武漢理工線性代數(shù)課件第三章

本章包含兩個(gè)容：向量和線性方程組.研究線性方程組的解是《線性代數(shù)》的最主要的任務(wù)，用矩陣方法來(lái)討論線性方程組的解的情形和求解線性方程組，用向量表示線性方程組的解和表達(dá)解之間的關(guān)系.1線性方程組(ax+ax+^+ax=b其中矩陣分別稱為系數(shù)矩陣，常數(shù)項(xiàng)矩陣和未知量矩陣，稱(A)為增廣矩陣，滿足線性方程組的有序分別稱為系數(shù)矩陣，常數(shù)項(xiàng)矩陣和未知量矩陣，稱(A)為增廣矩陣，滿足線性方程組的有序2n方程組.對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)變化而解不變，叫做同解變換.顯然，下列三種變換是同解變換：兩邊；(3)把一個(gè)方程乘以某個(gè)數(shù)加到另一個(gè)方程上.2線性方程組的消元解法得到這個(gè)方程中的未知量的解，再逐步回代得出其它未知量的解。也就是兩個(gè)過(guò)程：消元和回代。觀察下面的例子，體會(huì)同解變換和消元法：33先把第1個(gè)方程的(-1)，(-2)倍分別加到第2，3個(gè)方程上去，消去x：1(|x1+x2+x3=-12323把第3個(gè)方程兩邊同乘(-1/3)并且和第2個(gè)方程換位置：23232xxx=-1333223133然后把第2個(gè)方程的(-1)倍加到第1個(gè)方程上去，得到(x=1|3以上的解法中，方程組(1)變化到(4)的過(guò)程是消元，后面2個(gè)步驟是回代。無(wú)論是消元還是回代，都只是未知量的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)參與了運(yùn)算，未知量本身并未改變；而且對(duì)方程組所作換。通過(guò)對(duì)消元法解線性方程組的觀察和分析(可以寫出每個(gè)過(guò)程對(duì)應(yīng)的矩陣)，我們必須建立以下今線性方程組和增廣矩陣一一對(duì)應(yīng)，矩陣的每一行相當(dāng)于一個(gè)方程；今在變換的過(guò)程中，所有的矩陣都是等價(jià)的，每一個(gè)矩陣都對(duì)應(yīng)一個(gè)線性方程組，這些方程組都是同解方程組(也可以叫做等價(jià)方程組)！今消元：通過(guò)初等行變換把增廣矩陣化為階梯形矩陣；今回代：通過(guò)初等行變換把階梯形矩陣化為行最簡(jiǎn)形矩陣； ( (a|aa^a^^^^(c|(ca1nb1)||Mmnm)|MccM000M0^^^^^^cc2rMcrr00M0^^^^^^ccMc00M0d1d2Mdrdrd0M0)||察到r+1d=0一方程組有解。r+1并且r+1方程組含有n一r個(gè)自由未知量x,^x，可以任意取值，方程組的解有無(wú)窮多個(gè)。因此我們r(jià)+1n定理3.2齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分必要條件是R(A)<n，Ax=0僅有零解的推論1當(dāng)m<n時(shí)，齊次線性方程組Ax=0有非零解.這是因?yàn)楫?dāng)m<n時(shí)，齊次線性方程組Ax=0的系數(shù)矩陣的秩一定小于n.推論2當(dāng)m=n時(shí)，齊次線性方程組Ax=0有非零解的充要條件是A=0；僅有零解的充要清楚以上定理中的n是未知量的個(gè)數(shù)，m是方程的個(gè)數(shù)。但是判斷解的情形總是根據(jù)矩陣的秩而不是方程的個(gè)數(shù)或未知量的個(gè)數(shù)。3線性方程組的消元解法步驟解非齊次線性方程組Ax=b的步驟：(1)寫出Ax=b對(duì)應(yīng)的增廣矩陣(A)；(2)對(duì)增廣矩陣作初等行變換，化為階梯形矩陣.觀察R(A)=R(A)?若不相等，得出無(wú)解的結(jié)論，若相等就進(jìn)行下一步；(4)根據(jù)行最簡(jiǎn)形寫出等價(jià)方程組，令其中的n一r個(gè)自由未知量(非首元所在列)為任意常數(shù)：c,c,^,c，并把其它未知量(首元所在列)用c,c,^,c表示.nr12n一r增廣矩陣對(duì)應(yīng)原始方程組，階梯形矩陣用于判斷線性方程組有沒有解和有多少解，行最簡(jiǎn)形矩陣用于求解.rr階梯形矩陣求出方程組的解r解齊次線性方程組Ax=0的步驟：(1)寫出Ax=0對(duì)應(yīng)的系數(shù)矩陣A；(2)對(duì)系數(shù)矩陣作初等行變換，化為階梯形矩陣.觀察R(A)=n?若R(A)=n，得出僅有 (非首元所在列)為任意常數(shù)：c,c,^,c，并把其它未知量(首元所在列)用c,c,^,cnr12n一r1-1-1)2|40)表示.無(wú)論非齊次還是齊次線性方程，判斷解的情形只需化為階梯形矩陣，而求解必須化為行最簡(jiǎn)形矩陣.例3.1解下面的線性方程組(|4x1+2x2-x3=2例3.2解線性方程組2121(1-4(23)(1-4(23)033113||32r-||32r-rr-r|1-2||| (0r- (0r-r21r-r31r-r9-3-4627|||||rr-r42r一rrr-2r2r-6r42||||||| (02)47-29)||||1-r73439-86-6-4126-41003|92-32)2)-5)4141210)210)-7)210)|r一r31r一r3-r421)0)13|(000)(t2-t-4)|1-t)||t22|Brr-2r3r-9r3 (0|||000100|| ||解對(duì)方程組的系數(shù)矩陣作初等行變換，化為階梯形矩陣.為了計(jì)算的方便，令5-k=t，(|5-k22)|(|t22)|(2 (00|||r-(1t)r(|20(2 (00|||221|02-(t2-t-4)|2t342| (||||| (||||20000B1(t3-9t)|4)(20t-t)A4線性方程組有非零解.|(20||l223〈x-|l223 (0 (01r|||211-2令自由未知量x=c，c為任意常數(shù)，得到全部解：31)11)10)|11|22如果方程組的系數(shù)或常數(shù)項(xiàng)中含有未知參數(shù)，在對(duì)矩陣作初等行變換時(shí)，要注意運(yùn)算的可2行性.在本例中，如果不先換行，而作變換：r-r使(2,1)元化為零，是不可以的，因?yàn)椴?t1算比較難，如果方程的個(gè)數(shù)和未知量的個(gè)數(shù)相同時(shí)，可以用行列式是否為零來(lái)判斷解的情形和確定未知參數(shù)的值(克萊姆法則)，再用矩陣的初等行變換(消元法)求出解.本例可以采用這種克萊姆法則和消元法結(jié)合的方式：k2=t222)|(|10A=|240|)|01|(202)|||(00|11|22-2.2向量及其運(yùn)算1向量的定義12ni數(shù)稱為該向量的n個(gè)分量，第i個(gè)數(shù)a是第i個(gè)分量，每個(gè)分量都是實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量，i分量中有復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量.本課程僅討論實(shí)向量.向量可以寫成一列或?qū)懗梢恍?，分別稱為列向量或行向量，記作：以看成一個(gè)列(行)矩陣.對(duì)于向量，我們有以下的說(shuō)明：(2)行向量和列向量都按照矩陣的運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算；(3)當(dāng)沒有明確指明是行向量還是列向量時(shí)，都當(dāng)作列向量.定義3.3每個(gè)分量都是零的向量稱為零向量，記作0；將向量a的每個(gè)分量變成相反數(shù)得到的向量稱為a的負(fù)向量，記作-a.有不同維數(shù)的零向量.定義3.4若干個(gè)維數(shù)相同的向量組成的集合稱為向量組.線性方程組的一個(gè)解是一個(gè)向量，稱為解向量，解的集合稱為解向量組.2n同維數(shù)的初始單位向量組.2向量的線性運(yùn)算定義3.5當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)向量a,b的維數(shù)相同且對(duì)應(yīng)的分量相等時(shí)稱這兩個(gè)向量相等，記作：下面我們定義向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算，暫時(shí)不作向量的乘法運(yùn)算.根據(jù)負(fù)向量和數(shù)乘運(yùn)算的定義，我們得到向量的減法：行向量的線性運(yùn)算類似上述列向量的運(yùn)算.定義3.6向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱為線性運(yùn)算.既然向量可以看成列矩陣或行矩陣，那么向量的線性運(yùn)算與矩陣的加法和數(shù)乘運(yùn)算完全相同，也就具有相同的算律，這里不再重復(fù).3向量與矩陣、方程組的關(guān)系A(chǔ)mnA的mnm根n行向量組.每一列元素可以構(gòu)成一個(gè)向量，得到n個(gè)m維的列向量a,a,^,a，稱為矩陣A的列向量組.用分塊矩陣的觀點(diǎn)看，矩陣A以列向量為子塊：A=量組.用分塊矩陣的觀點(diǎn)看，矩陣A以列向量為子塊：A=(aa^a)，也可以以行向量mnn為子塊A=(aa^a)T.12m如果矩陣A=(aa為子塊A=(aa^a)T.12m12n12n.線性方程組(ax+ax+^+ax=b1它的每個(gè)未知量的系數(shù)組成一個(gè)列向量，得到n個(gè)m維列向量a=(a,a,^,a)T，j1j2jmj1122nn那么齊次線性方程組可表示為ax+ax+^+ax=01122nn在方程組中a,a,^,a是未知量x,x,^,x的系數(shù)，而在向量的運(yùn)算中，可以把12n12nx,x,^,x看成是向量a,a,^,a的系數(shù).這在向量關(guān)系的討論中很重要.12n12n123解先將所求向量a用向量a,a,a表示出來(lái)，再作向量的線性運(yùn)算.1232(a+a)+(a-3a)=4(a-a)亭a=1(2a+a+4a)123512355根據(jù)向量相等的定義1線性組合線性組合研究一個(gè)向量與一個(gè)向量組的關(guān)系.定義3.7對(duì)于給定的向量組a,a,^,a和向量b，如果存在一組數(shù)k,k,^,k使得12n12nb=ka+ka+^+ka(3.3.1)1122nn成立，那么稱向量b是向量組a,a,^,a的一個(gè)線性組合，或者說(shuō)向量b可以由向量組2na,a,^,a線性表示，數(shù)k,k,^,k稱為組合系數(shù)。12n12n1122nn12n12n(1)已知a,a,^,a和一組數(shù)k,k,^,k，求向量b.12n12n(2)已知a,a,^,a和向量b，求一組數(shù)k,k,^,k12n12n.前一個(gè)是向量的線性運(yùn)算問(wèn)題，后一個(gè)是求線性組合的系數(shù)問(wèn)題.如何求組合系數(shù)呢？12n12nb為常數(shù)項(xiàng)，顯然線性方程組的解就是組合系數(shù)。因此有定理3.3向量b是向量組a,a,^,a的一個(gè)線性組合的充分必要條件是以a,a,^,a為12n12n列向量的矩陣的秩和以a,a,^,a,b為列向量的矩陣的秩相等，即：R(a2^a)=nR(aa^ab)n12n判斷向量b是否是向量組a,a,^,a的一個(gè)線性組合并求出組合系數(shù)，和判斷線性方程2n唯一解，表示法唯一；如果方程組有無(wú)窮多解，則注意：求組合系數(shù)時(shí)，應(yīng)把所有的向量寫成列向量組成矩陣，并且作初等行變換，不可以定義3.8設(shè)有兩個(gè)向量組：(A)a,a,^,a，(B)b,b,^,b，如果(A)組的每個(gè)向量都12s12t可以由(B)組線性表示，稱(A)可由(B)線性表示；如果(A)與(B)可以互相表示，則稱向量組(A)與向量組(B)等價(jià).ABBCAC.設(shè)向量組(A)a,a,^,a可由向量組(B)b,b,^,b線性表示，那么存在k,^,k使得12s12t1jtja=kb+^+kb,j=1,2,^,sj1j1tjt即：存在矩陣K=(k)使得ijts其中，A=(a,a,^,a),B=(b,b,^,b)。稱K為向量組(A)由向量組(B)線性表示的系2s12t123線性表示？若能，寫出其表示式。a123123b可由向量組a,a,a線性表示，且有b=12327一2000)212232線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)研究一個(gè)向量組與零向量的關(guān)系.定義3.9對(duì)于給定的向量組a,a,^,a，如果存在一組不全為零的數(shù)k,k,^,k使得12n12nka+ka+^+ka=0(3.3.2)1122nn成立，稱向量組a,a,^,a線性相關(guān)；如果當(dāng)且僅當(dāng)k=k=^=k=0時(shí)(3.3.2)式成立，12n12n那么稱a,a,^,a線性無(wú)關(guān).12n對(duì)于給定的向量組a,a,^,a，如何判斷是否有一組不全為零的數(shù)k,k,^,k使12n12nka+ka+^+ka=0呢？如何求出這組數(shù)呢？1122nn可以將(3.3.2)式看成一個(gè)齊次線性方程組，它以k,k,^,k為未知量，a,a,^,a為12n12n分必要條件是R(a1a2^a12n推論1n個(gè)n維向量a,a,^,a線性相關(guān)的充分必要條件是aa^a=0，線性無(wú)關(guān)的n12n充分必要條件是aa^a士0.12n性相關(guān).nma,a,^,a：當(dāng)m=n時(shí)，可用行列式aa^a是否為零判斷其線性相關(guān)性；12n是否有非零解的步驟相同.求線性關(guān)系式的一組系數(shù)k,k,^,k，就是要求出相應(yīng)的齊次線性方程組的任一組非零12n下面是一些關(guān)于線性組合和線性相關(guān)的簡(jiǎn)單有用的結(jié)論：一個(gè)零向量線性相關(guān)，一個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān)；今兩個(gè)向量線性相關(guān)的充要條件是對(duì)應(yīng)分量成比例；今向量組中的任何一個(gè)向量可以由該向量組線性表示.定義3.10由向量組中的一部分向量組成的新向量組稱為原向量組的部分組.定理3.5一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)，則它的任何部分組線性無(wú)關(guān)；如果向量組的一個(gè)部分組線性相關(guān)，則原向量組線性相關(guān).12n12n2112k1iki1成立，即對(duì)應(yīng)分量比例.充分性：如果a,b對(duì)應(yīng)分量比例成比例，就是存在數(shù)k使得ii即例3.8設(shè)向量組a,a,a線性無(wú)關(guān)，證明：向量組a+2a,a-a,a+2a線性相關(guān).123122313證明證明向量線性相關(guān)，一般用定義或用矩陣的秩，也有用其它相關(guān)定理的。下面我們給出兩種常用方法的證明過(guò)程，希望同學(xué)們掌握.設(shè)有數(shù)k,k,k使得12k3(a+2a)+k(a-a)+k(a+2a)=0112223313131122233由于a,a,a線性無(wú)關(guān)，根據(jù)線性無(wú)關(guān)的定義上式成立的條件是1232323 ( (001-2)02-111-5002)||||r-r3101其系數(shù)行列式210=0，根據(jù)克萊姆法則，這個(gè)齊次線性方程組有非零解，即其系數(shù)行列式0-12為零的數(shù)k,k,k使得123k(a+2a)+k(a-a)+k(a+2a)=0112223313根據(jù)線性相關(guān)的定義，向量組a+2a,a-a,a+2a線性相關(guān)。122313(二)用矩陣的秩證明對(duì)向量組a+2a,a-a,a+2a組成的矩陣作初等變換(a+aa2-+a))(2(a-a)a-aa+2a)2)(02a-3a1a+23a)232313那么，R(a+2a,a-2a,+12a)R(0a-aa+2a)共2<31223132313所以，向量組a+2a,a-a,a+2a線性相關(guān).例3.9設(shè)有向組()：2a),a=(2,-1,0,1),a=(1,0,1,0)，向量組(B)：12組(A)線性表示？表示式是什么？解對(duì)向量組(A)和(B)組成的矩陣進(jìn)行初等行變換：231|r一|r一r14(1 (0|110200112-2)||(1101-||-4|31||r+r|-4|31|| (0215-5)rr-r2r-2r42 (0|||110000111-2)2-11-51-3)rr-r||0 (0|010002-111-30002)R(a1a2a3b)=R(aaa)所b可以由向量組(A)：aaa線性表示，123112311230)0)R(a1aa1b)43而R(aaa)=3，所以b不能由向量組(A)：aaa線12321232123性表示.因此，向量組(B)不能用向量組(A)線性表示.123(2)線性相關(guān)，并且求出線性關(guān)系式.解對(duì)給出的向量組成的矩陣A進(jìn)行初等行變換：11)|所以R(B)=3，即R(a,a,a)=3，那么a,a,a線性無(wú)關(guān)；(2)而k=1時(shí)，R(B=22，即3R(a,a,a1)=3，此時(shí)a,a,a線性相關(guān).對(duì)矩陣B作123為行最簡(jiǎn)形：100)i1||||103線性組合與線性相關(guān)有關(guān)定理定理3.6向量組a,a,^,a線性相關(guān)的充分必要條件是a,a,^,a中至少有一個(gè)向量是12n12n其余n-1個(gè)向量的線性組合.定理3.7如果向量組a,a,^,a線性無(wú)關(guān)，添加一個(gè)向量后a,a,^,a,b線性相關(guān)，那12n12n么b可由a,a,^,a線性表示，且表示式唯一.12n定理3.8如果向量組(A)a,a,^,a可由向量組(B)b,b,^,b線性表示，且s>t，那么12s12t(A)線性相關(guān).推論1如果向量組(A)a,a,^,a可由向量組(B)b,b,^,b線性表示，且向量組(A)線性12s12t此推論即是上面定理的逆否命題.推論2如果兩個(gè)向量組(A)a,a,^,a與(B)b,b,^,b可以互相表示，且向量組(A)和(B)12s12t都線性無(wú)關(guān)，那么s=t.即兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的等價(jià)向量組所含向量個(gè)數(shù)相同.定理3.9矩陣A經(jīng)過(guò)初等行變換化為B，那么矩陣A與B的行向量組等價(jià)；對(duì)應(yīng)位置的列向量(部分)組具有相同的線性相關(guān)性.關(guān)組和求表示式提供了依據(jù).定義3.11在m維向量組(A)的每個(gè)向量后面(或者前面)添加k個(gè)分量，得到m+k維的向量組AAA)的加長(zhǎng)向量組.定理3.10如果向量組線性無(wú)關(guān)那么其加長(zhǎng)向量組也線性無(wú)關(guān)，如果加長(zhǎng)向量組線性相關(guān)那么原.最大無(wú)關(guān)組研究的問(wèn)題是：一個(gè)向量組中有沒有一部分向量是線性無(wú)關(guān)的？最多有多少個(gè)定義3.12設(shè)a,a,^,a是向量組a,a,^,a中的r個(gè)向量rn，如果iii12n(1)a,a(1)a,a,^,a線性無(wú)關(guān)；iii2r(2)a,a,^,a可a,a,^,a由線性表示.12niii2r那么稱a,a,^,a是向量組a,a,^,a2riii12n定義中條件(2)意味著每一個(gè)向量都可以用a,a,定義中條件(2)意味著每一個(gè)向量都可以用a,a,^,a線性表示，可以將其改寫為“其iii2r余向量可以用a,a,^,a線性表示”.iii12r注意理解最大無(wú)關(guān)組的兩個(gè)關(guān)鍵詞：最大、線性無(wú)關(guān).只有一個(gè)零向量的向量組沒有最大無(wú)關(guān)組.根據(jù)定義可知，向量組與它的最大無(wú)關(guān)組等價(jià)，兩個(gè)最大無(wú)關(guān)組等價(jià).有了最大無(wú)關(guān)組，很多研究向量組的問(wèn)題就變成研究它的最大無(wú)關(guān)組問(wèn)題，研究?jī)蓚€(gè)向量組的關(guān)系就變成研究它們的最大無(wú)關(guān)組之間的關(guān)系，例如：兩個(gè)向量組等價(jià)相當(dāng)于它們的最大無(wú)關(guān)組等價(jià).最大無(wú)關(guān)組一般不唯一，但有下面的結(jié)論：定理3.11最大無(wú)關(guān)組所含向量個(gè)數(shù)相同.2向量組的秩定義3.13一個(gè)向量組的最大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩.n規(guī)定：只有一個(gè)零向量的向量組的秩為零.為了更好地理解最大無(wú)關(guān)組和向量組的秩，假設(shè)R(a,a,^,a)=r，我們作以下說(shuō)明：12n今任何r-1個(gè)向量都不可能是向量組的最大無(wú)關(guān)組；今任何含有r個(gè)向量的線性無(wú)關(guān)部分組都是最大無(wú)關(guān)組.推論若向量組(A)與向量組(B)等價(jià)，則R(A)=R(B).的關(guān)系一般用定義求向量組的秩很困難，鑒于向量和矩陣的關(guān)系，我們希望找到向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系.定義3.14矩陣的行向量組的秩稱為矩陣的行秩；矩陣的列向量組的秩稱為矩陣的列秩.定理3.13矩陣的行秩=矩陣的列秩=矩陣的秩.如果矩陣A的秩=r，那么A中至少有一個(gè)r階子式不為零，這個(gè)子式所在的行和列)的r4個(gè)向量都是線性無(wú)關(guān)的.12n12n變換，化為階梯形矩陣；(3)矩陣的秩就是向量組的秩.行變換又可作初等列變換.如果需要求出一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，并把其余向量用該最大無(wú)關(guān)組線性表示，那么建議把向量12n12n(2)對(duì)矩陣作初等行變換，化為行最簡(jiǎn)形矩陣；(3)非零行行數(shù)(首元個(gè)數(shù))就是向量組的秩，并且首元所在列對(duì)應(yīng)的向量就是最大無(wú)關(guān)(4)把非首元所在列的向量用首元所在列的向量表示，這個(gè)表示式就是把該列對(duì)應(yīng)的向量用最大無(wú)關(guān)組表示的表示式.其余向量用該最大無(wú)關(guān)組線性表示.解用a,a,a,a做成矩陣，對(duì)其進(jìn)行初等行變換，化為行最簡(jiǎn)形矩陣.1234(|1131)|r-5r(|1131)| 首元在第1，2列，所以a,a是一個(gè)最大無(wú)關(guān)組，首元以外有第3，4列，所以a,a可以用112a=2a+a，a=-a+2a3124121||(||a2a2，a3,a4)=|3(2)3 ||(2)3 ||||||| 2) 2)|c一cb23|13|||b3) (02)2 (02)20a2)|||r-2r21r-r (0-1||||||0-1arr-r211)1)12341齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)1)齊次線性方程組Ax=0解的性質(zhì)212○2如果v是齊次線性方程組Ax=0的解，k是任意實(shí)數(shù)，那么kv也是它的解；12skv+kv+…kv122ss也是它的解，其中k,k,^,k是任意常數(shù).3s2s這幾條性質(zhì)也說(shuō)明了，齊次線性方程組如果有非零解，就有無(wú)窮多個(gè)；找到一個(gè)解就可以找到無(wú)窮多個(gè).我們知道，當(dāng)系數(shù)矩陣A的秩R(A)<n時(shí)，方程組Ax=0有非零解，其解向量組一定線性相關(guān)(個(gè)數(shù)大于維數(shù))！如果我們能求出它的最大無(wú)關(guān)組，記作：v,v,^,v，那么最大12s無(wú)關(guān)組的任意線性組合kv+kv+…kv就是方程組的全部解.這句話包含兩層意思：2ss(1)kv+kv+…kv是方程組的解；ss (2)任意一個(gè)解v都可以寫成v,v,^,v的線性組合形式(沒有其它形式的解).由性質(zhì)○3，第(1)條成立，由最大無(wú)關(guān)組的定義，第(2)條成立.因此求出解向量組的最大無(wú)關(guān)組就是求解的根本問(wèn)題.Axvvv；12s(2)任意一個(gè)解都可以由v,v,^,v線性表示.12s則稱v,v,^,v是齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系.12s一個(gè)基礎(chǔ)解系實(shí)際上就是解向量組的一個(gè)最大無(wú)關(guān)組.如何求基礎(chǔ)解系？在，且每個(gè)基礎(chǔ)解系恰好含有n-r個(gè)解，同時(shí)方程組的每一個(gè)解都是基礎(chǔ)解系的線性組合.根據(jù)本定理的證明過(guò)程(見教材)得知求基礎(chǔ)解系的方法和過(guò)程：RA=r<n，繼續(xù)作初等行變n||n||| (-br,n-r)|11|11|aA=|21^m1aa22^a^^^^|||||||a)a|||||||a)a)^a) (0^^^^^^0^1^^^b^br1^^^^^^^^^b1,n-r^br,n-r0^0)(x=-bx-^-bx (x)(-b)(-b)||=||，||，…，(x)(-b)(-b)rr1r2(-b)1,n-rM(4)將所有未知量合寫在一起，得到方程組的n-r個(gè)線性無(wú)關(guān)的解，即基礎(chǔ)解系：|r1||r2||r,n-r||r1||r2||r,n-r| (0)(0)(1)nn初始單位向量組，此時(shí)計(jì)算量最小(幾乎不用計(jì)算)，表達(dá)最方便.2非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)(1)非齊次線性方程組Ax=b解的性質(zhì)定義3.16當(dāng)齊次線性方程組Ax=0和非齊次線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣相同時(shí)，稱○2如果u,u都是方程組Ax=b的解，那么u-u是其導(dǎo)出組的解.1212這兩條性質(zhì)表明方程組Ax=b的解和它的導(dǎo)出組的解之間有關(guān)系，那么Ax=b的全部解(2)線性方程組Ax=b的全部解定理3.15對(duì)于n元非齊次線性方程組Ax=b，如果有R(A)=R(Ab)=r<n，且u是Ax=b0的一個(gè)特解，而v,v,^,v是導(dǎo)出組Ax=0的一個(gè)基礎(chǔ)解系，則方程組Ax=b的全部解表12n-r01122n-rn-r定理告訴我們求方程組的全部解，只需要求出一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系.我們已經(jīng)學(xué)會(huì)了求基礎(chǔ)解系，剩下的問(wèn)題是求一個(gè)特解.其實(shí)都可以用矩陣的初等行變換.(x=c-bx-^-bxxTT求出一個(gè)特解u=(c,c,^,c,0,^0)T2，以導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系^v(上一個(gè)小012r12n-r01122n-rn-r.01122n-rn-r.3線性方程組關(guān)于解的等價(jià)命題矩陣的秩、向量組的線性關(guān)系和方程組是否有解及有多少個(gè)解之間有著密切的聯(lián)系.如果非齊次線性方程組矩陣形式Ax=b，向量形式ax+ax+^+ax=b，以下命題都是mn1122nn增廣矩陣與系數(shù)矩陣的秩相等，即R(A)=R(A)；aa,a,^,a線性相關(guān)；