2023年高等數(shù)學(xué)考研大總結(jié)之四導(dǎo)數(shù)與微分知識講解

千里之行，始于足下讓知識帶有溫度。第第2頁/共2頁精品文檔推薦高等數(shù)學(xué)考研大總結(jié)之四導(dǎo)數(shù)與微分知識講解第四章導(dǎo)數(shù)與微分第一講導(dǎo)數(shù)一，導(dǎo)數(shù)的定義：

1函數(shù)在某一點0x處的導(dǎo)數(shù)：設(shè)()xfy=在某個()δ,0xU內(nèi)有定義,假如極限

()()0

lim

00→??-?+xx

xfxxf(其中()()

x

xfxxf?-?+00稱為函數(shù)()xf在(0x,0x+x?)上的平均變化率(或差商)稱此極限值為函數(shù)()xf在0x處的變化率)存在則稱函數(shù)()xf在0x點可導(dǎo).并稱該極限值為()xf在0x點的導(dǎo)數(shù)記為()0/

xf

,若記()()00,xfxfyxxx-=?-=?則

()0/

xf=()()0

00lim

xxxxxfxf→--=0lim→???xxy

解析：⑴導(dǎo)數(shù)的實質(zhì)是兩個無窮小的比。即：函數(shù)相對于自變量變化快慢的程度,其肯定值

越大,則函數(shù)在該點附近變化的速度越快。

⑵導(dǎo)數(shù)就是平均變化率(或差商)的極限,常用記法:()0/

xf

,0/xxy=,0xxdx

dy

=。

⑶函數(shù)()xf在某一點0x處的導(dǎo)數(shù)是討論函數(shù)()xf在點0x處函數(shù)的性質(zhì)。

⑷導(dǎo)數(shù)定義給出了求函數(shù)()xf在點0x處的導(dǎo)數(shù)的詳細(xì)辦法,即：①對于點0x處的自變量增量x?,求出函數(shù)的增量（差分）y?=()()00xfxxf-?+②求函數(shù)增量y?與自變量增

量x?之比x

y??③求極限0

lim

→???xxy

若存在,則極限值就是函數(shù)()xf在點0x處的導(dǎo)數(shù),若極限不

存在,則稱函數(shù)()xf在0x處不行導(dǎo)。⑸在求極限的過程中,0x是常數(shù),

x?是變量,求出的極限值普通依靠于0x

⑹導(dǎo)數(shù)是由極限定義的但兩者仍有不同，我們稱當(dāng)極限值為∞時通常叫做極限不存在，而導(dǎo)數(shù)則不同，因其具有實在的幾何意義，故當(dāng)在某點處左，右導(dǎo)數(shù)存在且為同一個廣義實數(shù)值時我們稱函數(shù)在某點可導(dǎo)。實質(zhì)是給導(dǎo)數(shù)的定義做了一個推廣。

⑺注重:若函數(shù)()xf在點0x處無定義,則函數(shù)在0x點處必?zé)o導(dǎo)數(shù),但若函數(shù)在點0x處有定義,則函數(shù)在點0x處未必可導(dǎo)。

2單側(cè)導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)()xf在某個(]00,xxδ-（或[)δ+00,xx）有定義，并且極限

()()-→??-?+0lim

00xxxfxxf（或()()

+

→??-?+0lim0xx

xfxxf）存在，則稱其極限值為()xf在0x點的左（右）導(dǎo)數(shù)，記為：()00/

-xf或()0/xf-（或()()0/0/,0xfxf++）。左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)

統(tǒng)稱為單側(cè)導(dǎo)數(shù)。

函數(shù)在某一點處有導(dǎo)數(shù)的充要條件：左導(dǎo)數(shù)和右導(dǎo)數(shù)存在且相等。

3函數(shù)在某一區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)：⑴在()ba,內(nèi)可導(dǎo)：假如函數(shù)()xf在開區(qū)間()ba,內(nèi)每一點都可導(dǎo)，則說()xf在()ba,內(nèi)可導(dǎo)（描述性）。⑵在[]ba,內(nèi)可導(dǎo)：假如函數(shù)()xf在()ba,內(nèi)可導(dǎo)且()()bfaf/

/

,-+存在則說函數(shù)()xf在[]ba,上可導(dǎo)。

4導(dǎo)函數(shù)：假如函數(shù)()xf在區(qū)間I上可導(dǎo)，則對于隨意一個Ix∈都對應(yīng)著唯一一個（極

限的唯一性）確定的導(dǎo)數(shù)值()xf

/

，這樣就構(gòu)成了一個新的函數(shù)，稱為函數(shù)()xfy=的導(dǎo)

函數(shù)。記為：()xf/或dxdy或()dx

xdf或/

y，由此可知函數(shù)()xf某一點0

x處的導(dǎo)數(shù)實質(zhì)是在

點0x處的導(dǎo)函數(shù)值。解析：（1）區(qū)分()0/

xf

與()[]/0xf：()0/xf表示函數(shù)()xf在點0x處的導(dǎo)函數(shù)值，而()[]

/

0xf表示對函數(shù)值()0xf這個常數(shù)求導(dǎo)，其結(jié)果為零。

（2）與在某一區(qū)間可導(dǎo)的關(guān)系：在某一區(qū)間可導(dǎo)就是在該區(qū)間上存在導(dǎo)函數(shù)。

5可導(dǎo)與延續(xù)的關(guān)系：可導(dǎo)必延續(xù)，但延續(xù)不一定可導(dǎo)。二，導(dǎo)數(shù)的幾何意義：當(dāng)y=()xf表示一條曲線時,則()xf

/

表示曲線在()yx,點的切線的斜率，()xf/的正和負(fù)分

別表示曲線在該點是升高還是下降.()xf

/

的大小則表示曲線在該點的鄰域內(nèi)起伏的程度,

()xf/越小說明曲線在該點的鄰域內(nèi)近似水平,反之()xf/越大說明曲線在該點的鄰域內(nèi)

越陡,起伏顯然。

解析：⑴用曲線上某點和增量點連線的割線的斜率的極限來表達(dá)曲線在某點的斜率。

⑵過曲線y=()xf上的點(0x,0y)的方程:①切線方程y-0y=()0/

xf(x-0x).

②法線方程:y-0y=()

()00/

1

xxxf--

(()0/

xf≠0)

⑶假如點P(A,B)在曲線y=()xf外,那么過P點與曲線相切的切線有兩條。

⑷若()0/

xf

=∞說明函數(shù)()xf的曲線在點0x處的切線與

x軸垂直。若

()0/

xf

=0則說明()xf的曲線在點0x處的切線與x軸平行。

三，導(dǎo)數(shù)的四則運算

假如函數(shù)()xuu=及()xvv=都在點x具有導(dǎo)數(shù),那么其和差積商(除分母為零的點外)都在點x具有導(dǎo)數(shù)。

⑴()()[]()()xvxuxvxu/

//

±=±

⑵()()[]()()()()xvxuxvxuxvxu///

+=()[]()xkuxku/

/

=

⑶()()()()()()()()()02

/

/

/

≠-=??

????xvxvxvxuxvxuxvxu()()()()()02//

≠-=??????xvxvxkvxvk解析：和差積可推廣為有限項即：⑴

()()()[]()()()xuxuxuxuxuxunn//2/1/21±±±=±±±KK

⑵()()()[]

()()()[]()()xuxuxuxuxuxuxuxuk

k

n

knn/

121/

21∑≡=KK四，幾類函數(shù)的求導(dǎo)法則

1反函數(shù)的求導(dǎo)法則：假如函數(shù)()yfx=在區(qū)間yI內(nèi)單調(diào)且()0/

≠yf則它的反函數(shù)

y=()xf

1

-在區(qū)間(){}yxIyyfxxI∈==,內(nèi)也可導(dǎo)，

且()[

]()

yf

xf/

/

1

1=

-或

dy

dx

dxdy1

=即：ｙ是ｘ的函數(shù)反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。

解析：⑴()0/

≠yf

且()yfx=在點y處延續(xù)。

⑵反函數(shù)求導(dǎo)法則的幾何意義：因為()xf

/

是函數(shù)()xf的曲線上點x處的切線

與x軸正向夾角α的正切。而反函數(shù)()yfx=與y=()xf在同一坐標(biāo)系中有相同的曲線，只不過反函數(shù)()yfx=的自變量是y所以導(dǎo)數(shù)()yf

/

就是y=()xf曲線上x的對應(yīng)點y處

的同一條切線與y軸正向夾角β的正切，因此：()()

xf

yf

/

/

1=

即：α

βtan1

tan=

（α，β之和為

2

π）2復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則（鏈?zhǔn)角髮?dǎo)）：假如()xgu=在點x可導(dǎo)，而y=()uf在點()

xgu=

可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)()[]xgfy=在點x可導(dǎo)，且其導(dǎo)數(shù)為：

()()xgufdx

dy

//=或

dxdududydxdy=。解析：⑴復(fù)合函數(shù)整體在某點是否可導(dǎo)與()xgu=和()xg在某點是否可導(dǎo)無關(guān)。⑵逐層分解為容易函數(shù)在求導(dǎo)，不重，不漏。

3隱函數(shù)求導(dǎo)法則：對方程()0,=yxF所確定的隱函數(shù)求導(dǎo)，要把方程()0,=yxF的兩邊分離對x求導(dǎo)即可。在求導(dǎo)過程中應(yīng)注重y是x的函數(shù)，所以在對y或y的函數(shù)求導(dǎo)時應(yīng)理解為復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)。

4參數(shù)方程求導(dǎo)法則：由參數(shù)方程()()

()βαψ?≤≤??

?==ttytx所確定的ｙ與ｘ的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：

()()()

ttxf///

?ψ=。解析：注重理解()()()()()()[]

3//////////

/

2tttttdt

dxdtxdfydtdxdtdyyx??ψ?ψ-==?=。5對數(shù)求導(dǎo)法則：是求冪指數(shù)()

()xf

yx?=型導(dǎo)數(shù)的有效辦法即：對函數(shù)()()xfyx?=的兩

邊同時取對數(shù)，然后按照對數(shù)的性質(zhì)將作為指數(shù)的函數(shù)()x?化為與()xfln相乘的一個因子，再利用上述辦法求導(dǎo)。

6兩個結(jié)論：⑴可微分的周期函數(shù)其導(dǎo)數(shù)仍為具有相同周期的周期函數(shù)。

⑵可微分的偶函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，而可微分的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)。這個事實說明：凡對稱于y軸的圖形其對稱點的切線也關(guān)于y軸對稱。凡關(guān)于原點對稱的圖形，其對稱點的切線相互平行。五，常見函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)⑴0/

=c（ｃ為常數(shù)）⑵()

1/

-=aaaxx⑶()

xx

aaa?=ln/

⑷()

xx

ee=/

⑸()a

xx

a

ln1

log/

=⑹()xx1ln/=

⑺()xxcossin/=⑻()xxsincos/-=⑼()x

xx22

/cos1sectan==⑽()x

xx2

2

/sin1csccot-=-=⑾()xxxtansecsec/=⑿()xxxcotcsccsc/-=⒀()2

/

11arcsinxx-=

⒁()2

/

11arccosxx--

=⒂()2

/

11

arctanx

x+=

⒃()2/11cotxxarc+-

=⒄()chxshx=/⒅()shxchx=/⒆()x

chxhthx22

/1sec==

⒇()x

shxhcthx22

/

1csc==（21）

()1

12

/

+=xarcshx（22）()1

12

/

-=

xarchx

（23）()2

/

11

xarcthx-=

六，高階導(dǎo)數(shù)設(shè)()xf

/

是函數(shù)()xf在I上的導(dǎo)數(shù)，并且()xf/

也在I上可導(dǎo)，則稱()xf在I上二階可導(dǎo)，

并稱()xf

//

的導(dǎo)函數(shù)是()xf在

I上二階導(dǎo)數(shù)，記為：()xf

//

或

()

()xf

2，普通地，設(shè)

()

()()21≥-nxf

n是()xf在區(qū)間I上的()1-n階導(dǎo)函數(shù)并且()

()xf

n1-也在

I上可導(dǎo)則稱

()xf在I上ｎ階可導(dǎo)，并稱()

()xfn1-的導(dǎo)函數(shù)是()xf在區(qū)間

I上的ｎ階導(dǎo)函數(shù)記為：

()

()xf

n當(dāng)函數(shù)由()xfy=給出時()xf的ｎ階導(dǎo)數(shù)也可表示為：()

,,nnndx

ydy()

()xf

n。若在

0x點的ｎ階導(dǎo)數(shù)常記為：()

()()0000,,,xxdxxfdxxdxydxxyxf

x

nnnn

n===。解析：⑴規(guī)定函數(shù)()xf的零階導(dǎo)數(shù)為函數(shù)()xf的本身。

⑵該定義的給出具有數(shù)學(xué)歸納法的性質(zhì)，因此在求某一函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)時常用數(shù)學(xué)歸

納法。

⑶()xf的ｎ階導(dǎo)數(shù)是由()xf的()1-n階再一階導(dǎo)而求得，所以其具有逐階刻畫的性質(zhì)。

⑷高階導(dǎo)數(shù)的常用求法：萊布尼茨(Leibniz)公式：

()

()

()()

kknn

kknnvuCuv-≡∑=0

[]bavu,,(∈上的ｎ階延續(xù)函數(shù)）其綻開式為：()()()()nnnnnnuvvuCvuCvu++++--K//

22/11。

七，常見函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)⑴()()

0=nC（Ｃ為常數(shù)）⑵()()()()()n

an

a

x

naaaax-+=121Λ

⑶()()()x

n

n

x

aaaln=⑷()()()kx

n

n

kx

a

akaln=⑸()()kx

nn

kx

ek

e=⑹()()x

n

x

e

e=

⑺(

)()()(

)

()n

nn

x

a

x

an?--=-ln!

11log1⑻()

()

()

()

()n

nnx

nx!11ln1--=-⑼()()??

?

??+=2sinsinπnxxn

⑽

()()?

?

?

?

?+=2sinsinπnkxkkxnn⑾

()()?

?

?

?

?+=2coscosπnxxn⑿

()()?

?

?

?

?+=2coscosπnkxkkxnn⒀

設(shè)

()

xgeykx=且

()

bxgaeykx+=/則有

()()

nbxgeaykxnn+=⒁設(shè)

()

xgeykx=且

()[]

cbxgkeykx++=/則有

()()[]ncnbxgekykxnn++=（⒀，⒁用同一函數(shù)的思想求ｂ，ｃ）⒂

()

[]

()(

)

()?ncbxeb

acbxeaxnnax

+++=+sinsin2

22

()

[]

()

(

)

()?ncbxebacbxe

axnnax

+++=+coscos