把握數學本質使數學教學更有效

把握數學本質使數學教學更有效1第一頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六從“數學味”談起數學課應該有數學味，你同意嗎？問題：

1.為什么要有數學味？（Why）

2.數學味指的是什么？（What）

3.怎樣的課才算是有數學味？（評價）怎樣才能使數學課有數學味？（策略）（How）2第二頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六兩則案例3第三頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六案例一：“坑坑洼洼的怎么‘補’??？”（《把握學科本質是一切教學法的根》2007.08）情境一：王奶奶家門前有一塊形狀如圖的地，如何求這塊地的面積呢?意圖：通過引導得出方法，滲透“轉化”思想。生：這是一塊地，您怎么移動、怎么“補”啊?師：這不是真的地，我們現(xiàn)在是在做數學題。該學生不再“找茬”。4第四頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六案例一情境二：李奶奶家門前也有一塊地，是這個形狀，怎么求它的面積呢?教師的意圖是將該“地”近似看成平行四邊形，從而引出本課內容。該生：老師，這塊“地”坑坑洼洼的，您怎么補啊?師：不是說了嗎，這不是真的地，我們是在做“數學題”。5第五頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六

類似例子：地球自轉：“坐地日行八萬里”

1667km/hrou（即繞著中心快速地轉圈）問題：這兩個“傻”問題的實質是什么？第一次：這是一塊地，怎么移動、怎么“補”啊?

學生沒有弄清“什么是數學”

“什么是運用數學解決實際問題”。（橫向數學化）6第六頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六第二次：“地”的邊界是“坑坑洼洼的”，用哪個“凸”補哪個“凹”呢?

樸素而又深刻:求面積，用面積單位鋪——面積單位×個數——m2大，換成dm2；……——不規(guī)則圖形“面積”問題——積分近似——整體思想；精確——積分思想這個案例給我們的啟示是什么？7第七頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六啟示1.弄清學生問題的實質。價值判斷——決策（機制）。例：投影屏幕與電腦的體積注意：越是簡單樸素的問題往往越蘊涵著數學本質的思想方法。2.提高自身的數學素養(yǎng)，增強判斷力。3.追問：什么是“數學化”？——研讀《作為教育任務的數學》（弗賴登塔爾著）

“積分思想”到底指什么？——《高等數學》8第八頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六案例二：減法的初步認識1.創(chuàng)設情境，生發(fā)現(xiàn)信息并提出問題：停車場原來有5輛小汽車，開走了2輛，還剩幾輛？（學生順利列出算式）2.要求：利用學具，自己動手創(chuàng)造一個用減法解決的問題，并列式解決?！居H歷減法意義的感知過程，并板書各種算式，為后續(xù)觀察、比較、總結作準備】9第九頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六3.交流匯報：

女孩：“我本來拿了5個小水果，送給同桌2個，我還剩幾個水果？我列的算式是5-2=3?！?/p>

男孩：“怎么還是5-2=3?。恐貜土?！”女孩辯解：“沒重復，這次不是汽車，是水果?！?/p>

男孩：“反正也是5-2=3，還說不重復？”

大部分學生同意男孩的看法，但也覺得女孩說得有道理，辯論不出結果?！緦@樣的“沖突”，你會怎么處理？】10第十頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六師：“你能再想一件‘事情’，也用5-2=3來表示嗎？”孩子們編出很多情境，如教室有5個小朋友……草地上有5朵小花……有5支鉛筆……剛發(fā)完言的一個學生：“這樣的事情我還能說好多呢，都可以用5-2=3表示，5-2=3的本領真大呀！”【這樣處理是不是很好？該結束了吧？】11第十一頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六師（捅破“窗戶紙”）：有的事情發(fā)生在停車場里，有的事情發(fā)生在教室里。為什么完全不一樣的事，卻能用同一個算式來表示呢？學生們終于發(fā)現(xiàn)，雖然事件不一樣，但同一個算式所表示的意思都是一樣的。教師趁熱打鐵，又問：“3+6=9可以表示的事情多不多？那就一個數‘8’都可以表示什么？”學生脫口而出：“那太多了！”教師又問：“你現(xiàn)在有什么想法？”生：“我覺得‘數’和‘算式’都太神奇了，能表示那么多不同的事物！”12第十二頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六啟示1.設計有過程的教學。經歷、體驗——經驗。減法意義的感知。2.提出好的問題。（張齊華：半徑有無數條嗎？你能用一個數對表示一排嗎？）3.該出手時就出手。（決策：忽略；肯定或否定；延伸）（1）“重復了，咱就不寫了?！保?）“你能再想一件事情……”（更多例證）

“有的事情發(fā)生在停車場里，有的……”

（抽象）怎樣出手？不僅取決于教育觀念，更取決于教師的數學素養(yǎng)。（要不要出定義、法則？）追問：數學素養(yǎng)包括哪些方面？數學本質？13第十三頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六“好（有價值）的問題”的標準1、具有較強的探索性。（力所能及）2、具有一定的啟示意義。（有利于學生掌握相關的數學知識和思想方法）3、具有多種解法甚至多種答案。4、具有一定的發(fā)展余地。5、具有一定的現(xiàn)實意義或與實際生活相聯(lián)系。6、有利于合作學習。7、問題的表述應簡單易懂。14第十四頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六什么是數學的本質？什么是“數學味”？怎樣的課才算是有數學味？怎樣使數學課有數學味？——體現(xiàn)數學的特點，突出數學的本質數學的特點：高度的抽象性（減法）嚴密的邏輯性（算理）應用的廣泛性15第十五頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六課標：數學是人們對客觀世界定性把握和定量刻畫、逐漸抽象概括、形成方法和理論，并進行廣泛應用的過程。問題情境——建立模型——解釋、應用與拓展（數學：模式的科學）（數學化）修訂版課標：數學是研究現(xiàn)實世界中數量關系和空間形式（量性特征）的科學。16第十六頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六資料：碳排放權交易

2008年9月，（慈溪風電場）首期33臺風能發(fā)電機組全部并網發(fā)電，年發(fā)電量約１億千瓦時，可供2萬至3萬戶居民家庭用電

……一年能“騰”出9萬噸二氧化碳減排指標。按目前國際市場上每噸“指標”約10美元計算，慈溪風電場每年的指標可換90萬美元，約600萬元人民幣。17第十七頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六數學學科的本質是指——數學基本概念數學思想方法數學特有的思維方式數學美數學精神18第十八頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六（一）對數學基本概念的理解小學的基本概念主要有：十進位值制、單位(份)、用字母表示數、四則運算；位置、變換、平面圖形；統(tǒng)計觀念?！袄斫狻笔侵噶私猓?/p>

1.為什么要學習這一概念？其現(xiàn)實原型是什么？

2.這一概念特有的數學內涵是什么？

3.以此概念為核心能否構建一個“概念網絡圖”？19第十九頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六數學定義≠數學概念。（經歷過程，感知、體驗）經歷不同認知過程，才能達到不同理解水平：模仿與辨別——事實性水平；歸納與抽象——概念性水平；綜合與應用——方法性水平；猜想與創(chuàng)造——主體性水平。例：1.牛獻禮《教學要撓到學生的“癢”處》（《小學教學》數學版2010.04）

2.張齊華《確定位置》（字母表示數）20第二十頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六（二）對數學思想方法的把握小學階段的重要思想方法：分類思想、轉化(化歸)思想、數形結合思想、一一對應思想、函數思想、方程思想、集合思想、符號化思想、類比法、不完全歸納法等。如何落實——在學習數學概念和解決問題中?；瘹w：物理學家和數學家的對話二年級“邏輯”一課21第二十一頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六

（三）對數學特有的思維方式的感悟主要有：比較、類比、抽象、概括、猜想、驗證。其中“抽象”是數學思維方式的核心。（鄭毓信《走進數學思維》2008.5-11）數學是思維的體操，是開啟智慧的鑰匙。（四）對數學美的鑒賞有助于培養(yǎng)學生對待數學學習的積極態(tài)度。

數學的基本原則：求真、求簡、求美。數學美是指：簡潔、對稱、奇異。其中‘‘對稱”是數學美的核心。（三角形內角和；e-2πi=1）22第二十二頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六（五）對數學精神的追求理性精神(如對‘‘公理化思想”的信奉)

探究精神(好奇心為基礎，對理性的不懈追求)

它們是支撐數學家研究數學進而研究世界的動力，也是學生學習數學、研究世界最永恒、最有效的動力。

三角形內角和：測量、剪拼、折疊——證明“歐氏幾何”——羅巴切夫斯基幾何——黎曼幾何勾股定理——費爾馬大定理（1637年提出）（英籍數學家懷爾斯1995年證得。歷時300年）四色定理：1852提出，1976年用計算機證得。哥德巴赫猜想和角谷猜想（2009.11）23第二十三頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六三、怎樣把握數學本質？（一）有關策略1.主動進修。（提高自身專業(yè)素養(yǎng)）（1）專門進修。學習數學專業(yè)課程。（2）業(yè)余進修。如：數學專業(yè)書籍，報刊。2.做中學。（積累經驗）（1）向學生學習。把握（研究）學生的問題和錯誤的本質。24第二十四頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六（2）在追問把握本質。（要有長時間思考一個問題的習慣）（開放，不放過有價值<?>的問題。如，這些問題你會解答嗎？）（3）與大師對話。（劉加霞《小學數學課堂的有效教學》書；張奠宙《小學數學研究》書；鄭毓信《數學思維與小學數學》書；張齊華《平均數》（2009.05）與吳正憲《平均數》

與張奠宙先生的討論：1（0.9）

2（分數）25第二十五頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六（二）案例1.“循環(huán)小數”

2008.112.電話號碼與數（賁友林）2009.10期3.兩個數與三個數的最小公倍數（《數學教師亟需豐富內涵》2007.01）4.點點統(tǒng)計圖（《一節(jié)統(tǒng)計課留給我們的思考》2007.04）5.煩人的“端點”26第二十六頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六6.朱樂平：《要求長方形面積，必須知道長和寬嗎——“充分條件”……》2006.01；《練習課，原來還可以這樣上》2009.097.數學美：唐彩斌《數學原來可以那么美》2008.7-8；蔣明玉《數形結合探究規(guī)律》2008.03；二進制與計算機（2008.02）角谷猜想（數學黑洞）2009.11；歌德巴赫猜想；無理數——第一次數學危機；九宮圖（2008.7-8，9）、四色定理27第二十七頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六

8.運算定律與歸納法不完全歸納法和數學歸納法，遞歸。9.綜合與應用：“打電話問題”

10.專家（劉加霞）評課：

“100以內數的認識”2009.09；

“百數表”2009.10；

……28第二十八頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六總結創(chuàng)設好的情境（數學問題）（驕傲的“9”）提出有價值的問題設計有過程的教學（在過程中體驗、感悟）把握（研究）學生的問題和錯誤的本質該出手時就出手在追問中把握本質（養(yǎng)成長時間思考一個問題的習慣，如0.999……=1？）提高自身的數學素養(yǎng)（治本之策）29第二十九頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六寫作時應注意：1、盡可能圍繞一個（?。﹩栴}來寫，將其說清楚、講透徹。2、對案例做出針對性的分析，不能兩張皮。對于問題，一般應提出對策。3、不求寫得很長（一般1000~4000字），而是求深度。4、文體不限，盡可能“萬變”（先敘后議、先議后敘、夾敘夾議等）。30第三十頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六投稿時應注意：1、有針對性地投稿。如針對雜志，《小學教學》雜志喜歡案例與反思類的文章；也可針對欄目投稿，如“討論吧”。2、時間性強（如涉及教學進度）的文章。一般提前3~4個月投稿。3、注意反思和交流。與同事、有經驗的作者、編輯等交流。4、千萬不要同時一稿多投。（一般3個月后未接到通知或未見發(fā)表可另投）31第三十一頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六（450004）鄭州市順河路11號

《小學教學》編輯部殷現(xiàn)賓電話-mail：yinxianbin@126.com歡迎投稿和訂閱（語文版36-37，數學版36-307）謝謝！32第三十二頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六33第三十三頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六34第三十四頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六35第三十五頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六36第三十六頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六2010.1話題：數學課堂是否應該關注非數學問題（2009.09）“有余數除法”課上的一道題：

“我們班50名同學去劃船，一條船只能坐9人，那么我們需要租幾條船？”學生列式：50÷9=5（條）……5（人）剩下的5人要不要再租1條船？學生爭論不休：生1：不應該再租1條船，那樣太浪費了，每條船再多坐1人就行了。（許多學生表示贊同）37第三十七頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六生2：老師，現(xiàn)在什么運輸工具不超載呀？不超載哪能掙錢？生3：我爸是司機，他開的是載重5噸的車子，每次都裝近10噸的貨，一次事故都沒有發(fā)生過。生4：（笑嘻嘻地）老師，有一次我過河趕集，船上已經很擠了，我看到你還是硬擠上去了。不是也順利過河了嗎？（全班學生哄堂大笑）您在課堂上遇到過這樣的情況嗎？對于這樣的非數學問題，您認為該怎么處理？

【返回】38第三十八頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六循環(huán)小數（2008.11）它決不是從“從前有座山…”得來的。這位老師：讓做題最慢和最快的兩生比賽，分別做3÷8和50÷12。結果“不公平”，從而說理由、探索……還有：讓學生計算1÷9、2÷9后，老師說：“好，下面不算了，咱們猜”

“3÷9=？”

……

“8÷9=？”“0.888…”“9÷9=？”“0.999…”剛說完又覺得不對勁，“1！”“1！”地喊起來……

【返回】39第三十九頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六《新課程下，數學教師亟需提高內涵》

（浙江省紹興市馬山鎮(zhèn)袍江小學屠芝娟）（2007.01）背景：教學“求三個數的最小公倍數”，學生都認為跟兩個數的情況差不多。于是老師出三個數12、16、18讓學生試做。結果是：2×6×8×9=864。接著，學生與書上對照后提出：“為什么在短除法中還要除以兩個數的公約數？”情急之下：“你們用寫倍數的方法找找看。”……40第四十頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六探尋：學生期盼的目光迫使我再次翻開自考后塵封已久的《數論簡明教程》。定理1：[a，b]=ab/(a,b)；定理2：若[a1,a2]=m2，[m2,a3]=m3，

…，[mn-1,an]=mn，則[a1,a2,…,an]=mn。接著，自己琢磨，然后推出：m3=[a1a2a3(a1,a2,a3)]/[(a1,a2)(a1,a3)(a2,a3)]重新設計：……

感悟：……41第四十一頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六我審稿時評價：“心靈的震撼”——

1.教學開放；

2.敬業(yè)；

3.文章好；

4.農村教師就能達到這樣的水平，厲害！【返回】42第四十二頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六“數字與信息”導入（賁友林）1.屏幕出示：師：認識嗎？看到“1”，你想到了什么？生：1個蘋果。生：我想到比賽第1名。生：我想到了1張桌子。師：1個蘋果，1張桌子，這里的1表示什么？生：數量。（板書：數量。）43第四十三頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六師：大家的發(fā)言比較積極，感謝第1位發(fā)言的同學！剛才有同學說，比賽第1名，這里“第1名”中的“1”，以及“第1位”中的“1”，表示什么？生：次序、順序。（師板書：順序）2.繼續(xù)出示：師：這是10，它可以表示數量嗎？可以表示順序嗎？舉例說說。生：10個梨，10表示數量。生：第10名，10表示順序。44第四十四頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六3.繼續(xù)出示：師：你又想到了什么？生：110個蘋果，數量；第110名，順序。生：我想到了警車“110”。（報警電話）師：110是一個數，換個角度看，1、1、0這三個數字的組合，傳遞給我們的信息是一個特殊的電話號碼。通常怎么讀？它還表示數量嗎？順序？這是把三個數字進行編碼。（板書：編碼）師：數字組成數，可以用來表示數量、順序，表達信息；數字通過編碼，也表達了一定的信息。

【返回1】

【返回2】45第四十五頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六打電話問題（綜合應用）一、對教材的思考與困惑（打電話1、2）教材的安排：直接給出“老師打電話通知15人，每分鐘通知1人，幫助老師設計一個打電話的方案”。提示：“一個一個通知——分組通知——更快的方法(畫樹狀圖)——發(fā)現(xiàn)規(guī)律”。最后解決“照這樣通知50人最少花多少時間”的問題。我的困惑：學生想到“一個一個通知”沒問題，但能否想到“分組通知”呢?“分組通知”的情況有很多，如何引到畫“樹狀圖”來思考呢?讓五年級學生發(fā)現(xiàn)“2的n次方減1”的規(guī)律已經很困難，又如何逆向思考解決“通知50人”的問題呢？46第四十六頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六47第四十七頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六48第四十八頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六我的選擇有兩個：一是完全放開，即直接把“通知15人”的問題拋給學生。大膽放手，讓學生用大量的時間進行小組合作，探究出“打電話”的各種各樣的方案。在此基礎上再歸納到“最省時方案”上。二是注重用數學思想方法解決問題的指導。即引導學生由“1分鐘最多通知幾人”這個最簡單、特殊的情況入手進行分析，按照一定的順序進而分析2分鐘、3分鐘最多通知幾人……如此逐步進行。49第四十九頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六二、教學前測目的：考查教學內容的難易程度以及學生對運用“畫圖”方法思考問題的情況。

(1)老師直接敘述問題：一個合唱隊共有15人，周末接到一個緊急演出的任務，老師需要盡快通知到每一個隊員。如果用打電話的方式，每分鐘通知1人，最少用多長時間通知所有隊員?

全班學生馬上反應：15分鐘，沒有異議出現(xiàn)。分析：看來學生忽略了問題中的“最少”。(2)老師停了停，追問：“都認為是15分鐘嗎?”

有學生舉起手來，他們認為先接到通知的可以通知下一名同學，這樣節(jié)省時間。50第五十頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六(3)老師采用打電話的方式，每分鐘通知1人，2分鐘最多通知多少人?試著把你的想法用最簡潔、最清晰明了的方式表示在數學紙上。A．表示形式（共41人）用文字敘述思路的（6人）；畫“小人”等圖示表示的（3人）；寫“師、生”等漢字圖示表示的（25人）；寫字母圖示表示的（1人）；畫符號圖示表示的（2人）；其他表示方法（4人）。分析：在老師的提示下，大多數學生能用畫圖的方式表達。但多數學生不會用簡潔的符號進行畫圖，看來用畫“樹狀圖”的方式思考還需指導。51第五十一頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六B．表示結果認為最多通知2人的（1人）；認為最多通知3人的（35人）；認為最多通知4人的（2人）；思路不清的（3人）。分析：對于“2分鐘最多通知多少人”這樣較簡單的問題在前面的提示(先接到通知的可以通知下一名同學)下，大部分學生能采用最省時方案，但仍有學生不會采用最省時方案。52第五十二頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六三、教學過程（一）初步探究，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)

(出示問題)一個合唱隊共有15人，周末接到一個緊急演出的任務，老師需要盡快通知到每一個隊員。如果采用打電話的方式，每分鐘通知1人，最少用多長時間通知所有隊員?多數學生：15分鐘。生：我覺得可以比15分鐘少，因為老師通知了的人可以再通知別的人呀!師：看來他很會審題，注意到了哪兩個字?生：最少。53第五十三頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六師：看來要想花最少的時間通知所有人并不是老師一個一個通知那么簡單。那怎樣才能解決這個問題呢?我們還是從特殊情況入手來分析吧，這是我們思考問題常用的一種方法。師：請問老師1分鐘最多(板書)通知幾個人?生：1個人。師：為什么呀?生：因為每分鐘只能通知1個人。師：也就是說‘‘1個人在每1分鐘內只能通知1個人”是解決這個問題的前提條件。(板書)【突出“最多’’與前面的“最少”相對照，使學生明確此問題的前提條件，為建模做準備?！?4第五十四頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六師：那2分鐘最多能通知多少人呢?自己先想一想，試著把你的想法用最簡潔、最清晰明了的方式表示在數學紙上。生嘗試，師選取代表性方案準備展示。1.文字敘述的方式。（學習態(tài)度非常認真）2.畫圖(用簡筆小人表示老師和同學以及用“師—隊員’’)的方式。（既簡潔又清楚，很會學習）3.符號圖示(樹狀圖)的方式。（很有數學頭腦，用簡單的符號和圖示表達復雜的關系很了不起。請這個學生“把你的想法與大家交流一下”?！?5第五十五頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六師：其實這是我們思考數學問題常用的“樹狀圖”，你學會了嗎?讓我們一起再來畫一畫。(生在老師的帶領下邊說邊畫)師：為什么這種方案通知到的人最多?生：因為第二分鐘時老師又通知了1個人。師小結：也就是說第一分鐘時老師通知了1個人，第二分鐘時老師又通知了1個人，而接到通知的隊員也沒閑著，也通知了1個人。這樣保證每個人都不空閑(板書)，接到通知后馬上通知下一個人，這樣通知的人就最多。

【強調“每個人都不空閑”是解決問題的關鍵】

56第五十六頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六（二）進一步探究，找出答案師：可是2分鐘最多才能通知3個人呀!我們可要通知15個人呢!

生：接著看3分鐘最多能通知多少人。

……

師：我們來看一看是不是這樣：①老師充分利用這有限的3分鐘時間通知了3個人，第一個接到通知的人充分利用剩下的2分鐘又通知了2個人，再接到通知的人充分利用剩下的1分鐘又分別通知了1個人。②2分鐘時通知了3個人加上老師，這4個人又繼續(xù)通知了4個人，翻倍增長?！緝煞N角度解釋，為總結規(guī)律做準備】57第五十七頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六師：可還沒有解決咱們通知15人的問題，看來還得研究一下4分鐘最多能通知多少人。（指上圖）剛才是3分鐘通知7個人，照這樣繼續(xù)通知下去4分鐘最多通知多少個人呢?生：15個人!師：有不同意見嗎?生：沒有。3分鐘最多通知7個人，加上老師8個人又都通知了1個人，7+8=15。師：請兩名同學到前面擺一擺、說一說，進行驗證，看看是不是這樣。

(生驗證)58第五十八頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六師：4分鐘最多通知15個人，那通知16個人可能嗎?為什么?生：不可能!最多通知15個人，不可能比15還多。師：通知17、20個人……生：更不可能了，最多通知15個人!師：看來“最多”很重要。師：4分鐘最多通知15個人，反過來說就是老師要想通知15個人最少用幾分鐘?

生：4分鐘。59第五十九頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六一生提出異議：我覺得通知15人最少不是用4分鐘，我可以半分鐘通知1個人呀!

其他學生異口同聲反駁：前提條件是“每分鐘通知1個人”。師說明：非常感謝你能提出這樣一個重要問題：生活中怎么可能通知1個人正好用1分鐘呢?其實我們這里所說的是一種理想情況。在生活中可能我們進行一次通知用不了1分鐘或比1分鐘長，但這種規(guī)律是不變的。只是因為1分鐘好研究好計算，就把它作為一個數學模型來研究“打電話”問題的規(guī)律了。你明白了嗎?60第六十頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六師：我們繼續(xù)看，3分鐘最多通知7個人，反過來說就是老師要想通知7個人最少用——生：3分鐘?！緩娀瘜Α白疃唷钡睦斫猓寣W生逆向思維，溝通“最多”與“最少”的關系?！繋熜〗Y：(指板書)現(xiàn)在這個問題解決了嗎?在解決剛才這個問題的時候，我們按照一定的順序，從較特殊情況入手進行分析，最終使這個問題得到解決，這是一種很好的學習方法。【強調數學從特殊情況入手分析的思考方法?！?1第六十一頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六（三）深入探究，發(fā)現(xiàn)規(guī)律師：我們還要有深入思考的習慣。我們剛才研究的都是特殊的1分鐘、2分鐘、3分鐘、4分鐘最多通知多少人，那要是8分鐘、100分鐘最多能通知多少人呢?我們就得尋找什么?生：規(guī)律。師：到底有沒有規(guī)律呢?觀察一下“樹狀圖”不同顏色圓點的變化和黑板上的數據。生：1+2，3+4，7+8，…師：這是利用前一結論推導出下一個結論，很好。但這樣總要得出前一分鐘的結論才行，有沒有不利用前一次結論就能得到結果的規(guī)律?62第六十二頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六生：1+2×1，3+2×2，7+2×2×2，…師：很好，這與前一種規(guī)律類似，屬于數學上的一種重要思想，遞歸思想。有沒有根據分鐘數直接就能知道最多通知多少人的規(guī)律?(老師給一些提示，引導學生看板書)

時間(分)1234

人數(人)1371524816師：1分鐘時最多通知了幾個人?(算上老師一共幾個人知道通知了?)2分鐘時算上老師一共幾個人知道通知了呢?……發(fā)現(xiàn)規(guī)律了嗎?生：2-1，2×2-1，2×2×2-163第六十三頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六師：解釋一下為什么有這樣的規(guī)律?……師追問：那5分鐘、6分鐘、100分鐘最多通知多少個人?師小結：n分鐘最多可以通知到n個2相乘再減1個人，在數學上可以寫成2n-1，2n就表示n個2相乘?！緷B透不完全歸納法，構建數學模型】（該結束了吧？）64第六十四頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六（四）應用規(guī)律，提升認識師：請看屏幕，用這條整數軸表示打電話通知的人數。前提條件是每分鐘通知1個人，那么1分鐘最多只能通知1個人，也就是說通知1個人至少用1分鐘。2分鐘最多能通知3個人。通知2個人至少用幾分鐘?

3分鐘最多通知7個人，3分鐘通知8個人行嗎?為什么?65第六十五頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六師：我要通知12個人，你們說我最少用多長時間?生：4分鐘。師：我可沒想通知15個人?生：8到15人至少都用4分鐘，12人在8到15人之間。師：咱班有52人。我要打電話通知咱們班所有同學一件事，假設也是每分鐘通知一個人，最少用多長時間?(生討論，然后匯報)生：如果通知的人數是在16到31人之間，至少5分鐘，但52不在這一區(qū)間，而在32到63人之間，所以最少用6分鐘。66第六十六頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六師：剛才同學們通過計算知道了6分鐘最多可以通知63人，按這個規(guī)律繼續(xù)算下去7分鐘——127人，8分鐘——255人，9分鐘——511人，20分鐘——1048575人呢!看似2并不大，這叫指數(指n)，如果按照指數增長，其速度有多么快！這就是數學神奇的魅力。漢諾塔問題：開天辟地的神勃拉瑪在一個廟里留下了三根金剛石棒，第一根上套著64個圓片……移動圓片的次數恰如我們剛才研究的題：18446744073709551615?？磥肀娚畟兒谋M畢生精力也不可能完成。后來這個傳說演變?yōu)闈h諾塔游戲。同學們在網上或科技館都能見到，有興趣可以試一試。此外漢諾塔問題也是程序設計中的經典遞歸問題。67第六十七頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六四、教學后的反思1．建立數學模型，提高學生應用數學的能力。2．滲透數學思想方法，提高學生數學思維素質。3．我們要什么樣的探究?是表面的熱鬧還是真正的參與?4．總結出規(guī)律就大功告成了嗎?我們要達成什么樣的教學目標?5．“傳統(tǒng)的講授”還要嗎?【返回】68第六十八頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六2008年開封市六年級試題

（2009.02）例：閱讀故事，回答問題。在數學上也不乏此時無聲勝有聲的小故事。1903年，在紐約的一次數學報告會上，數學家科勒上了講臺，他沒有說一句話，只用粉筆在黑板上寫了兩個算式，一個是67個2相乘減1，另一個是193707721×761838257287，并演算出結果。兩個算式的結果完全相同，這時，全場爆發(fā)出經久不息的掌聲。這是為什么呢？69第六十九頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六因為科勒解決了200年來一直沒有弄清的一個問題，即67個2相乘再減1的結果是不是質數？現(xiàn)在既然它等于另外兩個數的乘積，因此證明了67個2相乘再減1不是質數，而是合數?？评罩蛔隽艘粋€簡短的無聲的報告，可這是他花了3年中全部星期天的時間，才得出的結論。在這簡短算式中所蘊含的智慧、毅力和努力，比洋洋灑灑的萬言報告更具魅力。請你用數學概念說明為什么67個2相乘再減1的結果不是質數，而是合數。70第七十頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六這個題目不需要計算。要說明為什么67個2相乘再減1的結果不是質數而是合數，首先要明確質數和合數的意義，其次要用合數的概念與題目中的相關信息相結合，說明67個2相乘再減1的結果除了1和它本身兩個因數外，還有兩個因數。這里主要考察學生閱讀能力、數學思考能力、分析推理能力、等量代換能力、概念掌握的準確與靈活程度以及用語言表達數學思想的能力。其目的是為了促進教與學方式的轉變。數學學習不只是用計算來解決問題，用語言表達一種數學思考也是很重要的解決問題的方式。71第七十一頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六從學生試卷中發(fā)現(xiàn)：1.沒有讀懂故事，不知故事所云，怎么也不能將故事與數學聯(lián)系起來，所以無從下手。2.不能清晰、準確地從故事中提取數學信息，不能將數學概念與故事中的信息有機結合，建立不了數學模型，從而解決不了問題。3.不能用語言表達自己的數學思考，好像怎么也說不清楚自己的想法。更有甚者，部分老師也不知道該怎樣回答。這些現(xiàn)象難道不發(fā)人深思嗎？深思的結果必然是促進數學教學的改進?！痉祷亍?2第七十二頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六費馬的素數公式：2的2n次方加1當n=0，1，2，3，4時都正確，n=5時，4294967297是不是素數？當時不能分解，所以認為也是。后來，天才的歐拉指出，它能被641整除，即641*6700417。另有：n2-79n+1601。N為0~79時都是素數，但n=80時失效。(2p+1)/3（p為奇素數），到p=37時是合數。73第七十三頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六這些問題你會解答嗎？1.電話號碼是數嗎？2.最小的一位數是幾？

300006532你會讀嗎？3.3x÷5=3……2，是方程嗎？4.0.999……與1誰大？5.“要求長方形的面積，必須知道什么？”這句話對嗎？74第七十四頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六6.正反反正反（）；“姐姐（）比弟弟大”和“我一定要考100分”是概率事件嗎？7.線段的兩端和射線的起點都叫“端點”，為什么在“角”里就叫“頂點”了呢？8.直線比射線長嗎？自然數比偶數多嗎？9.“應該是52分09秒,不應是51分69秒！”“為什么退1，退2不行嗎？”“退1為什么當10，當9、當8可以嗎？”10.“學了分數，還學小數干什么？”【返回】75第七十五頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六教學要撓到學生的“癢”處

（牛獻禮，2010.04）編兒歌：1只青蛙1張嘴，2只眼睛4條腿；

2只青蛙2張嘴，4只眼睛8條腿；

3只青蛙3張嘴，6只眼睛12條腿；

……

你能用一句話就把這首兒歌讀完嗎？生思考，師收集學生的典型想法。全班交流時，師有序呈現(xiàn)：76第七十六頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六方法一：x只青蛙x張嘴，x只眼睛x條腿。老師沒有做出評價，而是讓學生來評價這種方法的優(yōu)劣。生1：如果x代表1，就成了1只青蛙1張嘴，1只眼睛1條腿，這是一只殘廢的青蛙。（眾笑）同學們在笑聲中明白了“在同一個情境中，一個字母只能代表同一個數”。77第七十七頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六方法二：a只青蛙a張嘴，b只眼睛c條腿。師：這種方法用不同的字母來表示不同的數量，就避免了上面的問題，好不好？生2：這個方法也不好。我也舉個例子：a代表1，b代表3，c代表5，就成了“1只青蛙1張嘴，3只眼睛5條腿”，也是一只殘廢的青蛙。（眾笑）同學們又一次在笑聲中明白了必須用字母表示出數量之間的正確關系。78第七十八頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六師：你是說這樣的寫法沒有反映出兒歌中幾個數量之間的關系，所以不太好。其實這里的b和c分別表示什么？生：b表示a×２，c表示a×４。呈現(xiàn)方法三：a只青蛙a張嘴，a×2只眼睛a×4條腿?！?/p>

【返回】79第七十九頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六張齊華《確定位置》師：下面，我提高要求，直接報數對，請符合要求的同學迅速起立。看誰的反應最快。（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）。相應地，五名學生一一起立。師：奇怪，怎么就齊刷刷地站起來一隊？生：因為你報的數對有規(guī)律。師：是嗎，說來聽聽？生：這五個數對列數都是3，說明他們都在第3列，當然就站起來一隊了。80第八十頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六師：說起來挺容易，如果也讓你來出幾個數對，你有本事也讓一隊同學站起來嗎？誰來試試？生：（5，1）（5，2）……（5，5）。師：不錯！不過，有點依葫蘆畫瓢的嫌疑。有沒有不一樣的？生：（1，3）（2，3）……（5，3）。師：發(fā)現(xiàn)了什么？生：這回站起來的是一行。師：有變化了。能說說為什么嗎？（生答略）師：真不錯！81第八十一頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六師：不過，張老師覺得這還不算什么。說5個數對，站起來一排；要是我說，我只給1個數對，就可以站起來一排，你們信嗎？生：不信！生：不可能！師：口說無憑，要不試試？[出示（4，x）]符合要求的同學請站起來。[生站起。問（4，1）]奇怪，我上面寫（4，1）了沒有？生：沒有。師：那你站起來干嗎？還不坐下去？（生笑）生：不對，（4，x）中的x是一個未知數，既可以表示1，也可以表示2，3，4等，所以我們都站起來了。82第八十二頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六師：瞧老師厲害吧，一個數對，就讓一排同學站起來。生：不厲害。我也會！師：是嗎？誰來試試。生：（x，4）。師：換了個個兒，真能站起一隊嗎？來，符合條件的站起來。（第4行學生很快站起）還真不賴啊！生：老師，我還可讓全班同學都站起來。師：是嗎？！越來越厲害了。試試？生：（x，x）。83第八十三頁，共九十六頁，編輯于2023年，星期六師：來，符合要求的請起立。（全班學生站起）嗯，讓我來看看，當x等于1時，該誰站起來？[數對為（1，1）的同學舉手示意]，不錯！當x等于2呢？