河南省豫南名校2023屆高三下學期四月聯(lián)考理科數(shù)學試題【含答案 解析】

第1頁/共1頁2023年豫南名校高三四月聯(lián)考理科數(shù)學一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.設復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為，若，則a=（）A.2i B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的幾何意義可得，再根據(jù)復數(shù)的模即可求解.【詳解】因為復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點為，所以.因為，所以，解得.故選:C.2.設集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解出集合，將集合進行運算即可得出結論.【詳解】，，而，則，故A錯誤，B正確；，故C錯誤；，故D錯誤；

故選：B.3.已知為單位向量，，且與的夾角為，則（）A.10 B.8 C.5 D.4【答案】A【解析】【分析】利用平面向量的數(shù)量積及模的關系計算即可.【詳解】，故.故選：A4.某科研團隊通過電催化結合生物合成的方式，將二氧化碳和水高效合成高純度乙酸，并進一步利用微生物合成葡萄糖和脂肪酸（油脂），該工作的突破，為人工和半人工合成“糧食”提供了新技術．在對照實驗過程中，科研人員將收集到的實驗組與對照組的實驗數(shù)據(jù)進行記錄如圖，由于不小心被化學物質腐蝕了兩個數(shù)據(jù)，已知被腐蝕前對照組的數(shù)據(jù)總值比實驗組大35，被腐蝕后實驗組的中位數(shù)增加了1，則對照組與實驗組被腐蝕數(shù)據(jù)分別是（）A.17；14 B.15；14C.17；15 D.16；13【答案】D【解析】【分析】設對照組的腐蝕數(shù)據(jù)的個位數(shù)為，實驗組的腐蝕數(shù)據(jù)的個位數(shù)為，由題意可得，再由中位數(shù)的定義可求得即可求出答案.【詳解】設對照組的腐蝕數(shù)據(jù)的個位數(shù)為，實驗組的腐蝕數(shù)據(jù)的個位數(shù)為，被腐蝕后的對照組的數(shù)據(jù)總值為：，被腐蝕后的實驗組的數(shù)據(jù)總值為：，被腐蝕后實驗組的數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，被腐蝕前對照組的數(shù)據(jù)總值比實驗組大35，即，即，被腐蝕前的實驗組的數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，被腐蝕后實驗組的中位數(shù)增加了1，即，解得：，.故對照組與實驗組被腐蝕數(shù)據(jù)分別是16,13.故選：D.5.我國自主研發(fā)的世界首套設計時速達600公里的高速磁浮交通系統(tǒng)，標志著我國掌握了高速磁浮成套技術和工程化能力，這是當前可實現(xiàn)的“地表最快”交通工具，因此高速磁浮也被形象地稱為“貼地飛行”．若某高速磁浮列車初始加速至時速600公里階段為勻加速狀態(tài)，若此過程中，位移x與時間t關系滿足函數(shù)（為初速度，k為加速度且）．位移的導函數(shù)是速度與時間的關系．已知從靜止狀態(tài)勻加速至位移公里需，則時速從零加速到時速600公里需（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題中所給函數(shù)解析式先求得k的值，再利用即可求得答案.【詳解】由題意得勻加速過程中，位移x與時間t關系滿足函數(shù)，則由從靜止狀態(tài)勻加速至位移公里需可得，則由可得（s），故選：C6.在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，b＝2c，，則a=（）A.13 B.2 C. D.【答案】C【解析】【分析】由三角形的面積公式可求出，再由余弦定理即可求出答案.【詳解】因為，因為，所以，，解得：，，由余弦定理可得：.解得：.故選：C.7.在正三棱錐P-ABC中，，BC＝6，M，N，Q，D分別是AP，BC，AC，PC的中點，平面MQN與平面PBC的交線為l，則直線QD與直線l所成角的正弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】取的中點，連接，由題意可得平面MQN與平面PBC的交線為l即為，直線QD與直線l所成角即為直線QD與直線所成角即為，由余弦定理求解即可.【詳解】取的中點，連接，由題意可得，又因為，所以，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以四點共面，所以平面MQN與平面PBC的交線為l即為，直線QD與直線l所成角即為直線QD與直線所成角即為，因為正三棱錐P-ABC中，，BC＝6，所以，所以，，所以.故選：C.8.在平面中，已知點H到，的距離之比為，記點H的軌跡為曲線C，直線與C分別相交于M，N，且直線與坐標軸分別相交于點P，Q，已知定點，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設，由題意求出點H的軌跡，畫出圖象，求出到直線的距離，由垂徑定理求出，即可求出，再求出，即可得出答案.【詳解】設，因為點H到，的距離之比為，所以，化簡得：，故點H的軌跡為，到直線距離為：，到直線的距離為：，所以，所以，，所以.故選：D.9.已知函數(shù)（，）的一個零點與相鄰的一條對稱軸間的距離為，把函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，則的一個單調遞減區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先由輔助角公式得出，由相鄰零點與對稱軸之間的距離得出，再根據(jù)一個零點為得出，然后通過平移得出，最后利用整體帶入方法求出單調遞減區(qū)間．【詳解】由已知得，因為的一個零點與相鄰的一條對稱軸間的距離為，所以，即，則，所以，由是的一個零點，得，即，解得，，又因為，所以，即，把函數(shù)的圖像向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖像，則，由，，得，，即的單調減區(qū)間為，因為，所以的單調減區(qū)間為，故選：B．10.已知，，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】構造函數(shù)，對求導，即可判斷的大小，再證明，即可得出答案.【詳解】易知，．令，，則在單調遞增，又，所以，所以．又，則，即．綜上，．故選：A.11.已知橢圓，離心率為，過的直線分別與相切于，兩點，則直線方程為（）A.或 B.C. D.或【答案】A【解析】【分析】首先證明橢圓上一點處的切線方程為：，即可得到點是橢圓外一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，則切點弦的方程為，再根據(jù)離心率分類討論分別求出橢圓方程，即可得到切點弦方程．【詳解】首先證明橢圓上一點處的切線方程為：，①當切線斜率存在時,設過點的切線方程為，聯(lián)立方程，得，，即，，又，把代入中，得，，化簡得.②當切線斜率不存在時，過的切線方程為，滿足上式.綜上，橢圓上一點的切線方程為：.再證明若點是橢圓外一點，過點作橢圓的兩條切線，切點分別為，，則切點弦的方程為．這是因為在，兩點處，橢圓的切線方程為和．兩切線都過點，所以得到了和，由這兩個“同構方程”得到了直線的方程；因為橢圓，離心率為，若焦點在軸，則，，所以，所以，解得，所以橢圓，所以過作橢圓的兩條切線方程，切點弦方程為；若焦點在軸，則，，所以，所以，解得，所以橢圓，所以過作橢圓的兩條切線方程，切點弦方程為，即；綜上可得直線方程為或.故選：A12.已知定義在上的函數(shù)滿足，，在區(qū)間內(nèi)單調且，則（）A. B.5055C. D.1011【答案】A【解析】【分析】由題意可通過換元法將已知條件函數(shù)的奇偶性和對稱性推導出函數(shù)的周期性，再由在區(qū)間內(nèi)單調且，可得根據(jù)函數(shù)周期性即可解得的值.【詳解】由題知在內(nèi)單調，且時，有，由此可知，當時.，得,且在內(nèi)單調，可得，令,則.又，故.令.則的周期為4.當趨于0時，有.故，有，，根據(jù)的周期性可知，，由，故.故選：A.【點睛】關鍵點睛：由奇函數(shù)性質，以及對稱性性質推出函數(shù)周期是解題的必要步驟，再由在區(qū)間內(nèi)單調且，用特值法得出的值為難點，本題考查的是函數(shù)的性質的綜合應用，屬于較難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，則______．【答案】##0.5【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的平方關系化簡已知條件，可求，再根據(jù)余弦的二倍角公式求解即可.【詳解】解：已知，即，解得或（舍），，故答案為：.14.已知，分別為雙曲線（，）的左、右焦點，從下面兩個條件中任選一個，則雙曲線C的漸近線方程為______．①與雙曲線有共同焦點，且過；②過作垂直于x軸的直線交雙曲線P，Q兩點，且．【答案】【解析】【分析】若選擇①，由共同焦點可解得焦點為，再由待定系數(shù)法即可求解；若選擇②，根據(jù)通徑公式與面積公式聯(lián)立解方程組即可得出，，從而得出結論.【詳解】若選擇①：雙曲線（，）焦點在軸上，故雙曲線的焦點也在軸上，，故焦點為，因為雙曲線與雙曲線有共同焦點，所以，即雙曲線，代入雙曲線可得，即，；故雙曲線C的漸近線方程為，即；若選擇②：由題意得，為通徑，（I），（II），兩式聯(lián)立化簡得，所以，又因為，聯(lián)立化簡得，；故雙曲線C的漸近線方程為，即；故答案為：.15.已知，且，則m+2n的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】求導判定的單調性得，再用對勾函數(shù)的單調性求m+2n的范圍即可.【詳解】由題意得，設，令得，，令得，，故在上單調遞減，在上單調遞增，即，故在定義域上單調遞增.所以，設，，由對勾函數(shù)的單調性可得在上單調遞增，故.故答案為：.16.在棱長為1的正方體中，M，N分別為線段和棱上的點，，EF為過，，D三點的平面與正方體的外接球截得的圓面內(nèi)一條動弦，且．當線段MN的長度最大時，直線MN與EF之間的距離為______．【答案】【解析】【分析】由可分析出，利用線面垂直的判定定理可證平面，線段MN的長度最大時，即為，作出過，，D三點的截面，當線段MN的長度最大時，直線MN與EF之間的距離即為，求出外接圓半徑，利用勾股定理即可求出的長度.【詳解】解：已知M，N分別為線段和棱上的點，，令，即，則，又，所以，則，當線段MN的長度最大時，即為，因為為正方體的體對角線，可得，，而，平面，所以平面，即平面，過，，D三點的截面如下圖所示，為等邊三角形，其外接圓半徑，因為，則，而，在中，，所以線段MN的長度最大時，直線MN與EF之間的距離為，故答案為：.【點睛】關鍵點點睛：與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.記為數(shù)列的前n項和．已知，．（1）證明：等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列定義證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）由（1）可求得，再得，由分組求和法計算既可.【小問1詳解】由已知得．，即，所以，所以是首項為，公比為3的等比數(shù)列．【小問2詳解】由（1）得，所以．則，則數(shù)列的前n項和．18.近年來，綠色環(huán)保和可持續(xù)設計受到社會的廣泛關注，成為了一種日益普及的生活理念和方式可持續(xù)和綠色能源，是我們這個時代的呼喚，也是我們每一個人的責任．某環(huán)?？沙掷m(xù)性食用產(chǎn)品做到了真正的“零浪費”設計，其外包裝材質是蜂蠟．食用完之后，蜂蠟罐可回收用于蜂房的再建造．為了研究蜜蜂進入不同顏色的蜂蠟罐與蜜蜂種類的關系，研究團隊收集了黃、褐兩種顏色的蜂蠟罐，對M，N兩個品種的蜜蜂各60只進行研究，得到如下數(shù)據(jù)：黃色蜂蠟罐褐色蜂蠟罐M品種蜜蜂4020N品種蜜蜂5010（1）判斷是否有95%的把握認為蜜蜂進入不同顏色的蜂蠟罐與蜜蜂種類有關聯(lián)？（2）假設要計算某事件的概率，常用的一個方法就是找一個與B事件有關的事件A，利用公式：求解現(xiàn)從裝有a只M品種蜜蜂和b只N品種蜜蜂的蜂蠟罐中不放回地任意抽取兩只，令第一次抽到M品種蜜蜂為事件A，第二次抽到M品種蜜蜂為事件B．（?。┳C明：；（ⅱ）研究發(fā)現(xiàn)，①M品種蜜蜂飛入黃色蜂蠟罐概率為，被抽到的概率為；M品種蜜蜂飛入褐色蜂蠟罐概率為，被抽到的概率為；②N品種蜜蜂飛入黃色蜂蠟罐概率為，被抽到的概率為；N品種蜜蜂飛入褐色蜂蠟罐概率為，被抽到的概率為．請從M，N兩個品種蜜蜂中選擇一種，求該品種蜜蜂被抽到的概率．附：，其中．0.10.050.010.0050.001k2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）有95%的把握認為蜜蜂進入不同顏色的蜂蠟罐與蜜蜂種類有關聯(lián)（2）（?。┳C明見解析；（ⅱ）選M品種，被抽到的概率為，選N品種，被抽到的概率為【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出，與3.841比較即可得出結論；（2）（?。┓謩e求出，，，，代入公式計算即可證明；（ⅱ）根據(jù)題意代入公式計算即可．【小問1詳解】根據(jù)列聯(lián)表得，所以有95%的把握認為蜜蜂進入不同顏色的蜂蠟罐與蜜蜂種類有關聯(lián)．【小問2詳解】由已知公式可得，，，，，則，得證．（ⅱ）①選M品種，設選M品種蜜蜂被抽到為事件C，由題意得,故選M品種，被抽到的概率為．②選N品種，令選N品種蜜蜂被抽到為事件D，由題意，故選N品種，被抽到的概率為．19.在斜三棱柱中，O為底面正的中心，底面，．（1）證明：平面平面；（2）求與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由底面ABC，得出，再由O為底面正的中心得出，證明出平面，根據(jù)平面，即可證明；（2）建立空間直角坐標系，分別求出和平面的一個法向量，根據(jù)直線與平面夾角正弦的計算計算即可．【小問1詳解】證明：因為底面ABC，平面ABC，所以，由O為底面正的中心，可知，又，平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．【小問2詳解】結合（1）中所得，分別以，所在直線為x，z軸，過點O作AB的平行線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，由，為正三角形，可知，，，，，所以，，，設平面的法向量為，則，即，取，則，設與平面所成角為，則，故與平面所成角的正弦值為．20.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的極值點；（2）設，為的兩個極值點，證明：．【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）先求出，因式分解得出，再根據(jù)的值進行分類討論即可；（2）由有兩個極值點，則的二階導數(shù)有解，得出，由得出，令，，則且，構造（），得出，有，令（），則，得出，則，結合即可證明．【小問1詳解】，①當，即時，，令，得，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，故有唯一的極小值點1；②當，即時，令，則，，（?。┊敃r，，則，在上單調遞增，此時無極值點；（ⅱ）當時，，當時，，單調遞增，當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，從而有兩個極值點，極大值點為，極小值點為1；（ⅲ）當時，，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增，從而有兩個極值點，極大值點為1，極小值點為；綜上所述，當時，有唯一的極小值點1；當時，有兩個極值點，極大值點為，極小值點為1；當時，無極值點；當時，有兩個極值點，極大值點為1，極小值點為．【小問2詳解】不妨設，由題得，則，設，則，由，為函數(shù)的兩個極值點可知，則在上不單調，則有解，故，則，由，得，所以．因為，，所以，，令，，則，，，故，且，令（），則，則在上單調遞減，，即對，有，令（），則，則，即，所以，則，即，又，所以，故．【點睛】關鍵點睛：本題第二問的關鍵是利用導數(shù)研究（）的單調性，由得出，再結合基本不等式，從而得出結論；本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，基本不等式的應用，屬于難題．21.在平面直角坐標系xOy中，已知點，直線，作直線l的平行線，動點P滿足到F的距離與到直線的距離之和等于直線l與之間的距離．記動點P的軌跡為E．（1）求E的方程；（2）過作傾斜角互補的兩條直線分別交E于A，B兩點和C，D兩點，且直線AB的傾斜角，求四邊形ACBD面積的最大值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）過P分別作直線l，的垂線，垂足為M，N，可得，根據(jù)拋物線的定義即可求解；（2）設，，，由可得，聯(lián)立,根據(jù)韋達定理可得，，由弦長公式可求，，根據(jù)，可得，令，構造函數(shù)，利用導數(shù)即可求最大值.【小問1詳解】過P分別作直線l，的垂線，垂足為M，N，則由題意可得，即，則由拋物線的定義可知，動點P的軌跡為以為焦點，直線為準線的拋物線，則有，，故E的方程為．【小問2詳解】由題目條件過作傾斜角互補的兩條直線分別交E于A，B兩點和C，D兩點，可知直線AB，CD的斜率互為相反數(shù)．設，，，由直線AB的傾斜角，且直線AB的斜率，可知，解得．聯(lián)立,消去x可得，則，，，則，同理可得．記直線AB，CD的夾角為，則，又，則，令，，則，令