高考專題復(fù)習(xí)：-平-面-向-量

高考復(fù)習(xí)專題：平面向量平面向量的概念及其線性運(yùn)算向量專題復(fù)習(xí)1.向量的有關(guān)概念：（1）向量的定義：既有大小又有方向的量。向量可以任意平移。（2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：.（3）單位向量：長度為一個(gè)單位長度的向量叫做單位向量。任意向量的單位化：與共線的單位向量是.（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量。（5）平行向量又叫共線向量，記作：∥.=1\*GB3①向量與共線，則有且僅有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使；②規(guī)定：零向量和任何向量平行；③兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線，但兩條直線平行不包含兩條直線重合；④相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；（6）向量的加法和減法滿足平行四邊形法則或三角形法則；2.平面向量的坐標(biāo)表示及其運(yùn)算：（1）設(shè)，，則；（2）設(shè)，，則；（3）設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，則=；（4）設(shè)，，向量平行；（5）設(shè)兩個(gè)非零向量，，則，所以；（6）若，則；（7）定比分點(diǎn)：設(shè)點(diǎn)是直線上異于的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使4.平面向量的分解定理（1）平面向量分解定理：如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量，有且只有一對實(shí)數(shù)、，使成立，我們把不共線的向量、叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底。（2）O為平面任意一點(diǎn)，A、B、C為平面另外三點(diǎn)，則A、B、C三點(diǎn)共線且.5.空間向量空間向量是由平面向量拓展而來的，它是三維空間里具有大小和方向的量，它的坐標(biāo)表示有x，y，z.空間向量的性質(zhì)與平面向量的性質(zhì)相同或相似，故在學(xué)習(xí)空間向量時(shí)，可進(jìn)行類比學(xué)習(xí)。如，若eq\o(MP,\s\up6(→))、eq\o(MA,\s\up6(→))、eq\o(MB,\s\up6(→))三個(gè)向量共面，則.同時(shí)，對于空間任意一點(diǎn)O，存在，其中＝____1_________考點(diǎn)一：向量的概念[例1]給出下列四個(gè)命題：①若|a|＝|b|，則a＝b或a＝－b；②若，則四邊形ABCD為平行四邊形；③若a與b同向，且|a|>|b|，則a>b；④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線．其中假命題的個(gè)數(shù)為()A．1B．2C．3D．4[答案]D.下列說法中錯(cuò)誤的是()A．有向線段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向線段B．若向量a和b不共線，則a和b都是非零向量C．長度相等但方向相反的兩個(gè)向量不一定共線D．方向相反的兩個(gè)非零向量必不相等[答案]C[例2](1)(2014·金華模擬)已知兩個(gè)非零向量a，b滿足|a＋b|＝|a－b|，則下面結(jié)論正確的是()A．a(chǎn)∥bB．a(chǎn)⊥bC．|a|＝|b|D．a(chǎn)＋b＝a－b(2)(2013·四川高考)如圖在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，則λ＝________.(3)(2013·江蘇高考)設(shè)D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點(diǎn)，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)BC.若(λ1，λ2為實(shí)數(shù))，則λ1＋λ2的值為________．[答案](1)B(2)2(3)eq\f(1,2)1．在平行四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，E是線段OD的中點(diǎn)，AE的延長線與CD交于點(diǎn)F，若()A.eq\f(1,4)a＋eq\f(1,2)bB.eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)bC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)bD.eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)b易誤警示(四)平面向量線性運(yùn)算中的易誤點(diǎn)[典例](2013·廣東高考)設(shè)a是已知的平面向量且a≠0.關(guān)于向量a的分解，有如下四個(gè)命題：①給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c；②給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc；③給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ，使a＝λb＋μc；④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μc.上述命題中的向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4[答案]B下列命題中正確的是()A．向量a，b共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使b＝λaB．在△ABC中，C．不等式||a|－|a＋b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中兩個(gè)等號不可能同時(shí)成立D．向量a，b不共線，則向量a＋b與向量a－b必不共線第二節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1．兩個(gè)向量的夾角定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角．(2)范圍：向量夾角θ的范圍是[0，π]，a與b同向時(shí)，夾角θ＝0；a與b反向時(shí)，夾角θ＝π.(3)向量垂直：如果向量a與b的夾角是eq\f(π,2)，則a與b垂直，記作a⊥b.2．平面向量基本定理及坐標(biāo)表示(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．(2)平面向量的坐標(biāo)表示：①在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底．對于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y，使得a＝xi＋yj，這樣，平面內(nèi)的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)．3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2)；(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則(x2－x1，y2－y1)；(3)若a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)；(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2＝x2y1.[例1]在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點(diǎn)．若其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________.[答案]eq\f(4,3)eq\a\vs4\al(互動(dòng)探究)：在本例條件下，若試用c，d表示：如圖，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于點(diǎn)H，M為AH的中點(diǎn)．若則λ＋μ＝________.答案：eq\f(2,3)1．(2014·福建高考)在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2)表示出來的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)解析：選B[例3](1)(2013·陜西高考)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，則實(shí)數(shù)m等于()A．－eq\r(2)B.eq\r(2)C．－eq\r(2)或eq\r(2)D．0(2)(2014·麗水模擬)設(shè)向量a，b滿足|a|＝2eq\r(5)，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為________．(3)(2014·臺(tái)州模擬)若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的值等于________．[答案](1)C(2)(－4，－2)(3)eq\f(1,2)1．(2013·遼寧高考)已知點(diǎn)A(1,3)，B(4，－1)，則與向量AB→同方向的單位向量為()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，－\f(4,5)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,5)，－\f(3,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，\f(4,5)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)，\f(3,5)))2．已知向量a＝(m，－1)，b＝(－1，－2)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________.答案：eq\f(5,2)3．已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．答案：(3,3)易誤警示(五)平面向量坐標(biāo)運(yùn)算中的易誤點(diǎn)用平面向量解決相關(guān)問題時(shí)，在便于建立平面直角坐標(biāo)系的情況下建立平面直角坐標(biāo)系，可以使向量的坐標(biāo)運(yùn)算更簡便一些．[典例](2013·北京高考)向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示．若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，則eq\f(λ,μ)＝________.[答案]4答案：2第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用1．平面向量數(shù)量積的定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cosθ叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b.即a·b＝|a||b|cosθ，規(guī)定0·a＝0.2．向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.3．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夾角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0[例1](1)(2014·天津高考)已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若則λ的值為________．(2)如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(2)，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若、[答案](1)2(2)eq\r(2)eq\a\vs4\al(互動(dòng)探究)：在本例(2)中，若四邊形ABCD是邊長為1的正方形，點(diǎn)E是AB上的動(dòng)點(diǎn)，求的值及的最大值．答案：1.1．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，滿足條件(8a－b)·c＝30，則x＝________.答案：42．已知e1，e2是夾角為eq\f(2π,3)的兩個(gè)單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2，若a·b＝0，則實(shí)數(shù)k的值為________．答案：eq\f(5,4)[例2](1)(2014·湖南高考)在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，A(－1,0)，B(0，eq\r(3))，C(3,0)，動(dòng)點(diǎn)D滿足()[4,6]B．[eq\r(19)－1，eq\r(19)＋1]C．[2eq\r(3)，2eq\r(7)]D．[eq\r(7)－1，eq\r(7)＋1](2)(2014·四川高考)平面向量a＝(1,2)，b＝(4,2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝________.[答案](1)D(2)21．若a＝(1,2)，b＝(1，－1)，則2a＋b與a－b的夾角等于()A．－eq\f(π,4)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(3,4)π解析：選C2．已知a與