2023年浙江省湖州市長興縣八年級數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年八下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（每題4分，共48分）1．若x＞y，則下列不等式中不一定成立的是（）A．x﹣1＞y﹣1 B．2x＞2y C．x+1＞y+1 D．x2＞y22．下列計(jì)算錯(cuò)誤的是()A．﹣＝ B．÷2＝C． D．3+2=53．用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個(gè)銳角不大于45°”時(shí)，首先應(yīng)假設(shè)這個(gè)直角三角形中（）A．兩個(gè)銳角都大于45° B．兩個(gè)銳角都小于45C．兩個(gè)銳角都不大于45° D．兩個(gè)銳角都等于45°4．一次函數(shù)y＝3x＋b和y＝ax－3的圖象如圖所示，其交點(diǎn)為P(－2，－5)，則不等式3x＋b＞ax－3的解集在數(shù)軸上表示正確的是()A． B．C． D．5．已知，則（）A． B． C． D．6．平面直角坐標(biāo)系中，將直線l向右平移1個(gè)單位長度得到的直線解析式是y=2x+2，則原來的直線解析式是()A．y=3x+2B．y=2x+4C．y=2x+1D．y=2x+37．下列多項(xiàng)式中，可以使用平方差公式進(jìn)行因式分解的是（）A．x+1 B．﹣x+1 C．x+x D．x+2x+18．下列各式從左到右的變形中，是分解因式的是（）A． B．C． D．9．已知一組數(shù)據(jù)為8，9，10，10，11，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)（）A．8 B．9 C．10 D．1110．用公式解方程﹣3x2+5x﹣1＝0，正確的是（）A．x＝ B．x＝ C．x＝ D．x＝11．如圖，四邊形是矩形，，，點(diǎn)在第二象限，則點(diǎn)的坐標(biāo)是A． B． C． D．12．某校舉辦“漢字聽寫大賽”，7名學(xué)生進(jìn)入決賽，他們所得分?jǐn)?shù)互不相同，比賽共設(shè)3個(gè)獲獎(jiǎng)名額，某學(xué)生知道自己的分?jǐn)?shù)后，要判斷自己能否獲獎(jiǎng)，他應(yīng)該關(guān)注的統(tǒng)計(jì)量是()A．平均數(shù) B．中位數(shù) C．眾數(shù) D．方差二、填空題（每題4分，共24分）13．當(dāng)二次根式的值最小時(shí)，=______．14．某品牌運(yùn)動(dòng)服原來每件售價(jià)640元，經(jīng)過兩次降價(jià)，售價(jià)降低了280元，已知兩次降價(jià)的百分率相同，則每次降價(jià)的百分率為_____．15．如圖，平行四邊形ABCD中，，，AE平分交BC于點(diǎn)E，則CE的長為______.16．若式子有意義，則x的取值范圍是_____．17．如圖，已知△ABC∽△ADB，若AD＝2，CD＝2，則AB的長為_____．18．如圖，已知正方形紙片ABCD，M，N分別是AD、BC的中點(diǎn)，把BC邊向上翻折，使點(diǎn)C恰好落在MN上的P點(diǎn)處，BQ為折痕，則∠PBQ=_____度．三、解答題（共78分）19．（8分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（-3，1），B（-1，3），C（0，1）.（1）將△ABC以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)180°，畫出旋轉(zhuǎn)后的△A1B1C；（2）平移△ABC，若點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（-5，-3），畫出平移后的△A2B2C2；（3）若△A2B2C2和△A1B1C關(guān)于點(diǎn)P中心對稱，請直接寫出旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo).20．（8分）小林為探索函數(shù)的圖象與性經(jīng)歷了如下過程（1）列表：根據(jù)表中的取值，求出對應(yīng)的值，將空白處填寫完整2.533.544.556____2____1.21（2）以表中各組對應(yīng)值為點(diǎn)的坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)并畫出函數(shù)圖象．（3）若函數(shù)的圖象與的圖象交于點(diǎn)，，且為正整數(shù)），則的值是_____．21．（8分）如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線EF分別交AD、AC、BC于點(diǎn)E、O、F，連接CE和AF.（1）求證：四邊形AECF為菱形.（2）若AB=4，BC=8，求菱形AECF的周長.22．（10分）我們定義：如果兩個(gè)三角形的兩組對應(yīng)邊相等，且它們的夾角互補(bǔ)，我們就把其中一個(gè)三角形叫做另一個(gè)三角形的“夾補(bǔ)三角形”，同時(shí)把第三邊的中線叫做“夾補(bǔ)中線．例如：圖1中，△ABC與△ADE的對應(yīng)邊AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，AF是DE邊的中線，則△ADE就是△ABC的“夾補(bǔ)三角形”，AF叫做△ABC的“夾補(bǔ)中線”．特例感知：（1）如圖2、圖3中，△ABC與△ADE是一對“夾補(bǔ)三角形”，AF是△ABC的“夾補(bǔ)中線”；①當(dāng)△ABC是一個(gè)等邊三角形時(shí)，AF與BC的數(shù)量關(guān)系是：；②如圖3當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，∠BAC＝90°，BC＝a時(shí)，則AF的長是；猜想論證：（2）在圖1中，當(dāng)△ABC為任意三角形時(shí)，猜想AF與BC的關(guān)系，并給予證明．拓展應(yīng)用：（3）如圖4，在四邊形ABCD中，∠DCB＝90°，∠ADC＝150°，BC＝2AD＝6，CD＝，若△PAD是等邊三角形，求證：△PCD是△PBA的“夾補(bǔ)三角形”，并求出它們的“夾補(bǔ)中線”的長．23．（10分）已知點(diǎn)E、F分別是四邊形ABCD邊AB、AD上的點(diǎn)，且DE與CF相交于點(diǎn)G．（1）如圖①，若AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，且AD?DF＝AE?DC，求證：DE⊥CF：（2）如圖②，若AB∥CD，AB＝CD，且∠A＝∠EGC時(shí)，求證：DE?CD＝CF?DA：（3）如圖③，若BA＝BC＝3，DA＝DC＝4，設(shè)DE⊥CF，當(dāng)∠BAD＝90°時(shí)，試判斷是否為定值，并證明．24．（10分）如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，在△ABC內(nèi)部作△CED，使∠CED=90°，E在BC上，D在AC上，分別以AB，AD為鄰邊作平行四邊形ABFD，連接AF、AE、EF．（1）證明：AE=EF；（2）判斷線段AF，AE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）在圖（1）的基礎(chǔ)上，將△CED繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，請判斷（2）問中的結(jié)論是否成立？若成立，結(jié)合圖（2）寫出證明過程；若不成立，請說明理由25．（12分）某公司招聘一名公關(guān)人員，應(yīng)聘者小王參加面試和筆試，成績（100分制）如下表所示：面試筆試成績評委1評委2評委392889086（1）請計(jì)算小王面試平均成績；（2）如果面試平均成績與筆試成績按6:4的比確定，請計(jì)算出小王的最終成績.26．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，D為邊BC上一點(diǎn)，E為邊AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC，交DE的延長線于點(diǎn)F，連結(jié)BF．（1）求證：四邊形ADBF是平行四邊形；（2）當(dāng)D為邊BC的中點(diǎn)，且BC＝2AC時(shí)，求證：四邊形ACDF為正方形．

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、D【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)逐一進(jìn)行判斷,選項(xiàng)A,在不等式x>y兩邊都減1,不等號的方向不變,即可判斷A的正確性,選項(xiàng)B,在不等式x>y兩邊都乘上2,不等號的方向不變,即可判斷B的正確性;選項(xiàng)C,在不等式x>y兩邊都加上1,不等號的方向不變,即可判斷C的正確性,選項(xiàng)D,可舉例說明,例如當(dāng)x=1,y=-2時(shí),x>y,但x2＜y2,故可判斷D的正確性,據(jù)此即可得到答案.【詳解】A、不等式的兩邊減1，不等號的方向不變，故A不符合題意；B、不等式的兩邊乘2，不等號的方向不變，故B不符合題意；C、不等式的兩邊都加1，不等號的方向不變，故C不符合題意；D、當(dāng)0＜x＜1，y＜﹣1時(shí)，x2＜y2，故D符合題意；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的相關(guān)知識質(zhì),熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵;2、D【解析】

利用二次根式加減乘除的運(yùn)算方法逐一計(jì)算得出答案,進(jìn)一步比較選擇即可【詳解】A.﹣＝，此選項(xiàng)計(jì)算正確；B.÷2＝,此選項(xiàng)計(jì)算正確；C.,此選項(xiàng)計(jì)算正確;D.3+2.此選項(xiàng)不能進(jìn)行計(jì)算，故錯(cuò)誤故選D【點(diǎn)睛】此題考查二次根式的混合運(yùn)算，掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵3、A【解析】

用反證法證明命題的真假，應(yīng)先按符合題設(shè)的條件，假設(shè)題設(shè)成立，再判斷得出的結(jié)論是否成立即可．【詳解】用反證法證明命題“在直角三角形中，至少有一個(gè)銳角不大于45°”時(shí)，應(yīng)先假設(shè)兩個(gè)銳角都大于45°．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．4、A【解析】

直接根據(jù)兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)求出不等式的解集，再在數(shù)軸上表示出來即可．【詳解】解：∵由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x＞-2時(shí)，一次函數(shù)y=3x+b的圖象在函數(shù)y=ax-3的圖象的上方，∴不等式3x+b＞ax-3的解集為：x＞-2，在數(shù)軸上表示為：故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查的是一次函數(shù)與一元一次不等式，能利用函數(shù)圖象求出不等式的解集是解答此題的關(guān)鍵．5、B【解析】

先利用二次式的乘法法則與二次根式的性質(zhì)求出m=2=，再利用夾值法即可求出m的范圍．【詳解】解：=2=，∵25＜28＜36，∴.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算，二次根式的性質(zhì)，估算無理數(shù)的大小，將m化簡為是解題的鍵．6、B【解析】在直線上取一點(diǎn)（-1，0），向左平移一個(gè)單位后坐標(biāo)為（-2，0），設(shè)平移前的直線解析式為：y=2x+b，把（-2，0）帶入，得b=4，所以y=2x+4，故選：B.點(diǎn)睛：此題考查了圖形的平移與函數(shù)解析式之間的關(guān)系.在平面直角坐標(biāo)系中，圖形的平移與圖形上點(diǎn)的平移相同.關(guān)鍵是要搞清楚平移前后的解析式有什么關(guān)系.7、B【解析】

根據(jù)提公因式法、平方差公式、完全平方公式進(jìn)行因式分解，判斷即可．【詳解】A、x2+1，不能進(jìn)行因式分解；B、﹣x2+1＝1﹣x2＝（1+x）（1﹣x），可以使用平方差公式進(jìn)行因式分解；C、x2+x＝x（x+1），可以使用提公因式法進(jìn)行因式分解；D、x2+2x+1＝（x+1）2，可以使用完全平方公式進(jìn)行因式分解；故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查因式分解，掌握提公因式法、平方差公式、完全平方公式進(jìn)行因式分解的一般步驟是解題的關(guān)鍵．8、B【解析】

A、是整式乘法，不符合題意；B、是因式分解，符合題意；C、右邊不是整式的積的形式，不符合題意；D、右邊不是整式的積的形式，不符合題意，故選B.9、C【解析】

一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫作這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，據(jù)此解答即可得到答案．【詳解】解：這組數(shù)據(jù)中8、9、11各出現(xiàn)一次，10出現(xiàn)兩次，因此這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是10.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了眾數(shù)的含義.10、C【解析】

求出b2-4ac的值，再代入公式求出即可．【詳解】解：-3x2+5x-1=0，

b2-4ac=52-4×（-3）×（-1）=13，

x=

故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程的應(yīng)用，能正確利用公式解一元二次方程是解此題的關(guān)鍵．11、D【解析】

過C作CE⊥y軸于E，過A作AF⊥y軸于F，得到∠CEO=∠AFB=90°，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=OC，AB∥OC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CE=AF，OE=BF，BE=OF，于是得到結(jié)論．【詳解】解：過作軸于，過作軸于，，四邊形是矩形，，，，，同理，，，，，，，，，，點(diǎn)的坐標(biāo)是；故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．12、B【解析】

由于比賽設(shè)置了3個(gè)獲獎(jiǎng)名額，共有7名選手參加，故應(yīng)根據(jù)中位數(shù)的意義分析．【詳解】解：因?yàn)?位獲獎(jiǎng)?wù)叩姆謹(jǐn)?shù)肯定是7名參賽選手中最高的，而且7個(gè)不同的分?jǐn)?shù)按從小到大排序后，中位數(shù)之后的共有3個(gè)數(shù)，故只要知道自己的分?jǐn)?shù)和中位數(shù)就可以知道是否獲獎(jiǎng)了．故選：．【點(diǎn)睛】此題主要考查統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義．反映數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計(jì)量有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等，各有局限性，因此要對統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行合理的選擇和恰當(dāng)?shù)倪\(yùn)用．二、填空題（每題4分，共24分）13、1【解析】

直接利用二次根式的定義分析得出答案．【詳解】∵二次根式的值最小，∴，解得：，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的定義，正確把握定義是解題關(guān)鍵．14、25%．【解析】

設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意可得，640×（1-降價(jià)的百分率）2=（640-280），據(jù)此方程解答即可.【詳解】設(shè)每次降價(jià)的百分率為x由題意得：解得：x=0.25答：每次降低的百分率是25%故答案為：25%【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，屬于典型題，審清題意，列出方程是解題關(guān)鍵.15、4【解析】

由平行四邊形的性質(zhì)得出AB＝CD＝6，AD∥BC，得出∠DAE＝∠BEA，證出∠BEA＝∠BAE，得出BE＝AB，即可得出CE的長．【詳解】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD＝6，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BEA，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠BEA＝∠BAE，∴BE＝AB＝6，∴CE＝BC?BE＝10?6＝4；故答案為：4【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定；熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．16、x≥﹣2且x≠1．【解析】由知，∴，又∵在分母上，∴．故答案為且.17、2．【解析】

利用相似三角形的性質(zhì)即可解決問題．【詳解】∵△ABC∽△ADB，∴,∴AB2＝AD?AC＝2×4＝8，∵AB＞0，∴AB＝2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】此題考查相似三角形的性質(zhì)定理，相似三角形的對應(yīng)邊成比例.18、1【解析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)知：可知：BN=BP，從而可知∠BPN的值，再根據(jù)∠PBQ=∠CBQ，可將∠PBQ的角度求出．【詳解】根據(jù)折疊的性質(zhì)知：BP=BC，∠PBQ=∠CBQ

∴BN=BC=BP

∵∠BNP=90°

∴∠BPN=1°

∴∠PBQ=×60°=1°．

故答案是：1．【點(diǎn)睛】已知折疊問題就是已知圖形的全等，根據(jù)邊之間的關(guān)系，可將∠PBQ的度數(shù)求出．三、解答題（共78分）19、（1）見解析；（2）見解析；（3）(-1，-1)【解析】

（1）分別將A，B繞C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，得到A1，B1，再順次連接即可得△A1B1C；（2）由A(-3，1)到A2(-5，-3)是向左平移2個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，將B，C以同樣的方式平移得到B2，C2，再順次連接即可得△A2B2C2；（3）連接B1B2，CC2，交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心P．【詳解】（1）如圖所示，△A1B1C即為所求；（2）如圖所示，△A2B2C2即為所求；（3）旋轉(zhuǎn)中心P的坐標(biāo)為(-1，-1)．【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格作圖，熟練掌握點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)與平移是解題的關(guān)鍵，尋找旋轉(zhuǎn)中心的方法是連接旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)點(diǎn)，交點(diǎn)即為旋轉(zhuǎn)中心．20、（1）3，1.5；（1）見解析；（3）1.【解析】

（1）當(dāng)時(shí)，，即可求解；（1）描點(diǎn)描繪出以下圖象，（3）在（1）圖象基礎(chǔ)上，畫出，兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)為，，即可求解．【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，，同理當(dāng)時(shí)，，故答案為3，1.5；（1）描點(diǎn)描繪出以下圖象，（3）在（1）圖象基礎(chǔ)上，畫出，兩個(gè)函數(shù)交點(diǎn)為，，即，故答案為1．【點(diǎn)睛】本題考查的是反比例函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)基本性質(zhì)、復(fù)雜函數(shù)的作圖，此類題目通常在作圖的基礎(chǔ)上，依據(jù)圖上點(diǎn)和線之間的關(guān)系求解．21、（1）詳見解析；（2）20【解析】

（1）求出AO=OC，∠AOE=∠COF，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠EAO=∠FCO，根據(jù)ASA推出：△AEO≌△CFO；根據(jù)全等得出OE=OF，推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)EF⊥AC即可推出四邊形是菱形；（2）設(shè)菱形AECF的邊長為x由題意得：AF=x，CF=x，BF=8-x，再利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可解答.【詳解】（1）∵四邊形ABCD為矩形，∴AD∥BC，∴∠EAC=∠ACF，又∵EF是AC的垂直平分線，∴OA=OC，∠AOE=∠COF=90°，在△AOE和△COF中，∠AOE=∠COFOC=OA∴△AOE≌△COF∴OE=OF∵OA=OC，∴四邊形AECF為平行四邊形.∵AC⊥EF.∴四邊形AECF為菱形（2）解：設(shè)菱形AECF的邊長為x由題意得：AF=x，CF=x.又∵BF=BC-CF，BC=8，∴BF=8-x，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠B=90°，在Rt△ABC中，由勾股定理得：又∵AB=4，BF=8-x，AF=x，∴16+(8-x)2=∴菱形AECF的周長=5×4=20【點(diǎn)睛】此題考查線段垂直平分線的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于證明△AEO≌△CFO.22、（1）AF＝BC；a；（2）猜想：AF＝BC，（3）【解析】

（1）①先判斷出AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝120°，進(jìn)而判斷出∠ADE＝30°，再利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②先判斷出△ABC≌△ADE，利用直角三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2）先判斷出△AEG≌△ACB，得出EG＝BC，再判斷出DF＝EF，即可得出結(jié)論；（3）先判斷出四邊形PHCD是矩形，進(jìn)而判斷出∠DPC＝30°，再判斷出PB＝PC，進(jìn)而求出∠APB＝150°，即可利用“夾補(bǔ)三角形”即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）∵△ABC與△ADE是一對“夾補(bǔ)三角形”，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，①∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC＝BC，∠BAC＝60°∴AD＝AE＝AB＝AC，∠DAE＝120°，∴∠ADE＝30°，∵AF是“夾補(bǔ)中線”，∴DF＝EF，∴AF⊥DE，在Rt△ADF中，AF＝AD＝AB＝BC，故答案為：AF＝BC；②當(dāng)△ABC是直角三角形時(shí)，∠BAC＝90°，∵∠DAE＝90°＝∠BAC，易證，△ABC≌△ADE，∴DE＝BC，∵AF是“夾補(bǔ)中線”，∴DF＝EF，∴AF＝DE＝BC＝a，故答案為a；（2）解：猜想：AF＝BC，理由：如圖1，延長DA到G，使AG＝AD，連EG∵△ABC與△ADE是一對“夾補(bǔ)三角形”，∴AB＝AD，AC＝AE，∠BAC+∠DAE＝180°，∴AG＝AB，∠EAG＝∠BAC，AE＝AC，∴△AEG≌△ACB，∴EG＝BC，∵AF是“夾補(bǔ)中線”，∴DF＝EF，∴AF＝EG，∴AF＝BC；（3）證明：如圖4，∵△PAD是等邊三角形，∴DP＝AD＝3，∠ADP＝∠APD＝60°，∵∠ADC＝150°，∴∠PDC＝90°，作PH⊥BC于H，∵∠BCD＝90°∴四邊形PHCD是矩形，∴CH＝PD＝3，∴BH＝6﹣3＝3＝CH，∴PC＝PB，在Rt△PCD中，tan∠DPC＝，∴∠DPC＝30°∴∠CPH＝∠BPH＝60°，∠APB＝360°﹣∠APD﹣∠DPC﹣∠BPC＝150°，∴∠APB+∠CPD＝180°，∵DP＝AP，PC＝PB，∴△PCD是△PBA的“夾補(bǔ)三角形”，由（2）知，CD＝，∴△PAB的“夾補(bǔ)中線”＝．【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，新定義的理解和掌握，理解新定義是解本題的關(guān)鍵．23、（1）證明見解析（2）證明見解析（3）答案見解析【解析】

（1）根據(jù)已知條件得到四邊形ABCD是矩形，由矩形的性質(zhì)得到∠A=∠FDC=90°，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠CFD=∠AED，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；

（2）根據(jù)已知條件得到△DFG∽△DEA，推出，根據(jù)△CGD∽△CDF，得到，等量代換即可得到結(jié)論；

（3）過C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延長線于M，連接BD，設(shè)CN=x，△BAD≌△BCD，推出∠BCD=∠A=90°，證△BCM∽△DCN，求出，在Rt△CMB中，由勾股定理得出BM2+CM2=BC2，解方程得到CN，證出△AED∽△NFC，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°，∴四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠FDC＝90°，∵AD?DF＝AE?DC，∴∴△AED∽△DFC，∴∠CFD＝∠AED，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∴∠DGF＝90°，∴DE⊥CF；（2）證明：∵∠A＝∠EGC，∠ADE＝∠GDF，∴△DFG∽△DEA，∴∵AB∥CD，AB＝CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∠AED＝∠EDC，∴∠B＝∠ADC，∵△DFG∽△DEA，∴∠AED＝∠DFG，∴DFC＝∠GDC，∵∠DCG＝∠FCD，∴△CGD∽△CDF，∴∴，∴DE?CD＝CF?DA；（3）解：為定值，理由：過C作CN⊥AD于N，CM⊥AB交AB延長線于M，連接BD，設(shè)CN＝x，∵∠BAD＝90°，即AB⊥AD，∴∠A＝∠M＝∠CNA＝90°，∴四邊形AMCN是矩形，∴AM＝CN，AN＝CM，∵在△BAD和△BCD中，∴△BAD≌△BCD（SSS），∴∠BCD＝∠A＝90°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC+∠CBM＝180°，∴∠MBC＝∠ADC，∵∠CND＝∠M＝90°，∴△BCM∽△DCN，∴,∴∴在Rt△CMB中，，BM＝AM﹣AB＝x﹣3，由勾股定理得：BM2+CM2＝BC2，∴x＝0（舍去），∴∵∠A＝∠FGD＝90°，∴∠AED+∠AFG＝180°，∵∠AFG+∠NFC＝180°，∴∠AED＝∠CFN，∵∠A＝∠CNF＝90°，∴△AED∽△NFC，∴【點(diǎn)睛】屬于相似三角形的綜合題，考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)，掌握相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.24、（1）證明見解析；（2）AF=AE．證明見解析；（3）AF=AE成立．證明見解析.【解析】

（1）根據(jù)△ABC是等腰直角三角形，△CDE是等腰直角三角形，四邊形ABFD是平行四邊形，判定△ACE≌△FDE（SAS），進(jìn)而得出AE=EF；（2）根據(jù)∠DFE+∠EAF+∠AFD=90°，即可得出△AEF是直角三角形，再根據(jù)AE=FE，得到△AEF是等腰直角三角形，進(jìn)而得到AF=AE；（3）延長FD交AC于K，先證明△EDF≌△ECA（SAS），再證明△AEF是等腰直角三角形即可得出結(jié)論．【詳解】（1）如圖1，∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∴△ABC是等腰直角三角形，∵∠CED=90°，E在BC上，D在AC上，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE=CD，∵四邊形ABFD是平行四邊形，∴DF=AB=AC，∵平行四邊形ABFD中，AB∥DF，∴∠CDF=∠CAB=90°，∵∠C=∠CDE=4