2022屆高考數(shù)學（文）一輪復習函數(shù)的奇偶性與周期性

5/28/2023

第七講函數(shù)的奇偶性與周期性1.函數(shù)的奇偶性(1)函數(shù)的奇偶性的定義5/28/2023奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)如果函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x都有f(-x)=f(x),那么函數(shù)f(x)是偶函數(shù).關于y軸對稱奇函數(shù)如果函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x都有f(-x)=-f(x),那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù).關于原點對稱回歸課本(2)對函數(shù)奇偶性的理解①函數(shù)奇偶性的判斷a.首先看函數(shù)的定義域,若函數(shù)的定義域不關于原點對稱,則函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).5/28/2023b.若函數(shù)的定義域關于原點對稱,再看f(-x)與f(x)的關系.若f(-x)=-f(x),則函數(shù)是奇函數(shù);若f(-x)=f(x),則函數(shù)是偶函數(shù);若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x),則f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù);若f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),則f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).5/28/2023②在公共定義域內(nèi)a.兩奇函數(shù)的積與商(分母不為零時)為偶函數(shù),兩奇函數(shù)的和是奇函數(shù).b.兩偶函數(shù)的和?積與商(分母不為零)為偶函數(shù).③奇函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性一致,偶函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反.5/28/20232.函數(shù)的周期性(1)對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內(nèi)的每一個值時,都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫f(x)的周期.如果所有的周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫f(x)的最小正周期.(2)周期函數(shù)不一定有最小正周期,若T≠0是f(x)的周期,則kT(k∈Z)(k≠0)也一定是f(x)的周期,周期函數(shù)的定義域無上?下界.5/28/2023考點陪練5/28/2023答案:B2.（2011·安徽）設f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x≤0時，f(x)＝2x2－x，則f(1)＝________.解析:法一：∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x≤0時，f(x)＝2x2－x，∴f(1)＝－f(－1)＝－2×(－1)2＋(－1)＝－3.法二：設x>0，則－x<0，∵f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且x≤0時，f(x)＝2x2－x，∴f(－x)＝2(－x)2－(－x)＝2x2＋x，又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－2x2－x，∴f(1)＝－2×12－1＝－3.答案:－3

5/28/20233.(2010·新課標全國)設偶函數(shù)f(x)滿足f(x)=2x-4(x≥0),則{x|f(x-2)>0}=()A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4}C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2}解析:已知函數(shù)f(x)是偶函數(shù),所以當x<0時,解析式為f(x)=2-x-4(x<0),所以當x-2<0時,f(x-2)=2-(x-2)-4,要使f(x-2)>0,解得x<0;當x-2≥0時,f(x-2)=2x-2-4,要使f(x-2)=2x-2-4>0,解得x>4,綜上{x|f(x-2)>0}={x|x<0或x>4},故選B.答案:B5/28/20234.(2010·山東)設f(x)為定義在R上的奇函數(shù).當x≥0時,f(x)=2x+2x+b(b為常數(shù)),則f(-1)=()A.-3 B.-1C.1 D.3解析:因為f(x)為定義在R上的奇函數(shù),所以有f(0)=20+2×0+b=0,解得b=-1,所以當x≥0時,f(x)=2x+2x-1,所以f(-1)=-f(1)=-(21+2×1-1)=-3,故選A.答案:A5/28/20235.(2010·廣東)若函數(shù)f(x)=3x+3-x與g(x)=3x-3-x的定義域均為R,則()A.f(x)與g(x)均為偶函數(shù)B.f(x)為偶函數(shù),g(x)為奇函數(shù)C.f(x)與g(x)均為奇函數(shù)D.f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù)解析:由f(-x)=3-x+3x=f(x)可知f(x)為偶函數(shù),由g(-x)=3-x-3x=-(3x-3-x)=-g(x)可知g(x)為奇函數(shù).答案:B5/28/20235/28/2023答案:2x+3類型一 函數(shù)奇偶性的判斷解題準備:判斷函數(shù)奇偶性的一般方法(1)首先確定函數(shù)的定義域,看是否是關于原點對稱的.否則,既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(2)若定義域關于原點對稱,則可用下述方法進行判斷:①定義判斷:f(-x)=f(x)?f(x)為偶函數(shù),f(-x)=-f(x)?f(x)為奇函數(shù).5/28/2023②等價形式判斷:f(-x)-f(x)=0?f(x)為偶函數(shù).f(-x)+f(x)=0?f(x)為奇函數(shù).(3)對于分段函數(shù)的奇偶性的判斷應分段進行.5/28/20235/28/2023

[分析]判斷函數(shù)的奇偶性,首先要檢驗其定義域是否關于原點對稱,若關于原點對稱,再嚴格按照奇偶性的定義進行推理判斷.5/28/20235/28/20235/28/2023的定義域關于原點對稱,∵當x>0時,-x<0,∴f(-x)=(-x)[1-(-x)]=-x(1+x)=-f(x)(x>0).當x<0時,-x>0,∴f(-x)=(-x)[1+(-x)]=-x(1-x)=-f(x)(x<0).∴f(-x)=-f(x),∴f(x)為奇函數(shù).5/28/2023類型二 函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合問題解題準備:1.討論函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性時,應先確定函數(shù)的定義域.2.奇函數(shù)在關于原點對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在關于原點對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性.3.將函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性綜合運用是考查函數(shù)性質(zhì)的重要題型.5/28/20235/28/20235/28/20235/28/2023又(1-x1+x2-x1x2)-(1+x1-x2-x1x2)=2(x2-x1)>0,∵1-x2>0,1+x1>0,∴(1-x2)(1+x1)=1+x1-x2-x1x2>0.5/28/2023類型三 函數(shù)的周期性解題準備:三個結(jié)論:若a?b是非零常數(shù),且a≠b,則有5/28/20235/28/2023結(jié)論2:(對稱性與周期關系結(jié)論)(1)f(x)關于x=a及x=b對稱,則T=2|b-a|;(2)f(x)關于x=b及M(a,0)對稱,則T=4|b-a|;(3)f(x)關于M(a,0)和N(b,0)對稱,則T=2|b-a|.結(jié)論3:(奇偶性與周期關系結(jié)論)(1)f(x)是偶函數(shù)且關于直線x=a對稱,則T=2|a|;(2)f(x)是奇函數(shù)且關于直線x=a對稱,則T=4|a|.(上述結(jié)論中的T為函數(shù)的周期,但不一定是最小正周期).5/28/20235/28/20235/28/20235/28/2023類型四 函數(shù)的奇偶性與周期性的綜合問題解題準備:奇偶性和周期性都是函數(shù)的整體性質(zhì).奇偶性是解決函數(shù)圖象的對稱性問題,周期性是解決函數(shù)圖象的平移問題.函數(shù)的單調(diào)性揭示函數(shù)的局部性質(zhì),靈活運用函數(shù)性質(zhì)可解決與函數(shù)相關的方程?不等式等綜合問題.5/28/2023【典例4】已知函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),對任意的x,都有f(x+1)=-f(1-x),且方程f(x)=0在[-1,1]上只有一個根,則方程f(x+1)=0的第2000個根是多少.(從x軸右半軸開始從左到右數(shù)起).[解]由f(x+2)=-f[1-(x+1)]=-f(-x)=f(x)得:f(x)是周期函數(shù),且周期為2.f(x+1)是把f(x)的圖象向左移1個單位.由x∈R,f(x)是奇函數(shù),且f(x)=0在[-1,1]上只有一個根,知f(0)=0,∴方程f(x)=0的第2000個根是4000,∴f(x+1)=0的第2000個根是3999.5/28/2023錯源一 忽略定義域出錯5/28/2023[剖析]判斷函數(shù)奇偶性,首先要看函數(shù)的定義域,若定義域是關于原點的對稱區(qū)間,則函數(shù)可能具有奇偶性;否則,函數(shù)一定不具有奇偶性.其次,要看f(x)與f(-x)之間的關系.[正解]函數(shù)的定義域為{x|x≠1},定義域不關于原點對稱,因此該函數(shù)為非奇非偶函數(shù).

5/28/2023錯源二 忽視對參數(shù)的討論【典例2】判斷函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1(a∈R)的奇偶性.[錯解]顯然函數(shù)定義域為R.因為f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,所以f(-a)≠f(a),且f(-a)≠-f(a),所以f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).5/28/2023[剖析]此解法錯在于沒有對參數(shù)進行討論,未考慮到a=0這種特殊情形,以致解題出錯.[正解]當a=0時,函數(shù)f(-x)=(-x)2+|-x|+1=x2+|x|+1=f(x),此時f(x)為偶函數(shù); 當a≠0時,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1,f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a),此時f(x)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù).

5/28/2023技法一 快速解題(數(shù)形結(jié)合法)【典例1】已知定義在R上的函數(shù)f(x)不恒為零,且滿足f(x+3)=-f(3-x)?f(x+4)=f(4-x),則f(x)是()A.奇函數(shù)也是周期函數(shù)B.偶函數(shù)也是周期函數(shù)C.奇函數(shù)但非周期函數(shù)D.偶函數(shù)但非周期函數(shù)5/28/2023

[快解]由于本題為選擇題,故可用數(shù)形結(jié)合法,畫出符合題意的圖象即可選對答案.函數(shù)f(x)以點(3,0)為對稱中心,以直線x=4為對稱軸,如下圖所示,點(2k-1,0)都是對稱中心,直線x=2k都是對稱軸,這里的k∈Z,故選B.5/28/2023

[另解切入點]因為f(x+3)=-f(3-x)、f(x+4)=f(4-x),所以函數(shù)f(x)以點(3,0)為對稱中心,以直線x=4為對稱軸.[分析思維過程]要利用兩個條件式,推證出f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù),需找到兩式的聯(lián)系.x+4=(x+1)+3,有3-(x+1)=2-x出現(xiàn),如此推演,有望得到結(jié)果.5/28/2023[解析]∵f(x+3)=-f(3-x)①f(x+4)=f(4-x)②∴f(x+4)=f[(x+1)+3]=-f[-(x+1)+3]=-f(2-x)=-f[4-(x+2)]=-f[4+(x+2)]=-f[3+(x+3)]=f[3-(x+3)]=f(-x).則f(4-x)=f[(-x)+4]=f(x).∴f(-x)=f(x),且f(x+4)=f(x).故函數(shù)f(x)是偶函數(shù),也是周期函數(shù),選B.[答案]B

5/28/2023[方法與技巧]解是由函數(shù)滿足的關系一步一步推證,步驟較多,不易掌握.而數(shù)形結(jié)合法簡單?直觀,好掌握,易理解,對于解選擇題非常適宜.[得分主要步驟]運用好已知的兩個條件式是很重要的.首先由②式入手,使之出現(xiàn)①式的形式,再由②到①,每步都需認真思考,是否滿足條件,是否可以得到需要的結(jié)果.[易丟分原因]各步變換時,注意符號,稍有不慎將會出錯.如由f(x+4