小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法例談

小學(xué)數(shù)學(xué)思想方法例談第一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六背景數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)【總目標(biāo)】通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能：

1.獲得適應(yīng)社會(huì)生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2.體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間、數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系，運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。3.了解數(shù)學(xué)的價(jià)值，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，具有初步的創(chuàng)新意識(shí)和科學(xué)態(tài)度。

第二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六教材哪些地方滲透著基本思想？倒底有哪些基本思想？怎樣教才能培養(yǎng)孩子們真正的數(shù)學(xué)思想?為什么要把這些基本思想作為教學(xué)目標(biāo)？數(shù)學(xué)思想怎么檢測(cè)？什么是數(shù)學(xué)基本思想？第三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六你知道哪些數(shù)學(xué)思想？第四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六一、化歸思想

二、符號(hào)化思想三、類比思想四、分類思想五、模型思想六、數(shù)形結(jié)合思想七、對(duì)應(yīng)思想八、極限思想九、集合思想十、統(tǒng)計(jì)思想十一、假設(shè)思想十二、代換思想十三、單位化思想十四、函數(shù)思想十五、運(yùn)籌思想十六、抽象思想……第五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)的基本思想數(shù)學(xué)思想可以有許多，并且是有層次的。數(shù)學(xué)的基本思想則是其中帶有基本重要性的思想，處于較高的層次。其它思想都在基本思想中派生出來(lái)。第六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六什么是數(shù)學(xué)基本思想？第七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六概念、性質(zhì)、法則、公式等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)、解決數(shù)學(xué)問題的基本觀點(diǎn)和根本想法人們運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想解決問題過程中形成的一些程序、手段基礎(chǔ)、軀殼精髓數(shù)學(xué)學(xué)科精神數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)思想表層知識(shí)與深層知識(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)表層知識(shí)深層知識(shí)核心精神靈魂第八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六哪些是數(shù)學(xué)基本思想？首先要回答的問題是數(shù)學(xué)學(xué)科的思維特點(diǎn)什么是對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)、解決數(shù)學(xué)問題的基本觀點(diǎn)和根本想法？？？什么是數(shù)學(xué)學(xué)科精神第九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六什么是數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)的對(duì)象：數(shù)、形、機(jī)會(huì)、算法、變化數(shù)學(xué)的特點(diǎn)：高度抽象性、應(yīng)用廣泛性、體系嚴(yán)謹(jǐn)性數(shù)學(xué)的思考方式：抽象化、符號(hào)化、公理化、最優(yōu)化、模型第十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)反映在學(xué)生身上1、抽象思維2、推理思維3、建模思維4、理性精神數(shù)學(xué)真正學(xué)得好的學(xué)生思維特點(diǎn)他究竟缺了什么？楊振寧的話貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)始終核心精神第十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六這個(gè)學(xué)生缺的究竟是什么？“52型拖拉機(jī)，一天耕地150畝，問12天耕地多少畝？”一位學(xué)生是這樣解題的：52×150×12=……在他眼中，數(shù)字都是用來(lái)算的，而且都要放進(jìn)去算。還沒有建立清晰的數(shù)量關(guān)系模型。第十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六接下來(lái)的對(duì)話“告訴我，你為什么這么列式？”“老師，我錯(cuò)了。”“好的，告訴我，你認(rèn)為正確的該怎么列式？”“除。”“怎么除？”“大的除以小的?！薄盀槭裁词浅兀俊薄袄蠋?，我又錯(cuò)了?！薄澳阏f，對(duì)的該是怎樣呢？”“應(yīng)該把它們加起來(lái)?！笨只?，極端不自信。解決問題的思路建立在計(jì)算經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，而不是建立在運(yùn)算意義基礎(chǔ)上。第十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六啟而不發(fā)？“我們換一個(gè)題目，比如你每天吃兩個(gè)大餅，5天吃幾個(gè)大餅？”“老師，我早上不吃大餅的。”“那你吃什么？”“我經(jīng)常吃粽子。”“好，那你每天吃兩個(gè)粽子，5天吃幾個(gè)粽子？”“老師，我一天根本吃不了兩個(gè)粽子。”無(wú)法脫離具體的事物演算。第十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六啟而不發(fā)？“那你能吃幾個(gè)粽子？”“吃半個(gè)就可以了?！薄昂茫悄忝刻斐园雮€(gè)（小數(shù)乘法沒學(xué)）粽子，5天吃幾個(gè)粽子？”“兩個(gè)半。”“怎么算出來(lái)的？”“兩天一個(gè)，5天兩個(gè)半。”……第十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六他究竟缺了什么？可憐的孩子，在數(shù)學(xué)面前他只有恐慌，沒有思考。他沒有辦法脫離具體的情境。這孩子數(shù)學(xué)入門了嗎？他究竟缺了什么？（1）運(yùn)算意義的理解（2）數(shù)量關(guān)系（3）數(shù)學(xué)的基本思維——抽象第十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六我的一生很慶幸，因?yàn)槲以?jīng)在兩個(gè)不同的國(guó)度生活過，一個(gè)國(guó)家注重演繹，一個(gè)國(guó)家注重歸納。

——楊振寧第十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六速度時(shí)間路程每小時(shí)80千米行了5小時(shí)一共行了400千米vtSS=vt抽象具體符號(hào)化模型80*5＝400（千米）30*9＝270（千米）……歸納推理路程＝速度*時(shí)間數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程處處也處處體現(xiàn)第十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六

人類通過數(shù)學(xué)抽象，從客觀世界中得到數(shù)學(xué)的概念和法則，建立了數(shù)學(xué)學(xué)科；

通過數(shù)學(xué)推理，進(jìn)一步得到大量結(jié)論，數(shù)學(xué)科學(xué)得以發(fā)展；

通過數(shù)學(xué)建模，把數(shù)學(xué)應(yīng)用到客觀世界中，產(chǎn)生了巨大的效益，又反過來(lái)促進(jìn)數(shù)學(xué)科學(xué)的發(fā)展。第十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六他們真的學(xué)好數(shù)學(xué)了嗎?他們數(shù)學(xué)成績(jī)很好,但：對(duì)概念不求甚解；對(duì)定理、公式、法則不考慮它們?yōu)槭裁闯闪?，在什么條件下成立；做練習(xí)時(shí)，對(duì)題型、套公式，不去領(lǐng)會(huì)解題方法的實(shí)質(zhì)。第二十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六他們真的學(xué)好數(shù)學(xué)了嗎?他們數(shù)學(xué)成績(jī)很好,但：缺乏自己的思考，特別不能進(jìn)行長(zhǎng)時(shí)間持續(xù)性的思考，淺嘗輒止。第二十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六他們真的學(xué)好數(shù)學(xué)了嗎?他們數(shù)學(xué)成績(jī)很好,但：對(duì)書中內(nèi)容趨之若鶩，對(duì)課外的數(shù)學(xué)題避而遠(yuǎn)之。數(shù)學(xué)學(xué)得呱呱叫，生活中卻沒有用數(shù)學(xué)的沖動(dòng)。第二十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六理性精神理性思辨，不感情用事。實(shí)事求是，不盲從權(quán)威。尊重?cái)?shù)據(jù)，不弄虛作假?？茖W(xué)嚴(yán)謹(jǐn)，不隨欲而為。第二十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六西方文化的重要組成部分，也是中國(guó)文化最缺少的部分電影藝術(shù)的理性美——泰坦尼克號(hào)對(duì)數(shù)據(jù)的尊重：

哪里來(lái)的？可靠嗎？實(shí)證過嗎？

敬畏真實(shí)的數(shù)據(jù)

深入挖掘數(shù)據(jù)關(guān)于理性精神第二十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六概念、性質(zhì)、法則、公式等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能對(duì)數(shù)學(xué)理論與內(nèi)容的本質(zhì)認(rèn)識(shí)、解決數(shù)學(xué)問題的基本觀點(diǎn)和根本想法人們運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想解決問題過程中形成的一些程序、手段基礎(chǔ)、軀殼精髓數(shù)學(xué)學(xué)科精神數(shù)學(xué)方法數(shù)學(xué)思想表層知識(shí)與深層知識(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)表層知識(shí)深層知識(shí)核心精神靈魂第二十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六概念、性質(zhì)、法則、公式等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能數(shù)學(xué)基本思想：基礎(chǔ)、軀殼精髓表層知識(shí)與深層知識(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)表層知識(shí)深層知識(shí)核心精神靈魂抽象思想模型思想推理思想數(shù)學(xué)學(xué)科精神第二十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六概念、性質(zhì)、法則、公式等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能數(shù)學(xué)基本思想：基礎(chǔ)、軀殼精髓表層知識(shí)與深層知識(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)表層知識(shí)深層知識(shí)核心精神靈魂抽象思想模型思想推理思想理性精神第二十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)的基本思想

抽象思想

推理思想

模型思想第二十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六基本思想一：抽象思想第二十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六國(guó)外的一則笑話幼兒園放學(xué)后，女兒告訴做數(shù)學(xué)家的父親：“我們今天學(xué)了‘集合’！”父親：“老師是怎么教的？”女兒：“女教師讓班上所有的男孩子站起來(lái)，然后告訴大家這就是男孩子的集合；“接著，她又讓所有的女孩子站起來(lái)，說這是女孩子的集合?！薄叭缓螅质前兹撕⒆拥募?，黑人孩子的集合，……”“最后，教師問全班：‘大家是否都懂了？’她得到了肯定的答復(fù)?！钡谌?yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六國(guó)外的一則笑話父：“那么，我們是否可以將世界上所有的匙子或土豆組成一個(gè)集合？”……

遲疑了一會(huì)，女兒最終作出了這樣的回答：“不行！除非它們都能站起來(lái)！”第三十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六一、數(shù)學(xué)抽象的思想數(shù)學(xué)抽象的內(nèi)容現(xiàn)實(shí)對(duì)象抽象的數(shù)字具體的對(duì)象抽象的乘法算式男孩數(shù)目乘以蘋果數(shù)目直線（幾何）拉緊的繩子數(shù)學(xué)是從量的方面反映客觀實(shí)在的，即在數(shù)學(xué)的抽象中我們完全舍棄了事物的質(zhì)的內(nèi)容而僅僅保留了他們的量的屬性。——這就是數(shù)學(xué)與一般自然科學(xué)的一個(gè)基本區(qū)別第三十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六具體事物符號(hào)化數(shù)的模型具體化直觀感性直觀形式化（模型）直觀思維直觀6的認(rèn)識(shí)第三十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第一次抽象第二次抽象舍去高矮長(zhǎng)短寬窄等非本質(zhì)特征幾何模型第三十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六

數(shù)學(xué)抽象的思想派生出的有：

分類思想

集合思想

數(shù)形結(jié)合思想；

符號(hào)化思想；

對(duì)稱思想；

對(duì)應(yīng)思想；

極限思想

……第三十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六分類思想數(shù)學(xué)分類思想，它是人們?cè)谘芯繑?shù)學(xué)對(duì)象時(shí)，常常采用的根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)事物進(jìn)行有序劃分和組織，再進(jìn)行研究分析的思想。既是一種重要的數(shù)學(xué)思想。又是一種重要的數(shù)學(xué)邏輯方法。一、數(shù)學(xué)抽象的思想第三十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六分類思想數(shù)學(xué)價(jià)值：應(yīng)用分類討論，往往能使繁雜的問題清晰化。（三角形內(nèi)角和、一個(gè)非零正整數(shù)乘小數(shù)的結(jié)果判斷）教育價(jià)值：分類的過程，可培養(yǎng)學(xué)生思考的周密性，條理性，而分類討論，又促進(jìn)學(xué)生研究問題、探索規(guī)律的能力。（統(tǒng)計(jì)、編碼都是建立在分類思想的基礎(chǔ)上）一、數(shù)學(xué)抽象的思想第三十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六滲透分類思想的課例:圖形的分類四邊形、角的分類、三角形的認(rèn)識(shí)數(shù)的分類認(rèn)識(shí)奇數(shù)偶數(shù)質(zhì)數(shù)合數(shù)算式的分類認(rèn)識(shí)有余數(shù)除法等式的分類認(rèn)識(shí)方程一、數(shù)學(xué)抽象的思想第三十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六以《三角形內(nèi)角和》為例選擇研究的三角形對(duì)象為什么要強(qiáng)調(diào)“不同類型”？1、在無(wú)法窮盡的情況下，選擇各種類型的樣本進(jìn)行研究，用樣本反映整體。2、分類討論的思想。不同類型指的是哪幾種類型？除了各選一個(gè)銳、直、鈍的方法，還有其它的嗎？第三十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六分類思想滲透的研究:怎樣驅(qū)動(dòng)學(xué)生有目的地分類；怎樣引導(dǎo)學(xué)生找到合適的標(biāo)準(zhǔn)；分類如何做到不重不漏；形成分類討論的意識(shí)……

一、數(shù)學(xué)抽象的思想第四十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六集合思想集合理論的創(chuàng)始者德國(guó)數(shù)學(xué)家康托夫這樣描述集合：集合：指把確定的、彼此可以區(qū)分的具體的或想象的對(duì)象（它們將稱為集合的元素）看成一個(gè)整體。集合思想：把一組對(duì)象放在一起，作為討論的范圍，這是人類早期就有的思想方法，繼而把一定程度抽象了的思維對(duì)象，如數(shù)學(xué)上的點(diǎn)、數(shù)、式放在一起作為研究對(duì)象，這種思想就是集合思想。一、數(shù)學(xué)抽象的思想第四十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六集合思想典型案例

加減法的意義——并集、差集數(shù)的認(rèn)識(shí)——有限集、無(wú)限集長(zhǎng)方形、正方形的關(guān)系——子集因數(shù)和倍數(shù)、質(zhì)數(shù)和合數(shù)

2、3、5的倍數(shù)的特征——交集公因數(shù)和公倍數(shù)最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)平行四邊形、長(zhǎng)方形、正方形的關(guān)系三角形的分類重疊問題一、數(shù)學(xué)抽象的思想第四十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六（1）認(rèn)識(shí)加法：很久很久以前，還沒有文明人類的時(shí)候，那時(shí)候還只有野人。在一座大森林里有野人一家，野人爸爸和野人媽媽。爸爸負(fù)責(zé)每天出去打獵找食物，媽媽負(fù)責(zé)在家里做家務(wù)帶寶寶。有一天早上，野人爸爸出門打獵，到了晚上，野人爸爸回來(lái)了。野人媽媽問：‘你今天打了什么獵物??？’野人爸爸說：‘我今天打到了一只兔子。我們今天晚上有兔肉吃咯。野人媽媽說：‘不行不行，我們前幾天還有很多東西沒吃完，先別急著吃?！奔纤枷氲湫桶咐谒氖?yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六講到這里，我在黑板上貼一只兔子圖片，我問：“那怎么辦呢？”居然有學(xué)生想都不想說：“放到冰箱里?！蔽視?。還是把兔子養(yǎng)起來(lái)吧。野人媽媽說。于是野人爸爸就用樹枝編了個(gè)圍欄，把小兔子圈在里面。講到這里，我在兔子圖外畫了一個(gè)圈，寫上1（呵呵。。。。集合圈的雛形）第二天，野人爸爸又出去打獵，回來(lái)的時(shí)候，媽媽問，今天你又打了什么??？爸爸說，我今天運(yùn)氣特別好，我打到了兩只兔子，今天晚上我們可以大吃一頓了。媽媽說，先別急著吃，我們先把前幾天食物吃完。這兩只兔子也養(yǎng)起來(lái)，準(zhǔn)備過冬。于是野人爸爸又編了一個(gè)圍欄，把兔子養(yǎng)起來(lái)。一、數(shù)學(xué)抽象的思想集合思想典型案例第四十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六這時(shí)，我貼上兩只兔子，在外面畫一個(gè)圈。野人媽媽看到了，說，為什么不把這兩個(gè)圈的兔子，放到一個(gè)圈里養(yǎng)呢？于是野人爸爸就把這兩部分兔子合在一起，養(yǎng)在一個(gè)圈里。現(xiàn)在一共養(yǎng)了多少只兔子呢？”講到這里，我用一個(gè)大圈把三只兔子都圈了起來(lái)。一、數(shù)學(xué)抽象的思想集合思想典型案例第四十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)認(rèn)識(shí)減法：動(dòng)物都過冬了，兔子要遭殃了。大饑荒來(lái)了(3)0的認(rèn)識(shí)：一、數(shù)學(xué)抽象的思想集合思想典型案例第四十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六數(shù)形結(jié)合思想指通過數(shù)(數(shù)量關(guān)系)和形(空間形式)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系來(lái)研究、解決問題的思想。讓學(xué)生有寫一寫、畫一畫的沖動(dòng)。例：眾數(shù)一、數(shù)學(xué)抽象的思想第四十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六用數(shù)形結(jié)合的思想解釋等差數(shù)列求和公式。如求1+2+3+4+5=（1＋5）*5/2

數(shù)形結(jié)合思想典型案例之二第四十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六用數(shù)形結(jié)合的思想解釋（a+b）2=a2+2ab+b2ababa2ababb2數(shù)形結(jié)合思想典型案例之三第四十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六用數(shù)形結(jié)合的思想解釋a2

－b2=(a＋b）（a－b)ababa－bab＋《周髀算經(jīng)》注解中記載趙爽的證明方法：數(shù)形結(jié)合思想典型案例之四第五十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六一種新思路

百科情境下的數(shù)學(xué)問題解決乘法分配律數(shù)形結(jié)合思想典型案例之五第五十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算前師：你是怎樣算的？生：個(gè)位二四得八，1×1=1；十位2×1=2，1×4=4數(shù)形結(jié)合思想典型案例之六第五十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六師：你是算出的？生：先二二得四，二三得六；再一二得二，一三得三。這個(gè)二是十位乘的，要和十位對(duì)齊。師：為什么可以這樣算？生：（停頓思考，搖搖頭）就是記住要乘四次。師：這個(gè)64表示誰(shuí)與誰(shuí)的乘積？生：就是2×2和2×3。課前熟練掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)筆算的同學(xué)。第五十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六表內(nèi)乘法的計(jì)算模型第五十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六12×10=12012×4=48120+48=1681234567891011121314123456789101112第五十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六用兩個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，你能用它們拼出一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？你拼的長(zhǎng)方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)合思想典型案例之七第五十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六用三個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，你能用它們拼出一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？你拼的長(zhǎng)方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)合思想典型案例之七第五十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六用四個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，你能用它們拼出一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？你拼的長(zhǎng)方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)合思想典型案例之七第五十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六用五個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，你能用它們拼出一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？你拼的長(zhǎng)方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)合思想典型案例之七第五十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六用六個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，你能用它們拼出一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？你拼的長(zhǎng)方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)合思想典型案例之七第六十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六用七個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，你能用它們拼出一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？你拼的長(zhǎng)方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)合思想典型案例之七第六十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六用八個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，你能用它們拼出一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？你拼的長(zhǎng)方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)合思想典型案例之七第六十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六用九個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，你能用它們拼出一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？你拼的長(zhǎng)方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)合思想典型案例之七第六十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六用十二個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形，你能用它們拼出一個(gè)長(zhǎng)方形嗎？你拼的長(zhǎng)方形是什么樣的？還有不同的拼法嗎？質(zhì)數(shù)合數(shù)數(shù)形結(jié)合思想典型案例之七第六十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六計(jì)算：＝數(shù)形結(jié)合思想典型案例之八第六十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六計(jì)算：＝121418116132“1”數(shù)形結(jié)合思想典型案例之八第六十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六長(zhǎng)寬面積長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬數(shù)量總價(jià)總價(jià)=單價(jià)×數(shù)量單價(jià)數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九——面積法第六十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六（二）解決問題問題：學(xué)校食堂買來(lái)一些大米。計(jì)劃吃8天，實(shí)際每天比計(jì)劃多吃5千克，結(jié)果提前2天就吃完了。你能算出原計(jì)劃每天吃多少千克嗎？總千克數(shù)=每天吃的千克數(shù)×天數(shù)長(zhǎng)方形的面積=長(zhǎng)×寬數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九——面積法第六十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六（二）解決問題問題：學(xué)校食堂買來(lái)一些大米。計(jì)劃吃8天，實(shí)際每天比計(jì)劃多吃5千克，結(jié)果提前2天就吃完了。你能算出原計(jì)劃每天吃多少千克嗎？總千克數(shù)=每天吃的千克數(shù)×天數(shù)提前2天吃完多吃5千克計(jì)劃吃8天AB原計(jì)劃每天吃多少千克？數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九——面積法第六十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六一個(gè)正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來(lái)正方形的面積是多少平方米數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九——面積法第七十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六一個(gè)正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來(lái)正方形的面積是多少平方米數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九——面積法第七十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六一個(gè)正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來(lái)正方形的面積是多少平方米減少20%2米數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九——面積法第七十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六一個(gè)正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來(lái)正方形的面積是多少平方米減少20%2米減少1/5，把正方形的邊長(zhǎng)平均分成五份，減少其中1份，還剩下4份數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九——面積法第七十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六一個(gè)正方形，一條邊減少20%，另一條增加2米，面積保持不變，求原來(lái)正方形的面積是多少平方米1份2米4份BAC數(shù)形結(jié)合思想典型案例之九——面積法第七十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六A、B、C、D、E進(jìn)行象棋比賽，每?jī)扇酥g都要賽一盤。到現(xiàn)在為止，A已經(jīng)賽了4盤，B賽了3盤，C賽了2盤，D賽了1盤，請(qǐng)問E已經(jīng)賽了幾盤？數(shù)形結(jié)合思想典型案例之十——邏輯推理第七十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六數(shù)形結(jié)合詩(shī)數(shù)形本是相依偎，焉能紛作兩邊飛.數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休.幾何代數(shù)統(tǒng)一體，永遠(yuǎn)聯(lián)系莫分離.華羅庚第七十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)語(yǔ)言所包含的信息量的大小，直接影響著數(shù)學(xué)思維的質(zhì)量。運(yùn)用各種簡(jiǎn)潔的符號(hào)對(duì)問題進(jìn)行抽象表達(dá)，既能以濃縮的形式表達(dá)大量信息，大大簡(jiǎn)化了數(shù)學(xué)運(yùn)算或推理的過程，加快了數(shù)學(xué)思維的速度，更能去偽存真，抓住問題的本質(zhì)和關(guān)鍵。因此，在數(shù)學(xué)中，人們大量地運(yùn)用符號(hào)。幾乎所有的數(shù)學(xué)表述用語(yǔ)，包括公理、定理、法則、公式、概念等都是一串串符號(hào)鏈，而數(shù)學(xué)研究的過程就是把一個(gè)符號(hào)鏈變換成另一個(gè)符號(hào)鏈。符號(hào)化思想一、數(shù)學(xué)抽象的思想第七十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六符號(hào)就是數(shù)學(xué)存在的具體化身。英國(guó)著名數(shù)學(xué)家羅素甚至說：“什么是數(shù)學(xué)?數(shù)學(xué)就是符號(hào)加邏輯?！?/p>

符號(hào)化思想一、數(shù)學(xué)抽象的思想第七十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六途徑之一1．認(rèn)識(shí)已有的數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)。符號(hào)化思想一、數(shù)學(xué)抽象的思想第七十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六小學(xué)階段的數(shù)學(xué)符號(hào)數(shù)值符號(hào)：

阿拉伯?dāng)?shù)字0－9數(shù)量符號(hào)：x、a、π……（常量、變量、未知數(shù)）關(guān)系符號(hào)：><=≈運(yùn)算符號(hào)：

＋－×÷：（）[]符號(hào)組合：代數(shù)式、方程、字母公式、復(fù)合單位還有一些特例：統(tǒng)計(jì)領(lǐng)域：統(tǒng)計(jì)圖正字統(tǒng)計(jì)法、用分?jǐn)?shù)表示可能性的大小

第八十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六（1）理解數(shù)學(xué)符號(hào)的含義和實(shí)質(zhì)。（2）經(jīng)歷符號(hào)化的過程。（3）適當(dāng)滲透一些符號(hào)化通用規(guī)則。途徑之一1．認(rèn)識(shí)已有的數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)。例：速度時(shí)間路程例：負(fù)數(shù)符號(hào)化思想一、數(shù)學(xué)抽象的思想第八十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六倍的認(rèn)識(shí)線段圖第八十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六第一小組得了5個(gè)笑臉，第二小組得的笑臉數(shù)是第一小組的3倍，第二小組得了多少個(gè)笑臉？符號(hào)化思想一、數(shù)學(xué)抽象的思想第八十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六（1）理解數(shù)學(xué)符號(hào)的含義和實(shí)質(zhì)。（2）經(jīng)歷符號(hào)化的過程。（3）適當(dāng)滲透一些符號(hào)化通用規(guī)則。（1）尊重學(xué)生原發(fā)思維的同時(shí)，鼓勵(lì)符號(hào)的優(yōu)化。途徑之一1．認(rèn)識(shí)已有的數(shù)學(xué)符號(hào)系統(tǒng)。途徑之二2．嘗試用符號(hào)化的思想進(jìn)行數(shù)學(xué)思考。（2）強(qiáng)化符號(hào)化過程的規(guī)則意識(shí)。符號(hào)化思想一、數(shù)學(xué)抽象的思想第八十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六打電話第八十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六例：一下統(tǒng)計(jì)√√√√√√√2342正第八十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六典型案例

角的初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)廣角：搭配的學(xué)問用字母表示數(shù)長(zhǎng)方形、正方形、平行四邊形、三角形、梯形、圓、圓柱、圓錐的周長(zhǎng)、面積和體積的計(jì)算公式推導(dǎo)比和比例用字母表示數(shù)解放程求未知數(shù)X

加法交換律、結(jié)合律、乘法。乘法交換律、結(jié)合律、分配律列方程解應(yīng)用題解比例環(huán)形面積字母公式。第八十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六基本思想二：推理思想第八十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六什么是推理？推理是人們思維活動(dòng)的過程，是根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷來(lái)確定一個(gè)新的判斷的思維過程。推理合情推理演繹推理歸納類比第八十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六

由某類事物的具有某些特征,推出該類事物的都具有這些特征的推理,或者由概括出的推理,稱為歸納推理(簡(jiǎn)稱歸納).部分對(duì)象全部對(duì)象個(gè)別事實(shí)一般結(jié)論歸納推理第九十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六歌德巴赫猜想的提出過程：3＋7＝10，3＋17＝20，13＋17＝30，

“任何一個(gè)不小于6的偶數(shù)都等于兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和”即:偶數(shù)＝奇質(zhì)數(shù)＋奇質(zhì)數(shù)改寫為:10＝3＋7，20＝3＋17，30＝13＋17．6＝3+3，1000＝29+971，8＝3+5，1002=139+863,10＝5+5,…12＝5+7，14＝7+7，…，歌德巴赫猜想:第九十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理稱為演繹推理。演繹推理第九十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)推理的思想派生出的有：

歸納推理；

演繹推理；

聯(lián)想與類比的思想；

公理化思想；

化歸思想；

逐步逼近的思想；

……第九十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六問題A問題A’解答A解答A’化歸還原化歸思想第九十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六除數(shù)是小數(shù)的除法——除數(shù)是整數(shù)的除法求多邊形內(nèi)角和——幾個(gè)三角形內(nèi)角總和多加的要減去，多減的要加上（1）改變形式的非恒等化歸（2）簡(jiǎn)化問題的非恒等化歸恒等化歸在確保量不變的前提下，將求解問題通過改變形式使之成為已有解的問題非恒等化歸將求解問題通過改變形式成為已有解問題或是簡(jiǎn)單的問題時(shí)，結(jié)果出現(xiàn)變化，此時(shí)返回值需要加以處理，才能得到問題的解（3）制造變化沖突的非恒等化歸化歸思想第九十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六直角三角形的內(nèi)角和是180度180+180-90-90=180（度）鈍角三角形的內(nèi)角和是180度360度所有三角形的內(nèi)角和都是180度180+180-90-90=180（度）銳角三角形的內(nèi)角和是180度第九十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六小學(xué)階段幾何圖形面積計(jì)算公式推導(dǎo)過程中的化歸思想（箭頭表示化歸方向）平面圖形面積計(jì)算立體圖形體積計(jì)算組合圖形的面積或體積計(jì)算兩個(gè)完全一樣的梯形拼成一個(gè)平行四邊形割圓術(shù)，化曲為直兩個(gè)完全一樣的梯形拼成一個(gè)平行四邊形切割拼補(bǔ)兩個(gè)完全一樣的梯形拼成一個(gè)平行四邊形圓錐體積是與它等底等高的圓柱體積的1/3化歸思想第九十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六面積法某修路隊(duì)搶修一段公路，原計(jì)劃36天可以完成任務(wù)，為了趕工程進(jìn)度，開工時(shí)又調(diào)來(lái)一個(gè)修路隊(duì)，結(jié)果實(shí)際每天比計(jì)劃多搶修200米，只用了20天就完成了任務(wù)。這段公路長(zhǎng)多少米？36天200米20天第九十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六找尋學(xué)生思維的路徑例：平行四邊形的面積計(jì)算1、產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因是什么？2、錯(cuò)誤也是有價(jià)值的。第九十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六核心思想1、化歸并不是一種無(wú)目的的活動(dòng)，因此，在實(shí)踐過程中，我們就應(yīng)始終盯住目標(biāo)，即應(yīng)當(dāng)始終考慮這樣的問題：怎樣才能達(dá)到解決原來(lái)問題的目的？以可變的觀點(diǎn)去看待問題，善于對(duì)所要解決的問題進(jìn)行變換。注意：2、由于只有通過反復(fù)的實(shí)踐，才能找到正確的化歸方向與方法，因此在解題過程中，應(yīng)保持一定的靈活性?；瘹w思想第一百頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)推理的思想派生出的有：

歸納推理；

演繹推理；

聯(lián)想與類比的思想；

公理化思想；

化歸思想；

逐步逼近的思想；

……第一百零一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六基本思想三：模型思想第一百零二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六模型思想模型是人們?yōu)榱四撤N特定的目的而將原型的某一部分信息加以簡(jiǎn)略和提煉而構(gòu)建出來(lái)的這個(gè)原型的某個(gè)代替物。第一百零三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六典型案例

二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)廣角：握手的次數(shù)、打乒乓球的次數(shù)

10以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)

20以內(nèi)進(jìn)位加法、退位減法四則混合運(yùn)算法則的總結(jié)四年級(jí)下冊(cè)植樹問題三年級(jí)上冊(cè)搭配、排列與組合數(shù)學(xué)的概念、定理、公式、法則探索、研究、提煉、總結(jié)的過程，都是一個(gè)數(shù)學(xué)建模的過程。第一百零四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六S=πr2計(jì)算公式是模型第一百零五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六方程是刻畫等量關(guān)系的模型第一百零六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六數(shù)學(xué)模型的思想派生出的有：

簡(jiǎn)化的思想；量化的思想；

函數(shù)的思想；方程的思想；

優(yōu)化的思想；隨機(jī)的思想；

抽樣統(tǒng)計(jì)的思想等。第一百零七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六函數(shù)思想函數(shù)反映的是相關(guān)聯(lián)的量運(yùn)動(dòng)變化中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。函數(shù)思想即以運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)去反映客觀世界中變量間的相互聯(lián)系和內(nèi)在規(guī)律的。第一百零八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六函數(shù)思想盡管函數(shù)的定義沒有在小學(xué)數(shù)學(xué)教材中專門給出，但從低年級(jí)開始就有所滲透。如一個(gè)加數(shù)不變時(shí)，“和”隨“另一個(gè)加數(shù)”變化而變化；積變化的規(guī)律（討論“一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大或縮小，引起的積的變化”）；正、反比例這部分內(nèi)容更是集中滲透了函數(shù)概念。再如利息隨著利率的變化而變化，綜合實(shí)踐活動(dòng)內(nèi)容中出租車的票價(jià)隨著出租車運(yùn)行的千米數(shù)而變化，進(jìn)一步幫助學(xué)生加深對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)與理解，畫龍畫晴地強(qiáng)調(diào)量的“變化”，突出“兩種相關(guān)聯(lián)的量”之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。第一百零九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六口算60+60+60=80+50+50=100+45+35=150+20+10=170+5+5=180180180180180+=和不變+第一百一十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六ABCAAAAAAAA形狀不一樣的三角形，內(nèi)角和怎么會(huì)一樣？第一百一十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六∠A∠B∠CABCAAAA++形狀不一樣的三角形，內(nèi)角和怎么會(huì)一樣？第一百一十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(1)對(duì)數(shù)或者圖形排列規(guī)律的探索

※探索圖形的排列規(guī)律第一百一十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六※探索數(shù)的排列的規(guī)律第一百一十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律的探索第一百一十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律的探索第一百一十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六用16根1厘米長(zhǎng)的小棒圍成長(zhǎng)方形或正方形，你能圍出多少個(gè)？其中面積最大的是多少？并填寫如下表格。

用16根1厘米長(zhǎng)的小棒圍成長(zhǎng)方形或正方形，你能圍出多少個(gè)？其中面積最大的是多少？并填寫如下表格(3)對(duì)圖形變化規(guī)律的探索序號(hào)長(zhǎng)寬周長(zhǎng)面積示意圖12…第一百一十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六2.對(duì)“關(guān)系”的體驗(yàn)（1）感受“一一對(duì)應(yīng)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系第一百一十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六（1）感受“一一對(duì)應(yīng)”的對(duì)應(yīng)關(guān)系第一百一十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六※乘法口訣：一個(gè)因數(shù)不變時(shí)，積與另一個(gè)因數(shù)“一一對(duì)應(yīng)”※找規(guī)律填數(shù):數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)與它的項(xiàng)數(shù)“一一對(duì)應(yīng)”※折線統(tǒng)計(jì)圖：一組數(shù)據(jù)與統(tǒng)計(jì)圖中的一個(gè)點(diǎn)“一一對(duì)應(yīng)”……第一百二十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六如：學(xué)習(xí)“四舍五入”，3.5至4.5(不含4.5)之間的無(wú)窮多個(gè)數(shù)四舍五入保留整數(shù)后都對(duì)應(yīng)的是“4”又如：“找次品問題”，次品數(shù)在10至27個(gè)時(shí)，均需要稱量3次（2）感受“多對(duì)一”的對(duì)應(yīng)關(guān)系第一百二十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六將對(duì)應(yīng)關(guān)系以圖解的形式滲透，各冊(cè)教材中均有類似如下的練習(xí)：以上所列舉的內(nèi)容豐富了學(xué)生對(duì)于兩個(gè)集合“關(guān)系”的認(rèn)識(shí)第一百二十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六（3）結(jié)合基本數(shù)量關(guān)系或圖形計(jì)算公式，

強(qiáng)化對(duì)變量之間關(guān)系的感受S=vt(路程=速度×?xí)r間)，當(dāng)速度v固定時(shí)，S是t的函數(shù)。C=πd(圓的周長(zhǎng)=圓周率×直徑)，C是d的函數(shù)。S=1/2ah(三角形面積=底×高÷2)，當(dāng)a固定時(shí)，S是h的函數(shù)可以設(shè)計(jì)如下的訓(xùn)練：學(xué)校有120名學(xué)生排隊(duì)做操，

，可以站幾排？第一百二十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六3.對(duì)多種數(shù)學(xué)語(yǔ)言的感受和初步使用※感受和使用字母語(yǔ)言※一般的函數(shù)解析式都是借助字母來(lái)表

達(dá)的。引進(jìn)字母表

示，是用符號(hào)表示

數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)

律的基礎(chǔ)。解析式：S=πr2第一百二十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六（2）感受和使用表格語(yǔ)言第一百二十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六(3)感受和使用圖像語(yǔ)言圖像對(duì)于理解變量之間的關(guān)系具有十分重要的意義，圖像表示以其直觀性有著其它表示方式所不能替代的作用，它是“看見”相應(yīng)的關(guān)系和變化情況的途徑之一。學(xué)生最初看到的函數(shù)圖像是四年級(jí)學(xué)習(xí)的折線統(tǒng)計(jì)圖六年級(jí)成正比例的兩個(gè)量的圖像繪制第一百二十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六鼓勵(lì)學(xué)生將表格、圖像和關(guān)系式結(jié)合起來(lái)，談自己對(duì)正比例關(guān)系的認(rèn)識(shí)第一百二十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六舉例：正比例的意義原來(lái)的設(shè)計(jì)：1.復(fù)習(xí)時(shí)說長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬、高，速度、時(shí)間、路程等之間的關(guān)系2.出示例題，學(xué)生思考：（1）表中有哪幾種量？（2）它們是兩種相關(guān)聯(lián)的量嗎？（3）你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？3.判斷練習(xí)，強(qiáng)調(diào)比值或商一定學(xué)生做判斷練習(xí)的正確率比較高。4.例2的圖像讓學(xué)生自主畫圖，集體交流答題情況后并沒有過多停留。過于重視判斷技巧的習(xí)得，忽略了圖像教學(xué)的價(jià)值。第一百二十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六化靜為動(dòng)，感悟函數(shù)思想課始呈現(xiàn)：蠟燭燃燒（時(shí)間與被燒的長(zhǎng)度的變化關(guān)系）汽車行駛（時(shí)間與速度的變化關(guān)系）股票行情正方形周長(zhǎng)與邊長(zhǎng)的變化關(guān)系兩人年齡情況正方形面積計(jì)算公式思考：1.觀察每個(gè)情景中的兩種變量，它們是怎樣變化的？2.在這些情景中，哪些量的變化具有相同的特點(diǎn)？

第一百二十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六分類：1.兩個(gè)變量，一個(gè)量增加，另一個(gè)量也增加（同時(shí)增加）2.兩個(gè)變量，一個(gè)量增加，另一個(gè)量卻減少。3.兩個(gè)變量，一個(gè)量增加，另一個(gè)量時(shí)增時(shí)減。對(duì)同時(shí)增加的一類再深入研究：分為直線上升、曲線上升經(jīng)歷：體會(huì)變化的量之間的關(guān)系——感受變量之間關(guān)系的不同——通過分類，關(guān)注正比例變化的情況※直觀感受變量之間的相互依存關(guān)系，預(yù)測(cè)動(dòng)態(tài)變化趨勢(shì)第一百三十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透函數(shù)思想，要把握以下兩條基本原則:（1）創(chuàng)設(shè)“變化”的過程，才能感受到函數(shù)思想。（2）激發(fā)學(xué)生“探究”的本性，于“變”中把握“不變”，滿足人的好奇本性。第一百三十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六典型案例

用字母表示數(shù)商不變的性質(zhì)正比例和反比例

“周長(zhǎng)和面積”的練習(xí)課利用數(shù)量關(guān)系在解決實(shí)際問題，如單價(jià)、數(shù)量和總價(jià)之間的關(guān)系；路程、時(shí)間和速度的關(guān)系；工作量、工作效率和工作時(shí)間的關(guān)系……

統(tǒng)計(jì)與概率六年級(jí)上冊(cè)“位置”

一年級(jí)上冊(cè)《20以內(nèi)進(jìn)位加法表》

一位數(shù)乘法口算

0和任何數(shù)相乘都得0的計(jì)算過程倍的認(rèn)識(shí)；倍數(shù)應(yīng)用題除數(shù)是一位數(shù)的除法自然數(shù)與直線上的點(diǎn)的關(guān)系乘數(shù)是兩位數(shù)的乘法計(jì)算歸一、歸總應(yīng)用題；除數(shù)是兩位數(shù)的除法差（和）對(duì)應(yīng)兩步應(yīng)用題相遇問題分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)小數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)。第一百三十二頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六一個(gè)綜合性的例子第一百三十三頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六雞兔共8只，有22只腳，雞兔各有多少只？

策略1：嘗試與猜想：1只雞，7只兔，腿的總條數(shù)是30，腿多了，減少兔子的數(shù)量，再嘗試；策略2：列表嘗試：雞兔各4只，那么腿24只，腿少了，增加雞的數(shù)量，再嘗試；策略3：用畫圖的方法，先按照都是雞畫好，再在此基礎(chǔ)上添上腿，添上2只腿就表明多了1只兔。第一百三十四頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六策略4：面積圖，利用長(zhǎng)方形面積公式來(lái)計(jì)算組合圖形的面積。2只腳4只腳8個(gè)頭雞兔共8只，有22只腳，雞兔各有多少只？

第一百三十五頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六策略5：金雞獨(dú)立法。

所有的雞、兔都起立，兔子兩腿站立，雞一腳獨(dú)立，此時(shí)腿數(shù)是22÷2=11（支），此時(shí)雞的腿數(shù)和頭數(shù)相等，而兔子的腿數(shù)比頭數(shù)多1。因此11－8=3（個(gè)），就是兔子的只數(shù)。雞兔共8只，有22只腳，雞兔各有多少只？

第一百三十六頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六雞兔共8只，有22只腳，雞兔各有多少只？

策略6：假設(shè)全是雞，也可以假設(shè)全是兔，也可以假設(shè)一半是雞一半是兔；策略7：方程思路：用□表示雞的只數(shù)，用○表示兔的只數(shù)，根據(jù)已知條件可以發(fā)現(xiàn)□＋○＝8，2□＋4○＝22；由此可以得到2（□＋○）＋2○＝22，2○＝22－16，○＝3。第一百三十七頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六引導(dǎo)與體驗(yàn)第一百三十八頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六1、教師要深入理解每種思想的本質(zhì)，把握教學(xué)內(nèi)容滲透數(shù)學(xué)思想的機(jī)會(huì)。第一百三十九頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六我們通常會(huì)這樣問：等邊三角形的三個(gè)角分別是多少度？如果改成這樣呢：等邊三角形是否可能有直角？2、好問題才會(huì)有好思維,才能提升高級(jí)思維第一百四十頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六幾年前，一位朋友問郭思樂教授：“什么是教學(xué)？”郭教授回答說：“如果你告訴學(xué)生，3乘以5等于15，這不是教學(xué)。如果你說，3乘以5等于什么？這就有一點(diǎn)是教學(xué)了?！薄叭绻阌心懥空f：‘3乘以5等于14’，那就更是教學(xué)了。這時(shí)候，打瞌睡的孩子睜開了眼睛，玩橡皮泥的學(xué)生也不玩了：‘什么什么？等于14？’”“然后他們就用各種方法，來(lái)論證等于15而不是14。比如4個(gè)3是12，再多加一個(gè)3，是15；數(shù)一數(shù)，5個(gè)3是15，等等?！边@一段小小的對(duì)話，閃爍著郭思樂教授“生本教育”理論的智慧之光。第一百四十一頁(yè)，共一百六十頁(yè)，編輯于2023年，星期六3、留一只眼睛審視思維過程。數(shù)學(xué)思考過程中的元認(rèn)知——評(píng)估自己的數(shù)學(xué)思考（留一只眼睛給自己）：“我所面臨的是怎樣的問題？”“我所選擇的是怎樣的一條解題途徑？”“我為什么作出這樣的選擇？”“我現(xiàn)在已經(jīng)進(jìn)行到了哪一階段？”“這一步的實(shí)施在整個(gè)解題過程中占有怎樣的地位？”“我目前所面臨的主要困難是什么？“解題的前景如何？”“我獲得了什