高數(shù)重點內(nèi)容

一、單項選擇題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)

1.設(shè)/(X)=cosx(x+卜訪x|),則在X=0處有().

(A)八0)=2(B),(0)=1(C)/(0)=0(D)/(x)不可導.

設(shè)a(x)=^——,=3-3\[x,貝!J當x->l時()

2.l+x.

(A)。(幻與尸(》)是同階無窮小，但不是等價無窮?。?B)。(幻與〃(x)

是等價無窮??；

(C)是比￡*)高階的無窮??；(D)夕(x)是比](x)高階的

無窮小.

3.若尸(》)=J,(2，一,其中/(x)在區(qū)間上二階可導且

，(x)>0,則().

(A)函數(shù)*x)必在x=0處取得極大值；

(B)函數(shù)F*)必在x=0處取得極小值；

(C)函數(shù)*x)在x=0處沒有極值，但點(0/(°))為曲線卜=尸")的拐點；

(D)函數(shù)&x)在*=0處沒有極值，點(0,F(0))也不是曲線y=F(x)的拐點。

4.設(shè)“X)是連續(xù)函數(shù)，且/(x)=x+2f/(/)a,則/(x)=()

X2X2

-----F2

(A)2(B)2(C)x-1(D)x+2.

二、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)

2

-lim(1+3x)疝X=

5.XT0.

已知任是/(x)的一個原函數(shù)，則=

6.xJx

..TC,2冗22兀2n-1、

lim—(cos——FCOS1Fcos兀)

7.“f8nnnn

x2arcsinx+1

dx=

2

J17i-x

8.~2.

三、解答題(本大題有5小題，每小題8分，共40分)

9.設(shè)函數(shù)片雙幻由方程e"'+sin(個)=1確定，求？'(*)以及7'(°).

^[―~~^-dx.

10.，x(l+x)

xe,x<0

設(shè)〃x)=求公.

y/2x-x2

11.0<x<X

g（x）=\f（xt）dtiimZ^2=A

12.設(shè)函數(shù)/（X）連續(xù)，。，且a。x,A為常數(shù).求

?（幻并討論g'（x）在X=0處的連續(xù)性.

13.求微分方程盯'+2y=xln*滿足9的解.

四、解答題（本大題10分）

14.已知上半平面內(nèi)一曲線y=ya）az。），過點（°』），且曲線上任一點

M（x。,％）處切線斜率數(shù)值上等于此曲線與X軸、.V軸、直線x=x。所圍成

面積的2倍與該點縱坐標之和，求此曲線方程.

五、解答題（本大題10分）

15.過坐標原點作曲線y=InX的切線，該切線與曲線y=InX及X軸圍

成平面圖形D.

（1）求D的面積A；（2）求D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積

V.

六、證明題（本大題有2小題，每小題4分，共8分）

16.設(shè)函數(shù)/（X）在1°』上連續(xù)且單調(diào)遞減，證明對任意的4引0,1],

gi

^f（x）dx>q^f（x）dx

00.

n

ri{/（X）JX=0J/(x)cosxdx=Q

17.設(shè)函數(shù)/（X）在10，句上連續(xù)，且才0

證明：在（0，%）內(nèi)至少存在兩個不同的點&42,使/61）=/（$）=°?（提

x

F(x)=J7(x)dx

示：設(shè)0)

一、單項選擇題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

1、D2、A3、C4、C

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

1,COSX、27Cn

-(------)+C

.6.2x5.8.3

三、解答題(本大題有5小題，每小題8分，共40分)

9.解：方程兩邊求導

e*+'(l+y')+cos(xy)(xy'+y)=0

，⑺二e"'+ycos(盯)

ex+y+xcos(xy)

%=0,y=0,y'(0)=-1

10.解：u=x17x6dx=du

原式=-\^-U}du=-f(l-)du

7J〃(l+〃)7J〃w+1

=y(InIwI-2InIw4-11)+c

12

=-lnlx7l——lnll+x7l+C

77

解￡/(x)rfx=xe~xdx+fy]2x-x2dx

=jxd(-e-x)+[yll-(x-l)2dx

=[-xe--e”]：+「cos?Cd。(令x-i=sin^)

12.解：由八0）=0,知g（0）=0。

ixl=u\f(u)du

g(x)=J/(xf)df=&

ox(xoO)

xf(x)-jf(u)du

g'(x)=----------潤------(XH。)

A

…。X2…。2x~2

xf(x)-jf(u)du

A

limg'(x)=lim-----------%----------=A--=

XTOX->0%”25,g'（x）在X=O處連續(xù)。

立+2y=lnx

13.解:dxx

-f—tZrff—dr

)=eJ*(Je」xInxdx+C)

1.1」

=—xlnx——x+Cr

39

j(l)=-—,C=0y=-xlnx-—x

9,39

四、解答題(本大題10分)

14.解：由已知且y=2「dx+y,

將此方程關(guān)于X求導得y"=2y+y'

2

特征方程：r-r-2=0解出特征根：rt=-l,r2=2.

x

其通解為y=Cie-+C2e

c=2c

代入初始條件y(°)=y'(°)=i,得I3'23

y~—e~x+—e2x

故所求曲線方程為：33

五、解答題(本大題10分)

y-lnx0=—(x-x0)

15.解：(1)根據(jù)題意，先設(shè)切點為a。，111%。)，切線方程：A

1

V=-X

由于切線過原點，解出“。=0,從而切線方程為：。

1]

A=\(ey-ey)dy=-e-l

則平面圖形面積02

V.=-n:e2

(2)三角形繞直線x=e一周所得圓錐體體積記為匕，則3

曲線了=In*與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e一周所得旋轉(zhuǎn)體體積

為V2

1

y2

V2=-e)dy

V=V.-V=-(5e2-12e+3)

D繞直線x=e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積?226

六、證明題(本大題有2小題，每小題4分，共12分)

q1qq1

16.證明：00。。g

q1

二(1一夕)J7(九)dx-q\f(x)dx

0q

=以1一夕)/(。)一4(1一4)/&)20

故有：

^f(x)dx>q^f(x)dx

00證畢。

17.

F(x)=,0<x<

證：構(gòu)造輔助函數(shù)：o'。其滿足在[°，和上連續(xù)，在(0，萬)

上可導。F'(x)=f(x)t且歹(0)=尸⑸=0

nnn

0=J/(x)cosxJx=JcosxrfF(x)=F(x)cosx|^+jsinx?F(x)dx

由題設(shè)，有000

It

（F（x）sinxrfx=0

有;？，由積分中值定理，存在自6（0，4），使尸C）sinJ=°即

=0

綜上可知/（°）=尸/）=尸⑶=°，4e（0，力）.在區(qū)間［。，目，修，萬］上分別應(yīng)用羅

爾定理，知存在

當€（0看）和$€（4,"）,使尸'唱）=0及萬'?）=0,即/（4）=/（曷）=0.

高等數(shù)學I解答

一、單項選擇題（在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的

括號中）

（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

1.當xf時，a（x）,〃（x）都是無窮小，則當xf與時（口）不一定是

無窮小.

|。("+忸㈤22

(A)(B)a(x)+p(x)

a?(x)

(C)ln[l+?(%)-/?(%)]

(D)隊x)

(sinx)百

lim----

2.極限x—lsinoj的值是（C).

(A)1(B)e(C)ec°ta(D)*

sinx+e"*-1

xw0

/(X)=,X

3.ax=0在x=0處連續(xù)，則aD).

(A)1(B)0(C)e(D)-1

f(a+h)-f(a-2h)

”、lim--------------------=

4.設(shè)/(x)在點x=。處可導，那么2。h(A).

(A)3;⑷(B)2/⑷

r，/、-f'M

(C)f(?)(D)3

二、填空題（本大題有4小題，每小題4分，共16分）

..ln（x+a）-lntz...1

hm------------（a>0）—

5.極限7x的值是a.

6.由e"+ylnx=cos2x確定函數(shù)y（x）,則導函數(shù)y'=

2sin2x+—+yexy

___________x______

xexy4-lnx

7.直線/過點M（l，2,3）且與兩平面、+2）；-1=0,2%-3>+54=6都平行，則直

x-1_y-2_z-3

線/的方程為丁一二r一二r

8.求函數(shù)）'=2x-ln（4x）2的單調(diào)遞增區(qū)間為（—op,0）和a,+8）.

三、解答題（本大題有4小題，每小題8分，共32分）

〔.(l+x)r-e

lim---乙--------

9.計算極限1。%.

--ln(l+x)-l

..(l+x)A-e..ex-1..ln(l+x)-x

lim---------=elim----------=elim-----；----

解：XT。XXT。XI。X~2

已知：1口=3,|b|=26,ab=30,求

cos0=G?j,sin0-71-cos20=-

同W1313忸x?|=72

解:

F(x)=xe[a,b]

11.設(shè)/(x)在[a,切上連續(xù)，且?，試求出尸(X)。

XX

F(x)=x\f(t)dt-\tf(t)dt

解：a"

F'(x)="(M+VW(x)=

尸(x)=/(x)

fCOSX,

、x—~ax.

12.求，sinx

[xC°SXdx=--\xdsin-2x

解：Jsinx2J

=—xsin~xH—fsinxdx=—xsinx—cotx4-C

22J22

四、解答題（本大題有4小題，每小題8分，共32分）

2rdx

2Xy~~1

13.求忑

令—=t

x

原式=&（一了）力

得力.T

=9"2_=arcsinri?前兀

2x

v=-----

14.求函數(shù)1+x2的極值與拐點.

解：函數(shù)的定義域（—8,+8）

,2（l-x）（l+x）“-4x（3-x2）

y=（i+x2）2y=（1+蜻3

令y'=°得門=i,》2=-i

y〃⑴<0X1=1是極大值點，）'"（T）>°X2=-1是極小值點

極大值y（i）=i,極小值y（—i）=.i

令y"=°得X3=0,X4=有，X5=-6

X

(-00,-百)(-石,0)(0,兩（百,+8）

—+一+

y"

V3A/3

故拐點(-6-2),(0,0)(g,2)

1.求由曲線）,=了與V=3x-x?所圍成的平面圖形的面積.

ft?:--=3工一，，x3-12x+4x2=0,

4

x(x+6)(無-2)=0,x]=-6,x2=0,x3=2.

S=j^(^--3x+x2)Jx+^(3x-x2-^-)dx

4r3r34

32,X、|0/32XX、|2

1623j'2316m

=45+2-=47-

33

2.設(shè)拋物線)'=4—上有兩點4(-1,3),8(3,-5),在弧A8上，求一點P(x,y)

使AA8P的面積最大.

解：

A3連線方程：y+2x—1=0|AB|=4追

點P到AB的距離巨*=一，+產(chǎn)3（74x43）

A4BP的面積

.1,/T-X^+2x+3c/2cc、

S(x)—,4v5-------『----——2(—x~+2x+3)

2y/5

S，(x)=-4x+4當x=lS，(x)=O

S"(x)=—4<0

當x=1時S(x)取得極大值也是最大值

此時y=3所求點為(1,3)

另解：由于AABC的底AB-"定，故只要高最大而過C點的拋物線

的切線與AB平行時，高可達到最大值，問題轉(zhuǎn)為求C(x。，4-x；)

，使/'。0)=-2/=-5-%+]=_2,解得％=1,所求C點為(1,3)

六、證明題(本大題4分)

3.設(shè)x>0,試證e2、(l_x)<l+x

證明:設(shè)/(x)=e2，(l_x)_(l+x),x〉0

2x2

f'(x)=e(l-2x)-lff(x)=-4xe\

x>0,f"(x)<Ot因此/'*)在(o,+oo)內(nèi)遞減。

在(0,+oo)內(nèi)，/'(x)</'(0)=0，/(x)在(0,+oo)內(nèi)遞減,

在co,+oo)內(nèi),/0)</(0),即/(1_%)_(1+勸<0

亦即當x>0時,e2x(\-x)<l+x。

高等數(shù)學IA

一、單項選擇題(在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中)

(本大題有4小題，每小題4分，共16分)

4.函數(shù)

ln(x+1)1

-----x>1

x-1

x+sinx,x<0

的全體連續(xù)點的集合是()

(A)(-co,+oo)(B)(-oo,l)U(l,+oo)

(C)(-<x>,0)U(0,+oo)(D)(-oo,0)U(0,1)U(1,+oo)

X2+1

lim(----ax-h)=0

5.設(shè)…8x+1,則常數(shù)見匕的值所組成的數(shù)組(〃力)為()

(A)(1,0)(B)(0,1)(C)(1,1)(D)(1,-1)

6.設(shè)在［0,1］上/(X)二階可導且/“&)>°,則()

(A)/，(0)</，(1)</(1)-/(0)(B)/，(0)</(1)-/(0)</，(1)

，，,,

(C)/(1)</(0)</(1)-/(0)(D)/(1)-/(0)</(1)</(0)

n”

2422

A,rsinxcosx.

M=------；~dx,N=j(sin3x+cos4x)dxP=j(x2sin3x-cos4x)dx

i1+/

It

2'i-5則

()

(A)M<N<P(B)P<N<M

(C)P<M<N(D)N<M<P

二填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)

I設(shè)x〉ld(x2arctanVx-1)=()

2設(shè)］7(對辦=或113+，，則/尸")(了岫=()

x-4_y_z-5

3.直線方程2-m〃6+p,與工少平面，yoz平面都平行，

那么叫〃，〃的值各為（）

limfj）=

4.…普〃-（）

三解答題（本大題有3小題，每小題8分，共24分）

X2cos-,x>0

x

XX40試討論/（x）的可導性，并在可導處求出了'（X）

3.設(shè)函數(shù)y=I/（x）在（-8,+8）連續(xù)，在沖0時二階可導，且其導函數(shù)/0）的圖形如圖

所示，給出

/（X）的極大值點、極小值點以及曲線）'=/（X）的拐點。

四解答題（本大題有4小題，每小題9分，共36分）

ex+2dx

i.求不定積分」』2T

2.計算定積分J

x-l_y-2_z-3

3.已知直線?1232一5一4,求過直線八且平行于直線

6的平面方程。

81

2-----兀

4.過原點的拋物線y=“x及產(chǎn)0,戶1所圍成的平面圖形繞x軸一周的體積為5，確定

拋物線方程中的。，并求該拋物線繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積。

五、綜合題（本大題有2小題，每小題4分，共8分）

1.設(shè)F（x）=（xT）2/（x）,其中/*）在區(qū)間口,2］上二階可導且有/（2）=0,試證明存在

4（1<"2）使得尸（4）=0。

X

/（x）=k-2）sin2"f力（x>0）

2.。

（1）求/（X）的最大值點；

⑵證明：(2〃+2)(2〃+3)

一、單項選擇題BDBC.

二、填空題(本大題有4小題，每小題4分，共16分)

XI____

一(-/+4arctanJx-1

,dy=2'GT.

5.

JfM(x)dx=kos*+乎)dx=sin*+^y)+c

m=2,p=-6,〃w0

g(e-l)

8.

三、解答題（本大題有3小題，每小題8分，共24分）

1

lim（）

9.（8分）計算極限…。sinx-7)

1一)=1imx2-sin2x

解」野222

sinxX10xsinx

x-sinxx+sinx

二lim

A->0x3X

1-C0SX_1

=2lim2

KTO3x-3

1

x2cos-,x>0

/(x)=x

xx

10.(8分)設(shè)-°,試討論/“）的可導性，并在可導處求出

x>0,fr(x)=2xcos—+sin—

解：當XX當x<0J'(x)=l

.2,八

COS------0AC

x=0f+'(0)=lim-----------至一=0f，(0)=lim竺、=1

加TO+ArAr->o-Ax

c1?1八

x2xcos—+sm—x>0

")=XX

故在—0處不可導。〔1x<°

11.(8分)設(shè)函數(shù)y=〃x)在(fo,+oo)連續(xù)，在XHO時二階可導，且其導函數(shù)

/'(X)的圖形如圖.給出/(X)的極大值點、極小值點以及曲線y=/(x)的拐

點.

解：極大值點：x=ax=d極小值點：x=b

拐點(OJ(O)),(c,/(c))

四解答題(本大題有4小題，每小題9分，共36分)

12.(9分)求不定積分底(》-1)一.

f(—+——-~5+——)dx

解：原式=JX(x—l)X-1

41n|x|31n|x-l|+c

=X-1

Ji|Inx\dx

13.(9分)計算定積分5

f(-lnx)rfx+fInxdx

解：原式=力

=[一(xInx-x)]'i+[xlnx-x]；

2二

e

x_y_z-1x-1y-2z-3

14.(9分)已知直線「123,2.254，求過直線6且平行于

直線/2的平面方程.

解:五=1x&=(1,2,3)x(2,5,4)=(—7,2,1)

取直線人上一點MI(OQ1)于是所求平面方程為

-7x+2y+(z-l)=0

15.(9分)過原點的拋物線>=以2(。>0)及尸0,尸1所圍成的平面圖形繞X

81

---71

軸一周的體積為5?求〃，并求該拋物線繞〉軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積.

)工512

V=(ax2)2dx-7ia1—_71a

解：oS05

7ta1_8Lr

由已知得55故。=9拋物線為：y=9x2

Ly41O

V=x-9x2dx=18%—--n

繞y軸一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積：。4o2

五綜合題(每小題4分，共8分)

2

16.(4分)設(shè)F(x)=(x-l)f(x)f其中f(x)在區(qū)間口,2］上二階可導且有"2)=°.

證明：存在4(1<4<2)使得尸?=0。

證明：由“X)在口,2］上二階可導,故尸㈤在口,2］二階可導，因"2)=0,故口⑴=F

⑵=0

在［1,2］上用羅爾定理，至少有一點項)，(1</<2)使尸'(4)=°

尸(x)=2(x-l)f(x)+(x-l)2fXx)得F'(l)=0

在［1,x0］上對尸(X)用羅爾定理，至少有點。(1<4<x。<2)尸"修)=0

17.(4分).

解：⑴x=l為/(X)的最大值點。

22

f'(x)=(x-x)sin"xt當0<x<l,/'(x)=('一》2閭心x>0；當x>l,

,22

f(x)=(x-x)sin"x<0o"1)為極大值，也為最大值。

22n

(2)/(%)=￡a-r)sin^</(l)

/(1)=f(/-z2)sin2,'/Jr<f(t-t2)t2"dt=-------------

小小(2〃+2)(2〃+3)

高等數(shù)學上B(07)解答

一、填空題：(共24分，每小題4分)

dy_

222

］y=sin［sin(x)］,貝ijdx~2xcos［sin(x)］cosxo

?2dx=兀

2.已矢UL兀］+/,&=I

611nx|dx=2--

3.；e。

4.3'=靖過原點的切線方程為y=ex

.'(In。

5.已知〃x)=e',貝dF^=x+c。

_39

6.a=2,h=2

時，點（L3）是曲線）"辦3+法2的拐點。

二、計算下列各題：（共36分，每小題6分）

1.求y=(sinx)w的導數(shù)。

解：y，=(ednsinxy=xInsinx+cotxcosx)

sinInxdx

2.

先星.|sinInxdx=xsinInx-jcosInxdx

sinInx-xcosIn%-sinInxdx

=；(xsinIn元-xcosInx)+C

i^Ldx

2

3.求dx-10

(4±Ljx=l(華口dx+[Edx

解：J&_]2J&_]J&_]

=J.2_]+5In|x+J/_]|+C

〃/、f/，x>0

/(x)={

4.設(shè)I*+1,x<°在點x=°處可導,則攵為何值?

￡（。）=既『曾一

解:

/：(0)=lim—=1

XTO+x

k=1

。0222222

5.求極限-V?+lVn+2y/n+n0

解：

▼J〃2+『荷+226+〃2,

=ln(x+Vl+x2)Io=ln(l+V2)

x+2y-z+l=0［2x-y+z=0

<V

6.求過點(2,2,0)且與兩直線5->+7-1=°和［x-y+z=O平行的平面

方程。

解：兩直線的方向向量分別為

-Si=(1,2,-1)x(1,-1,1)=(1,-2,-3),s2=(2,-1,1)x(1,-1,1)=(0,-1,-1),平面的法向量

平面方程為x-y+z=。。

三、解答下列各題：(共28分，每小題7分)

X=Rcost

<a)

1.設(shè)〔y=Hsinf,求必。

--=(-cot/)；------=------T—

dx2-RsintRsin，

2.求19—D力在［T2］上的最大值和最小值。

解：尸(x)-x(x-l)=0,x=0,x=1

尸(0)=0,尸(1)=])(，-1)力=一看，

"-1)=1)力=—j,儀2)=—1)力=1

勾6勾J

2_5

最大值為3,最小值為6o

3.設(shè)y=y(x)由方程x(l+y2)Tn(/+2y)=0確定，求y'(0)。

解.：方程》(1+/)-ln(f+2y)=0兩邊同時對x求導

(1+川+2盯了一濘要=0

x+2y

x=0,y=!

將2代入上式

y,(o)=|

O

22

4.求由丁=》與＞圍成的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。

解：y=M(y一力力

3

=—71

10

四、證明題：(共12分，每小題6分)

1.證明過雙曲線q=1任何一點之切線與°x,°v二個坐標軸所圍成的三角

形的面積為常數(shù)。

證明：雙曲線盯=1上任何一點(x,y)的切線方程為

y-y=---%)

X

(0,y+-),(2x,0)

切線與x軸、>軸的交點為/八

/1、c

八〃八"s=x(y+—)=2

故切線與°x,0y二個坐標軸所圍成的三角形的面積為/

2.設(shè)函數(shù)/(x)與g(x)在閉區(qū)間［凡切上連續(xù)，證明：至少存在一點4使得

/4)[g(x)dx=g(4)￡f(x)dx

、■日人尸(%)=fg(x)dxff(x)dx

l止明：令Jx?*/

尸(幻=/(。)=°,由Roiie定理，存在一點4e[a,封，使尸《)=0,即

/4)[g(x)dx=g(J)j/(x)dx

高等數(shù)學上解答(07)

一、單項選擇題(每小題4分，共16分)

1./(x)=xcosxe-'s,nx|(-00<x<+oo)是卜

(A)奇函數(shù)；(B)周期函數(shù)；(C)有界函數(shù);(D)單調(diào)函數(shù)

2.當x-On寸，〃x)=(l-cosx)ln(l+2x2)與上是同階無窮小量。

(A)/；(B)/；(C)/；(D)?

卜-2y+z=0

3.直線1x+y-2z=°與平面x+y+z=l的位置關(guān)系是c.

(A)直線在平面內(nèi)；(B)平行；(C)垂直；(D)相交但不垂

直。

4.設(shè)有三非零向量。，及c。若a*=0,axc=O,則］工=A。

(A)0；(B)-1；(C)1；(D)3

二、填空題(每小題4分，共16分)

1.曲線卜印11%上一點月的切線經(jīng)過原點(0,0),點2的坐標為(e』)。

3.方程/+6盯+，-1=°確定隱函數(shù)y=y(x),貝u'(0)=Q。

4.曲線y=f、x=l與X軸所圍圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積為

71

3。

三、解下列各題(每小題6分，共30分)

t-s.m2x,

,a、/(x)=hm(--------).

1.已知fst，求J(x)。

2

z.、A—sinx,-si/X

f(zx)=vhm(--------)'=e

解：…t

f'(x)=-e-sin2xsin2x

f[ln(lnx)+]dx

2.求不定積分」Inxo

解j[ln(lnx)+=Jln(lnx)dx+^-^—dx

=A-ln(lnx)-[---dx-\-[-^—dx

JinxJinx

=xln(lnx)+C

r12/sinxr7

Ix(----x~)dx

v-+4A/1—

3.計算定積分Ll+x0

解：1產(chǎn)“降+口7)公=1?/"7?)公+11產(chǎn)2瀉&

22

=j((xyj\-x)dx+0

x=sin/2L

-22sin2rcos2tdt

_71

~~8

r1+sinx,

--------ax

4.求不定積分Jl+cosx0

rl+sinx,r1.rsinx.

-dx=--------dx+--------dx

解：J1+cosxJ1+cosxJ1+cosx

1r2冗，rdcosx

=—sec=dx--------

2J2J1+cosx

X

=tan-In11+cosx\+C

5.已知:Qnx)=x,且/(D=e+1,求/(x)。

解：令lnx=f,/'")="

〃x)="+C

/⑴=e+l,〃x)=e*+l

(8分)設(shè)/(x)對任意X有/(x+1)=2/(x),且/⑼=—5。求廣⑴。

四、

解:由/(x+l)=2/(x),/(I)=2/(0)

/⑴=lim/⑴一/⑴

x->1x—1

x=/+l

=lim

i0

ITOf

=2/(0)=-1

五、(8分)證明：當x>l時，，-l)lnx〉(x-Ip。

證明：只需證明*+l)lnx>xT。

令f(x)=(x+l)lnx-x+l

fr(x)=lnx+—>0，/、、

X,/(x)在口ri，+°°)單調(diào)遞增。

.(1)=0,當x>l時，/(x)>0o即(x2-i)]nx>(x-If。

六、(8分)

已知-產(chǎn)),(叫/〃*)連續(xù)，且當x-0時，尸(x)與爐

為等價無窮小量。求廣(°)。

..『X),

lim—7^=1

解：1°X

/(X)=^x2-t2)f"(t)dt=x2[f\t}dt-

22n

F'(x)=2x[}f\t)dt+xf\x)-xf(x)=2x[f'Wt

F(x)2x^f"(t)dt

lim———=hm——：----=2f(0)

A-->0x21。x2

/"(0)=；

七、(8分)

設(shè)有曲線>=4x2(04x41)和直線y=c(。<c<4)。記它們與)，軸所圍

圖形的面積為4,它們與直線》=1所圍圖形的面積為42。問c為何值

時，可使從=4+42最??？并求出A的最小值。

A=A+4=

解：

A<c)=Vc-1

令A'(c)=C-l=O,得c=l。

A〃(l)=1>0

2,c=l為最小值點。

minA==1

八、設(shè)/(X)在(。力)內(nèi)的點X。處取得最大值，且"〃(x)|4K(a<x<b)o

證明："'⑷什"'⑹區(qū)K(b-a)

證明：八%)=°

在［a，x0］對/'(x)應(yīng)用拉格朗日定理

r(x())-r(a)=/"&)(xo-a)(a<$<x°)

f\d)=1m)(f),\f'(a)\<K(x0-a)

在K，們對/(x)應(yīng)用拉格朗日定理

rs)-r(x°)=_r?)(〃-%)(/<。2<b)

f'(b)=/"(/do),")區(qū)K(f)

一、單項選擇題(在每個小題四個備選答案中選出一個正確答案，填在題末的括號中)

(本大題分5小題，每小題2分，共10分)

1、

設(shè)/=(―----dx,則/=

Je'+1

(A)ln(e'-1)+c(fi)ln(eA+l)+c;

(C)21n(e'+1)—x+c;

(D)x-21n(ev+l)+c.