角平分線過0,則P、M重合，PM=0,結(jié)論顯然成立。只需證DD'二PM。連結(jié)D'P、DM,則只需"若角平分線不過0,則延長只需證DD'二PM。連結(jié)D'P、DM,則只需.??ZD'PK二ZDMK,???D'P〃DM。而D'D〃PM,???DMPD'為平行四邊形。【例6】在厶ABC中，AP為ZA的平分線，AM為BC邊上的中線，過B作BH丄AP于H,AM的延長線交BH于Q,求證：PQ〃AB?！痉治觥糠椒?、結(jié)合中線和角平分線的性質(zhì)，考慮用比例證明平行。倍長中線：延長AM至M',使AM二MA‘，連結(jié)BA',如圖6-1。

PMQMMB+PMMA+QMBP_AQBP_PC=AQQAZPQ〃BP_PC=AQQAZII，AC=AJB=-^^ZABQ=ZAJBQZA'BQ=180°-(ZHBA+ZBAH+ZCAP)二180°-90°-ZCAP=90°-ZBAP=ZABQ方法2、結(jié)合角平分線和BH丄AH聯(lián)想對稱知識。延長BH交AC的延長線于B',如圖6-2。則H為BB'的中點，因為M為BC的中點,連結(jié)HM,則HM〃B/C。延長HM交AB于0,則0為AB的中點。延長M0至M',使0M'=0M,連結(jié)M'A、M'B，則AM'BM是平行四邊形，HP.??MP〃AM',QM〃BM'。于是,HMHQ，所以PQ〃HP.??MP〃AM',QM〃BM'。于是,HMHQ，所以PQ〃AB。AAEM0DbBGCFFC【例7】 菱形ABCD的內(nèi)切圓0與各邊分別切于E、F、G、H,在EF與GH上分別作00的切線交AB于M,交BC于N,交CD于P,交DA于Q。求證：MQ〃NP°(95年全國聯(lián)賽二試3)【分析】由AB〃CD知：要證MQ〃NP，只需證ZAMQ=ZCPN,AMCP結(jié)合ZA=ZC知，只需證厶AMQsACPNjAQCN,aM?cn=aq?cp。連結(jié)AC、BD，其交點為內(nèi)切圓心0。設(shè)MN與00切于K,連結(jié)0E、0M、OK、ON、OF。記ZAB0二巾，ZM0K二a,ZK0N二B，貝卩ZE0M二a,ZF0N二B,ZE0F=2a+2B=180°-2?。

.??ZB0N=90°-ZN0F-ZC0F=90°-B-?二a.??ZCNO二ZNBO+ZNOB二巾+a二ZAOE+ZMOE二ZAOMAM_AO又ZOCN二ZMAO,?AOCNsAMAO,于是COCN,?AM?CN二AO?CO同理，AQ?CP二AO?CO?！纠?】ABCD是圓內(nèi)接四邊形，其對角線交于P,M、N分別是AD、BC的中點，過M、N分別作BD、AC的垂線交于K。求證：KP丄AB?！痉治觥垦娱LKP交AB于L,則只需證ZPAL+ZAPL=90°,即只需證ZPDC+ZKPC=90。，只需證ZPDC=ZPKF,因為P、F、K、E四點共圓，故只需證ZPDC=ZPEF,即EF〃DC。DE_DPDE_DA_2DMDE_DM氏_麗_氏_西_2CN_疋_Cbf—△DMEs^cnf【例9】以厶ABC的邊BC為直徑作半圓，與AB、AC分別交于點D、E。過D、E作BC的垂線，垂足分別是F、G,線段DG、EF交于點M。求證：AM丄BC。合?！痉治觥窟B結(jié)BE、CD交于H,則H為垂心，故合。AH丄BC。同一法）設(shè)AH丄BC于O,DG、AH交于M，EF、AH交于M：。下面證M、M重12OMi_GO OGtDFOM〃DF—DFGF—om二FG110M2_FOEG*OF0M〃EG— —OM二FG。22QG_EG只 需 證 OG?DF=EG?OF , 即 而一麗—RtAOEGsR@ODF—ZDOF=ZDHB=ZEHC=ZEOG。－幾何解題途徑的探求方法一．充分地展開想象想象力，就是人們平常說的形象思維或直覺思維能力。想象力對于人們的創(chuàng)造性勞動的重要作用，馬克思曾作過高度評價：“想象是促進人類發(fā)展的偉大天賦?！苯忸}一項創(chuàng)造性的工作，自然需要豐富的想象力。在解題過程中，充分展開想象，主要是指：1．全面地設(shè)想設(shè)想，是指對同一問題從各個不同的角度去觀察思考和深入分析其特征，推測解題的大致方向，構(gòu)思各種不同的處理方案。例1.在ABCD中，AB=AC,D是BC邊上一點，E是線段AD上一點,且/BED=2/CED二ZBAC，求證：BD=2CD（92年全國初中聯(lián)賽試題）例2.在AABC中，AB>AC，ZA的外角平分線交AABC的外接圓于d，DE丄AB于E?！?（AB-AC）求證：AE= 2 （89年全國高中聯(lián)賽試題）3.在RtAABC的斜邊上取一點D,使AABD和AACD的內(nèi)切圓相等。證明：S 二AD2AABC（31屆IMO備選題）例4.設(shè)A是三維立體abe的長方體磚塊。若B是所有到A的距離不超過1的點的集合（特別地，B包含A），試用abe的多項式表示B的體積（84年美國普特南數(shù)學(xué)竟賽試題）2.廣泛地聯(lián)想聯(lián)想，是指從事物的相聯(lián)糸中來考慮問題，從一事物想到與其相關(guān)的各種不同的事物進行由此彼的思索。在解題過程中，我們?nèi)缒芨栴}特征廣泛地聯(lián)想熟知命題，并設(shè)法將其結(jié)論或解法加以利用，則無疑是獲得解題途徑的簡捷方法。例5.在AABC中角A,B，C的對邊分別為a,b，c,若角A,B，C的大小成等比數(shù)列，且b2-a2=ae，求角B（85年全國高中聯(lián)賽試題）例6.四邊形ABCD內(nèi)接于Oo,對角線AC1BD于P,E是CD的中點，OF1AB于F。求證：PE=OF（78年上海高中竟賽試題）例7.在正方體ABCD-ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)在棱AA上，且11111AF:FA=1:2,求平面BEF與底面ABCD所成的二面角。（85年全國高中聯(lián)賽試題）111111例8.設(shè)AAAA為O0的內(nèi)接四邊形，H,H,H,H依次為12341234AAAA,AAAA,AAAA,AAAA的垂心。求證：HH,H,H四點在同一個圓上，234341412123,1,234并確定該圓的圓心位置。（92年全國高中聯(lián)賽試題）3.大膽地猜測想猜想，是指由直覺或某些數(shù)學(xué)事實，推測某個判斷或命題可能成立的一種創(chuàng)造性的思維活動過程?？茖W(xué)家都非常重視猜想的作用。譽滿世界被稱為數(shù)學(xué)王子的德國數(shù)學(xué)家高斯就曾深有體會地說：“沒有大膽的猜想就不可能有偉大的發(fā)現(xiàn)。”“若無某種放肆的猜想，一般是不可能有知識的進展的?！痹诮忸}過程中，通過猜想不僅可以得到問題的結(jié)論，而且還可以獲得解題的途徑，但應(yīng)注意，由猜想所得出的結(jié)論不一定可靠，其正確性還必須經(jīng)過嚴格的邏輯證明或?qū)嵺`的檢驗。例9.正方形ABCD的邊長為1，P,Q分別是邊AB與邊AD上各一點。若AAPQ的周長為2。求ZPCD（88年國家隊選拔試題）ABADAM例10?已知圓內(nèi)接四邊形的對角線AC與BD相交于M。求證： x=—CBCDMC例11.已知四面體p-ABC的六條棱長之和為l，并且ZAPB=ZBPC=ZCPA=900，試求它的最大體積。（28屆IMO備選題）例12.設(shè)正方體ABCD-ABCD的棱長為a，過棱BC上一點Q作一直線與棱AA和1111111DC的延長線分別交于P,R，試問：當Q在棱BC上移動時，線段PR最短時的長度是多11少？證明你的結(jié)論。二.精心地進行類比類比，是指人們在觀察或思考問題時，往往把相似的事物加以比較，并把處理某些事物的成功經(jīng)驗用到與其性質(zhì)相似的另一些事物上去的思維方式。在解題過程中，若能將它與相似的問題精心地進行類比，則往往可由此得到解題途徑，甚至發(fā)現(xiàn)新的知識。例13.四邊形ABCD內(nèi)接于。O，對角線AC與BD相交于P，設(shè)AABP,ABCP,ACDP和ADAP的外接圓圓心分別為O,O,O,O。求證：OO,OO,OP三直線共點。（901 2 3 4 13 24年全國高中聯(lián)試題）例14.在四面體O—ABC中，已知ZAOB=ZBOC=ZCOA=9Oo，試問：S,S,S ,S之間有何關(guān)系？證明你的結(jié)論。AABCAAOBABOCACOA例16.設(shè)O是四體ABCD內(nèi)部的任意一點，AO,BO,CO,和DO的延長線分別與面

BCD,ACD,ABD和ABC交于A',BC',D'。求證:OA+OA+空+竺+絲=iAA'BB'CC'DD'例17.AABC和AABD在邊Ab的同側(cè)，ZACB+ZADB二180。，且邊BC與邊AD相交于E點.求證：AE-AD+BE-BC=AB2.例18?已知半徑分別為R、r（R>r）的兩圓內(nèi)切于A，AE是外圓的直徑，AE的垂線與兩圓分別交于AE同側(cè)的兩點B和C，試求AABC的外接圓直徑（83年蘇聯(lián)競賽題）例19.設(shè)AO是AABC的角平分線，且點B,O,C共線（i=1,2,…,n）,則OB-BB-OB-BB-BB1 1_2 2_3OC-CC-CC1 1 2 2 3BB-BOfAB-AB—n—1nn=1 2-CC-COIAC-ACn—1nn 1 2ABYT（79年蘇聯(lián)競賽題）AC丿n例20.已知菱形ABCD外切于。O,MN是與邊AD,CD分別交于M,N的。O的任一切線，求證：AM-CN為定值。（89年蘇聯(lián)奧賽題）例21.設(shè)P是正三角形ABC外接圓的劣弧BC上任一點，求證：（1）PB+PC=PA；（2）PB-PC=PA2-AB2例22.求證：頂點在單位圓上的銳角三角形的三個內(nèi)角的余弦之和小于這個三角形周長的一半。例23.AABC外接于0O，P是AB弧上一點，過P作OA,OB的垂線，與AC,BC分別于S,T,與AB分別義于M,N。求證：PM二MS的充要條件是PN二NT。例24.在凸六邊形ABCDEF中，若對角線AD,BE,CF中的每一條都把六邊形分成面積相等的兩部分，則這三條對角線相交于一點（88年蘇聯(lián)奧賽題）習(xí)題若CE是AABC的ZC的平分線，且CE2=AE-EB，則AE:AC=1 （78年四川聯(lián)賽試題）在AABC中，AB二AC，任意延長CA到P，再延長AB到Q,使AP=BQ。求證：AABC的外心與A,P,Q四點共圓（94年全國初中聯(lián)賽試題）平面上已給一銳角AABC，以Ab中直徑的圓交高CC'及延長線于M,N，以AC為直徑的圓交高BB'及其延長線于P,Q，證明：M,N,P,Q四點共圓（90年美國19屆奧賽題）4.已知一凸五邊形ABCDE中，ZBAE=3a,BC=CD=DE，且ZBCD二ZCDE二180°—2a，求證：ZBAC二ZCAD二ZDAE（90年全國初中聯(lián)賽題）5