知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（知識(shí)清單）-2023-2024學(xué)年六年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)北京版

2023-2024學(xué)年度第一學(xué)期 六年級(jí)數(shù)學(xué)組2/2第一單元分?jǐn)?shù)乘法本單元主要知識(shí)點(diǎn)1.分?jǐn)?shù)乘法的意義和計(jì)算法則意義：（1）求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算（分?jǐn)?shù)乘整數(shù)）。（2）求一個(gè)數(shù)的幾分之幾（整數(shù)乘分?jǐn)?shù)）。（3）分母相乘的積，表示把單位“1”平均分成多少份，可以知道分?jǐn)?shù)單位，分子相乘的積可以知道分?jǐn)?shù)單位的個(gè)數(shù)（分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)）。計(jì)算法則：用分子相乘的積作分子，分母相乘的積做分母。能約分的先約分。2.分?jǐn)?shù)乘法與整數(shù)乘法、小數(shù)乘法的聯(lián)系無論是分?jǐn)?shù)乘整數(shù)、整數(shù)乘分?jǐn)?shù)，還是分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，都可以用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母，注意能約分的先約分，再計(jì)算出得數(shù)。都是求幾個(gè)相同加數(shù)的和，用乘法計(jì)算。只是有的是整數(shù)乘法，有的是小數(shù)乘整數(shù)，有的是分?jǐn)?shù)乘法。3.分?jǐn)?shù)乘法中因數(shù)與積的關(guān)系一個(gè)因數(shù)大于1，積就大于另一個(gè)因數(shù)；一個(gè)因數(shù)等于1，積就等于另一個(gè)因數(shù)；一個(gè)因數(shù)小于1，積就小于另一個(gè)因數(shù)。4.分?jǐn)?shù)乘法混合運(yùn)算整數(shù)乘法中的乘法結(jié)合律、乘法分配律等運(yùn)算定律同樣適用于分?jǐn)?shù)乘法。運(yùn)算順序：有括號(hào)的，先算括號(hào)里面的，再算括號(hào)外面的；沒有括號(hào)的，先算乘除法，再算加減法；同級(jí)運(yùn)算，按從左往右的順序計(jì)算。5.倒數(shù)的認(rèn)識(shí)定義：乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。1的倒數(shù)是它本身，0沒有倒數(shù)。求倒數(shù)的方法：求一個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，要把它的分子、分母互換位置。整數(shù)的倒數(shù)就是整數(shù)分之一。求小數(shù)的倒數(shù)，先把小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，再把分子、分母互換位置，也可以用1除以小數(shù)得到它的倒數(shù)。真分?jǐn)?shù)的倒數(shù)大于1，假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)小于等于1。常見題型分?jǐn)?shù)乘法混合運(yùn)算例：125×99+解析：用正向或逆向的乘法分配律進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算。125×99+畫圖表示分?jǐn)?shù)乘法例：畫圖表示15解析：15×求一個(gè)數(shù)的幾分之幾的實(shí)際問題例1：因?yàn)橐蛔种?，解決問題的方法不相同。有4噸貨物，運(yùn)走13有4噸貨物，運(yùn)走13解析：（1）4?13=32例2：如果a的倒數(shù)大于a（a>0），下面說法正確的是（）。A．a(chǎn)大于1B．a(chǎn)小于1C．a(chǎn)等于1D．無法判斷解析：當(dāng)a小于1時(shí)，a的倒數(shù)大于a（a>0）。運(yùn)用倒數(shù)的意義比較大小例：a×12=b解析：假設(shè)a×12=b乘法運(yùn)算的一致性探究例：小智用下面的方法計(jì)算了整數(shù)乘法。請(qǐng)你仿照小智的方法，計(jì)算小數(shù)、分?jǐn)?shù)乘法。小智認(rèn)為：整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)在計(jì)算方法上是有聯(lián)系的。你同意他的說法嗎？請(qǐng)說明理由。解析：整數(shù)乘法、小數(shù)乘法和分?jǐn)?shù)乘法都可以先把因數(shù)看成有幾個(gè)計(jì)數(shù)單位，然后把計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)和計(jì)數(shù)單位分別相乘，得到的積再相乘。第二單元分?jǐn)?shù)除法本單元主要知識(shí)點(diǎn)除法和乘法的關(guān)系乘法中的因數(shù)就是除法里的商和除數(shù)，乘法中的積，就是除法中的被除數(shù)。分?jǐn)?shù)除法的意義和整數(shù)除法的意義相同，都是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算，都是乘法的逆運(yùn)算。分?jǐn)?shù)除法計(jì)算法則甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。分?jǐn)?shù)除法中被除數(shù)與商的關(guān)系一個(gè)數(shù)(0除外)除以小于1的數(shù)，商大于被除數(shù)；一個(gè)數(shù)(0除外)除以等于1的數(shù)，商等于被除數(shù)；一個(gè)數(shù)(0除外)除以大于1的數(shù)，商小于被除數(shù)。分?jǐn)?shù)除法混合運(yùn)算在含有兩級(jí)的混合運(yùn)算中，先算乘除，再算加減。在含有括號(hào)的算式中，先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的，最后算中括號(hào)外面的。分?jǐn)?shù)除法解決問題求甲數(shù)是乙數(shù)的幾分之幾：甲數(shù)÷乙數(shù)求甲數(shù)比乙數(shù)多幾分之幾：（甲數(shù)-乙數(shù)）÷乙數(shù)求乙數(shù)比甲數(shù)少幾分之幾：（甲數(shù)-乙數(shù)）÷甲數(shù)二、常見題型已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾，求這個(gè)數(shù)（求單位“1”）。（1）方程：根據(jù)數(shù)量關(guān)系設(shè)未知量為x，列方程解答。（2）算術(shù)：已知單位“1”的幾分之幾，求單位“1”，用除法。例：看圖列式解答。解析：由圖可知，小明今年8歲，是爸爸年齡（單位“1”）的29，問爸爸的年齡是多少歲？所以用除法：8判斷積或商的大小例1：不計(jì)算，算式結(jié)果在14和67之間的是（A．1B．6C．6D．6解析：因?yàn)?2<1，所以14×12<14，例2：芳芳說：“一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)，商一定小于這個(gè)數(shù)?！蹦阃鈫?？請(qǐng)說明理由。解析：我不同意，一個(gè)數(shù)除以分?jǐn)?shù)，商可能大于這個(gè)數(shù)，也可能等于這個(gè)數(shù)，還可能小于這個(gè)數(shù)。舉例如下：111第三單元百分?jǐn)?shù)一、本單元主要知識(shí)點(diǎn)1.百分?jǐn)?shù)的意義表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)，叫作百分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)又叫作百分比或百分率。2.百分?jǐn)?shù)和小數(shù)、分?jǐn)?shù)的互化百分?jǐn)?shù)化小數(shù)：把百分號(hào)去掉，同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位；小數(shù)化百分?jǐn)?shù)：把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)后面添上百分號(hào)；百分?jǐn)?shù)化分?jǐn)?shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫成分母是10、100、1000…的分?jǐn)?shù)，再約分；分?jǐn)?shù)化百分?jǐn)?shù)：通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。3.百分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)生活中的百分?jǐn)?shù)優(yōu)秀率、合格率、成活率、恩格爾系數(shù)…二、常見題型百分?jǐn)?shù)的實(shí)際意義例1：據(jù)統(tǒng)計(jì)，2020年全國小學(xué)生的近視率已達(dá)到35.6%，35.6%表示的意思是（）。解析：2020年全國近視的小學(xué)生人數(shù)占全部小學(xué)生人數(shù)的35.6%。2.百分?jǐn)?shù)和小數(shù)、分?jǐn)?shù)的互化3.分?jǐn)?shù)、小數(shù)、百分?jǐn)?shù)比較大小解析：統(tǒng)一轉(zhuǎn)化成小數(shù)，再進(jìn)行比較。4.百分?jǐn)?shù)實(shí)際問題例1.某小學(xué)去年有學(xué)生480人，今年有學(xué)生500人。(1)去年學(xué)生人數(shù)是今年的百分之幾?(2)今年學(xué)生人數(shù)是去年的百分之幾?(3)今年比去年增加學(xué)生多少人?增加的學(xué)生人數(shù)是去年的百分之幾?解析：(1)去年人數(shù)÷今年的人數(shù)；(2)今年人數(shù)÷去年的人數(shù)；(3)（今年人數(shù)-去年人數(shù)）÷去年的人數(shù)。例2.商場(chǎng)進(jìn)行節(jié)日促銷，一臺(tái)空調(diào)原價(jià)3900元，先提價(jià)5%，再降價(jià)5%，促銷后空調(diào)比原價(jià)()了。(填“高”或“低”)解析：提價(jià)5%后：3900×（1+5%）=4095元，再降價(jià)5%后：4095×（1-5%）3890.25元，所以是比原價(jià)低了。第四單元解決問題本單元主要知識(shí)點(diǎn)1.已知“整體”求“部分”(乘法)2.已知“部分”求“整體”（除法或者方程）3.求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（或少）百分之幾（“比”字后面的是單位“1”）求甲數(shù)比乙數(shù)多幾分之幾：（甲數(shù)-乙數(shù)）÷乙數(shù)求乙數(shù)比甲數(shù)少幾分之幾：（甲數(shù)-乙數(shù)）÷甲數(shù)4.工程問題工作量=工作效率×?xí)r間5.利率和納稅利息=本金×利率×存期個(gè)人所得稅=（工資-個(gè)稅免征額）×稅率二、常見題型1.求“單位1”例：甲城市有12萬人，比乙城市少20%。乙城市有多少萬人?解析：算術(shù)：乙城市人數(shù)的80%是甲城市人數(shù)，是12萬人，求乙城市12÷（1-20%）=15萬人方程：解：設(shè)乙城市有x萬人。x-20%x=12，x=15，答：乙城市有15萬人。2.求一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)多（或少）百分之幾?例：合唱隊(duì)有男生20人，女生15人。女生的人數(shù)比男生少百分之幾?四位同學(xué)用不司的方法列式解決，正確的是解析：（男生人數(shù)-女生人數(shù)）÷男生人數(shù)3.工程問題例：籌備新年聯(lián)歡會(huì)，要制作100個(gè)紅燈籠，六(1)班單獨(dú)做需要10小時(shí)完成，六(2)班單獨(dú)做需要15小時(shí)完成。如果兩個(gè)班同時(shí)做，需要()小時(shí)完成。解析：工作總量（單位“1”）÷（六1班的工作效率+六2班的工作效率）=工作時(shí)間=6（小時(shí)）4.利率問題例：中國銀行定期存款利率如下表：解析：本利和=本金+本金×利率×存期，50000+50000×2.75%×3=54125（元）5.稅率問題例1：王阿姨2020年12月份工資是7500元，扣除免稅額5000元后，不超過3000元的部分需要按3%的稅率繳納個(gè)人所得稅。求王阿姨納稅金額。解析：稅金=（工資-個(gè)稅免征額）×稅率=（7500-5000）×3%=75（元）。例2：張阿姨2020年5月份的收入為11000元。按照國家納稅規(guī)定(如下表)，她應(yīng)該向國家繳納個(gè)人所得稅多少元?解析：因?yàn)閺埌⒁?020年5月份的收入為11000元，超過5000元的部分是11000-5000=6000(元)，應(yīng)分類繳稅：一部分是不超過8000元的部分，按3%繳納，一部分是(11000-8000)元，按10%繳納，據(jù)此解答即可。11000-5000=6000（元），（8000-5000）×3%+（11000-8000）×10%=3000×3%+3000×10%=90+300=390（元），答:她應(yīng)該向國家繳納個(gè)人所得稅390元。第五單元圓主要知識(shí)點(diǎn)圓的認(rèn)識(shí)圓中心的一點(diǎn)叫圓心，用字母O表示。以某一點(diǎn)為圓心，可以畫無數(shù)個(gè)圓。連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段叫半徑，用字母r表示。通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫直徑，用字母d表示。圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。同圓或等圓中，直徑是半徑的2倍。d=2r。車輪為什么是圓的?因?yàn)閳A心到圓上各點(diǎn)的距離相等（圓，一中同長也）。圓的周長圓一周的長度就是圓的周長。圓的周長總是直徑的3倍多一些，圓的周長除以直徑的商是一個(gè)固定的數(shù)，我們把它叫做圓周率，用字母π表示，π是無限不循環(huán)小數(shù)，為了計(jì)算簡(jiǎn)便，通常取近似值3.14。已知圓的半徑，求圓的周長：C=2πr已知圓的直徑，求圓的周長：C=πd已知圓的周長，求圓的半徑：r=C÷π÷2已知圓的周長，求圓的直徑：d=C÷π和圓周率有關(guān)的數(shù)學(xué)家及數(shù)學(xué)名著：《周髀算經(jīng)》、劉徽、祖沖之。圓的面積已知圓的半徑，求圓的面積：S=πr2已知圓的直徑，求圓的面積：S=π(d÷2)2已知圓的周長，求圓的面積：S=π(C÷2π)2圓環(huán)的面積計(jì)算：S=π（R2-r2）周長相等的正方形、長方形和圓，圓的面積最大，長方形的面積最小。認(rèn)識(shí)扇形圓心角的兩條半徑和它所對(duì)的弧，組成扇形。圓心角是周角的幾分之幾，這個(gè)扇形面積就是所在圓面積的幾分之幾。跑道問題前伸數(shù)（外道與內(nèi)道的長度差）=2π（R-r）常見題型尋找對(duì)稱軸=1\*GB3①在下面圖形中，對(duì)稱軸條數(shù)最多的是（）【解析】圓有無數(shù)條對(duì)稱軸。想象圖形沿所畫對(duì)稱軸對(duì)折后是否能完全重疊，以判斷對(duì)稱軸是否正確。作圖題①用圓規(guī)在下面正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓，保留作圖痕跡，并寫出主要步驟。【解析】連接正方形對(duì)角線，兩條對(duì)角線相交于一點(diǎn)，以交點(diǎn)為圓心，正方形邊長的一半為半徑畫圓。關(guān)于圓的周長=1\*GB3①如圖，兩個(gè)小圓的周長之和與大圓的周長相比較，（）。A.大圓的周長長B.兩個(gè)小圓的周長之和長C.同樣長D.無法比較【解析】當(dāng)大圓直徑等于各個(gè)小圓直徑之和時(shí)，大圓周長等于各個(gè)小圓周長之和。類似圖形如下：②兒童公園有一個(gè)直徑是10米的圓形金魚池，在金魚池外0.5米處要裝一圈不銹鋼護(hù)欄，這個(gè)護(hù)欄的長度最少要多少米?【解析】外擴(kuò)0.5米，是半徑擴(kuò)大0.5米。確定直徑或半徑后選擇合適的周長公式計(jì)算。圓與正方形=1\*GB3①小麗從長6厘米，寬4厘米的長方形紙片上剪下一個(gè)最大的圓，這個(gè)圓的面積是（）平方厘米?！窘馕觥肯却_定最大圓的直徑等于長方形的寬，再計(jì)算面積。=2\*GB3②已知一個(gè)正方形的面積是5cm2，這個(gè)正方形內(nèi)最大的圓的面積是（）cm2?！窘馕觥孔畲髨A的直徑和正方形的邊長相等，正方形的面積等于圓的直徑的平方數(shù)。由d=2r可以得到d2=4r2，繼而可以得到半徑的平方數(shù)，用公式S=πr2計(jì)算圓的面積。=3\*GB3③周長相等的正方形和圓，它們的面積相比較（）A.圓的面積大B.正方形面積大C.面積一樣大D.無法比較【解析】周長相等的正方形、長方形和圓，圓的面積最大，長方形的面積最小。④在邊長是10厘米的正方形內(nèi)畫一個(gè)最大的圓，圓的面積是正方形面積的（）。A.1/2B.π/2C.1/4D.π/4【解析】正方形面積=10×10=100（厘米2），圓面積=π×（10÷2）2=25π（厘米2）正方形面積=a×a=a2，圓面積=π×（a÷2）2=πa2/4關(guān)于圓的面積=1\*GB3①下面三個(gè)正方形的邊長都是4厘米，三個(gè)圖形中的陰影部分面積相比較，（）。A.圖①最大B.圖②最大C.圖③最大D.同樣大【解析】由正方形邊長可以計(jì)算各個(gè)陰影部分所在圓的半徑，然后可以計(jì)算各個(gè)陰影部分的面積。②觀察下圖,隨著圓的個(gè)數(shù)增多,陰影部分的面積（）。A.越變?cè)叫.不變C.越變?cè)酱驞.無法確定【解析】陰影部分面積=正方形面積-圓面積之和。可以假設(shè)正方形邊長的長度，然后分析出每個(gè)圓的半徑長度，計(jì)算出各正方形內(nèi)圓的面積之和，比較發(fā)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果相等，即陰影部分面積也相等。③如下圖，先將一張圓形紙片平均分成16份，再將每份剪下后拼成一個(gè)近似的長方形，已知長方形的長是6.28厘米，這張圓形紙片的面積是（）厘米?！窘馕觥坷斫鈭A的面積的推導(dǎo)過程。將圓形剪拼成一個(gè)近似的長方形，面積不變。長方形的長即為圓的周長的一半，長方形的寬即為圓的半徑。由C=2πr可算出圓的半徑，即長方形的寬，然后計(jì)算長方形的面積即為圓的面積，也可由S=πr2直接計(jì)算圓面積。④圓的半徑擴(kuò)大到原來的2倍，直徑就擴(kuò)大到原來的（）倍，周長就擴(kuò)大到原來的（）倍，面積就擴(kuò)大到原來的（）倍?！窘馕觥縟=2r，C=2πr，S=πr2。半徑擴(kuò)大a倍，直徑擴(kuò)大a倍，周長擴(kuò)大a倍，面積擴(kuò)大a2倍。不規(guī)則圖形的面積①圓形花壇周圍有一條環(huán)形小路，花壇直徑10米，小路寬1米，這條環(huán)形小路占地多少平方米?【解析】先確定內(nèi)圓和外圓的半徑，然后用S=π（R2-r2）計(jì)算。②圖中陰影部分的面積是50平方厘米，求圖中圓環(huán)的面積?！窘馕觥看笳叫芜呴L=大圓半徑=R,小正方形邊長=小圓半徑=r，陰影部分面積=大正方形面積-小正方形面積=R2-r2，圓環(huán)面積=π（R2-r2）=π×陰影部分面積。③一個(gè)圓環(huán)，外圓半徑是內(nèi)圓半徑的2倍,這個(gè)圓環(huán)的面積是內(nèi)圓的面積的（）。A.1/4B.1/2C.3倍D.1/5【解析】S=πr2，半徑擴(kuò)大a倍，面積擴(kuò)大a2倍。也可以假設(shè)半徑長度，計(jì)算比較。④計(jì)算下圖中陰影部分的面積。【解析】不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形進(jìn)行計(jì)算，圖1為正方形面積減去圓形面積，圖2為圓環(huán)面積的1/4，圖3為正方形面積減去1/4圓的面積。認(rèn)識(shí)扇形=1\*GB3①下面各圖中，陰影部分是扇形的是（）?！窘馕觥渴紫扰袛嗍欠駡A心角，然后判斷弧是否與圓心角對(duì)應(yīng)。②下圖中三個(gè)小扇形的半徑均為2厘米，求這三個(gè)小扇形的面積之和。（提示：可以利用“三角形內(nèi)角和”相關(guān)的知識(shí)解決）?！窘馕觥咳切蔚膬?nèi)角和是180°，所以三個(gè)小扇形拼在一起相當(dāng)于一個(gè)半徑為2厘米的半圓，即可計(jì)算面積之和。第六單元扇形統(tǒng)計(jì)圖一、主要知識(shí)點(diǎn)1.扇形統(tǒng)計(jì)圖的意義圓表示整體的量，扇形表示各部分的量，百分?jǐn)?shù)表示部分占整體的百分比。2.各統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)條形統(tǒng)計(jì)圖：各個(gè)部分?jǐn)?shù)量的多少。折線統(tǒng)計(jì)圖：整體的變化趨勢(shì)。扇形統(tǒng)計(jì)圖：部分與整體的關(guān)系。3.解決問題首先明確把什么看作一個(gè)整體，也就是確定單位“1”的量。已知總數(shù)和部分占整體的百分?jǐn)?shù)，求部分?jǐn)?shù)量，用乘法計(jì)算。已知部分?jǐn)?shù)量和部分占整體的百分?jǐn)?shù)，求總數(shù)，用除法計(jì)算。二、常見題型1.學(xué)校要為六年級(jí)的同學(xué)購買一批圖書，老師對(duì)同學(xué)們最喜歡的圖書種類做了統(tǒng)計(jì)。(每人選擇一種圖書)六年級(jí)同學(xué)喜歡的圖書種類統(tǒng)計(jì)表六年級(jí)同學(xué)喜歡的圖書種類統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖中的信息完成下面各題：①老師一共統(tǒng)計(jì)了（）名同學(xué)。【解析】已知部分和部分所占的百分比，用除法計(jì)算出整體（單位“1”）。②把統(tǒng)計(jì)表和統(tǒng)計(jì)圖填寫完整?！窘馕觥恳阎倲?shù)和部分占整體的百分?jǐn)?shù)，求部分?jǐn)?shù)量，用乘法計(jì)算。③根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖，你還能發(fā)現(xiàn)什么信息?請(qǐng)寫出2條。信息1:信息2:【解析】一部分比另一部分多多少，或者一部分比另一部分少多少。④請(qǐng)你根據(jù)以上信息為學(xué)校購買圖書提出一條合理建議。