【教案】對(duì)數(shù)函數(shù)的概念教學(xué)設(shè)計(jì)高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

《對(duì)數(shù)函數(shù)的概念》教學(xué)設(shè)計(jì)一、教材分析本節(jié)課是新版教材人教A版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書數(shù)學(xué)必修1第四章第4.4.1節(jié)《對(duì)數(shù)函數(shù)的概念》。對(duì)數(shù)函數(shù)是高中數(shù)學(xué)在指數(shù)函數(shù)之后的重要初等函數(shù)之一。對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系密切，無(wú)論是研究的思想方法方法還是圖像及性質(zhì)，都有其共通之處。相較于指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象亦有其獨(dú)特的美感。學(xué)習(xí)中讓學(xué)生體會(huì)在類比推理，感受圖像的變化，認(rèn)識(shí)變化的規(guī)律，這是提高學(xué)生直觀想象能力的一個(gè)重要的過(guò)程。為之后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)提供了更多角度的分析方法。培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)直觀、數(shù)學(xué)抽象、和數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)。二、學(xué)情分析《對(duì)數(shù)函數(shù)的概念》是學(xué)生在學(xué)習(xí)了指數(shù)和對(duì)數(shù)的互化,以及對(duì)數(shù)的基本運(yùn)算的基礎(chǔ)上,類比指數(shù)函數(shù)的研究方式進(jìn)行研究的.但由于學(xué)生學(xué)習(xí)指數(shù)和對(duì)數(shù)的互化還不是很熟悉,尤其是對(duì)數(shù)的轉(zhuǎn)換學(xué)習(xí)程度較淺,對(duì)轉(zhuǎn)換后的量對(duì)應(yīng)不好,在學(xué)習(xí)過(guò)程中難免會(huì)出現(xiàn)困難.另外學(xué)生在探究問題的能力,合作交流的意識(shí)等方面有待加強(qiáng)。三、教學(xué)目標(biāo)1．知識(shí)與技能（1）理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念；（2）了解對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系；（3）理解和掌握對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)，掌握對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系。2．過(guò)程與方法（1）經(jīng)歷從數(shù)學(xué)史中引入對(duì)數(shù)的過(guò)程，讓學(xué)生理解引入對(duì)數(shù)的必要性；（2）通過(guò)對(duì)數(shù)的簡(jiǎn)單運(yùn)算，培養(yǎng)他們耐心、細(xì)心、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)習(xí)慣；（3）在相互交流的過(guò)程中，養(yǎng)成學(xué)生表述、抽象、概括的思維習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力。3．情感態(tài)度與價(jià)值觀（1）通過(guò)數(shù)學(xué)史融入課堂教學(xué)讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中的成功與快樂，增強(qiáng)他們的求知欲和學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心；（2）經(jīng)歷對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化，培養(yǎng)學(xué)生的類比分析、歸納能力；（3）在學(xué)習(xí)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生探究的意識(shí)，理解指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，培養(yǎng)分析、解決問題的能力。四、教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的概念．教學(xué)難點(diǎn)：由指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0，且a≠1)，推理得到對(duì)數(shù)函數(shù)概念的過(guò)程．五、教學(xué)方法1.教學(xué)方法：以講授法為主，提問法，學(xué)生合作學(xué)習(xí)為輔。由教師來(lái)引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，學(xué)生通過(guò)小組之間合作交流的方式了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念。通過(guò)小組討論，教師講授的方式，學(xué)生可以理解指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化關(guān)系。2.教學(xué)手段：本堂課借助PPT，幾何畫板與傳統(tǒng)教學(xué)相結(jié)合的方式與學(xué)生合作學(xué)習(xí)。六、教學(xué)過(guò)程（一）整體感知，明確任務(wù)引導(dǎo)語(yǔ)：在4.2節(jié)中，我們用指數(shù)函數(shù)模型研究了呈指數(shù)增長(zhǎng)或衰減變化規(guī)律的問題．對(duì)這樣的問題，在引入對(duì)數(shù)后，我們還可以從另外的角度，對(duì)其蘊(yùn)含的規(guī)律作進(jìn)一步的研究．設(shè)計(jì)意圖：明確本節(jié)課研究的內(nèi)容，以及和前面課程的關(guān)系．（二）新知探究1．研究具體問題，進(jìn)行數(shù)學(xué)推理問題1：在4.2.1的問題2中，我們已經(jīng)研究了死亡生物體內(nèi)碳14的含量y隨死亡時(shí)間x的變化而衰減的規(guī)律是函數(shù)．進(jìn)一步地，死亡時(shí)間x是碳14的含量y的函數(shù)嗎？你能設(shè)計(jì)一個(gè)方案來(lái)研究這個(gè)問題嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生討論交流，然后提出方案，由教師進(jìn)行補(bǔ)充和完善．預(yù)設(shè)的答案：要判斷其是否為函數(shù)，首先要從函數(shù)的定義進(jìn)行思考，然后考察其是否符合函數(shù)的定義．在考察的時(shí)候，一方面可以觀察圖象上進(jìn)行定性的分析，另一方面可以依據(jù)函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行定量的推理判斷．設(shè)計(jì)意圖：從另一個(gè)角度繼續(xù)研究碳14衰減的問題，讓學(xué)生感受到對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)際背景，并建立與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，從而更好地理解對(duì)數(shù)函數(shù)．培養(yǎng)學(xué)生在解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)，首先應(yīng)當(dāng)做有條理的思考，然后制定方案，最后再實(shí)施，而不是盲目的亂做．追問1：解決這個(gè)問題，顯然要依據(jù)函數(shù)的定義．那么依據(jù)定義應(yīng)該怎樣進(jìn)行判斷呢？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生先回憶函數(shù)的定義，然后確定判斷方法．預(yù)設(shè)的答案：函數(shù)的定義：設(shè)A，B是非空的實(shí)數(shù)集，如果對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，按照某種確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，在集合B中都有唯一確定的數(shù)y和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x)，x∈A．所以要判斷死亡時(shí)間x是否是碳14的含量y的函數(shù)，就要確定，對(duì)于任意一個(gè)y∈(0，1]，是否都有唯一確定的數(shù)x和它對(duì)應(yīng)．設(shè)計(jì)意圖：與通過(guò)抽象概括出指數(shù)函數(shù)的概念不同，這里是希望通過(guò)演繹推理得到對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，因此就必須要有演繹推理的理論依據(jù)．圖1追問2：若已知死亡生物體內(nèi)碳14的含量，如何得知它死亡了多長(zhǎng)時(shí)間呢？如圖1，觀察的圖象，過(guò)y軸正半軸上任意一點(diǎn)(0，y0)（0＜y0≤1）作x軸的平行線，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，這條平行線與的圖象有幾個(gè)交點(diǎn)？這說(shuō)明對(duì)任意一個(gè)y∈(0，1]，都有幾個(gè)x與其對(duì)應(yīng)？能否將x看成是y的函數(shù)？圖1師生活動(dòng)：觀察圖像，從圖象上看，這條平行于x軸的直線，與的圖象至少有一個(gè)交點(diǎn)(x0，y0)，又因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)為減函數(shù)，所以這個(gè)交點(diǎn)是唯一的交點(diǎn)．這個(gè)交點(diǎn)的意義是，已知死亡生物體內(nèi)碳14的含量為y0，則可以找到與其對(duì)應(yīng)的唯一的一個(gè)死亡時(shí)間x0．這說(shuō)明對(duì)任意一個(gè)y∈(0，1]，在[0，+∞)上都有唯一確定的數(shù)x和它對(duì)應(yīng)．所以x也是y的函數(shù)．設(shè)計(jì)意圖：可以讓學(xué)生先從圖象上獲得直觀認(rèn)識(shí)，然后回到函數(shù)的定義，幫助學(xué)生深入理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念．追問3：能否求出生物死亡年數(shù)隨體內(nèi)碳14含量變化的函數(shù)解析式？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，個(gè)別提問回答．預(yù)設(shè)的答案：根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算關(guān)系，可以將這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，改寫為．習(xí)慣上用x表示自變量，用y表示函數(shù)值，于是就得到函數(shù)，它刻畫了時(shí)間y隨碳14含量x的衰減而變化的規(guī)律．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)一個(gè)具體實(shí)例的分析，得到一個(gè)具體的對(duì)數(shù)函數(shù)．為后面得到一般的對(duì)數(shù)函數(shù)作鋪墊．2．演繹推理，形成對(duì)數(shù)函數(shù)的定義問題2：對(duì)一般的指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0，且a≠1)，根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算關(guān)系，轉(zhuǎn)換成x=logay(a＞0，且a≠1)，能否將x看成是y的函數(shù)？師生活動(dòng)：利用解決問題1的經(jīng)驗(yàn)，先由學(xué)生解答這個(gè)問題，然后教師予以補(bǔ)充完善．預(yù)設(shè)的答案：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，y=ax單調(diào)遞減；當(dāng)a＞1時(shí)，y=ax單調(diào)遞增．所以考慮一般的指數(shù)函數(shù)y=ax(a＞0，且a≠1)，對(duì)任意一個(gè)y∈(0，+∞)，都有唯一確定的數(shù)x和它對(duì)應(yīng)．因此，x也是y的函數(shù)．教師講解：通常，我們用x表示自變量，y表示函數(shù)．為此，可將x=logay(a＞0，且a≠1)改寫為：y=logax(a＞0，且a≠1)．這就是對(duì)數(shù)函數(shù)．設(shè)計(jì)意圖：按照問題1的解決方案，分析一般的指數(shù)函數(shù)，經(jīng)過(guò)演繹推理得到一般的對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式．追問：如果用解析式法表示一個(gè)函數(shù)，除了要確定其解析式，還要確定其定義域，才能確定下來(lái)這個(gè)函數(shù)．現(xiàn)在我們已經(jīng)確定了一般的對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式為y=logax(a＞0，且a≠1)，那么通過(guò)與指數(shù)函數(shù)對(duì)比，你能給出一般的對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域嗎？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考，個(gè)別提問回答．預(yù)設(shè)的答案：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義域可知，在對(duì)數(shù)函數(shù)中，自變量x的取值范圍是(0，+∞)．于是就得到了：定義：一般地，函數(shù)y=logax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)（logarithmicfunction），其中x是自變量，定義域是(0，+∞)．設(shè)計(jì)意圖：兩個(gè)函數(shù)如果解析式相同，但定義域不同，那么它們是兩個(gè)不同的函數(shù)．強(qiáng)調(diào)函數(shù)定義域的重要性，引起學(xué)生的重視．在與指數(shù)函數(shù)對(duì)比的基礎(chǔ)上，建立關(guān)聯(lián)，得出包含定義域的對(duì)數(shù)函數(shù)的完整定義．3．初步應(yīng)用，深化理解例1求下列函數(shù)的定義域：（1）y=log3x2；（2）y=loga(4-x)(a＞0，且a≠1)．追問：求解的依據(jù)是什么？據(jù)此求解的步驟是什么？師生活動(dòng)：教師利用追問引導(dǎo)學(xué)生思考，學(xué)生獨(dú)立完成后展示交流．預(yù)設(shè)的答案：求解的依據(jù)是對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a＞0，且a≠1)的定義域(0，+∞)．那么（1）中的x2和（2）中的(4-x)的取值范圍就是(0，+∞)，于是得到不等式，將定義域問題轉(zhuǎn)化為解不等式問題，進(jìn)而求出定義域．解：（1）因?yàn)閤2＞0，即x≠0，所以函數(shù)y=log3x2的定義域是{x|x≠0}．（2）因?yàn)?-x＞0，即x＜4，所以函數(shù)y=loga(4-x)的定義域是{x|x＜4}．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)求對(duì)函數(shù)的定義域，進(jìn)一步理解對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的特殊性．在中學(xué)階段，對(duì)數(shù)函數(shù)是為數(shù)不多的定義域不是實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，這屬于一個(gè)特殊情況．此前遇到的特殊情況還包括分母不能為0，二次根式的被開放數(shù)不能為負(fù)數(shù)．可以前后形成對(duì)比，加深對(duì)函數(shù)定義域和一些特殊情況的理解．例2假設(shè)某地初始物價(jià)為1，每年以5%的增長(zhǎng)率遞增，經(jīng)過(guò)y年后的物價(jià)為x．（1）該地的物價(jià)經(jīng)過(guò)幾年后會(huì)翻一番？（2）填寫下表，并根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，說(shuō)明該地物價(jià)的變化規(guī)律．物價(jià)x12345678910年數(shù)y0師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立完成，教師引導(dǎo)學(xué)生，順著題意，理清思路．預(yù)設(shè)的答案：對(duì)于（1），先寫出x關(guān)于y的函數(shù)，再根據(jù)對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，轉(zhuǎn)換為y關(guān)于x的函數(shù)．對(duì)于（2），利用計(jì)算工具，快速填好表格，探索發(fā)現(xiàn)，隨著x的增長(zhǎng)，y的增長(zhǎng)在減緩．解：（1）由題意可知，經(jīng)過(guò)y年后物價(jià)x為x=(1+5%)y，即x=1.05y(y∈[0，+∞))．由對(duì)數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系，可得y=log1.05x，x∈[1，+∞)．由計(jì)算工具可得，當(dāng)x=2時(shí)，y≈14．所以，該地區(qū)的物價(jià)大約經(jīng)過(guò)14年后會(huì)翻一番．（2）根據(jù)函數(shù)y=log1.05x，x∈[1，+∞)，利用計(jì)算工具，可得下表：物價(jià)x12345678910年數(shù)y0142328333740434547由表中的數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，該地區(qū)的物價(jià)隨時(shí)間的增長(zhǎng)而增長(zhǎng)，但大約每增加1倍所需要的時(shí)間在逐漸縮?。O(shè)計(jì)意圖：通過(guò)利用對(duì)數(shù)函數(shù)概念解決實(shí)際問題，理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，進(jìn)一步了解對(duì)數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，初步體會(huì)對(duì)數(shù)增長(zhǎng)的特點(diǎn)，為后面的課程內(nèi)容作鋪墊．（三）歸納小結(jié)，布置作業(yè)問題3：回顧本節(jié)課，談?wù)勎覀兪窃趺吹玫綄?duì)數(shù)函數(shù)概念的？對(duì)數(shù)函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生討論交流，教師予以完善．預(yù)設(shè)的答案：（1）本節(jié)課我們先通過(guò)4.2.1的問題2中所闡述的實(shí)際問題，利用圖象上x與y的對(duì)應(yīng)關(guān)系，并結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，理解x也是y的函數(shù)，再利用指數(shù)與對(duì)數(shù)的運(yùn)算關(guān)系依據(jù)函數(shù)的定義，從交換自變量與函數(shù)值“地位”的方向進(jìn)行研究，得到對(duì)數(shù)函數(shù)的概念．（2）對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)是密不可分的．對(duì)于呈指數(shù)增長(zhǎng)或衰減變化的問題，我們可以用指數(shù)函數(shù)進(jìn)行描述，還可以從對(duì)數(shù)函數(shù)的角度進(jìn)行描述，從而能夠更全面地研究其中蘊(yùn)含的規(guī)律．設(shè)計(jì)意圖：得到對(duì)數(shù)函數(shù)概念的基本過(guò)程，是函數(shù)研究的基本路徑“背景—概念—圖象和性質(zhì)—應(yīng)用”中的“背景—概念”環(huán)節(jié)．通過(guò)不斷重復(fù)這一過(guò)程，使學(xué)生逐步掌握研究一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的基本方法．明確對(duì)數(shù)函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景，可以使學(xué)生明白這類函數(shù)區(qū)別于其他初等函數(shù)的主要特征，為研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象性質(zhì)和應(yīng)用奠定基礎(chǔ)．作業(yè)布置：．1．求下列函數(shù)的定義域：（1）；（2）；（3）；（4）(a＞0，且a≠1)．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)數(shù)函數(shù)與分式、絕對(duì)值等多種形式的結(jié)合，進(jìn)一步體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的特殊性，考察學(xué)生對(duì)其定義域的理解．2．畫出下列函數(shù)的圖象：（1）；（2）．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)結(jié)合，進(jìn)一步體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)定義域的特殊性，并通過(guò)圖象直觀反映出這種特殊性，考察學(xué)生對(duì)其定義域的理解．3．已知集合A={1，2，3，4，…}，集合B={2，4，8，16，…}，下列函數(shù)能體現(xiàn)集合A與集合B對(duì)應(yīng)關(guān)系的是________．①；②；③；④．設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)列數(shù)據(jù)的方式，將對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)進(jìn)行對(duì)比，考察學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)概念的理解．參考答案：1．（1）．（2）．（3）．（