高考數學二輪復習-整體與局部與整體代換法解析

文檔來源網絡侵權刪除第55講整體與局部事物的發(fā)展變化本來就是一個整體和系統(tǒng),故觀察事物必須著眼于整體和系統(tǒng),運用整體觀來處理問題,同時事物的發(fā)展變化,必然會凸顯某些關鍵的部分,而對這“部分”的結構特征和變化特點或趨勢作深人分析,往往能體現出事物整體結構特征及其變化發(fā)展的趨勢甚至規(guī)律,這就啟發(fā)我們在分析解決數學問題時既要著眼于整體又必須關注局部,就是通常講的從整體著眼,從局部人手,得出初步結論后,再進一步研究.一個較為復雜的數學問題,有時局部處理得當有助于整體的解決,局部處理又可分為局部解決、局部固定和局部調整3種類型.典型例題【例1】已知正三棱雉的高為,其內部有一個球與它的4個面都相切,求:（1）正三棱雉的表面積;（2）正三棱雉內切球的表面積與體積.【分析】思考下列啟發(fā)式問題：(1)要求正三棱雉內切球的表面積與體積,公式與中需要求出哪些量?(2)上一問,顯然只要求出球的半徑即可,那么半徑與三棱雉的各棱長或者各個面有什么聯系?這些互相聯系的數量如何求出來?（3）如果用等體積法求解,那么如何對三棱雉這個整體進行適當分割,即如何實現整體與局部之間的轉化呢?【解析】(1)如圖所示,底面三角形中心到的距離則正三棱錐側面的斜高為..故.（2）設正三棱錐的內切球球心為,聯結,而點到三棱雉的4個面的距離都為球的半徑. ，解得 【例2】四面體的6條棱中,有5條棱長都等于.（1）求該四面體體積的最大值;（2）當四面體的體積最大時,求其表面積.【分析】從整體上求四面體體積,可運用公式,但這個比較難求,故可尋找四面體的直截面(與側棱垂直且過一條底邊的截面),把這個整體分割為兩個雉體求體積,再求和,這是一種通解通法.由于本例涉及最值問題,一般思路是在得到解析式后利用函數思想或基本不等式進行求解.【解析】如圖所示,在四面體中,設,取的中點為的中點為,聯結,由平面可得當且僅當，的最大值為 (2)由知?！纠?】如圖10-3所示,已知點為斜邊上一點,且,記.(1)證明:.(2)若,求的值.【分析】證明,即把看作一個整體,求出它的值為0,另外,在解三角形問題時,必須抓住三內角之和為這一整體.【解析】(1),,即.,即.(2)在中,由正弦定理得,,令,則,解得(舍去)..第56講整體代換法在解題過程中,將已知某個部分整體代人達到簡化運算、迅速使原問題獲解的方法稱之為整體代換法.典型例題【例1】若正數滿足,則的最小值是（）。A. B. C.5 D.6【分析】在解題過程中,將已知某個部分整體代入可簡化運算.比如本例條件可變形為,即把1用代換這是一種常值代換,若設代入,則為整體代換,可使原問題轉化為求的最小值.【解析】【解法1】（將已知條件進行轉化,通過常值代換,再利用基本不等式求解),由得,(當且僅當時取等號)的最小值為5,故選.【解法2】（整體代換)設,所以方程①由兩個正根，解得的最小值為5,故選C.【例2】已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在軸上,橢圓上的點到焦點距離的最大值為3,最小值為1.（1）求橢圓的標準方程;（2）若直線與橢圓相交于兩點不是左右頂點),且以為直徑的圓過橢圓的右頂點,求證:直線過定點,并求出該定點的坐標.【分析】設,以為直徑的圓過橢圓的右頂點,則必定有斜率之積為這個關系式,從而出現用表示的等式,聯立直線與橢圓的方程通過消元并運用韋達定理可得用參數表示的關系式,通過整體代入進行求解.這種“設而不求”是處理解析幾何問題最基本的思路,解題過程簡捷,計算量小,實質上是利用問題中整體與局部的關系,通過整體代入、整體運算、整體消元等方法簡化運算過程,順利求解.【解析】(1)設橢圓的標準方程為,,因此,橢圓的標準方程為.(2)設,由得,則.由韋達定理得.以為直徑的圓過橢圓的右頂點,故.,整理得.代人得,化簡得,由此解得且滿足.當時,,直線過定點,而為右頂點,與已知矛盾;綜上可知,直線過定點,定點坐標為.例對任意,求證:.解題策略不等式左邊是個因式的連乘積,直接證明肯定困難,解題關鍵是對不等式左邊部分的結構特點有