第09講圓的方程（原卷版）

第9講圓的方程【知識點(diǎn)梳理】（1）圓的定義在平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡是圓（2）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程設(shè)圓心的坐標(biāo)，半徑為，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（3）圓的一般方程圓方程為，圓心坐標(biāo)：，半徑：=1\*GB3①的系數(shù)相同，方程中無項(xiàng)=2\*GB3②對于的取值要求：當(dāng)時，方程只有實(shí)數(shù)解．它表示一個點(diǎn)當(dāng)時，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形．=3\*GB3③二元二次方程，表示圓的充要條件是=4\*GB3④以為直徑端點(diǎn)的圓的方程為（4）幾種特殊位置的圓的方程條件方程形式標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程圓心在原點(diǎn)過原點(diǎn)圓心在軸上圓心在軸上圓心在軸上且過原點(diǎn)圓心在軸上且過原點(diǎn)與軸相切與軸相切（5）確定圓心的位置：=1\*GB3①圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上．=2\*GB3②圓心在圓的任意弦的垂直平分線上．=3\*GB3③兩圓相切時，切點(diǎn)與兩圓圓心共線．（6）求圓方程的方法=1\*GB3①幾何法根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程=2\*GB3②待定系數(shù)法=1\*ROMANI根據(jù)題意，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；=2\*ROMANII根據(jù)條件列出關(guān)于或的方程組；=3\*ROMANIII解出或，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程=3\*GB3③相關(guān)點(diǎn)法（代入法）若所求軌跡上的動點(diǎn)與另一個已知曲線上的動點(diǎn)存在著某種聯(lián)系，可設(shè)點(diǎn)，用點(diǎn)P的坐標(biāo)表示出來點(diǎn)，然后代入曲線方程，化簡即得所求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做相關(guān)點(diǎn)法（或稱代入法）．=4\*GB3④換元法（參數(shù)方程法）若圓心為點(diǎn)，半徑為，則可將圓上的點(diǎn)換元為為．其中為參數(shù)，．知識點(diǎn)七阿波羅尼斯圓設(shè)為平面上相異兩定點(diǎn)，且，為平面上異于一動點(diǎn)且（且）則點(diǎn)軌跡為圓；特別的當(dāng)，軌跡為中垂線；（7）阿波羅尼斯圓性質(zhì)：①阿波羅尼斯圓圓心在直線上，圓心為，；②阿波羅尼斯圓上任一點(diǎn)P都滿足（且）；③設(shè)阿波羅尼斯圓直徑兩端點(diǎn)分別為，則分別是線段的內(nèi)分點(diǎn)和外分點(diǎn)，且，（且）：分別是的內(nèi)角和外角平分線，且．題型目錄：題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程題型二：圓的一般方程題型三：由圓的定義及方程求參數(shù)題型四：阿波羅尼斯圓（阿氏圓）題型五：二次函數(shù)與圓的交匯問題【典型例題】題型一：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【例1】（浙江高二期末）圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別是（）A．(-1，0)，3B．(1，0)，3C．D．【例2】（2022·貴州·高二學(xué)業(yè)考試）圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A．B．C．D．【例3】（2020·北京十五中高二期中）經(jīng)過三個點(diǎn)的圓的方程為（）A．B．C．D．【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓關(guān)于直線（，）對稱，則的最小值為（）A．B．9C．4D．8【例5】（2022·北京·高考真題）若直線是圓的一條對稱軸，則（）A．B．C．1D．【例6】（2022·全國·高二專題練習(xí)）過點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程為_______．【例7】（2021·福建寧德·高二期中）蘇州有很多圓拱的懸索拱橋（如寒山橋），經(jīng)測得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時每隔米需用一根支柱支撐，則與相距米的支柱的高度是（

）米.（注意：≈）A．6.48B．5.48C．4.48D．3.48【題型專練】1．（2022·廣西·高二學(xué)業(yè)考試）已知圓的方程為x2+y2=4，那么這個圓的面積等于（）A．2B．3C．πD．4π2.（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））已知圓關(guān)于直線對稱，則的最小值為（

）A．B．C．4D．83.（2022·江蘇·高二）圓，則（）A．關(guān)于點(diǎn)對稱B．關(guān)于直線對稱C．關(guān)于直線對稱D．關(guān)于直線對稱4．（2022·上海市第三女子中學(xué)高二期末）圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為______．5．（2022·全國·高考真題（文））設(shè)點(diǎn)M在直線上，點(diǎn)和均在上，則的方程為______________．6.（新疆烏蘇市第一中學(xué)）過點(diǎn)，且圓心在直線上的圓的方程。7.（內(nèi)蒙古包頭市·高二月考（理））頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，．則外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．題型二：圓的一般方程【例1】（北京高二期末）圓的圓心C的坐標(biāo)為（）A．（1，0）B．（－1，0）C．（2，0）D．（－2，0）【例2】（廣東肇慶市）在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)的圓的方程為________.【例3】（2022·全國·模擬預(yù)測）已知圓與以原點(diǎn)為圓心的圓關(guān)于直線對稱，則（）A．5B．6C．7D．8【例4】（2022·全國·高二課時練習(xí)）與圓同圓心，且過點(diǎn)的圓的方程是（）A．B．C．D．【例5】（2022全國卷乙卷）過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個圓的方程為____________．【題型專練】1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知圓方程的圓心為（）A．B．C．D．2.（2022·江蘇·高二）圓的圓心和半徑分別是（）A．，B．，C．，D．，3.（2021·河北唐山·高二期中）點(diǎn)M，N是圓＝0上的不同兩點(diǎn)，且點(diǎn)M，N關(guān)于直線x－y＋1＝0對稱，則該圓的半徑等于（）A．B．C．3D．94．（2022·陜西咸陽·高一期末）過四點(diǎn)，，，中的三點(diǎn)的一個圓的方程為______.5.（青銅峽市高級中學(xué)）經(jīng)過圓的圓心且與直線平行的直線方程是。題型三：由圓的定義及方程求參數(shù)【例1】（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)甲：實(shí)數(shù)；乙：方程是圓，則甲是乙的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【例2】（全國高二單元測試）當(dāng)方程所表示的圓的面積最大時，直線的傾斜角為（）．A．B．C．D．【例3】（全國高二課時練習(xí)）當(dāng)取不同的實(shí)數(shù)時，由方程可以得到不同的圓，則（）A．這些圓的圓心都在直線上B．這些圓的圓心都在直線上C．這些圓的圓心都在直線或上D．這些圓的圓心不在同一條直線上【例4】（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知方程表示一個圓.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)求圓的周長的最大值.【題型專練】1.（2022·全國·高二）已知“”是“”表示圓的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．2.（2022·吉林·吉化第一高級中學(xué)校高二期末）若曲線表示圓，則m的取值范圍是（）A．B．C．D．3.（2021·江蘇·高二專題練習(xí)）已知方程表示一個圓．求：(1)圓半徑最大時t的值；(2)圓心的軌跡方程．4．（全國高二專題練習(xí)）已知圓C:，當(dāng)m變化時，圓C上的點(diǎn)與原點(diǎn)的最短距離是_________.題型四：阿波羅尼斯圓（阿氏圓）【例1】（2022·四川成都·高二開學(xué)考試（理））若兩定點(diǎn)，，動點(diǎn)M滿足，則動點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為（）．A．B．C．D．【例2】（2022·陜西·模擬預(yù)測）阿波羅尼斯（約公元前262-190年）證明過這樣一個命題：在平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動點(diǎn)P滿足，則面積的最大值是（

）A．B．2C．D．4【例3】（2022·全國·高二單元測試）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)A，B的距離之比為定值λ（λ≠1）的點(diǎn)的軌跡是圓，此圓被稱為“阿波羅尼斯圓”．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A（－2，0），B（4，0），點(diǎn)P滿足＝.設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C，則下列結(jié)論正確的是（）A．軌跡C的方程為（x＋4）2＋y2＝9B．在x軸上存在異于A，B的兩點(diǎn)D，E使得＝C．當(dāng)A，B，P三點(diǎn)不共線時，射線PO是∠APB的平分線D．在C上存在點(diǎn)M，使得【題型專練】1．（2022·河北保定·高二期末）古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點(diǎn)，的距離之比為定值（，且）的點(diǎn)所形成的圖形是圓，后來，人們將這個圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓．已知在平面直角坐標(biāo)系中，，，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡的圓心坐標(biāo)為（

）A．B．C．D．2．（2022·河南·新蔡縣第一高級中學(xué)高二階段練習(xí)（文））若兩定點(diǎn)，，動點(diǎn)M滿足，則動點(diǎn)M的軌跡圍成區(qū)域的面積為（）．A．B．C．D．3．（2022·寧夏·銀川二中高一期中）已知動點(diǎn)M與兩個定點(diǎn)O（0，0），A（3，0）的距離滿足，則在O，A，M三點(diǎn)所能構(gòu)成的三角形中面積的最大值是（）A．1B．2C．3D．44．（2022·四川南充·三模（理））正方形ABCD邊長為3，P為正方形ABCD邊界及內(nèi)部的動點(diǎn)，且，則動點(diǎn)P的軌跡長度為______．5．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果，它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)距離的比為常數(shù)（且）的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿氏圓，現(xiàn)有，，當(dāng)?shù)拿娣e最大時，則的長為____________.6．（2022·全國·高三專題練習(xí)（文））古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯（ApolloniusofPerga，約公元前262~190年）發(fā)現(xiàn)：平面上兩定點(diǎn)A，B，則滿足的動點(diǎn)M的軌跡是一個圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知，動點(diǎn)M滿足，則面積的最大值為_________.題型五：二次函數(shù)與圓的交匯問題【例1】（2021·江蘇·蘇州中學(xué)高二多選題）已知二次函數(shù)交軸于兩點(diǎn)（不重合），交軸于點(diǎn)．圓過三點(diǎn)．下列說法正確的是（）A．圓心在直線上B．的取值范圍是C．圓半徑的最小值為D．存在定點(diǎn)，使得圓恒過點(diǎn)【例2】（2022·全國·高二課時練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)二次函數(shù)的圖象與兩坐標(biāo)軸有三個交點(diǎn)，經(jīng)過這三個交點(diǎn)的圓記為C.(1)求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)求圓C的方程；(3)請問圓C是否經(jīng)過某定點(diǎn)（其坐標(biāo)與b無關(guān)）？請證明你的結(jié)論.【題型專練】1．（2022·上海·