及講解數(shù)學(xué)三真題89年13392j

設(shè)商品的需求函數(shù)為Q1005P，其中Q,P分別表示為需求量和價(jià)格，如果商品需求彈性的絕對值大于1， 【解析】根據(jù)Q(P1005P0,P20,又由Q1005P得Q(P5PQ(P) 100100

級(jí)數(shù)

(x 的收斂域 【答案】(0,4 若果 ，其中a, 是冪級(jí) ax的相鄰兩項(xiàng)的系數(shù)，則這冪級(jí)數(shù)的收斂半 1

首先當(dāng)x20x2時(shí)級(jí)數(shù)收斂.(n

(x2)2 (x2)2(x n(x 1，可知當(dāng)0 4

2或 n又當(dāng)x0和x4時(shí)得正項(xiàng)級(jí)數(shù) np1p1p1時(shí)發(fā)散n1n所以正項(xiàng)級(jí)數(shù) 是發(fā)散的ny1交換積分次序0 f(x,y)y12 2【答案】0dx0f(x,y)dy f(x,D原式f(xy)dxdyDDyDyDO1yDxy)0y x y2程是x 即yx2的右支,D2D1{(x,y)0x1,0y2D2{(x,y)1x 2,0y 2x2

x2y22的右半圓,D2 2所以0 f(x,y)dx0 f(x,y)dy1 f(x,0Am階方陣Bn階方陣,Aa,BbC0

nDai1Ai1ai2Ai2ainAinaijn

其 A(1)ijM O *AB A A1mnAB 所以，本題中有拉斯展開式,CB

0

AB ab將C,C,E,E,I,N,S等七個(gè)字母隨機(jī)地排成一行,那么,恰好排成英文單詞SCIENCE的概率 7!種,即基本總數(shù)為n7!，而有利于A的樣本點(diǎn)數(shù)為2!2!,即有利的基本數(shù)為4，根據(jù)古典概型P(A)2!2! 1 F(xxa

f(t)dt,其中f(x)為連續(xù)函數(shù),則limF(x)等于 （B）a2f 【答案】 F(tt)f(x)dx，(t，(tF'(t'(tf(t)'(tf(t)0 01limF(x

xf(t)dta2lim

f xaxa xlima2f

a2f(a) 故應(yīng)選2:特殊值法xaxa取f(x)2,則limF(x) 2dt2a （B）1cos （D）xtan 【答案】Ax0只有零解rAnrAA的行秩A的列秩,Amn矩陣,rAn,A的列向量線性無關(guān).設(shè)當(dāng)A與B同時(shí)發(fā)生時(shí),C必發(fā)生,則 （A）P(C)P(A)P(B) （B）P(C)P(A)P(B)（C）P(C)P( （D）P(C)P(A【答案】由“當(dāng)A與B同時(shí)發(fā)生時(shí) C必發(fā)生”得出ABC,故P(AB)P(C)由概率的廣義加法P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(AB)推出P(AB)P(A)P(B)P(AB)；又由概率的性質(zhì)PAB)1，P(CPABPAP(BPABPAP(B因此應(yīng)選n1設(shè)n個(gè) 量X,X,,X獨(dú)立同分布,D(X)n1

i2,Xi

1XS2 n1

X

2,則

n（A）S是的無偏估計(jì)量 （B）S是的最大似然估計(jì)量（C）S是的相合估計(jì)量(即一致估計(jì)量)（D）SX【答案】 (ES)22DSES2ES)20.故不能選對于正態(tài)總體,S與X相互獨(dú)立,由于總體X的分布未知,不能選(D).同樣因總體分布未知,也不能選(B).綜上分析,應(yīng)選(C).進(jìn)一步分析,由于樣本方差S2是2的一致估計(jì)量,其連續(xù)函數(shù)S 一定也是的一致估計(jì)量.

xf(x

1

續(xù)

x4 f(xxx0limf(x0

f(x0方法1:利用法則求極限limf(x),因?yàn)?/p>

0

sin(x limf(x)lim xlimcos(x1)2limtan(x x11

x1cos x1 12limcos2(x 4x1(sinx) f(11,故limf(x1,f(xx1處不連續(xù)f(14,f(xx1處連續(xù) 求極限limf(x,x1t,

x2；ln(1 x2limf(x)limlncos(x1)limlncos x 0

0 x11cost

21t2

14

1 lim lim t01 t0 I

exarccotexx1ln(1e2x2

其中C為任意常數(shù)假定uu(x與vv(xuv'dxuvu或 udvuv

Iarccote

arccot

1e2x arccote(11e2xexarccotexx1ln(1e2x)2其中C為任意常數(shù) 2

,其中(uv有二階偏導(dǎo)數(shù)y【答案】cos(xyxysin(xy

xxx12 由復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t：如果函數(shù)u(xyv(xy都在點(diǎn)(xyxyzf(uv在對應(yīng)點(diǎn)(uvzf((xy),(xy在點(diǎn)(xyzzuzv

f'uf'v u v 1 2zzuzvf'uf'v u v 1 2zycos(xy)1 yzcos(xy)xysin(xy)()1()1y 1 y

cos(xy)xysin(xy)x1 x112(y) y22(y) cos(xy)xysin(xy)xx1 f(x連續(xù)函數(shù),f(x2xf(t)dtx20f(x1e2xx1 x求導(dǎo),f(x2f(x2x yP(x)yQ(x)

其中C為任意常數(shù) P(x2,Q(x)2x 2f(x)eP(x)dx(Q(x)eP(x)dxdxC)e2x(2xe2xdxC)Ce2xx12其中C為任意常數(shù)1由原方程易見f(0)0,代入求得參數(shù)C 2f(x1e2xx1 求證:x1時(shí)arctanx1arccos 1

4【解析】1：f(xarctanx1arccos 1

,4如果ug(xxyyfg(x)x

f(x在點(diǎn)ug(xdyf'(u)g

dy du f(x) 0(x1)1 2(x21)(1x2f(xf(10,arctanx1arccos 1 2：f(xarctanx

2

1

,則f(x)在[1,x]上連續(xù)，在(1,x)內(nèi)可導(dǎo)，由日中值定理知4f(x)f(1)f'()(x如果ug(xxyf(x在點(diǎn)ug(xyfg(x)xdyf'(u)g

dy du f(x) 0(x1)1 2(x21)(1x2f(xf(1).f(1)0x1arctanx1arccos 1

4yex(x01滿足V(a)2limV(a1 ln22Vbf2(x)dxa22V()y2dxe2xdx(1e2),V(a)(1e2a22 limV()

(1e2) 由題設(shè)知(1e2a) 得a1ln 過曲線上已知點(diǎn)(x0y0yy0k(xx0，ky'(x0………y'(x0存在時(shí).設(shè)切點(diǎn)為(aea,yeaea(xax0,yea(1a,y0,x1aS1(1a)2ea2因S1a)ea1(1a)2ea1(1a2ea 令S0,a11,a21(舍去) S122e12e12 A

,B

xy的值 1 【答案】y2，x0；P 0 P1AP，則A的特征向量.PA的特征向量 B,故其特征多項(xiàng)式相同,即EAEB即(2)[2x1)x21)(2)(y由于是的多項(xiàng)式，由的任意性，令0,2(x2)y令1,得22)2(1yy2x0 0 由(1)知 1 的特征值.A的特征值是11,223當(dāng)1時(shí),由(EA)x0

0 2

2 3 0 得到屬于特征值1的特征向量10,2,1)T當(dāng)2時(shí),由(2EA)x0

0 2

1 0 0 1 3 1 0 0得到屬于特征值2的特征向量20,1,1)T當(dāng)2時(shí),由(2EA)x0

0 2

0 3 0 P,,

1

.

APB x2x2x0,2xx 3xxx 求的值B0【答案】BA1(AB)A100，這與B rAr(Bn.要有這兩種思考問題的意識(shí) A

0 A 5(1)0 解出1AB0,B0,B可逆,AABB10B100

0 方法1：定義法. 0 0 0那么CT C,即C是對稱矩陣 B BT BmnZTXT,YT,XTxx,x),YTyy,y Z0,X,Y0,X0,A是正定矩陣,XTAX0B是正定矩陣,故對任意的n維向量Y,恒有YTAY0 T 0X 于是ZCZ(X,Y) XAXYAY A、B均為正定矩陣,由正定矩陣的性質(zhì)，故ATABTB, 0 0 0那么CT C,即C是對稱矩陣 B BT B,i0,j (i12,mj12,n.0ECEm0

En

BEmAEn1m1m于是，矩陣C的特征值 因?yàn)镃0，所以矩陣C正定十二、假設(shè)測量的隨機(jī)誤差X 率,并利用泊松分布求出的近似值(要求小數(shù)點(diǎn)后取兩位有效數(shù)字).12 56e 【答案】 N(0,102)，即EX0,DX210219.6}P{X根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)則有：pP(A)P{

|X |X0 19.6 } 1P{1.96

n設(shè)Y為100次獨(dú)立重復(fù)測量中A出現(xiàn)的次數(shù),則Y服從參數(shù)為n100,p0.05的二項(xiàng)分布.根據(jù)二項(xiàng)分布的定PYkCkpk(1p)nk(k0,1,2，則至少有三次測量誤差的絕對值大于19.6的概率為：nP{Y3}1P{Y3}1P{Y0}P{Y1}P{Y1C00.050(10.05)100C10.051(10.05)1001C20.052(1 2n100,p0.1），則其成功次數(shù)可以認(rèn)為近似服從參數(shù)為的泊松分布，具體應(yīng)用模式為若 B(n,p)，則當(dāng)n充k 大，p相當(dāng)小時(shí)當(dāng)Y近似服從參數(shù)為np的泊松分布,即PYkCnp(1 (k0,1,k設(shè)設(shè)Y為100次獨(dú)立重復(fù)測量中A出現(xiàn)的次數(shù),則Y服從參數(shù)為n100,p的二項(xiàng)分布.故P{Y3}1P{Y31P{Y0}P{Y1}P{Y1()0e()1e()2e1ee2 1e(15 )0.872和X0123pEX0.6，DX X

01pX01pX01p所以P{X0}P{X1X2X30}P{X10,X20X3P{X10}P{X20}P{X30}0.90.80.7P{X3}P{X1X2X33}P{X11,X21,X3P{X1}P{X1X2X31}P{X11,X20,X30}P{X10,X21,X3P{X10,X20,X3P{X11}P{X20}P{X30}P{X10}P{X21}P{X3 P{X10}P{X20}P{X30.10.80.70.90.20.70.90.80.3P{X0}P{X1}P{X2}P{X3}1P{X2}1P{X0}P{X1}P{X10.5040.3980.006X0123pp1P{X11}0.1,p2P{X21}0.2,p3