第11講乘法公式（4大考點(diǎn)）（解析版）

第11講乘法公式（4大考點(diǎn)）考點(diǎn)考點(diǎn)考向一、平方差公式平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差.要點(diǎn)詮釋：在這里，既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.抓住公式的幾個(gè)變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.常見(jiàn)的變式有以下類型：（1）位置變化：如利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準(zhǔn)型（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號(hào)變化：如（5）增項(xiàng)變化：如（6）增因式變化：如二、完全平方公式完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.要點(diǎn)詮釋：公式特點(diǎn)：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.以下是常見(jiàn)的變形：三、添括號(hào)法則添括號(hào)時(shí)，如果括號(hào)前面是正號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都不變符號(hào)；如果括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括到括號(hào)里的各項(xiàng)都改變符號(hào).要點(diǎn)詮釋：添括號(hào)與去括號(hào)是互逆的，符號(hào)的變化也是一致的，可以用去括號(hào)法則檢查添括號(hào)是否正確.四、補(bǔ)充公式；；；.考點(diǎn)考點(diǎn)精講考點(diǎn)一：平方差公式1.下列兩個(gè)多項(xiàng)式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式計(jì)算的，寫(xiě)出計(jì)算結(jié)果．(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【思路點(diǎn)撥】?jī)蓚€(gè)多項(xiàng)式因式中，如果一項(xiàng)相同，另一項(xiàng)互為相反數(shù)就可以用平方差公式.【答案與解析】解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式計(jì)算，(1)、(6)不能用平方差公式計(jì)算．(2)＝－＝．(3)＝－＝．(4)＝－＝．(5)＝－＝．【總結(jié)升華】利用平方差公式進(jìn)行乘法運(yùn)算，一定要注意找準(zhǔn)相同項(xiàng)和相反項(xiàng)（系數(shù)為相反數(shù)的同類項(xiàng)）．2.計(jì)算：(1)59.9×60.1；(2)102×98．【答案與解析】解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝＝3600－0.01＝3599.99(2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝＝10000－4＝9996．【總結(jié)升華】用構(gòu)造平方差公式計(jì)算的方法是快速計(jì)算有些有理數(shù)乘法的好方法，構(gòu)造時(shí)可利用兩數(shù)的平均數(shù)，通過(guò)兩式(兩數(shù))的平均值，可以把原式寫(xiě)成兩數(shù)和差之積的形式．這樣可順利地利用平方差公式來(lái)計(jì)算．3.計(jì)算(2＋1)()()()()()＋1．【思路點(diǎn)撥】本題直接計(jì)算比較復(fù)雜，但觀察可以發(fā)現(xiàn)2＋1與2－1，與，與等能夠構(gòu)成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步計(jì)算.【答案與解析】解：原式＝(2－1)(2＋1)()()()()()＋1＝()()()()()()＋1＝－1＋1＝．【總結(jié)升華】對(duì)于式子較為復(fù)雜的數(shù)的計(jì)算求值問(wèn)題，不妨先仔細(xì)觀察，看是否有規(guī)律，然后去解決，會(huì)事半功倍，提高解題能力．4.解方程：．【答案與解析】解：，，，，∴．【總結(jié)升華】先利用平方差公式，再按多項(xiàng)式乘法法則展開(kāi)，此題把平方差公式與解方程綜合起來(lái)考查．5.運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（1）；（2）．【思路點(diǎn)撥】（1）是一個(gè)三項(xiàng)式的平方，不能直接運(yùn)用完全平方公式，可以用加法結(jié)合律將化成，看成與和的平方再應(yīng)用公式；（2）是兩個(gè)三項(xiàng)式相乘，其中與完全相同，，與，分別互為相反數(shù)，與平方差公式特征一致，可適當(dāng)添加括號(hào)，使完全相同部分作為“一項(xiàng)”，互為相反數(shù)的部分括在一起作為“另一項(xiàng)”．【答案與解析】解：（1）原式．（2）原式．【總結(jié)升華】配成公式中的“”“”的形式再進(jìn)行計(jì)算.6.已知△ABC的三邊長(zhǎng)、、滿足，試判斷△ABC的形狀．【思路點(diǎn)撥】通過(guò)對(duì)式子變化，化為平方和等于零的形式，從而求出三邊長(zhǎng)的關(guān)系．【答案與解析】解：∵，∴，即．即．∴，，，即，∴△ABC為等邊三角形．【總結(jié)升華】式子體現(xiàn)了三角形三邊長(zhǎng)關(guān)系，從形式上看與完全平方式相仿，但差著中的2倍，故想到等式兩邊同時(shí)擴(kuò)大2倍，從而得到結(jié)論．7.計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【答案】解：（1）原式．（2）原式．（3）原式．8.用簡(jiǎn)便方法計(jì)算：(1)899×901＋1；(2)99×101×10001；(3)－2006×2004；【答案】解：(1)原式＝(900－1)(900＋1)＋1＝＝810000．(2)原式＝[(100－1)(100＋1)]×10001＝×10001＝(10000－1)×(10000＋1)＝100000000－1＝99999999．(3)原式＝－(2005＋1)(2005－1)＝－(－)＝1．考點(diǎn)二：平方差公式的幾何背景1.（2020秋?叢臺(tái)區(qū)期末）如圖，大正方形與小正方形的面積之差是40，則陰影部分的面積是．【完整解答】解：設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為a，小正方形的面積為b，根據(jù)題意得a2﹣b2＝40，∴（a+b）（a﹣b）＝40；∵S陰＝S△ACD﹣S△CDE，∴S陰＝×CD×AB﹣×CD×BE＝（a+b）a﹣（a+b）b＝（a+b）（a﹣b）∵（a+b）（a﹣b）＝40，∴S陰＝×40＝20．故答案為：20．2.（2020秋?鄧州市期中）如圖，將圖①中大小相同的四個(gè)小正方形按圖②所示的方式放置變?yōu)橐粋€(gè)大正方形，根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的面積關(guān)系，可以驗(yàn)證（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab D．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2【完整解答】解：陰影部分的面積是四個(gè)陰影小正方形的面積和，由拼圖可得四個(gè)陰影小正方形可以拼成邊長(zhǎng)為（a﹣b）的正方形，因此面積為（a﹣b）2，由圖2可知，陰影部分的面積等于邊長(zhǎng)為a的正方形的面積減去之間十字架的面積，即：a2﹣2ab+b2，因此有（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故選：A．考點(diǎn)三：完全平方公式1.計(jì)算：(1)；(2)；(3)；(4)．【思路點(diǎn)撥】此題都可以用完全平方公式計(jì)算，區(qū)別在于是選“和”還是“差”的完全平方公式.【答案與解析】解：(1)．(2)．(3)．(4)．【總結(jié)升華】(1)在運(yùn)用完全平方公式時(shí)要注意運(yùn)用以下規(guī)律：當(dāng)所給的二項(xiàng)式符號(hào)相同時(shí)，結(jié)果中三項(xiàng)的符號(hào)都為正，當(dāng)所給的二項(xiàng)式符號(hào)相反時(shí)，結(jié)果中兩平方項(xiàng)為正，乘積項(xiàng)的符號(hào)為負(fù)．(2)注意之間的轉(zhuǎn)化．2.計(jì)算：(1)；(2)．(3)．【答案與解析】解：(1)＝4000000＋8000＋4＝4008004．(2)＝4000000－4000＋1＝3996001．(3)＝1000000－200＋0.01＝999800.01．【總結(jié)升華】構(gòu)造完全平方公式計(jì)算的方法適合求接近整數(shù)的數(shù)的平方．3.已知，＝12．求下列各式的值：(1)；(2)．【答案與解析】解：(1)∵＝－＝－3＝－3×12＝13．(2)∵＝－4＝－4×12＝1.【總結(jié)升華】由乘方公式常見(jiàn)的變形：①－＝4；②＝－2＝＋2．解答本題關(guān)鍵是不求出的值，主要利用完全平方公式的整體變換求代數(shù)式的值．考點(diǎn)四：完全平方公式的幾何背景1.（2021春?浦江縣期末）如圖是將正方形ABCD和正方形CEFG拼在一起的圖形，點(diǎn)B，C，E在同一條直線上，連結(jié)BD，BF．若陰影部分△BDF的面積為8，則正方形ABCD的邊長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．4 D．6【完整解答】解：如圖，連接CF，∵四邊形ABCD和四邊形CGFE都是正方形，∴∠BDC＝45°，∠GCF＝45°，∴∠BDC＝∠GCF，∴BD∥CF，∴S△BDF＝S△BCD＝8，∴S△BDF＝BC×BC÷2＝8．BC＝4，故選：C．2.（2021春?南潯區(qū)期末）建黨100周年主題活動(dòng)中，702班潯潯設(shè)計(jì)了如圖1的“紅色徽章”其設(shè)計(jì)原理是：如圖2，在邊長(zhǎng)為a的正方形EFGH四周分別放置四個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，構(gòu)造了一個(gè)大正方形ABCD，并畫(huà)出陰影部分圖形，形成了“紅色徽章”的圖標(biāo)．現(xiàn)將陰影部分圖形面積記作S1，每一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形面積記作S2，若S1＝6S2，則的值是．【完整解答】解：∵S1＝（a+2b）2﹣b2﹣a（a+2b）﹣b2﹣（a+b）2＝2ab+b2，S2＝b2，S1＝6S2，∴2ab+b2＝6b2，∴．故答案為：．3.（2021春?廬陽(yáng)區(qū)期末）如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)分別為a和b，如果a﹣b＝2，ab＝26，那么陰影部分的面積是（）A．30 B．34 C．40 D．44【完整解答】解：如圖，∵a﹣b＝2，ab＝26，∴a2﹣2ab+b2＝4，∴a2+b2＝4+2ab＝4+52＝56，陰影部分的面積＝S△ABC+S△CDM+S△AEF+S△GHM＝2×（a﹣b）×a+2×b×b＝a（a﹣b）+b2＝a2+b2﹣ab＝56﹣26＝30．故選：A．鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·福建·福州三牧中學(xué)八年級(jí)期中）已知x2-2mx+9是完全平方式，則m的值為（）A．±3 B．3 C．±6 D．6【答案】A【分析】根據(jù)完全平方公式的形式，可得答案．【詳解】解：已知x2-2mx+9是完全平方式，∴m=3或m=-3，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，注意符合條件的答案有兩個(gè)，以防漏解．2．（2021·北京四中八年級(jí)期中）如圖1，將長(zhǎng)為寬為的長(zhǎng)方形沿虛線剪去一個(gè)寬為1的小長(zhǎng)方形（陰影部分），得到兩個(gè)長(zhǎng)方形，再將這兩個(gè)長(zhǎng)方形拼成圖2所示圖形．這兩個(gè)圖能解釋下列哪個(gè)等式（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用變形前后兩個(gè)圖形的面積相等，建立等式即可．【詳解】如圖1，圖形的面積為（x+1）（x-1）；如圖2，圖形的面積為x（x-1）+1×（x-1）==，∴，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形解釋平方差公式，熟練掌握?qǐng)D形變形前后的面積相等是解題的關(guān)鍵．3．（2021·福建·福州三牧中學(xué)八年級(jí)期中）下列運(yùn)算中，錯(cuò)誤的是（）A．·= B．（）3= C．（ab）2=a2b2 D．（a＋b）3=a3+b3【答案】D【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算法則與整式的乘法公式即可依次判斷．【詳解】A.·=，正確；B.（）3=，正確；C.（ab）2=a2b2，正確；D.（a＋b）3=（a＋b）×（a＋b）2=（a＋b）×（a2＋2ab+b2）=a3＋2a2b+ab2+a2b+2ab2+b3=a3＋3a2b+3ab2+b3，故錯(cuò)誤；故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查冪的運(yùn)算及整式的乘法，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式的運(yùn)用．4．（2021·福建南安·八年級(jí)期中）若x2＋kx＋25是一個(gè)完全平方式，則k的取值是（）A．5 B．±5 C．10 D．±10【答案】D【分析】?jī)蓚€(gè)完全平方式：，利用完全平方式的特點(diǎn)可得答案.【詳解】解：x2＋kx＋25而x2＋kx＋25是一個(gè)完全平方式，∴k=故選D【點(diǎn)睛】本題考查的是完全平方式，利用完全平方式的特點(diǎn)求解完全平方式中的字母系數(shù)是解題的關(guān)鍵.5．（2021·山東臨淄·八年級(jí)期中）已知，，那么（）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】對(duì)式子，同時(shí)除以，得，即，然后平方即可求解．【詳解】解：∵，同時(shí)除以，得，即對(duì)兩邊平方可得：，解得故選C【點(diǎn)睛】此題考查了分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是掌握等式的基本性質(zhì)和完全平方公式．6．（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學(xué)校八年級(jí)期中）下列計(jì)算正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，冪的乘方運(yùn)算，整式的乘法逐一判斷即可【詳解】A.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.故該選項(xiàng)正確，符合題意；C.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是同底數(shù)冪的乘法，積的乘方，冪的乘方運(yùn)算，整式的乘法，熟知以上知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．7．（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學(xué)校八年級(jí)期中）如圖分割的正方形，拼接成長(zhǎng)方形的方案中，可以驗(yàn)證（）A． B．C． D．【答案】A【分析】對(duì)圖形中陰影部分的面積進(jìn)行計(jì)算即可得到相關(guān)的等式．【詳解】解：如圖所示，右邊陰影部分面積為：，左邊陰影部分面積為：，由陰影部分面積相等可得：，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了平方差公式的幾何背景．分別表示出圖形陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．8．（2021·山東·濟(jì)寧學(xué)院附屬中學(xué)八年級(jí)期中）計(jì)算：的值是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用平方差公式（）進(jìn)行運(yùn)算即可得．【詳解】解：原式，，，，，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了利用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算，熟記平方差公式是解題關(guān)鍵．二、填空題9．（2021·福建·福州三牧中學(xué)八年級(jí)期中）已知實(shí)數(shù)a，b滿足a-b=5，ab=4，則a+b=_______．【答案】±5．【分析】根據(jù)完全平方公式的變形即可解答．【詳解】解：∵a-b=3，∴（a-b）2=32，∵ab=4，∴（a+b）2=（a-b）2+4ab=9+4×4=25，∴a+b=±5．故答案為：±5．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的應(yīng)用，求一個(gè)數(shù)的平方根，靈活對(duì)完全平方公式進(jìn)行變形是解答本題的關(guān)鍵．10．（2021·福建·廈門(mén)市第五中學(xué)八年級(jí)期中）楊輝三角形在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書(shū)中就出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)的帕斯卡三角形（楊輝三角形）要早393年．如圖為楊輝三角系數(shù)表的一部分，我們可以按照其中規(guī)律寫(xiě)出形如（a＋b）n（n為正整數(shù)）展開(kāi)式的系數(shù)，請(qǐng)你仔細(xì)觀察下表中的規(guī)律，再寫(xiě)出（a＋b）4的展開(kāi)式．（a＋b）＝a＋b（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3則（a＋b）4＝___．【答案】【分析】根據(jù)題干可得出規(guī)律：展開(kāi)后的各項(xiàng)是按a的降冪、b的升冪排列，且其系數(shù)是上一行相鄰系數(shù)的和，然后寫(xiě)出各項(xiàng)即可．【詳解】根據(jù)題意和楊輝三角可知：的各項(xiàng)分別是：、、、、，的系數(shù)分別是：1、1+3=4、3+3=6、1+3=4、1，故的展開(kāi)式是：．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字類規(guī)律探索，完全平方公式．準(zhǔn)確找出題干中所隱藏的規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．11．（2021·四川興文·八年級(jí)期中）一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根分別是和，且，則的值是___________．【答案】【分析】由于一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根應(yīng)該互為相反數(shù)，得到a-b=3，再利用完全平方公式變式即可求解．【詳解】解：由題意得：a+4-7-b=0，即a-b=3，∴(a-b)2=9，即，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平方根的定義以及完全平方公式．注意一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)．12．（2021·天津南開(kāi)·八年級(jí)期中）已知a﹣b＝8，ab＝﹣15，則a2+b2＝______．【答案】34【分析】根據(jù)完全平方公式的變形即可求解．【詳解】∵a﹣b＝8，∴（a﹣b）2=a2+b2-2ab=64∴a2+b2=64+2ab=64-30=34．故答案為：34．【點(diǎn)睛】此題主要考查代數(shù)式求值，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式的變形運(yùn)用．13．（2021·江蘇·蘇州中學(xué)八年級(jí)期中）已知?jiǎng)t＝____．【答案】16【分析】先利用平方差公式進(jìn)行因式分解，再代入題目給出的s+t=4，再提取公因式得到4(s+t)，最后得出答案．【詳解】原式=(s+t)(s-t)+8t=4(s-t)+8t=4s-4t+8t=4(s+t)=4×4=16；故答案為：16【點(diǎn)睛】本題考查由給定式子值求另一個(gè)式子值，考查了平方差公式和提取公因式的運(yùn)用，掌握求解的方法是解題關(guān)鍵．14．（2021·北京四中八年級(jí)期中）麗麗在做一道計(jì)算題目的時(shí)候是這樣分析的：這個(gè)算式里面每個(gè)括號(hào)內(nèi)都是兩數(shù)和的形式，跟最近學(xué)的乘法公式作比較，發(fā)現(xiàn)如果添加兩數(shù)的差作為新的因式，就可以運(yùn)用平方差公式進(jìn)行運(yùn)算，她嘗試添了因式，很快得到計(jì)算結(jié)果．①______________；請(qǐng)參考麗麗的方法進(jìn)行運(yùn)算：②的值為_(kāi)___________．【答案】【分析】（1）添加因式，然后依次按照平方差公式計(jì)算即可；（2）將原式化為，依次按照平方差公式計(jì)算即可．【詳解】解：①

故答案為：②======

故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查平方差公式的應(yīng)用，能夠根據(jù)定義觀察得出需要添加的因式并能進(jìn)行準(zhǔn)確計(jì)算是解題關(guān)鍵．15．（2021·河南·漯河市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）若x2－2（m－3）x＋16是完全平方式，則m的值為_(kāi)_______．【答案】7或-1-1或7【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵是一個(gè)完全平方式，∴，∴，即解得：或，故答案為：7或-1．【點(diǎn)睛】本題對(duì)完全平方公式結(jié)構(gòu)考查，務(wù)必清楚的是，有完全平方和與完全平方差兩種形式．三、解答題16．（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學(xué)校八年級(jí)期中）計(jì)算：（1）（2）【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)冪的乘方，積的乘方和同底數(shù)冪的乘法計(jì)算即可；（2）根據(jù)完全平方公式和平方差公式展開(kāi)，在合并同類項(xiàng)即可；【詳解】（1）原式；（2）原式；【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的運(yùn)算性質(zhì)，乘法公式的應(yīng)用，合并同類項(xiàng)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．17．（2021·河南·漯河市實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）計(jì)算（1）（－xyz）·x2y2·（－yz3）（2）8m（m2－3m＋4）－m2（m－3）（3）（m＋1）（m－1）（m2－1）（4）（2x－3y－1）（2x＋3y＋1）【答案】（1）x3y4z4；（2）7m3－21m2＋32m；（3）m4－2m2＋1；（4）4x2－9y2－6y－1【分析】（1）直接根據(jù)整式的乘法計(jì)算法則進(jìn)行求解；（2）根據(jù)整式的混合計(jì)算法則進(jìn)行求解即可；（3）利用平方差公式和完全平方公式進(jìn)行求解即可；（4）利用平方差公式進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）；（2）；（3）；（4）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式的乘法，乘法公式，整式混合計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)計(jì)算法則．18．（2021·山東陽(yáng)信·八年級(jí)期中）（1）化簡(jiǎn)：；（2）先化簡(jiǎn)，再求值：，其中．【答案】（1）；（2）；．【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式展開(kāi)，合并同類項(xiàng)即可得到結(jié)果．（2）利用完全平方公式和平方差公式進(jìn)行乘法運(yùn)算展開(kāi)，再合并同類項(xiàng)即可化簡(jiǎn)，然后將代入計(jì)算即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：原式．（2）解：原式．當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算，涉及的知識(shí)有：平方差公式，完全平方公式，去括號(hào)法則以及合并同類項(xiàng)法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關(guān)鍵．平方差公式：，完全平方公式：．19．（2021·河南西峽·八年級(jí)期中）一塊邊長(zhǎng)為的正方形紙板，在其中一個(gè)角剪去了一個(gè)邊長(zhǎng)為（）的小正方形，如圖．請(qǐng)根據(jù)圖形的面積關(guān)系，利用剪拼的方法驗(yàn)證乘法公式．【分析】根據(jù)題意結(jié)合平方差公式與幾何圖形的關(guān)系可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：按圖2剪拼圖形．圖1中缺角的紙板的面積為；圖2中矩形硬紙板的面積為，因?yàn)閳D1、圖2紙板的面積相等，所以．【點(diǎn)睛】本題主要考查平方差公式與幾何圖形，熟練掌握平方差公式是解題的關(guān)鍵．20．（2021·黑龍江·哈爾濱市第四十九中學(xué)校八年級(jí)期中）如圖，一塊空地是由邊長(zhǎng)為（2a＋3b）米，（2a－3b）米的兩個(gè)正方形組成，計(jì)劃在左側(cè)留出一個(gè)長(zhǎng)方形區(qū)域作水池，剩余陰影部分作花壇．（1）根據(jù)圖中的數(shù)據(jù)，用含有a、b的數(shù)據(jù)表示出花壇的總面積；（結(jié)果化為最簡(jiǎn)）（2）若a＝2，b＝，求出此時(shí)花壇的總面積．【答案】（1）；（2）【分析】（1）用兩個(gè)正方形的面積之和減去空白部分的面積，再化簡(jiǎn)，即可求解；（2）把a(bǔ)＝2，b＝代入（1）中的結(jié)果，即可求解．【詳解】解：（1）根據(jù)題意得：花壇的總面積為；（2）當(dāng)a＝2，b＝時(shí)，，即此時(shí)花壇的總面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了整式混合運(yùn)算的應(yīng)用，明確題意，準(zhǔn)確列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．21．（2021·福建連江·八年級(jí)期中）用4個(gè)長(zhǎng)為a，寬為b的長(zhǎng)方形拼成如圖所示的大正方形，根據(jù)此圖：（1）寫(xiě)出大正方形、中間小正方形與長(zhǎng)方形的面積之間的等量關(guān)系式（用含a、b的等式表示），并運(yùn)用乘法公式驗(yàn)證你寫(xiě)出的等量關(guān)系式；（2）若a﹣b＝，a2+b2＝13，求（a+b）2的值．【答案】（1）（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，驗(yàn)證見(jiàn)解析；（2）21【分析】（1）根據(jù)拼成的大正方形面積=四個(gè)小長(zhǎng)方形面積+中間一個(gè)小正方形的面積進(jìn)行求解即可；（2）利用完全平方公式的變形進(jìn)行求解即可．【詳解】解：（1）∵大正方形的邊長(zhǎng)是，∴它的面積為：，又∵大正方形是4塊小長(zhǎng)方形和1個(gè)小正方形拼成，∴它的面積還可以表示成：，∴可得等式，乘法公式驗(yàn)證：∵，，∴；（2）根據(jù)完全平方公式可得，，由（1）題結(jié)論得，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，解題得關(guān)鍵在于能夠熟練掌握完全平方公式．22．（2021·四川恩陽(yáng)·八年級(jí)期中）上數(shù)學(xué)課時(shí)，王老師在講完乘法公式（a±b）2＝a2±2ab+b2的多種運(yùn)用后，要求同學(xué)們運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解答：求代數(shù)式x2+4x+5的最小值？同學(xué)們經(jīng)過(guò)交流、討論，最后總結(jié)出如下解答方法：解：x2+4x+5＝x2+4x+4+1＝（x+2）2+1∵（x+2）2≥0，∴當(dāng)x＝﹣2時(shí)，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1∴當(dāng)（x+2）2＝0時(shí)，（x+2）2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1．請(qǐng)你根據(jù)上述方法，解答下列各題（1）當(dāng)x＝時(shí)，代數(shù)式x2﹣6x+12有最小值；最小值是；（2）若y＝﹣x2+2x﹣3，請(qǐng)判斷y有最大還是最小值；這個(gè)值是多少？此時(shí)x等于哪個(gè)數(shù)？（3）若﹣x2+3x+y+5＝0，則y+x=（用含x，y的代數(shù)式表示）請(qǐng)