高數(shù)論文-微積分

-3-目錄TOC\o"1-3"\h高等數(shù)學——微積分 -2-什么是微積分 -2-微積分的歷史 -3-微積分的創(chuàng)立 -3-中國古代微積分 -3-微積分的與公式 -4-微分公式 -4-積分公式 -4-微積分的運算法則 -6-微分的運算法則 -6-積分的運算法則 -6-例題與解題方法 -7-微分的計算方法 -7-定積分的計算方法 -8-微積分的意義與應用 -8-微積分的意義 -8-微積分的應用 -8-高等數(shù)學——微積分周露摘要：本文介紹了微積分的概念與歷史發(fā)展，并在文中詳細例舉了微積分的各種公式和求取法則，文中用例題的方式講解了微積分的解題方法，最后在文末說明了微積分的重要意義與生活中的應用。關鍵詞：微分、積分、方法、數(shù)學史、應用引言眾所周知，微積分是數(shù)學中重要的一個分支，微積分的發(fā)現(xiàn)，極大地促進了數(shù)學史的發(fā)展，那么，究竟什么是微積分？誰創(chuàng)立了微積分？微積分究竟有什么重要的作用與意義？讓我們在這篇文章中揭曉答案吧。什么是微積分微積分，是一種數(shù)學思想。從字面上就可以看出，微積分分為微分與積分兩部分。那么什么是微分？而什么又是積分呢？通俗的來講，“微分”就是無限細分，而“積分”則是無限求和。舉個例子來說吧，一段繩子，你第一天切下一半，第二天切下剩余部分的一半，每天都重復這樣的行為，從理論上來說，這段繩子永遠都切不完，這個就是微分。而積分則恰恰與之相反，積分是一點一點累加的過程，如將硬幣放進儲錢罐，積少成多，這就是積分。在物理運動學中也常常有微積分的存在，如火箭發(fā)射的一瞬間的瞬時速度就是微分，而火箭每時每刻每個瞬間飛過的路程之和則是積分。微積分分為微分學與積分學。微分學的主要內容包括極限理論、導數(shù)、微分等，積分學的主要內容包括定積分與不定積分等。8、9、10、11、12、13、14、其中為雙曲正弦函數(shù)15、其中為雙曲余弦函數(shù)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、微積分的運算法則微分的運算法則函數(shù)的和、差、積、商微分法則設u=u(x),v=v(x),則(u+v)’=u’+v’(u+v)’=u’+v’(Cu)’=Cu(uv)’=u’v+uv’(u/v)=(u’v-uv’)/v2（v≠0）復合函數(shù)的微分法則dy‘=d’(u)dudy=y’udu積分的運算法則

∫kd（x）dx＝k∫d（x）dx

∫(d（x）±g(x））dx＝∫d（x）dx±∫g(x）dx

d∫d（x）dx＝d（x）dx

∫dd（x）＝d（x）＋C

∫d（φ（x））φ′（x）dx＝d（φ（x））＋C

∫d（x）dx＝∫d（ψ（t））·ψ′（t）dt＝G（ψ^-1(x))+C

∫udv＝uv－∫vdu或∫uv′dx＝uv－∫vu′dx例題與解題方法微分的計算方法（1）、綜合應用和差積商與復合函數(shù)的求導法則如題11.求出該函數(shù)的導數(shù)f(x)=lnlnx+2x2該題中y是一個復合函數(shù)，可運用函數(shù)的和求導法則拆分為兩個函數(shù)分別計算，一個是lnlnlnx，一個是x2，對于復合函數(shù)lnlnx則可以利用復合函數(shù)的求導法則，令u=lnx，u’=1/x，f(x=)lnu，f(x)’=1/u，由f(u)’=u’f(u)’,所以可求出lnlnx=(1/x)*lnlnx.、綜合應用微分法則求函數(shù)微分如題2已知函數(shù)y=e-x*cos(3+x)求dy乍一看該題較為復雜，綜合性也比較強，其實仔細分析可以看出該函數(shù)也不過是兩個復合函數(shù)相乘，我們可以利用微分的積法則，令u=e-x，v=cos(3+x)，由d(uv)=duv+udv可得出y’=d(e-x)*cos(3+x)+e-x*dcos(3+x)，d(e-x)=-e-x，d(cos(3+x))=-sin(3+x)，所以可以求出dy=-e-x*cos(3+x)-sin(3+x).、求隱函數(shù)的微分的方法如題3x*y=ex+y求dy這道題就要用到隱函數(shù)的微分方法了，先在兩邊同時微分，x*y=y+x*dy，ex+y=(1+dy)*ex+y,y+x*dy=(1+dy)*ex+y,再將dy提取出來，得dy=(y-ex+y)/(ex+y-x)，這樣隱函數(shù)的微分就求出來了。不定積分的計算方法、利用公式與運算法則直接計算法如題44.∫(x2+2x+1)dx該題可拆分為三個函數(shù)分別積分∫(x2+2x+1)dx=∫x2dx+∫2xdx+∫1dx，又由積分公式，∫x2dx=(1/4)x4+C，∫2xdx=x2+C，∫1dx=x+C，而C為任意常數(shù)，所以∫(x2+2x+1)dx=(1/4)x4+x2+x+C.、第一種換元積分法（利用一個中間變量u代換，∫f[g(x)]*g(x)’dx=F[g(x)+C=[∫f(u)*du]）如題5∫（2-3*x）4dx求dy該題可以令2-3*x=u，先對u4求導得（1/5）*u5，再對u求導得-3，將u的導數(shù)提出，所以可得出dy=（1/5）/3*u5+C，又u=2-3*x，所以dy=（-1/15）*（2-3*x）+C。、第二種換元法（先令中間一部分為u，求出x，再求x的導數(shù)，dx=f（x）‘du）如例題6∫arctan√x/（√x*(1+x)）dx求dy該題解法與例題5相似，也是換元法，先令u=√x，x=u2，dx=2*udu?！襛rctan√x/（√x*(1+x)）=∫2*arctanu/（1+u2）du，在利用第一類換元法可得出∫2*arctanu/（1+u2）du=arctan2u，最后將u換回去得出dy=arctan2√x+C。、分部積分法。（∫uv‘dx=uv-∫vu’dx或∫udv=uv-∫vdu。）如題7例題7∫x2*lnx求dy該題就可用上述公式，∫x2*lnx=lnx*（x3/3）-∫（x3/3）*（1/x）dx=lnx*（x3/3）-1/3∫x2dx，又∫x2dx=x3/3，所以得出∫x2*lnx=lnx*（x3/3）-x3/9+C.。這就是最簡單的分部積分法。定積分的計算方法不定積分與定積分相似而不同，他們的區(qū)別在于定積分是一個具體的數(shù)值，與上下限有關，而不定積分只是原函數(shù)的一個整體，定積分的計算方法與不定積分很像，也是利用函數(shù)的積分，只不過會帶入上下限的值，他們相減得出具體的數(shù)。如例題8.∫basinxdx，a=π/2，b=-π/2求定積分該題先忽視上下限，然后將中間的函數(shù)積分得到-cosx，再將上下限分別帶入，-cos（π/2）=0，-cos（-π/2）=0，f（a）-f（b）=0-0=0.微積分的意義與應用微積分的意義微積分是數(shù)學史中最為重要的一環(huán)，它可以解決許多僅僅依靠數(shù)學不能有效解決的問題，由于它是有關變化率的理論，它可以通用于物理運動學速度加速度等、數(shù)學函數(shù)曲線的斜率計算中，在數(shù)學中有極大的作用。不僅在數(shù)學層面，微積分在哲學方面也有十分重大的意義。眾所周知，數(shù)學并不是單純的數(shù)字游戲，數(shù)學與自然有著密不可分的關系，當然，同哲學也是相通的。微積分的應用微積分自從創(chuàng)立以來，就在數(shù)學、科學、經濟學、物理學、天文學等領域有著重要的作用，在數(shù)學領域，微積分可以巧妙的計算出各個難以解決的問題如在幾何學中研究函數(shù)的圖像、面積、體積、近似值。在物理學中，微積分同樣占有重要的地位，在物理運動學中，質點非勻速運動的計算，將非勻速運動看做一段段勻速運動，先微分后積分，使得計算變得簡單。物理中常用的微元法，從部分到整體的思維方式也是微積分的一種。牛頓最初創(chuàng)立微積分的起因也是為了解決物理問題，可以這么說，微積分的創(chuàng)立不促進了數(shù)學史的進展同時也極大的促進了物理學的發(fā)展。在經濟學中，微積分的應用也是十分的廣泛。如關于利潤最大值的問題，年收入增長率的問題，需求量與價格的相對變化等問題都離不開微積分