《勾股定理》拓展練習(xí)(含解析)

《勾股定理》拓展練習(xí)(含解析)《勾股定理》拓展練習(xí)(含解析)/NUMPAGES21 《勾股定理》拓展練習(xí)(含解析)《勾股定理》拓展練習(xí)(含解析)16《勾股定理》拓展練習(xí)(含解析)一、選擇題（共3小題，每小題4分，滿分12分）1．（4分）（1999?廣西）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，則AB=（）A．4B．5C．2D．2．（4分）若三角形中的一條邊是另一條邊的2倍，且有一個角為30°，則這個三角形是（）A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．以上都不對3．（4分）如圖，過△ABC的頂點A的直線DE∥BC，∠ABC、∠ACB的平分線分別交DE于E、D兩點，若AB=6，AC=8，則DE=（）A．10B．14C．16D．24二、填空題（共7小題，每小題5分，滿分35分）4．（5分）如圖，P為△ABC邊BC上的一點，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，則∠ACB的度數(shù)是_________°．5．（5分）（1997?陜西）如圖，在四邊形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，則∠DAB的度數(shù)是_________°．6．（5分）如圖，四邊形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且∠ABC=90°，則四邊形ABCD的面積是_________cm2．7．（5分）如圖，P是長方形ABCD內(nèi)一點，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD2等于_________．8．（5分）如圖，長方形紙片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，現(xiàn)將A、C重合，使紙片折疊壓平，設(shè)折痕為EF，則S△AEF=_________cm2．9．（5分）如圖，已知∠A=∠B，AA1，BB1，PP1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，則AP+PB=_________．10．（5分）如圖，一個直角三角形的三邊長均為正整數(shù)，已知它的一條直角邊的長恰是3，那么另一條直角邊的長是_________．三、解答題（共4小題，滿分53分）11．（12分）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的點．求證：BD2+CD2=2AD2．12．（13分）如圖：在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD與BE相交于點P，BQ⊥AD于Q．求證：①△ADC≌△BEA；②BP=2PQ．13．（14分）如圖，在等腰直角△ABC的斜邊上取異于B，C的兩點E，F(xiàn)，使∠EAF=45°，求證：以EF，BE，CF為邊的三角形是直角三角形．14．（14分）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，D為斜邊BC中點，DE⊥DF，求證：EF2=BE2+CF2．

《第1章勾股定理》2010年拓展練習(xí)參考答案與試題解析一、選擇題（共3小題，每小題4分，滿分12分）1．（4分）（1999?廣西）如圖，在四邊形ABCD中，∠A=60°，∠B=∠D=90°，BC=2，CD=3，則AB=（）A．4B．5C．2D．考點：解直角三角形．744438專題：計算題；壓軸題．分析：分析題意構(gòu)造一個直角三角形，然后利用勾股定理解答即可．解答：解：如圖，延長AD，BC交于點E，則∠E=30°．在△CED中，CE=2CD=6（30°銳角所對直角邊等于斜邊一半），∴BE=BC+CE=8，在△AEB中，AE=2AB（30°銳角所對直角邊等于斜邊一半）∴AB2+BE2=AE2，即AB2+64=（2AB）2，3AB2=64，解得：AB=．故選D．點評：本題通過作輔助線，構(gòu)造直角三角形，利用解直角三角形的知識進行計算．2．（4分）若三角形中的一條邊是另一條邊的2倍，且有一個角為30°，則這個三角形是（）A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．以上都不對考點：三角形．744438分析：如圖，分AB是30°角所對的邊AC的2倍和AB是30°角相鄰的邊AC的2倍兩種情況求解．解答：解：如圖：（1）當(dāng)AB是30°角所對的邊AC的2倍時，△ABC是直角三角形；（2）當(dāng)AB是30°角相鄰的邊AC的2倍時，△ABC是鈍角三角形．所以三角形的形狀不能確定．故選D．點評：解答本題關(guān)鍵在于已知30°的角與邊的關(guān)系不明確，需要討論求解，所以三角形的形狀不能確定．3．（4分）如圖，過△ABC的頂點A的直線DE∥BC，∠ABC、∠ACB的平分線分別交DE于E、D兩點，若AB=6，AC=8，則DE=（）A．10B．14C．16D．24考點：勾股定理；平行四邊形的性質(zhì)．744438分析：BE為∠ABC的角平分線，∠EBC=∠ABE，CD為∠ACB的角平分線，則∠ACD=∠DCB，因為BC∥DE，根據(jù)平行線的性質(zhì)，內(nèi)錯角相等，可得出AD=AC，AB=AE，所以DE=AD+AE=AB+AC，從而可求出DE的長度．解答：解：由分析得：∠EBC=∠ABE，∠ACD=∠DCB；根據(jù)平行線的性質(zhì)得：∠DCB=∠CDE，∠EBC=∠BED；所以∠ADC=∠ACD，∠ABE=∠AEB，則AD=AC，AB=AE；所以DE=AD+AE=AB+AC=6+8=14；故選B．點評：本題考點：平行四邊形的性質(zhì)．兩直線平行，則內(nèi)錯角相等．然后根據(jù)角度相等可得出△ADC和ABE為等腰三角形．所以DE的長度等于AB和AC的和．二、填空題（共7小題，每小題5分，滿分35分）4．（5分）如圖，P為△ABC邊BC上的一點，且PC=2PB，已知∠ABC=45°，∠APC=60°，則∠ACB的度數(shù)是75°．考點：三角形內(nèi)角和定理；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理．744438專題：計算題．分析：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠DCP=30°，求證PB=PD；再根據(jù)三角形外角性質(zhì)求證BD=AD，再利用△BPD是等腰三角形，然后可得AD=DC，∠ACD=45°從而求出∠ACB的度數(shù)．解答：解：過C作AP的垂線CD，垂足為點D．連接BD；∵△PCD中，∠APC=60°，∴∠DCP=30°，PC=2PD，∵PC=2PB，∴BP=PD，∴△BPD是等腰三角形，∠BDP=∠DBP=30°，∵∠ABP=45°，∴∠ABD=15°，∵∠BAP=∠APC﹣∠ABC=60°﹣45°=15°，∴∠ABD=∠BAD=15°，∴BD=AD，∵∠DBP=45°﹣15°=30°，∠DCP=30°，∴BD=DC，∴△BDC是等腰三角形，∵BD=AD，∴AD=DC，∵∠CDA=90°，∴∠ACD=45°，∴∠ACB=∠DCP+∠ACD=75°，故答案為：75．點評：此題主要考查學(xué)生三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，勾股定理等知識點，綜合性較強，有一定的拔高難度，屬于難題．5．（5分）（1997?陜西）如圖，在四邊形ABCD中，AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，則∠DAB的度數(shù)是135°．考點：勾股定理的逆定理．744438分析：由已知可得AB=BC，從而可求得∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)已知可求得AC：CD：DA=2：3：1，從而發(fā)現(xiàn)其符合勾股定理的逆定理，即可得到∠ADC=90°，從而不難求得∠DAB的度數(shù)．解答：解：∵AB：BC：CD：DA=2：2：3：1，且∠ABC=90°，∴AB=BC，∴∠BAC=∠ACB=45°，∴AB：BC：AC=2：2：2=1：1：，∴AC：CD：DA=2：3：1，∵AC2+AD2=CD2∴∠DAC=90°，∴∠DAB=45°+90°=135°．點評：此題主要考查學(xué)生對勾股定理的逆定理的理解及運用能力．6．（5分）如圖，四邊形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且∠ABC=90°，則四邊形ABCD的面積是144cm2．考點：勾股定理的逆定理；勾股定理．744438分析：連接AC，根據(jù)勾股定理可求得AC的長，再根據(jù)勾股定理的逆定理得，△ADC也是直角三角形，分別求得兩個三角形的面積即可得到四邊形ABCD的面積．解答：解：連接AC∵AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°∴AC=10cm∵CD=24cm，DA=26cm∴AC2+CD2=AD2∴∠ACD=90°∴S△ABC=×6×8=24cm2S△ACD=×10×24=120cm2∴四邊形ABCD的面積=24+120=144cm2點評：此題主要考查學(xué)生對勾股定理逆定理及三角形面積的理解及運用能力．7．（5分）如圖，P是長方形ABCD內(nèi)一點，已知PA=3，PB=4，PC=5，那么PD2等于18．考點：勾股定理．744438分析：可過P作AD、AB的平行線，將矩形ABCD分割成四個小矩形，然后根據(jù)勾股定理求出PA、PB、PC、PD四條線段的長度的數(shù)量關(guān)系，然后再代值計算．解答：解：如圖，過P作AD、AB的平行線，原矩形被分成四個小矩形；由勾股定理得：PA2=a2+b2，PC2=c2+d2；PB2=b2+c2，PD2=a2+d2；因此：PA2+PC2=PB2+PD2，即：32+52=42+PD2，解得，PD2=18．點評：此題考查了矩形的性質(zhì)和勾股定理的應(yīng)用，正確地得到PA、PB、PC、PD四條線段之間的數(shù)量關(guān)系至關(guān)重要．8．（5分）如圖，長方形紙片ABCD中，AB=3cm，BC=4cm，現(xiàn)將A、C重合，使紙片折疊壓平，設(shè)折痕為EF，則S△AEF=cm2．考點：翻折變換（折疊問題）．744438分析：由翻折的性質(zhì)知D′F=DF，CE=AE，且CE=BC﹣BE，故由勾股定理求得BE的長，再證得△ABE≌△AD′F，有AF=AD﹣FD，則S△AEF=AF?AB．解答：解：由題意知，D′F=DF，CE=AE，在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，AB2+BE2=（BC﹣BE）2，即32+BE2=（4﹣BE）2，解得：BE=，∵∠D′AF+∠EAF=∠EAF+∠BAE=90°，∴∠D′AF=∠BAE又∵∠D′=∠B=90°，AD′=CD=AB∴△D′AF≌△BAE∴FD=D′F=BE=∴AF=AD﹣FD=4﹣=∴S△AEF=AF?AB=××3=．故本題答案為：．點評：本題考查了翻折的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理．9．（5分）如圖，已知∠A=∠B，AA1，BB1，PP1均垂直于A1B1，AA1=17，PP1=16，BB1=20，A1B1=12，則AP+PB=13．考點：勾股定理．744438分析：過P做A1B1平行線，得到兩個直角三角形，利用勾股定理解出AP和BP的長，再計算AP+PB．解答：解：方法一：如圖：∵AD=AA1﹣A1D=17﹣16=1；BC=B1B﹣B1C=20﹣16=4；又∵∠A=∠B∴tan∠A=tan∠B∴∴CP=4DP∴CP=，DP=．∴AP=，BP==．故AP+PB==13．方法二：過p點作A1B1平行線，分別交AA1于D點，交BB1于F點，延長BP交AA1于c點，過C點作CG垂直于BB1于G點．∵AA1，BB1分別垂直于A1B1∴AA1∥BB1又∵∠A=∠B，∴∠A=∠ACP，∴三角形ACP為等腰三角形，AP=CP∴AP+BP=CP+PB=CB∵FD∥A1B1，∴FD垂直于AA1，∴D為AC的中點又∵PP1=16，AA1=17，BB1=20∴AD=DC=FG=1，BF=4∴BG=BF+FG=4+1=5∴在直角三角形CGB中CG=A1B1=12BG=5CB2=CG2+BG2=122+52∴CB=13=AP+PB點評：考查了勾股定理和三角函數(shù)在直角三角形中的應(yīng)用．10．（5分）如圖，一個直角三角形的三邊長均為正整數(shù)，已知它的一條直角邊的長恰是3，那么另一條直角邊的長是4．考點：勾股定理．744438分析：根據(jù)勾股定理，兩邊的平方和等于第三邊的平方，設(shè)另一條直角邊a，根據(jù)勾股定理可以得出斜邊為，根據(jù)邊長的關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，結(jié)合邊長為整數(shù)，進而得出a的值．解答：解：設(shè)另一個直角邊為a，則根據(jù)勾股定理可以得出斜邊為，由三角形的邊長關(guān)系：3+a＞，∵邊長為整數(shù)，∴a=4，即斜邊為5．即另一條直角邊的長是4．點評：本題考查了勾股定理的應(yīng)用，屬于比較簡單的題目，需要熟練掌握．三、解答題（共4小題，滿分53分）11．（12分）如圖，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的點．求證：BD2+CD2=2AD2．考點：勾股定理．744438專題：證明題．分析：作AE⊥BC于E，由于∠BAC=90°，AB=AC，所以BE=CE，要證明BD2+CD2=2AD2，只需找出BD、CD、AD三者之間的關(guān)系即可，由勾股定理可得出AD2=AE2+ED2，AE2=AB2﹣BE2=AC2﹣CE2，ED=BD﹣BE=CE﹣CD，代入求出三者之間的關(guān)系即可得證．解答：證明：作AE⊥BC于E，如上圖所示：由題意得：ED=BD﹣BE=CE﹣CD，∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴BE=CE=BC，由勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，AE2=AB2﹣BE2=AC2﹣CE2，AD2=AE2+ED2，∴2AD2=2AE2+2ED2=AB2﹣BE2+（BD﹣BE）2+AC2﹣CE2+（CE﹣CD）2=AB2+AC2+BD2+CD2﹣2BD×BE﹣2CD×CE=AB2+AC2+BD2+CD2﹣2×BC×BC=BD2+CD2，即：BD2+CD2=2AD2．點評：本題主要考查勾股定理，關(guān)鍵在于找出直角三角形利用勾股定理求證，本題主要運用“等量代換”求出BD、CD、AD三者之間的關(guān)系．12．（13分）如圖：在△ABC中，AB=BC=AC，AE=CD，AD與BE相交于點P，BQ⊥AD于Q．求證：①△ADC≌△BEA；②BP=2PQ．考點：等邊三角形的判定與性質(zhì)．744438專題：證明題．分析：（1）由已知可得△ABC是等邊三角形，從而得到∠BAC=∠C=60°，根據(jù)SAS即可判定△ADC≌△BEA；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得到∠ABE=∠CAD，再根據(jù)等角的性質(zhì)即可求得∠BPQ=60°，再根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠PBQ=30°，根據(jù)在直角三角形中30°的角對的邊是斜邊的一半即可證得結(jié)果．解答：證明：（1）∵AB=BC=AC，∴△ABC是等邊三角形．∴∠BAC=∠C=60°．∵AB=AC，AE=CD，∴△ADC≌△BEA．（2）∵△ADC≌△BEA，∴∠ABE=∠CAD．∵∠CAD+∠BAD=60°，∴∠ABE+∠BAD=60°．∴∠BPQ=60°．∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°．∴BP=2PQ．點評：此題主要考查學(xué)生對等邊三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定及性質(zhì)等知識點的綜合運用能力．13．（14分）如圖，在等腰直角△ABC的斜邊上取異于B，C的兩點E，F(xiàn)，使∠EAF=45°，求證：以EF，BE，CF為邊的三角形是直角三角形．考點：勾股定理的逆定理．744438專題：證明題．分析：由A作垂線交BC于H，設(shè)∠BAE=y，設(shè)BH=AH=CH=1，從而用正切函數(shù)表示出EH，HF，EF，BE，CF，再將x=tany代入化簡，根據(jù)勾股定理的逆定理可得到CF2+BE2=EF2，從而可判定以EF，BE，CF為邊的三角形