高中數(shù)學(xué)北師大版必修三講義復(fù)習(xí)課（三）概率

復(fù)習(xí)課(三)概率古典概型此類問(wèn)題主要考查古典概型的求法，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，且常與統(tǒng)計(jì)等問(wèn)題綜合考查．eq\a\vs4\al([考點(diǎn)精要])1．互斥大事與對(duì)立大事的概率(1)互斥大事是不行能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)大事；對(duì)立大事除要求這兩個(gè)大事不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者必需有一個(gè)發(fā)生．因此對(duì)立大事肯定是互斥大事，但互斥大事不肯定是對(duì)立大事，對(duì)立大事是互斥大事的特別狀況．(2)當(dāng)大事A與B互斥時(shí)，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，當(dāng)大事A與B對(duì)立時(shí)，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．(3)求簡(jiǎn)單大事的概率通常有兩種方法：一是將所求大事轉(zhuǎn)化成彼此互斥的大事的和；二是先求其對(duì)立大事的概率，然后再應(yīng)用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求解．2．古典概型的求法對(duì)于古典概型概率的計(jì)算，關(guān)鍵是分清根本領(lǐng)件的總數(shù)n與大事A包含的根本領(lǐng)件的個(gè)數(shù)m，有時(shí)需用列舉法把根本領(lǐng)件一一列舉出來(lái)，再利用公式P(A)＝eq\f(m,n)求出大事發(fā)生的概率，這是一個(gè)形象、直觀的好方法，但列舉時(shí)必需依據(jù)某種挨次，以保證不重復(fù)、不遺漏．[典例]柜子里有3雙不同的鞋，隨機(jī)地取出2只，試求以下大事的概率：(1)取出的鞋不成雙；(2)取出的鞋都是左腳的；(3)取出的鞋都是同一只腳的；(4)取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但不成雙．[解]用A1，A2；B1，B2；C1，C2分別表示3雙不同的鞋，其中下標(biāo)為奇數(shù)表示左腳，下標(biāo)為偶數(shù)表示右腳，那么從6只鞋中取2只全部的取法有：A1A2，A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1B2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，C1C2，共15種．(1)取出的鞋不成雙的全部取法有：A1B1，A1B2，A1C1，A1C2，A2B1，A2B2，A2C1，A2C2，B1C1，B1C2，B2C1，B2C2，共12種．其概率為P1＝eq\f(12,15)＝eq\f(4,5).(2)取出的鞋都是左腳的全部取法有：A1B1，B1C1，A1C1，共3種．其概率為P2＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(3)取出的鞋都是同一只腳的全部取法有：A1B1，B1C1，A1C1，A2B2，A2C2，B2C2，共6種．其概率為P3＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).(4)取出的鞋一只左腳的，一只右腳的但不成雙的全部取法有：A1B2，A1C2，A2B1，A2C1，B1C2，B2C1，共6種．其概率為P4＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).[類題通法]在古典概型中，計(jì)算概率的關(guān)鍵是精確?????找到根本領(lǐng)件的數(shù)目，這就需要我們能夠嫻熟運(yùn)用圖表和樹(shù)狀圖，把根本領(lǐng)件一一列出．而有很多試驗(yàn)，它們的可能結(jié)果特別多，以至于我們不行能將全部結(jié)果全部列出，這時(shí)我們不妨找找其規(guī)律，算出根本領(lǐng)件的數(shù)目．eq\a\vs4\al([題組訓(xùn)練])1．假如3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長(zhǎng)，那么稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，那么這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()A.eq\f(3,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(1,10) D.eq\f(1,20)解析：選C從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為eq\f(1,10).應(yīng)選C.2．某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參與書(shū)法社團(tuán)和演講社團(tuán)的狀況，數(shù)據(jù)如下表：(單位：人)參與書(shū)法社團(tuán)未參與書(shū)法社團(tuán)參與演講社團(tuán)85未參與演講社團(tuán)230(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參與上述一個(gè)社團(tuán)的概率；(2)在既參與書(shū)法社團(tuán)又參與演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)A1，A2，A3，A4，A5,3名女同學(xué)B1，B2，B3.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求A1被選中且B1未被選中的概率．解：(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參與書(shū)法社團(tuán)又未參與演講社團(tuán)的有30人，故至少參與上述一個(gè)社團(tuán)的共有45－30＝15(人)，所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參與上述一個(gè)社團(tuán)的概率為P＝eq\f(15,45)＝eq\f(1,3).(2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，其一切可能的結(jié)果組成的根本領(lǐng)件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15個(gè)．依據(jù)題意，這些根本領(lǐng)件的消失是等可能的．大事“A1被選中且B1未被選中〞所包含的根本領(lǐng)件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2個(gè)．因此A1被選中且B1未被選中的概率為P＝eq\f(2,15).幾何概型此類問(wèn)題多以選擇題、填空題的形式考查幾何概型、概率的求法，屬于低檔題．eq\a\vs4\al([考點(diǎn)精要])1．幾何概型的根本特征：根本領(lǐng)件的無(wú)限性、每個(gè)大事發(fā)生的等可能性．2．幾何概型的概率計(jì)算公式：P(A)＝eq\f(構(gòu)成大事A的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積,試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積).[典例](1)在半徑為1的圓上隨機(jī)地取兩點(diǎn)，連成一條弦，那么其長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是多少？(2)在半徑為1的圓內(nèi)，過(guò)一條直徑上任意一點(diǎn)作垂直于直徑的弦，求弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率．(3)以半徑為1的圓內(nèi)任一點(diǎn)為中點(diǎn)作弦，求弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率．[解](1)記大事A＝{弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)}，取圓內(nèi)接等邊△BCD的頂點(diǎn)B為弦的一個(gè)端點(diǎn)，當(dāng)另一點(diǎn)在劣弧CD上時(shí)，|BE|＞|BC|，而劣弧CD的弧長(zhǎng)是圓周長(zhǎng)的eq\f(1,3)，所以由幾何概率公式得P(A)＝eq\f(1,3).(2)記大事A＝{弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)}，如下圖，不妨在過(guò)等邊△BCD的頂點(diǎn)B的直徑BE上任取一點(diǎn)作垂直于直徑的弦，明顯當(dāng)弦為CD時(shí)就是邊長(zhǎng)，弦長(zhǎng)大于|CD|長(zhǎng)的條件是圓心O到弦的距離小于|OF|，由幾何概率公式得P(A)＝eq\f(\f(1,2)×2,2)＝eq\f(1,2).即弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是eq\f(1,2).(3)記大事A＝{弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)}，如下圖，作等邊三角形的內(nèi)切圓，當(dāng)以小圓上任一點(diǎn)為切點(diǎn)作弦時(shí)，弦長(zhǎng)等于等邊三角形的邊長(zhǎng)，所以弦長(zhǎng)超過(guò)內(nèi)接三角形邊長(zhǎng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)弦的中點(diǎn)在小圓內(nèi)，小圓半徑為eq\f(1,2)，所以由幾何概率公式得P(A)＝eq\f(π×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2,π×12)＝eq\f(1,4).即弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)的概率是eq\f(1,4).[類題通法]三個(gè)題目都是在圓內(nèi)任意作弦使得弦長(zhǎng)超過(guò)圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)，但三個(gè)題目中由于“等可能〞的含義不同，得到的概率不同．因而在解決幾何概率問(wèn)題時(shí)，必需找準(zhǔn)觀看角度，明確隨機(jī)選取的含義，推斷好根本領(lǐng)件的等可能性．eq\a\vs4\al([題組訓(xùn)練])1．在區(qū)間[0,2]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，那么大事“－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1〞發(fā)生的概率為()A.eq\f(3,4) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3) D.eq\f(1,4)解析：選A不等式－1≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤1可化為logeq\f(1,2)2≤logeq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))≤logeq\f(1,2)eq\f(1,2)，即eq\f(1,2)≤x＋eq\f(1,2)≤2，解得0≤x≤eq\f(3,2)，故由幾何概型的概率公式得P＝eq\f(\f(3,2)－0,2－0)＝eq\f(3,4).2.如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0))的圖象上.假設(shè)在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，那么此點(diǎn)取自陰影局部的概率等于()A.eq\f(1,6) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,8) D.eq\f(1,2)解析：選B由于f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,－\f(1,2)x＋1，x<0，))B點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以C點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，D點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,2)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(－2,0)，故矩形ABCD的面積為2×3＝6，陰影局部的面積為eq\f(1,2)×3×1＝eq\f(3,2)，故P＝eq\f(\f(3,2),6)＝eq\f(1,4).3．在區(qū)間[0,1]上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x，y，記p1為大事“x＋y≥eq\f(1,2)〞的概率，p2為大事“|x－y|≤eq\f(1,2)〞的概率，p3為大事“xy≤eq\f(1,2)〞的概率，那