第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式綜合測(cè)試（解析版）

第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式綜合測(cè)試學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B．C．或 D．或【答案】B【解析】【分析】化簡(jiǎn)集合A，利用交集的運(yùn)算律求.【詳解】∵不等式的解集為，∴

，又，∴

故選：B.2．（2022·河北·武安市第一中學(xué)高一期末）若為實(shí)數(shù)，且，則下列命題正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，可判斷；對(duì)于B，舉反例，當(dāng)，時(shí)，代入比較可判斷；對(duì)于C，作差，由已知可判斷；對(duì)于D，運(yùn)用作差比較法可判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，，，此時(shí)，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋?，又，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，，，，D正確.故選：D.3．（2022·全國(guó)·高一期末）若x>1，則有（

）A．最小值1 B．最大值1 C．最小值-1 D．最大值-1【答案】A【解析】【分析】將給定表達(dá)式整理變形，再利用基本不等式即可作答.【詳解】因x>1，則1，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以有最小值為1.故選：A4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知，，且，若恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】依題意可得，結(jié)合基本不等式可求的最小值，然后由恒成立可知，解不等式可求的范圍，從而得解．【詳解】解：，，且，，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，若恒成立．，，解不等式可得，，故實(shí)數(shù)的最小值為，故選：．5．（2022·河北省三河市第二中學(xué)高一期末）已知正數(shù)、滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】由得，再將代數(shù)式與相乘，利用基本不等式可求出的最小值．【詳解】，所以，，則，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為，故選．【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求最值，對(duì)代數(shù)式進(jìn)行合理配湊，是解決本題的關(guān)鍵，屬于中等題．6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)（文））已知p：q：，則p是q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)與的互相推出情況判斷出屬于何種條件.【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，所以充分性滿足，當(dāng)時(shí)，取，此時(shí)不滿足，所以必要性不滿足，所以是的充分不必要條件，故選：A.7．（2022·全國(guó)·高一期末）若不等式對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】由對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，分和兩種結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】解：對(duì)一切實(shí)數(shù)都成立，①時(shí)，恒成立，②時(shí)，則，解得，綜上可得，.故選：D.8．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出“三斜求積術(shù)”，即假設(shè)在平面內(nèi)有一個(gè)三角形，邊長(zhǎng)分別為，三角形的面積S可由公式求得，其中為三角形周長(zhǎng)的一半，這個(gè)公式也被稱為海倫----秦九韶公式，現(xiàn)有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)滿足，則此三角形面積的最大值為（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】B【解析】【分析】由題意可得，，進(jìn)而利用基本不等式，即可得出結(jié)論．【詳解】由題意，，，可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以此三角形面積的最大值為12．故選：．二、多選題9．（2022·黑龍江·牡丹江市第三高級(jí)中學(xué)高一期末）設(shè)，，給出下列不等式恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】【分析】選項(xiàng)A，B可用作差法比較大??；選項(xiàng)C，D可用基本不等式求范圍.【詳解】由可得，故A正確；由可得，故B錯(cuò)誤；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故C正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，故D正確.故選：ACD.10．（2022·重慶巫山·高一期末）下列說法正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】AC【解析】【分析】對(duì)各選項(xiàng)逐一通過作差，不等式的性質(zhì)或者舉特例即可確定對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的正確性而得解.【詳解】對(duì)于A，因，則，即，A正確；對(duì)于B，時(shí)，取，則，即不成立，B不正確；對(duì)于C：因，則，于是有，C正確；對(duì)于D，，當(dāng)時(shí)，，即不成立，D不正確.所以說法正確的是只有選項(xiàng)AC.故選：AC11．（2022·山西師范大學(xué)實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知不等式的解集為或，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．的解集為或【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)題意可得且的根為，利用韋達(dá)定理可得，分別代入計(jì)算判斷正誤．【詳解】根據(jù)二次函數(shù)開口與二次不等式之間的關(guān)系可知，A正確；的根為，則，即∴，B正確；，C正確；，即，則，解得∴的解集為，D錯(cuò)誤；故選：ABC．12．（2022·江蘇南通·高二期中）下列說法正確的有（

）A．的最小值為2B．已知，則的最小值為C．若正數(shù)x，y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為3D．設(shè)x，y為實(shí)數(shù)，若，則的最大值為【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，可以利用基本不等式求出的最小值為3，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于BD選項(xiàng)，可以根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的性質(zhì)，以及基本不等式的公式，即可求解.【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故B選項(xiàng)正確，對(duì)于C選項(xiàng)，若正數(shù)、滿足，則，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，對(duì)于D選項(xiàng)，，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為，D選項(xiàng)正確．故選：BD．三、填空題13．（2022·全國(guó)·高一期末）有下面四個(gè)不等式：①；②；③；④．其中恒成立的有______個(gè)．【答案】2【解析】【分析】①使用作差法證明．②利用二次函數(shù)的性質(zhì)．③使用基本不等式證明．④ab＜0時(shí)，即可判斷出正誤.【詳解】解：①因?yàn)?（a2+b2+c2）﹣2（ab+bc+ca）＝（a﹣b）2+（b﹣c）2+（c﹣a）2≥0，所以a2+b2+c2≥2（ab+bc+ca）成立，所以①正確．②因?yàn)椋寓谡_．③當(dāng)a，b同號(hào)時(shí)有，當(dāng)a，b異號(hào)時(shí)，，所以③錯(cuò)誤．④ab＜0時(shí)，不成立.其中恒成立的個(gè)數(shù)是2個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)及證明，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．14．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為凈化水質(zhì)，向一個(gè)游泳池加入某種化學(xué)藥品，加藥后池水中該藥品的濃度（單位：）隨時(shí)間（單位：）的變化關(guān)系為，則經(jīng)過_______后池水中藥品的濃度達(dá)到最大.【答案】2【解析】【詳解】C＝＝5當(dāng)且僅當(dāng)且t＞0，即t＝2時(shí)取等號(hào)考點(diǎn)：基本不等式，實(shí)際應(yīng)用15．（2022·江蘇·高三專題練習(xí)）設(shè)關(guān)于x的不等式，只有有限個(gè)整數(shù)解，且0是其中一個(gè)解，則全部不等式的整數(shù)解的和為____________【答案】【解析】【分析】先確定，再利用0為其中的一個(gè)解，，求出的值，從而可得不等式，由此確定不等式的整數(shù)解，從而可得結(jié)論.【詳解】設(shè)，其圖象為拋物線，對(duì)于任意一個(gè)給定的值其拋物線只有在開口向下的情況下才能滿足而整數(shù)解只有有限個(gè)，所以，因?yàn)?為其中一個(gè)解可以求得，又，所以或，則不等式為和，可分別求得和，因?yàn)槲徽麛?shù)，所以和，所以全部不等式的整數(shù)解的和為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)題設(shè)條件確定出實(shí)數(shù)的值，求出相應(yīng)的一元二次不等式的解集是解答關(guān)鍵，推理與運(yùn)算能力.16．（2022·河北·武安市第一中學(xué)高一期末）已知，，且，則的最大值為____________．【答案】2【解析】【分析】根據(jù)基本不等式得，解之可求得答案．【詳解】因?yàn)?，，且，所以，解得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以的最大值為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求最值時(shí)，要注意其必須滿足的三個(gè)條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項(xiàng)必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項(xiàng)之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時(shí)，必須驗(yàn)證等號(hào)成立的條件，若不能取等號(hào)則這個(gè)定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯(cuò)誤的地方.四、解答題17．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）比較大小.（1）比較與的大??；（2），，比較與的大小.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）采用作差法比較大?。簩p去的結(jié)果與比較大小，即可比較出大小關(guān)系；（2）采用作差法比較大?。簩p去的結(jié)果與比較大小，即可比較出大小關(guān)系.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，所以；?）因?yàn)?，又，，所以，所?18．（2022·江蘇·高一）設(shè)，，求，，的范圍.【答案】，，【解析】【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，先求出與的范圍，再由可乘性得出的范圍即可.【詳解】∵，，∴，，，，∴，，∴.故，，．19．（2022·全國(guó)·高一）已知不等式的解集為或(1)求b和c的值；(2)求不等式的解集.【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件利用一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式的關(guān)系即可計(jì)算得解；（2）利用（1）的結(jié)論直接解一元二次不等式即可作答.(1)因不等式的解集為或，則是方程的兩個(gè)根，于是得，解得，，所以b和c的值分別為，.(2)由（1）知，不等式為，解得，所以的解集為.20．（2022·陜西·長(zhǎng)安一中高一階段練習(xí)）解關(guān)于x的不等式．【答案】答案見解析.【解析】【分析】將原不等式轉(zhuǎn)化為ax2＋(a－2)x－2≥0．根據(jù)二次函數(shù)開口方向和方程根的大小，分a＝0，a＞0，a＜0，a＜－2，－2＜a＜0五種情況討論求解.【詳解】原不等式可化為ax2＋(a－2)x－2≥0．①當(dāng)a＝0時(shí)，原不等式化為x＋1≤0，解得x≤－1．②當(dāng)a＞0時(shí)，原不等式化為(x＋1)≥0，解得x≥或x≤－1．③當(dāng)a＜0時(shí)，原不等式化為(x＋1)≤0．當(dāng)＞－1，即a＜－2時(shí)，解得－1≤x≤；當(dāng)＝－1，即a＝－2時(shí)，解得x＝－1滿足題意；當(dāng)＜－1，即－2＜a＜0，解得≤x≤－1．綜上所述，當(dāng)a＝0時(shí)，不等式的解集為{x|x≤－1}；當(dāng)a＞0時(shí)，不等式的解集為或；當(dāng)－2＜a＜0時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)a＝－2時(shí)，不等式的解集為{－1}；當(dāng)a＜－2時(shí)，不等式的解集為．【點(diǎn)睛】本題主要考查含參一元二次不等式的解法，還考查了分類討論的思想和運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.21．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某農(nóng)貿(mào)公司按每擔(dān)200元的價(jià)格收購某農(nóng)產(chǎn)品，并按每100元納稅10元（又稱征稅率為10個(gè)百分點(diǎn)）進(jìn)行納稅，計(jì)劃可收購萬擔(dān)，政府為了鼓勵(lì)收購公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將征稅降低（）個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測(cè)收購量可增加個(gè)百分點(diǎn).（1）寫出稅收（萬元）與的函數(shù)關(guān)系式；（2）要使此項(xiàng)稅收在稅率調(diào)整后不少于原計(jì)劃稅收的，試確定的取值范圍【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】試題分析：（Ⅰ）根據(jù)征稅率降低x（x≠0）個(gè)百分點(diǎn)，預(yù)測(cè)收購量可增加2x個(gè)百分點(diǎn)，可知降低稅率后的稅率為（10-x）%，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a（1+2x%）萬擔(dān)，收購總金額

200a（1+2x%），從而可求稅收y（萬元）與x的函數(shù)關(guān)系式；（Ⅱ）利用稅收在稅率調(diào)節(jié)后，不少于原計(jì)劃稅收的83.2%，可建立不等關(guān)系，從而可得x的取值范圍．試題解析：（1）降低稅率后的稅率為，農(nóng)產(chǎn)品的收購量為萬擔(dān),收購總金額為萬元.依題意有（2）原計(jì)劃稅收為萬元依題意有化簡(jiǎn)得.的取范圍是.點(diǎn)睛：解決函數(shù)模型應(yīng)用的解答題，還有以下幾點(diǎn)容易造成失分：①讀不懂實(shí)際背景，不能將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型．②對(duì)涉及的相關(guān)公式，記憶錯(cuò)誤．③在求解的過程中計(jì)算錯(cuò)誤.另外需要