相似多邊形-人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)講練

文檔來(lái)源網(wǎng)絡(luò)整理侵權(quán)刪除專題27.4相似多邊形（知識(shí)講解）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握相似多邊形的定義，明確相似多邊形的兩個(gè)條件；2.理解并掌握相似多邊形的性質(zhì)，相似比的意義；3.運(yùn)用相似多邊形的兩個(gè)條件證明多邊形相似；4.運(yùn)用相似多邊形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)。【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：相似多邊形的概念：如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)或多個(gè)多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。要點(diǎn)二：相似多邊形的性質(zhì)：性質(zhì)1:相似多邊形周長(zhǎng)比等于相似比。性質(zhì)2:相似多邊形對(duì)應(yīng)對(duì)角線的比等于相似比。性質(zhì)3:相似多邊形中的對(duì)應(yīng)三角形相似，其相似比等于相似多邊形的相似比。性質(zhì)4:相似多邊形面積的比等于相似比的平方。性質(zhì)5:若相似比為1，則全等。性質(zhì)6:相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線)成比例。性質(zhì)7:相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例?！镜湫屠}】類型一、相似圖形1．在菱形與菱形中，，這兩個(gè)菱形相似嗎？為什么？【答案】菱形與菱形相似．理由見(jiàn)分析．【分析】根據(jù)如果兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，則這兩個(gè)多邊形是相似多邊形解答．解：在菱形與菱形中，設(shè)，，，，即菱形與菱形的對(duì)應(yīng)角相等；又菱形的四條邊都相等，兩菱形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即菱形與菱形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，菱形與菱形相似．【點(diǎn)撥】本題考查了相似多邊形的判定，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握菱形的性質(zhì)和相似多邊形的判定定理．【變式1】如圖，左邊是一個(gè)橫放的長(zhǎng)方形，右邊的圖形是把左邊的長(zhǎng)方形各邊放大兩倍，并豎立起來(lái)以后得到的，這兩個(gè)圖形是相似的嗎？【答案】相似【分析】根據(jù)相似圖形的概念進(jìn)行判斷，即可得到答案．解：根據(jù)題意，這兩個(gè)圖形是相似的，這兩個(gè)圖形形狀是一樣，對(duì)應(yīng)線段的比都是1∶2，四個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等，符合相似圖形的定義，雖然它們的擺放方法、位置不一樣，但這并不會(huì)影響到它們相似性．【點(diǎn)撥】本題考查了相似圖形的定義，解題的關(guān)鍵是掌握相似圖形的定義進(jìn)行判斷．【變式2】將三角形各邊向外平移1個(gè)單位并適當(dāng)延長(zhǎng)，得到如圖(1)所示的圖形，變化前后的兩個(gè)三角形相似嗎？如果把三角形改為正方形、長(zhǎng)方形呢？【分析】利用相似圖形的判定方法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的圖形相似，進(jìn)而判斷即可．解：∵三角形、矩形對(duì)應(yīng)邊向外平移1個(gè)單位后，對(duì)應(yīng)邊的比值不一定相等，∴變化前后的兩個(gè)三角形、矩形都不相似，∵正方形邊長(zhǎng)改變后對(duì)應(yīng)比值仍相等，且對(duì)應(yīng)角相等，∴變化前后的兩個(gè)正方形相似．【點(diǎn)撥】此題主要考查了相似圖形的判定，正確掌握相似圖形的判定方法是解題關(guān)鍵．類型二、相似多邊形2．圖中的兩個(gè)多邊形相似嗎？說(shuō)說(shuō)你判斷的理由．【答案】不相似，理由見(jiàn)分析【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°以及相似多邊形的定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊·成比例的兩個(gè)多邊形，叫做相似多邊形進(jìn)行判斷即可．解：這兩個(gè)多邊形不相似．理由：∵∠D＝360°－135°－95°－72°＝58°，∠G＝360°－135°－72°－59°＝94°，∴這兩個(gè)多邊形不相似．【點(diǎn)撥】本題考查四邊形的內(nèi)角和為360°、相似多邊形的定義，熟知相似多邊形的定義是解答的關(guān)鍵．【變式1】正方形ABCD中，E是AC上一點(diǎn)，EF⊥AB，EG⊥AD，AB=6，AE：EC=2：1．求四邊形AFEG的面積．【答案】16【分析】先證明四邊形是正方形，再由相似的定義得出正方形正方形，然后根據(jù)相似多邊形的面積比等于相似比的平方即可求解．解：∵四邊形為中正方形，∴，，又EF⊥AB，EG⊥AD，∴，四邊形是矩形，，，，矩形是正方形，四邊形是正方形，正方形正方形，∵AE：EC=2：1，∴AE：AC=2：3，，，∴正方形AFEG的面積為16．【點(diǎn)撥】本題考查了相似多邊形的判定與性質(zhì)，難度適中，證明四邊形是正方形是解題的關(guān)鍵．【變式2】如圖，矩形草坪長(zhǎng)、寬．沿草坪四周有寬的環(huán)行小路，小路內(nèi)外邊緣形成的兩個(gè)矩形相似嗎？說(shuō)出你的理由．【答案】不相似．小路內(nèi)外邊緣形成的兩個(gè)矩形的邊長(zhǎng)分別為30，20和28，18．因?yàn)?，，即這兩個(gè)矩形的邊不成比例，所以它們不相似【分析】根據(jù)已知條件，可求出小路內(nèi)側(cè)矩形的長(zhǎng)和寬分別為28，8；再把兩個(gè)矩形的邊分兩種情況進(jìn)行比值運(yùn)算，結(jié)果，，即可得出答案．解：不相似．理由如下：因?yàn)椴萜核闹苡袑挼沫h(huán)行小路，所以小路內(nèi)外邊緣形成的兩個(gè)矩形的邊長(zhǎng)分別為30，20和28，18；因?yàn)?，，即這兩個(gè)矩形的邊不成比例，所以它們不相似．【點(diǎn)撥】本題主要考查了相似圖形的判定，即不僅要對(duì)應(yīng)角相等，還要對(duì)應(yīng)邊成比例．類型三、相似多邊形的性質(zhì)3．如圖，四邊形ABCD∽四邊形EFGH，求角α、β的大小和EF的長(zhǎng)度x．【答案】，，【分析】利用相似多邊形的性質(zhì)：對(duì)應(yīng)邊的成相等，對(duì)應(yīng)角相等，即可求解．解：∵四邊形ABCD∽四邊形EFGH，∴α＝∠C＝83°，∠F＝∠B＝78°，EH：AD＝EF：AB，∴x：21＝24：18，解得x＝28．在四邊形EFGH中，β＝360°﹣83°﹣78°﹣118°＝81°．∴∠G＝∠C＝67°．故x＝28．【點(diǎn)撥】本題主要考查相似多邊形的性質(zhì)，掌握相似多邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】如圖，一個(gè)矩形廣場(chǎng)的長(zhǎng)米，寬米，廣場(chǎng)內(nèi)兩條縱向的小路寬為a米，橫向的兩條小路寬為b米，矩形矩形EFGH．(1)求的值；(2)若，求矩形EFGH的面積．【答案】(1)a：b＝2：1(2)6272米2【分析】（1）根據(jù)題意可得HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，根據(jù)矩形ABCD∽矩形EFGH．可得，進(jìn)而可以解決問(wèn)題；（2）由（1）得2b＝a，根據(jù)矩形EFGH的面積＝EF?HE，即可解決問(wèn)題．解：(1)根據(jù)題意可知：HE＝（60﹣2b）米，EF＝（120﹣2a）米，∵矩形ABCD∽矩形EFGH．∴，∴，整理，得2b＝a，∴a：b＝2：1；(2)∵a＝4，2b＝a，∴b＝2，∴矩形EFGH的面積＝EF?HE＝（120﹣2a）?（60﹣2b）＝（120﹣8）（60﹣4）＝112×56＝6272（米2）．答：矩形EFGH的面積為6272米2．【點(diǎn)撥】本題考查了相似多邊形的應(yīng)用，列代數(shù)式，解決本題的關(guān)鍵是掌握相似多邊形的性質(zhì)．【變式2】如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，AE平分∠BAD交BC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB，交AD于點(diǎn)F，連結(jié)BF．（1）求證：BF平分∠ABC；（2）若AB＝6，且四邊形ABCD與CEFD相似，求BC長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)分析；（2）【分析】（1）證明四邊形ABEF是菱形即可；（2）根據(jù)相似列出比例式求解即可．(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB＝CD.∴∠FAE＝∠AEB.∵EF∥AB，∴四邊形ABEF是平行四邊形．∵AE平分∠BAD，∴∠FAE＝∠BAE.∴∠BAE＝∠AEB.∴AB＝EB.∴四邊形ABE