平面向量基本定理

平面向量基本定理教材分析：平面向量基本定理是學(xué)習(xí)向量的一個非常重要的內(nèi)容，它是應(yīng)用平面向量知識解決平面幾何問題的一個重要而有效的工具.它可以由數(shù)乘向量的幾何意義以及向量的矢量的合成與分解導(dǎo)出?同時，平面向量基本定理在幾何中又有著及其重要的應(yīng)用：一方面，可以利用基本定理將任意一個向量代換成統(tǒng)一的基向量,從而進(jìn)行幾何運(yùn)算與證明；另一方面,在向量的平面直角坐標(biāo)系的建立方面更是一個理論基石，有了基本定理才有正交分解,才有單位正交基，才有直角坐標(biāo)系，從而有了用代數(shù)法（坐標(biāo)法）解決幾何問題的可能.最后,從空間來看平面向量基本定理，它實際上又是空間向量共面的一種表達(dá)形式，即空間向量共面定理，從而提供了線共面與點共面的又一種證明方法一一向量法.平面向量基本定理還蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)中常用的兩種基本思想：數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)換與化歸思想,有著廣泛的應(yīng)用空間.所以理解并掌握平面向量基本定理，是學(xué)好向量問題的基礎(chǔ)，更是利用向量方法解決幾何問題的重中之重，我們有必要學(xué)好它、掌握它、應(yīng)用它.教學(xué)目標(biāo)：通過作圖法理解并掌握平面向量基本定理的內(nèi)容及含義.深刻理解向量的基底表示的意義及作用，會將平面內(nèi)的任意一個向量用一組基底表示.理解平面上兩個向量的夾角的概念及范圍，掌握平面內(nèi)兩個向量的位置關(guān)系.會用平面向量基本定理解決向量相互表示的問題.教學(xué)重難點：重點：平面向量基本定理的內(nèi)容的形成過程和平面向量基底的不唯一性；讓學(xué)生在例題中體會平面向量基本定理的應(yīng)用價值，以達(dá)到自覺想學(xué)好基本定理的目的.難點：通過實應(yīng)用平面向量基本定理證明平面幾何中的平行關(guān)系，增強(qiáng)學(xué)生對平面向量基本定理的應(yīng)用意識.教學(xué)方法：CAI課件、圖形模擬法、形成性歸納與總結(jié).從學(xué)生知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，先由已學(xué)過的數(shù)乘向量以及向量的平行四邊形法則和三角形法則進(jìn)行矢量作圖，從實際作圖中得出概念和結(jié)論，即形成性歸納與總結(jié)，這是符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的教學(xué).用舊知識生成新知識，這是一個知識的再生與創(chuàng)造的過程，教學(xué)過程中讓學(xué)生動

手，讓學(xué)生歸納與總結(jié)，真正做到訓(xùn)練學(xué)生學(xué)習(xí)、創(chuàng)造、再學(xué)習(xí)的能力.課時安排：1課時.教學(xué)過程：I新課導(dǎo)入【圖片】：以下是生活中的一些鋼架結(jié)構(gòu)的建筑物，試說說其結(jié)構(gòu)的特點.房屋的鋼架結(jié)枸4高壓線塔鋼架結(jié)構(gòu)A房屋的鋼架結(jié)枸4高壓線塔鋼架結(jié)構(gòu)A說明：圖片的作用旨在說明力的合成與分解在生活中的應(yīng)用，從而說明這種學(xué)習(xí)是與實際生活緊密聯(lián)系的.【情境】：現(xiàn)有一戶居民家住二樓，剛剛買回來一件體積較大的家具，但無奈樓梯太窄，無法從樓梯將家具搬入家中.搬運(yùn)工看了看，只有從陽臺吊運(yùn)的可能，但若直接用繩子垂直上吊，樓下的陽臺都有阻礙.為了不碰到樓下陽臺，你應(yīng)該怎樣吊運(yùn)這件家具？說明：作用在同一點的力可以形成一個合力，這個合力我們可以用平行四邊形法則或三角形法則得到?換個角度來看，也就是說一個合力可以沿著兩個不同的方向來分解，即一個力可以用兩個分力來表示，如F=xF+yF.矢量如此，那么向量呢？12【問題】：力是物理學(xué)中的矢量，物理學(xué)中的矢量也就是數(shù)學(xué)中的向量，矢量可以進(jìn)行合成與分解，那么平面內(nèi)的任一向量a能否都可以進(jìn)行合成與分解呢？說明：提出問題，引入新課，過渡自然.II新課講授一、知識點精講

1.探索發(fā)現(xiàn)【作圖】：已知a、b是平面內(nèi)任意兩個向量，求作向量3a-2b.說明：作圖配以《幾何畫板》課件，旨在學(xué)習(xí)利用“數(shù)乘向量”的意義和矢量運(yùn)算法則進(jìn)行向量運(yùn)算，另一方面，也是在潛意識地暗示：基底在向量的合成中的作用.另外，本題求作向量可以從“和”與“差”兩個方面來解決，作圖時可以根據(jù)需要合理選擇平行四邊法則和三角形法則.【發(fā)散】：給定平面內(nèi)任意兩個向量幺］【發(fā)散】：給定平面內(nèi)任意兩個向量幺］請你作出向量3e+2e、12e—2e、一2.5e+3e1212說明：本例是在上一作圖基礎(chǔ)之上繼續(xù)深入練習(xí)這種作圖的方法，教學(xué)中讓學(xué)生上臺動手操作，并觀察學(xué)生作圖過程中“平行四邊形法則”和“三角形法則”的使用情況.總結(jié)：從以上幾個實例我們可以看出，求作向量實際上是數(shù)乘向量與向量運(yùn)算法則綜合應(yīng)用.通過平行四邊形法則體會求作向量3a—2b的過程，若記m=3a—2b，則說明向量m可以用不共線向量a與b來表示?那么“平面內(nèi)任意一個向量是否都可以分解成兩個向量的和呢？”我們可以通過向量的平行四邊形法則作圖說明這樣的九、九是存在的，而且對于所給定的兩個向量e、121才，這樣的九、九只有一對.從而得出平面向量的基本定理.212在作圖過程中，我們可以得出兩點結(jié)論：(1)兩個向量夾角的概念;(2)平面向量基本定理的內(nèi)容.2.形成結(jié)論說明：以下兩點結(jié)論可以由學(xué)生歸納得出，同時教師整理板演，將定義、定理標(biāo)準(zhǔn)化?這既檢驗了學(xué)生對所學(xué)知識的理解，又訓(xùn)練了學(xué)生的分析歸納總結(jié)能力.定義：（兩個向量的夾角）設(shè)a、b是平面上兩個不共線向量，過平面任意一點o,分別作 >—> —>—> f—?—?\OB=b,則ZAOB=9叫做向量a與b的夾角，且0<9<180。.亦記作：：a,b]=9.特別地，當(dāng)9=0。時，a與b同向;當(dāng)9=180。時，a與b反向；當(dāng)9=90。時，a與b垂直，記作a丄b.定理：（平面向量基本定理）如果e、Z是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平12面內(nèi)的任意一向量a,有且僅有一對實數(shù)九、九，使a=Xe+Xe成立.121122其中，不共線向量e、e叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.記作匕,e}.1212練習(xí)DC 一亠練習(xí)1.梯形ABCD中，AB〃CD,M、N分別是DA、BC的中點，且=k，設(shè)AD毛,AB 1AB=7，試以e,e為基底表示向量DC、Be、mN、dn.212說明：本題設(shè)計意圖有二：（1）基本定理的應(yīng)用.會用平面內(nèi)的一組基底來表示平面內(nèi)的任意一個向量；（2）平面向量基本定理與向量的三角形運(yùn)算法則的聯(lián)系?實際上用平面內(nèi)的一組基底來表示平面內(nèi)的任意一個向量，也就是應(yīng)用向量的三角形運(yùn)算法則來轉(zhuǎn)換向量，以達(dá)到向量間的相互表示?其中，三角形的中線對應(yīng)的向量是值得注意的一點（即AD=2（AB+AC））另外，該題也可以改成一道開放性試題，讓學(xué)生自己選擇一組合適的基底，將圖中的其它向量都用這組基底來表示.練習(xí)2.AABC中，AD、BE是中線，ADDBE=G.用向量法證明：AG=2GD.說明：本題是平面向量基本定理的一個應(yīng)用，其中還要用到平面向量共線定理（數(shù)乘向量中學(xué)過）.可設(shè)AG=xAD，則BG=（1-入）BA+^BD，而BE=1Ga+BC），且B、g、E共線，故存在實數(shù)t，使得BG=tBE，再結(jié)合平面向量基本定理，取一組基底，將BG和