工程電磁場(chǎng)第八章導(dǎo)行電磁波

工程電磁場(chǎng)第八章導(dǎo)行電磁波第一頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六第八章導(dǎo)行電磁波§8-1導(dǎo)波場(chǎng)的一般分析方法§8-2矩形波導(dǎo)§8-3圓柱型波導(dǎo)§8-4諧振腔

第二頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六§8-1

導(dǎo)波場(chǎng)的一般分析方法一般概念：

導(dǎo)行電磁波：電磁波沿波導(dǎo)裝置傳輸。導(dǎo)行裝置：雙線傳輸線、雙軸線、金屬波導(dǎo)管以及介質(zhì)波導(dǎo)等。直行的均勻?qū)Рㄑb置：導(dǎo)波裝置不彎折、無(wú)分支.均勻是指在任何垂直于電磁波傳播方向的橫截平面上，導(dǎo)波裝置具有相同的截面形式、截面面積以及填充的介質(zhì)。第三頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六對(duì)由均勻填充介質(zhì)的金屬波導(dǎo)管建立如圖所示的坐標(biāo)系

設(shè)z軸與波導(dǎo)的軸線相重合，橫截面為xoy平面，同時(shí)做以下假設(shè)：（1）波導(dǎo)的橫截面形狀和媒質(zhì)特性沿軸線z不變化。有軸向均勻性。（2）波導(dǎo)內(nèi)填充均勻、線性、各向同性的理想介質(zhì)。（3）波導(dǎo)內(nèi)沒(méi)有激勵(lì)源存在即：和。（4）電磁波沿z軸傳播，且場(chǎng)隨時(shí)間正弦變化。導(dǎo)波原理第四頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六方程推導(dǎo)由麥克斯韋方程:其中,都是復(fù)矢量函數(shù),原有場(chǎng)量與它的關(guān)系是:第五頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六將(8-1)取旋度,得:利用矢量恒等式得:再將代入得:再將(8-1)式代入得:同理得:用復(fù)矢量表示（8-10）（8-11）:第六頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六令

得，這就是傳輸系統(tǒng)中場(chǎng)量應(yīng)滿足的齊次波動(dòng)方程.在廣義坐標(biāo)系中：橫向分量縱向橫向縱向?qū)⑸鲜酱雸?chǎng)量的齊次波動(dòng)方程得：第七頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六二維拉氏算子也分解成兩部分：與橫向坐標(biāo)有關(guān)與縱向坐標(biāo)有關(guān)其中中的xy可為xoy平面（x，y）也可為圓柱坐標(biāo)（）得廣義坐標(biāo)：第八頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六同理令（截止波數(shù)）當(dāng),時(shí)，對(duì)于無(wú)耗損線：波不沿z方向傳播，故截止。故波動(dòng)方程化為：第九頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六四個(gè)橫向場(chǎng)分量式可先求縱向場(chǎng)分量的波動(dòng)方程，得到再依基本方程組求得所有四個(gè)橫向分量：所以，縱向場(chǎng)分量和滿足標(biāo)量波動(dòng)方程：第十頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六由上述求得和后，即可從電磁場(chǎng)基本方程組中的兩個(gè)旋度方程得四個(gè)橫向分量第十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六1，在規(guī)則波導(dǎo)中場(chǎng)的縱向分量滿足標(biāo)量齊次波動(dòng)方程,結(jié)合相應(yīng)的邊界條件即可求得縱向分量和,而場(chǎng)的橫向分量即可由縱向分量求得.2，既滿足上述方程又滿足邊界條件的解有許多,每一個(gè)解對(duì)應(yīng)一個(gè)波型也稱之為模式,不同的模式具有不同的傳輸特性.3，是微分方程在特定邊界條件下的特征值,它是一個(gè)與導(dǎo)波系統(tǒng)橫截面形狀,尺寸及傳輸模式有關(guān)的參量.由于當(dāng)相移常數(shù)時(shí),意味著波在導(dǎo)系統(tǒng)不再傳播,亦稱為截止,此時(shí),故將稱為截止波數(shù).

所以，依和分量存在情況，將導(dǎo)行電磁波分為TEM、TE、TM三種模式。結(jié)論第十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六橫電磁波（TEM波）

對(duì)TEM波，因在傳播方向上不存在電場(chǎng)和磁場(chǎng)量，，故由四個(gè)橫向分量式可知：，，，存在的條件是：。即有：在無(wú)耗損媒質(zhì)中，故因此對(duì)TEM波，，故相速、波長(zhǎng)及波阻抗和無(wú)界空間均勻媒質(zhì)中相同。

而且由于截止波數(shù)，因此理論上任意頻率均能在此類傳輸線上傳輸。

此時(shí)不能用縱向場(chǎng)分析法，而可用二維靜態(tài)場(chǎng)分析法或后述傳輸線方程進(jìn)行分析。第十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六對(duì)于TEM波（）

這正是拉氏方程，表明：導(dǎo)波系統(tǒng)中TEM波在橫截面上的場(chǎng)分量滿足拉氏方程。因此其分布應(yīng)該與靜態(tài)場(chǎng)中相同邊界條件下的場(chǎng)分布相同。由此斷定：凡能維持二維靜態(tài)場(chǎng)的導(dǎo)波系統(tǒng)，都能傳輸TEM波。

例如二線傳輸線（如圖）、同軸線等，也即為了傳輸TEM波必須要有二個(gè)以上的導(dǎo)體。由于TEM波在橫截面上的電場(chǎng)具有與二維的靜電場(chǎng)同樣的性質(zhì)，它必定起始于一個(gè)導(dǎo)體而終止于另一個(gè)導(dǎo)體。

空心金屬波導(dǎo)管內(nèi)（如圖），由于不能維持二維靜態(tài)場(chǎng)，故不能傳輸TEM波。這是波導(dǎo)管中電磁波顯著的特點(diǎn)之一。第十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六橫電波（TE波）

對(duì)于TE波，因在傳播方向不存在電場(chǎng)分量，即故：

對(duì)于TE波，需要研究確定的方法，滿足波動(dòng)方程：第十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六且在金屬導(dǎo)體內(nèi)壁的邊界條件為：理想導(dǎo)體法向磁場(chǎng)為零式中，S——波導(dǎo)周界，n為邊界法向單位矢量。

這表明對(duì)于TE波來(lái)說(shuō)，歸結(jié)為在第二類齊次邊界條件下求解二維齊次波動(dòng)方程：

對(duì)于該方程，只有在kc取某些特定的離散值時(shí)才有解，使解存在的kc值稱為本征值。針對(duì)不同截面形狀及尺寸的波導(dǎo)，這些本征值是不同的，后面討論矩形波導(dǎo)時(shí)，將用分離變量法求出它的本征值kc第十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六

因在傳播方向上不存在磁場(chǎng)分量,即：故由四個(gè)橫向分量式得：橫磁波（TM波）第十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六

對(duì)于TM波來(lái)說(shuō)，需要研究確定的方法，滿足波動(dòng)方程：且在金屬導(dǎo)體(理想導(dǎo)體，切向電場(chǎng)為零)內(nèi)壁的邊界條件為：式中S——波導(dǎo)周界

這表明對(duì)于TM波來(lái)說(shuō)，歸結(jié)為在第一類齊次邊界條件下求解二維齊次波動(dòng)方程的本征值kc的解。

以上是根據(jù)在波導(dǎo)傳輸?shù)碾姶挪ㄊ欠裼须妶?chǎng)或磁場(chǎng)的縱向分量而將其劃分為三類波型，其中，TE和TM波還可細(xì)分為很多種不同的波型（理論上講有無(wú)窮多個(gè)）它們都是一定邊界條件下波動(dòng)方程的解。除上述三類波型外，在有的波導(dǎo)系統(tǒng)中，也有和都不零的波型，一般稱之為混合波型（混合模）。第十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六傳播特性（相位常數(shù)，截止波數(shù)，相速，波導(dǎo)波長(zhǎng)波阻抗，傳輸功率等。）(1)相移常數(shù)和截止波數(shù)波數(shù)與電磁波的頻率成正比。三者的關(guān)系為：(2)相速與波導(dǎo)波長(zhǎng)電磁波在波導(dǎo)中傳播，其等相位面移動(dòng)速率稱為相速。導(dǎo)行波的波長(zhǎng)稱為波導(dǎo)波長(zhǎng)第十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六(3)波阻抗

定義某個(gè)波型的橫向電場(chǎng)和橫向磁場(chǎng)之比為波阻抗，即：(4)傳輸功率由玻印亭定理，波導(dǎo)中某個(gè)波型的傳輸功率為：式中，Z為該波型的波阻抗。第二十頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六1，TEM波傳輸特性

①②④(僅與媒質(zhì)參數(shù)有關(guān)，與導(dǎo)波裝置幾何形狀無(wú)關(guān))波阻抗η是電磁波在無(wú)界介質(zhì)()中的波阻抗(媒質(zhì)的本征阻抗)所以，TEM波的波阻抗與媒質(zhì)的本征阻抗相同。③=工作波長(zhǎng)第二十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六2，對(duì)TE波、對(duì)TM波而，因此：第二十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六

由可知，

當(dāng)k>kc時(shí)，波沿z方向傳播，這種模式叫傳播模式。當(dāng)k<kc時(shí)，場(chǎng)沿z方向指數(shù)衰減，波導(dǎo)內(nèi)沒(méi)有波的傳播這種模式稱為非傳播模式或凋落模式。當(dāng)k=kc時(shí)的頻率稱為截止頻率fc，有把對(duì)應(yīng)截止頻率fc的自由空間波長(zhǎng)λc稱為截止波長(zhǎng)。第二十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六

所以，波導(dǎo)的本征值kc（截止波數(shù)）決定了它的截止頻率和截止波長(zhǎng)。而kc與波導(dǎo)的幾何形狀及尺寸的大小有關(guān)。由此可得：1，當(dāng)f>fc（或工作波長(zhǎng)λ<λc時(shí)）

——電磁波才可以在波導(dǎo)內(nèi)傳播，為傳播模式。2，當(dāng)f<fc（或工作波長(zhǎng)λ>λc時(shí)）

——為非傳播模式。

這和傳播TEM波的波導(dǎo)系統(tǒng)不同，TEM波傳播模式是沒(méi)有截止頻率和截止波長(zhǎng)的，因此，在雙導(dǎo)線傳輸線中即可傳播高頻電磁波，也可傳播低頻電磁波以至穩(wěn)恒電流。第二十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六（1）當(dāng)f>fc（或k>kc時(shí)①相位常數(shù)

這是一個(gè)相位常數(shù)為的傳播模式，且有：第二十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六②波長(zhǎng)

式中是頻率為f的平面電磁波在無(wú)限大理想介質(zhì)中的波長(zhǎng)。上式表明波長(zhǎng)大于無(wú)限大媒質(zhì)中的波長(zhǎng)。第二十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六③相速度

式中為無(wú)限大媒質(zhì)中波的相速度。

可見(jiàn)，波導(dǎo)內(nèi)波的相速度亦大于無(wú)限大媒質(zhì)中波的相速度，也說(shuō)明了波在波導(dǎo)中的真實(shí)傳播方向并不是z軸方向，而是曲折前進(jìn)，這一點(diǎn)不同于TEM波。

上式還表明是頻率的函數(shù)，TE、TM波是色散波，此色散不同于前面的因?qū)щ娒劫|(zhì)引起的色散，它是由波導(dǎo)的邊界條件引起的，因此，稱它為幾何色散。第二十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六（2）當(dāng)f<fc（或k<kc）時(shí)

是一個(gè)衰減常數(shù)，由于場(chǎng)分量都有傳播因子所以沿z方向很快衰減。由此可見(jiàn)，波導(dǎo)呈現(xiàn)高通濾波器的特性。對(duì)給定的模式，只有頻率高于模式截止頻率的波，才能在波導(dǎo)內(nèi)傳播。第二十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六

上一節(jié)介紹了均勻波導(dǎo)中電磁波的分類及其一般特征。這一節(jié)具體討論一種最常用的金屬波導(dǎo)管——矩形波導(dǎo)。§8-2矩形波導(dǎo)

矩形波導(dǎo)示意圖第二十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六

矩形波導(dǎo)管通過(guò)傳播TE波或TM波來(lái)傳輸電磁能量；矩形波導(dǎo)管不能傳播TEM波。其實(shí)，在單導(dǎo)體的空心或填充介質(zhì)的波導(dǎo)管內(nèi)，都不可能存在TEM波。

由理想導(dǎo)體壁組成的截面為矩形的波導(dǎo)管，如圖所示，內(nèi)壁面的長(zhǎng)和寬分別是a和b。波導(dǎo)內(nèi)填充介電常數(shù)為、磁導(dǎo)率為、的媒質(zhì)。如前面所述，矩形波導(dǎo)中能傳播的模式是TE模式和TM模式。下面分別討論TM波和TE波。第三十頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六矩形波導(dǎo)中的橫磁波（TM波）TM波中，先求場(chǎng)，其它場(chǎng)分量由決定。用分離變量法，令代入左邊方程得：同除XY得：再令：代入上式得第三十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六代TM波邊界條件到得：同理：代到得：所以EZ的解為：式中是振幅常數(shù)，由導(dǎo)行波的激勵(lì)源決定，m、n是不為零的任何正整數(shù)，否則，只要m、n中有一個(gè)為零，場(chǎng)量將全部為零。第三十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六再求出四個(gè)橫向分量式TM波的每個(gè)場(chǎng)分量表達(dá)式中都含有m、n值，對(duì)應(yīng)每一組的m及n值，在波導(dǎo)中就有一種場(chǎng)分布，故一組m及n值決定了一種波型（又稱模式）?？梢?jiàn)，矩形波導(dǎo)中有無(wú)窮多個(gè)TM波型（模式），統(tǒng)稱TMmn，m表示x軸（a邊）的半駐波數(shù)，n表示y軸（b邊）半駐波數(shù)，用電力線及磁力線表示出場(chǎng)的結(jié)構(gòu)圖。第三十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六

矩形波導(dǎo)中的橫磁波TE波方程及邊界條件：滿足上述邊界條件的本征值解的解為：式中Amn——振幅常數(shù)，由導(dǎo)行波的激勵(lì)源決定，m、n為任何正整數(shù)和零，但m、n不能為同時(shí)為零，否則場(chǎng)量將全部為零。第三十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六利用可求得四個(gè)橫向場(chǎng)分量為：第三十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六矩形波導(dǎo)中的傳播特性1，TEmn和TMmn模。

由TM波的解及TE波的解答可看出，在波導(dǎo)管橫截面上，場(chǎng)是正弦變化的，其分布情況直接取決于m和n這個(gè)常數(shù)的值，取不同的m、n值，有不同的場(chǎng)分布，稱為不同的模式，分別用TEmn和TMmn表示。在實(shí)際解中，總是選取一個(gè)特定的模式來(lái)傳送電磁波。

對(duì)于TM波，m和n都不能取零，故不存在TM00、TM0n和TMm0模電磁波。

對(duì)于TE波，m和n都不能取零，故不存在TE00模電磁波。第三十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六2，截止波長(zhǎng)由可得而相應(yīng)的截止波長(zhǎng)可見(jiàn)截止頻率及波長(zhǎng)與工作頻率無(wú)關(guān)，僅與波導(dǎo)的尺寸和模式有關(guān)。第三十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六3，簡(jiǎn)并現(xiàn)象

不同的波型可以具有相同的截止波長(zhǎng)，這種現(xiàn)象叫簡(jiǎn)并現(xiàn)象，發(fā)生簡(jiǎn)并的模式稱為簡(jiǎn)并模式。

在TEmn和TMmn模中，除TE0n、TEm0模外，其它模式都是“雙重簡(jiǎn)并的”，例如TE11與TM11模，TE21與TM21模等等。

簡(jiǎn)并模在同一頻率時(shí)，相同，相同，也相同。第三十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六4，主模和高次模

矩形波導(dǎo)可以工作在多模狀態(tài)，也可以工作在單模狀態(tài)，由可知：當(dāng)m=1、n=0，則λc=2a；當(dāng)m=2、n=0，則λc=a；當(dāng)m=0、n=1，則λc=2b；當(dāng)m=1、n=1，則波導(dǎo)尺寸a、b決定后，m、n值越小，截止波長(zhǎng)越大，見(jiàn)下圖（一般a>b）：第三十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六TE10模和TM11模分別是TE波和TM波中具有最長(zhǎng)截止波長(zhǎng)的模式，稱為最低模式。而TE10模的λc比TM11模的λc還長(zhǎng)，它具有最長(zhǎng)的截止波長(zhǎng)。因此，TE10模亦稱為主模，其它模式為高次模。

由式可知：當(dāng)m=1、n=0時(shí)，得TE10的本征值四，主模TE10波第四十頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六由上式可見(jiàn)，TE10模只有三個(gè)非零的場(chǎng)分量即：，它們的電磁場(chǎng)分布圖如下。所以，TE10場(chǎng)分量為：第四十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六

下面三個(gè)圖畫出了TE10模電磁波在t=0時(shí)的電場(chǎng)、磁場(chǎng)分布，首先看TE10波的電場(chǎng)分布：（a）BB/橫截面（b）AA/縱截面（c）CC/縱截面第四十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六TE10波的磁場(chǎng)分布：（a）EE/橫截面（b）DD/縱截面第四十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六TE10波的立體電磁場(chǎng)分布：第四十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六由此可見(jiàn)：（1）TE10模只有三個(gè)非零的場(chǎng)分量，即：（2）由理想導(dǎo)體表面的邊界條件可知，在波導(dǎo)壁上的電流線密度，它與磁場(chǎng)強(qiáng)度有關(guān)，且有：——壁面的外法線方向單位矢量?！谏系拇艌?chǎng)強(qiáng)度。（3）各場(chǎng)分量均與y無(wú)關(guān)，即在y方向?yàn)榫鶆蚍植?，在z方向?yàn)檎倚胁?；在x方向上為駐波。第四十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六（4）多模區(qū)與單模區(qū)由于TE10模的截止波長(zhǎng)λc（=2a）是矩形波導(dǎo)中能出現(xiàn)最長(zhǎng)的截止波長(zhǎng)，因此：

a，當(dāng)工作波長(zhǎng)λ>=2a時(shí)，電磁波就不能在波導(dǎo)中傳播，所以λ>=2a的區(qū)域稱為截止區(qū)。

b，當(dāng)λ<a，則至少會(huì)出現(xiàn)兩種以上的波型，這個(gè)區(qū)叫多模區(qū)。

c，當(dāng)a<λ<2a時(shí)，則只有一個(gè)TE10模出現(xiàn)。其它模式都處于截止?fàn)顟B(tài)，這種情況為單模傳輸。又稱單模區(qū)。在使用波導(dǎo)傳輸能量時(shí)，通常要求工作在單模狀態(tài)。（5）保證TE10波單模工作時(shí)，尺寸a、b的選擇。

a，當(dāng)b/a=1時(shí)，基波雙重簡(jiǎn)并，因?yàn)橐笾患?lì)單一模，有困難，所以這種尺寸的波導(dǎo)不宜作信息傳輸用。

b，當(dāng)b/a=1/2時(shí)，在2a>λ>a的范圍內(nèi)只可能傳輸TE10

第四十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六c，當(dāng)b/a>1/2時(shí)，則可能傳輸?shù)膯文７秶冋?。d，當(dāng)b/a<1/2時(shí)，則在2a>λ>a的范圍內(nèi)只可能傳輸

TE10模。但由于導(dǎo)體損耗所引起的衰減隨b越大而變得越小，所以：b/a=1/2的尺寸比較好，市場(chǎng)上的矩形波導(dǎo)管。采用這種尺寸比，一般取

a=0.7λ，b=(0.4~0.5)a=(0.3~0.35)λ

采用主模TE10傳輸，具有截止頻率低、損耗小、波型穩(wěn)定和波導(dǎo)尺寸小等優(yōu)點(diǎn)。

總之，各種空心柱行長(zhǎng)直波導(dǎo)的基本特性是相同的，只要理解了矩形波導(dǎo)的特性也就是為理解其它類型波導(dǎo)的特性提供了基礎(chǔ)。第四十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六例1，空心填充的矩形波導(dǎo)的截面尺寸為a=7cm，b=3cm，（1）計(jì)算TE10、TE20、

TE01等若干個(gè)模的截止波長(zhǎng)，并指出簡(jiǎn)并波型；（2）如果電磁波的工作波長(zhǎng)為，這時(shí)波導(dǎo)中存在哪些模式的波；（3）若要求波導(dǎo)中只傳播TE10波，波導(dǎo)的尺寸應(yīng)如何改變？解：（1）依截止波長(zhǎng)的計(jì)算公式：計(jì)算可得：模14765.514.674.563.683.5第四十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六簡(jiǎn)并波型為：（TE11，TM11）（TE21，TM21）（TE31，TM31）（2）波長(zhǎng)從表中可以看出它小于及五個(gè)模式的截止波長(zhǎng)。即這5個(gè)模式的波可以在波導(dǎo)中傳播。（3）若只允許存在TE10型波，應(yīng)使λ小于TE10的λc而大于TE20、TE01的λc

由于所以：可以選a=3.5cm，b=1.5cm，還可以有其它的選擇。第四十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六

圓柱形波導(dǎo)管也是應(yīng)用較廣泛的一種波導(dǎo)管，它可以用于天線饋線和多路通信中，可以構(gòu)成微波諧振腔、旋轉(zhuǎn)式移相器和衰減器，還可以構(gòu)成微波管的輸出腔，以及其它方面的應(yīng)用。本節(jié)所講的圓柱形波導(dǎo)管，是指橫截面為圓形的空心金屬波導(dǎo)管（普通圓波導(dǎo)管）§8-3圓柱形波導(dǎo)第五十頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六四個(gè)場(chǎng)分量

求圓柱形波導(dǎo)內(nèi)場(chǎng)量分布的方法與矩形波導(dǎo)內(nèi)場(chǎng)量分部的方法完全一樣，但以采用下圖所示，圓柱坐標(biāo)較為方便。如果用兩個(gè)縱向場(chǎng)分量Ez和Hz來(lái)表示其它場(chǎng)分量。則四個(gè)橫向分量表達(dá)式（8-22）式表示成圓柱坐標(biāo)：第五十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六

另一方面，由波動(dòng)方程按圓柱坐標(biāo)系把分成縱向和橫向分量：故可得圓柱導(dǎo)波裝置中的電場(chǎng)微分方程：第五十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六TM波仍先求Ez分量，得標(biāo)量波動(dòng)方程。由算子，得：用分離變量法求解上式，令：式中的R表示只含變量r的函數(shù)，表示只含變量的函數(shù)。因子均被省略。將代入式中,可得:第五十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六上式可以改寫為:此式等號(hào)左邊只含與r有關(guān)的項(xiàng),右邊只含與φ有關(guān)的項(xiàng).欲使此式對(duì)一切的r,φ值均成立,等式兩邊應(yīng)分別等于同一常數(shù)m2.即有:第五十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六式的通解為:式可寫成:這是貝塞爾方程,它的解為:式中Jm是m階第一類柱貝塞爾函數(shù),Nm是m階第二類貝塞爾函數(shù).由于r的變化范圍可由0變到圓柱行波導(dǎo)的半徑a,為了使Ez在r=0處不改變?yōu)闊o(wú)限大,應(yīng)取第一類柱貝塞爾函數(shù),即令C=0,式此時(shí)可寫成:第五十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六可設(shè)(常數(shù)),則:將先前所求EZ代到TM波的縱橫場(chǎng)關(guān)系式得四個(gè)分量.并考慮到=jβ=jkz,TM波的Hz=0.可得到圓柱形波導(dǎo)中TMmn波的場(chǎng)量為:式中E0為常數(shù)--------由激勵(lì)源決定.第五十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六同樣的方法,可得圓柱形波導(dǎo)中TE波的各場(chǎng)量表達(dá)式為:式中H0常數(shù)----------由激勵(lì)源決定.TE波第五十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六三個(gè)常用模1，主模TE11模TE11模，m=1，n=1則：最小。截止頻率fc最低：故λc最長(zhǎng)，是圓柱波導(dǎo)中的最低次模，也是主模。2，圓對(duì)稱TM01模m=0，n=1則：具有最低fc，故TM01是圓柱波導(dǎo)的第一個(gè)高次模。第五十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六3，低損耗的TE01模

它是圓柱波導(dǎo)的高次模式，與TM11模是簡(jiǎn)并模，下圖表示圓柱形波導(dǎo)中的分布：截止區(qū)域TM02TE12TM21TE01、TM11TE21TM01TE11第五十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六

廣義而言,凡能夠限定電磁能量在一定體積內(nèi)振蕩的結(jié)構(gòu)可構(gòu)成電磁振蕩器.1,在低頻無(wú)線電技術(shù)中采用LC回路(諧振)產(chǎn)生電磁振蕩.大約在300MHz以下,諧振器是用集總的電容器C和電感器L做成.LC并聯(lián)振蕩回路§8-4諧振腔一般概念第六十頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六

當(dāng)激勵(lì)信號(hào)頻率f與LC回路固有(諧振)頻率f0相等時(shí),即發(fā)生并聯(lián)諧振.此時(shí)磁場(chǎng)能量WL集中在電感線圈中,電場(chǎng)能量WC集中在電容器內(nèi),并且電場(chǎng)能量最大時(shí),磁場(chǎng)能量為零;WL最大,WC=0,電能與磁能隨時(shí)間不停地相互轉(zhuǎn)換,轉(zhuǎn)換的過(guò)程即諧振過(guò)程.用來(lái)描述諧振性能的參量有諧振頻率(f0唯一),品質(zhì)因素Q及R,L,C等.2,當(dāng)f增高(高于300MHz)時(shí),即在微波波段,為何不用LC諧振回路?原因有以下:(1),f↑→λ↓→L,C元件尺寸↓↓----------------結(jié)構(gòu)加工困難→機(jī)械強(qiáng)度↓使用困難不能正常工作第六十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2),λ↓→(L,C元件幾何尺寸與λ可相比似時(shí))-------歐姆損耗↑,介質(zhì)損耗↑,輻射損耗↑

-------回路Q↓--------降低了回路的諧振質(zhì)量.3,由此可見(jiàn),在微波范圍內(nèi),必須研制新型的諧振器(諧振回路)

微波諧振器(腔)可以用作振蕩器或調(diào)諧放大器的振蕩回路,微波濾波器,倍頻器頻率預(yù)選器,回波箱等;另外,諧振腔還在微波管和加速器中得到了某些應(yīng)用.

下面以同軸諧振器為例分析諧振腔中電場(chǎng)能和磁場(chǎng)能的相互轉(zhuǎn)換:

第六十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六如右圖所示的同軸諧振器(腔)電路.在此諧振器內(nèi),電場(chǎng)能量最大時(shí),磁場(chǎng)能量為零;磁場(chǎng)能量最大時(shí),電場(chǎng)能量為零,電能與磁能隨時(shí)間不停地相互轉(zhuǎn)換,其能量轉(zhuǎn)換關(guān)系與LC諧振器一致.所不同的是電能和磁能分布在整個(gè)結(jié)構(gòu)中,不能截然分開(kāi),這主要是由于傳輸線上分布參數(shù)作用的結(jié)果.因此在微波波段,一段兩端短路(或開(kāi)路)的傳輸線所起的作用與LC串并聯(lián)諧振電路所起的作用完全一樣,故稱這樣的結(jié)構(gòu)為微波傳輸線型諧振器,若是由波導(dǎo)或同軸傳輸線構(gòu)成,也稱其為諧振腔.第六十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六微波諧振器的分類微波諧振器的種類很多,按其結(jié)構(gòu)型成可分為傳輸線型諧振器和非傳輸線型諧振器兩類.1,傳輸線型諧振器---是一段由兩端短路或開(kāi)路的前述三類微波導(dǎo)行系統(tǒng)構(gòu)成的.大多數(shù)實(shí)用微波諧振器屬于此類,如矩形波導(dǎo)空腔諧振器,圓波導(dǎo)空腔諧振器,同軸線諧振器,微波線諧振器,介質(zhì)諧振器.2,非傳輸線型諧振器(或稱復(fù)雜形狀諧振器)---不是由簡(jiǎn)單的傳輸線或波導(dǎo)段構(gòu)成的,而是一些形狀特殊的諧振器.這種諧振器通常在坐標(biāo)的一個(gè)或兩個(gè)方向上存在不均勻性,如環(huán)形諧振器,混合同軸線型諧振器等.本章只研究傳輸線型微波諧振器第六十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六微波諧振器與LC諧振回路的異同點(diǎn):1,相同點(diǎn):

它們的本質(zhì)均為電磁振蕩,即電磁能量的相互轉(zhuǎn)換,電場(chǎng)能量與磁場(chǎng)能量的最大值相等.2,不同點(diǎn):LC回路是集總參數(shù)電路,而微波諧振器是分布參數(shù)的概念.LC回路只能有一個(gè)諧振頻率f0,但尺寸一定的微波諧振器有無(wú)窮多個(gè)諧振頻率,即微波諧振器具有多諧性.第六十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六1,諧振波長(zhǎng)λ0(或頻率f0)

諧振波長(zhǎng)λ0是微波諧振器最主要的參數(shù),它表征微波諧振器的振蕩規(guī)律,即表示微波諧振器內(nèi)振蕩存在的條件.

當(dāng)電場(chǎng)和磁場(chǎng)沿x,y,z三個(gè)方向都形成駐波時(shí),即達(dá)到諧振條件,依波動(dòng)方程:如果在矩形諧振腔中,場(chǎng)量所滿足的波動(dòng)方程簡(jiǎn)化成:諧振器的基本參數(shù)

用來(lái)描述微波諧振器的基本參數(shù)則是諧振波長(zhǎng)λ0(或諧振頻率f0),品質(zhì)因數(shù)Q0,和等效電導(dǎo)G0,下面分別討論這三個(gè)參數(shù)及其一般表達(dá)式.第六十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六

代入諧振腔中任一場(chǎng)分量于上式

上式即為諧振腔中能夠存在電磁振蕩時(shí),角頻率所必須滿足的條件.由它可得到諧振頻率(當(dāng)m,n,p取不同值時(shí)),故寫成:由得:第六十七頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六其對(duì)應(yīng)的諧振波長(zhǎng)為:

這表明,當(dāng)腔尺寸a,b和L(長(zhǎng)度)給定時(shí),隨著m,n和L取一系列不同的整數(shù),即得出腔內(nèi)的一系列不連續(xù)的f0.f0的不連續(xù)性是封閉的金屬空腔中電磁場(chǎng)的一個(gè)重要特性.這是由于邊界條件的要求,腔內(nèi)電磁場(chǎng)的頻率只能取一系列特定的,不連續(xù)的數(shù)值,這是約束在空間有限范圍內(nèi)的波的普遍性.這一點(diǎn)又與無(wú)限空間中的電磁波不同,無(wú)限空間中波的頻率由激發(fā)它的源的頻率決定,因而可連續(xù)變化.

在這里把具有相同f0的不同模式叫做簡(jiǎn)并模式.對(duì)于給定的諧振腔尺寸,諧振頻率最低的模式稱為主模.第六十八頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六

當(dāng)腔的尺寸a>b>L時(shí),最低頻率的諧振模式為(1,1,0),其諧振f0為:

此波長(zhǎng)與諧振腔的幾何尺寸同數(shù)量級(jí).在微波技術(shù)中通常用諧振腔的最低模式來(lái)產(chǎn)生特定頻率的電磁振蕩.第六十九頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六2,品質(zhì)因素Q0

諧振腔可以儲(chǔ)存電場(chǎng)和磁場(chǎng)能量,在實(shí)際的諧振腔中,由于腔壁的電導(dǎo)率是有限值,這樣將導(dǎo)致能量的損耗.和其它振蕩回路一樣,諧振腔的品質(zhì)因素Q0定義為:其中:W-----腔內(nèi)儲(chǔ)能,WT------為一周期內(nèi)腔中損耗能量,改PL為諧振腔內(nèi)的時(shí)間平均功率損耗,則一個(gè)周期內(nèi)腔損耗的能量故有:

確定諧振腔在諧振f0的Q值時(shí),通常是假設(shè)損耗足夠少,以致可以應(yīng)用無(wú)損耗時(shí)的場(chǎng)分布.第七十頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六3,等效電導(dǎo)G0

等效電導(dǎo)G0表示諧振腔損耗的參量

微波諧振器的等效電路定義為:第七十一頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六

式中Um為廣義傳輸線模式電壓,由于模式電壓不唯一,所以G0也不是單值量,因此嚴(yán)格講,一般情況下,微波諧振器的G0值是難以確定的,盡管如此,我們還是可以設(shè)法在諧振器內(nèi)表面選擇兩個(gè)固定點(diǎn)a和b,并在固定時(shí)刻沿所選擇路徑進(jìn)行電場(chǎng)的線積分,并以此積分值作為等效電壓Um的值,據(jù)此得到:則:顯然,G0與所選擇的點(diǎn)a和b有關(guān),這有別于Q0,Q0對(duì)每個(gè)給定尺寸的諧振器來(lái)說(shuō)是固定不變的.(---電場(chǎng)強(qiáng)度矢量的幅值)第七十二頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六矩形腔由前節(jié)所述，低頻無(wú)線電技術(shù)中采用ＬＣ回路產(chǎn)生電磁振蕩．當(dāng)頻率很高時(shí)（例如微波范圍），這種振蕩回路有強(qiáng)烈的輻射損耗和焦耳損耗，不能有效的產(chǎn)生高頻振蕩．因此，必須用另一種振蕩器------諧振腔來(lái)激發(fā)高頻電磁振蕩．諧振腔是一種適用于高頻的諧振元件，它是用理想導(dǎo)體圍成的任意形狀的空腔，凡是用理想導(dǎo)體圍成的任意形狀的空腔都有共振現(xiàn)象具有ＬＣ回路的性質(zhì)，稱為諧振腔．

諧振腔可以將電磁振蕩全部約束在空腔內(nèi)，電磁場(chǎng)沒(méi)有輻射，也沒(méi)有介質(zhì)損耗，金屬導(dǎo)體的焦耳損耗很小，因此具有較高的品質(zhì)因數(shù)．

它在微波頻段中廣泛用于波長(zhǎng)計(jì)，濾波器等器件，這一節(jié)將以矩形諧振腔為例，討論諧振腔的性質(zhì)．第七十三頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六一，諧振腔中的場(chǎng)結(jié)構(gòu)

一段長(zhǎng)為的矩形波導(dǎo)，兩端用金屬板將它封閉起來(lái)就構(gòu)成了矩形諧振腔，如下圖所示：

由于這兩個(gè)導(dǎo)體端面對(duì)電磁導(dǎo)波的反射作用，波將在其間來(lái)回反射，而形成駐波．駐波不能傳輸電磁能量，它只能產(chǎn)生電磁能的相互轉(zhuǎn)換，在能量轉(zhuǎn)換過(guò)程中表現(xiàn)出了振蕩現(xiàn)象．所以封閉的導(dǎo)體空腔可用來(lái)作電磁振蕩的諧振器．第七十四頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六對(duì)于矩形諧振腔，可不按普遍方法來(lái)解，而是從矩形波導(dǎo)管的解出發(fā)，利用波的反射定律來(lái)討論，這里要簡(jiǎn)單的多．現(xiàn)在選擇z軸為參考的“傳播方向”，按相對(duì)于Z軸的ＴＥ模，ＴＭ模來(lái)分別討論．二，ＴＥ振蕩模式此時(shí)，由前面討論可知，無(wú)線長(zhǎng)矩形波導(dǎo)中的電磁波沿x，y方向都是駐波，沿z方向?yàn)樾胁ǎ谥C振腔內(nèi)，由于位于處的導(dǎo)體端面的反射，出現(xiàn)沿（－z）方向的反射波．因此，由矩形波導(dǎo)的解：

不難得矩形諧振腔內(nèi)ＴＥ振蕩模式的的表達(dá)式為：第七十五頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期六

式中Ａ＋和Ａ－分別為正子和負(fù)子方向傳播的ＴＥ波的振幅常數(shù)．在z＝０處，由于有：Ａ＋＝Ａ－所以（8-89）式寫為：在處，由于則有：必須取即：于是，得ＴＥ振蕩模式的場(chǎng)分量的表達(dá)式為：第七十六頁(yè)，共八十七頁(yè)，編輯于2023年，星期