新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第7章三角函數(shù) 知識(shí)點(diǎn)考點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)歸納總結(jié)

第七章三角函數(shù)

7.1角與弧度............................................................1

7.1.1任意角........................................................1

7.1.2弧度制........................................................8

7.2三角函數(shù)概念.......................................................12

7.2.1任意角的三角函數(shù).............................................12

7.2.2同角三角函數(shù)關(guān)系.............................................18

7.2.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式..........................................23

第1課時(shí)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(一?四)...........................23

第2課時(shí)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式(五?六)...........................27

7.3三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)..............................................31

7.3.1三角函數(shù)的周期性............................................31

7.3.2三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)........................................34

第1課時(shí)正弦、余弦函數(shù)的圖象................................34

第2課時(shí)正弦、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì).........................38

第3課時(shí)正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)................................44

7.3.3函數(shù)y=Asin(3x+(p).....................................................................................50

7.4三角函數(shù)應(yīng)用.......................................................55

7.1角與弧度

7.1.1任意角

知識(shí)點(diǎn)1任意角的概念

(1)角的概念：一個(gè)角可以看作平面內(nèi)一條射線繞著它的端點(diǎn)從一個(gè)位置旋

轉(zhuǎn)到另一個(gè)位置所形成的圖形.射線的端點(diǎn)稱為角的頂點(diǎn)，射線旋轉(zhuǎn)的開始位置

和終止位置稱為角的始邊和終邊.

(2)角的分類：按旋轉(zhuǎn)方向可將角分為如下三類：

類型定義圖示

正角按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角

負(fù)角按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)所形成的角

一條射線沒(méi)有作任何旋轉(zhuǎn),稱它形成了一

零角0A

個(gè)零角

思考1.如果一個(gè)角的始邊與終邊重合，那么這個(gè)角一定是零角嗎？

［提示］不一定，若角的終邊未作旋轉(zhuǎn)，則這個(gè)角是零角.若角的終邊作了

旋轉(zhuǎn)，則這個(gè)角就不是零角.

(3)兩角的和、互為相反角、兩角的差：

對(duì)于兩個(gè)任意角a,B，將角a的終邊旋轉(zhuǎn)角伙當(dāng)B是正角時(shí)，按逆時(shí)針?lè)?/p>

向旋轉(zhuǎn)；當(dāng)口是負(fù)角時(shí)，按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)；當(dāng)夕是零角時(shí)，不旋轉(zhuǎn))，這時(shí)終

邊所對(duì)應(yīng)的角稱為a與8的和，記作a+6.射線0A繞端點(diǎn)0分別按逆時(shí)針?lè)较颉?/p>

順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)相同的量所成的兩個(gè)角稱為互為相反角.角a的相反角記為二攵，

于是有a—8=a+(—/3).

知識(shí)點(diǎn)2象限角與軸線角

(1)象限角：以角的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),角的始邊為x軸正半軸，建立平面直

角坐標(biāo)系.這樣，角的終邊(除端點(diǎn)外)在第幾象限，就說(shuō)這個(gè)角是第幾象限角.

(2)軸線角：終邊在坐標(biāo)軸上的角.

知識(shí)點(diǎn)3終邊相同的角

與角a終邊相同的角的集合為{用.=%360。+匾ZGZ}.

思考2.終邊相同的角一定相等嗎？其表示法唯一嗎？

［提示］終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同.終邊相同的

角的表示方法不唯一.

考點(diǎn)

D類型1角的概念辨析

【例1】(1)給出下列說(shuō)法：

①銳角都是第一象限角；②第一象限角一定不是負(fù)角；③小于180。的角是

鈍角、直角或銳角；④始邊和終邊重合的角是零角.

其中正確說(shuō)法的序號(hào)為(把正確說(shuō)法的序號(hào)都寫上).

(2)已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，作出下列

各角，并指出它們是第幾象限角.

①420°.②855°.③一510°.

(1)①［①銳角是大于0。且小于90。的角，終邊落在第一象限，是第一象限

角，所以①正確；

②一350。角是第一象限角，但它是負(fù)角，所以②錯(cuò)誤;

③0°角是小于180°的角，但它既不是鈍角，也不是直角或銳角，所以③錯(cuò)誤;

④360。角的始邊與終邊重合，但它不是零角，所以④錯(cuò)誤.］

(2)［解］作出各角的終邊，如圖所示：

由圖可知：

①420。是第一象限角.

②855。是第二象限角.

③一510。是第三象限角.

1........成思領(lǐng)悟............................

1.理解角的概念的關(guān)鍵與技巧

(1)關(guān)鍵：正確理解象限角與銳角、直角、鈍角、平角、周角等概念.

(2)技巧：判斷命題為真需要證明，而判斷命題為假只要舉出反例即可.

2.象限角的判定方法

(1)在坐標(biāo)系中畫出相應(yīng)的角，觀察終邊的位置，確定象限.

(2)第一步，將a寫成a=k36(T+伙女WZQOW.＜360。)的形式；

第二步，判斷用的終邊所在的象限；

第三步，根據(jù)夕的終邊所在的象限，即可確定a的終邊所在的象限.

提醒：理解任意角這一概念時(shí)，要注意“旋轉(zhuǎn)方向”決定角的“正負(fù)”，“旋

轉(zhuǎn)幅度”決定角的“絕對(duì)值大小”.

D類型2終邊相同的角與象限角

【例2】已知a=—1910。.

(1)把a(bǔ)寫成夕+匕360。(正2,0嚏夕＜360。)的形式，并指出它是第幾象限角；

(2)求仇使。與a的終邊相同，且一720?；?。＜0。；

(3)若與a終邊相同的最大負(fù)角、最小正角分別為行，仇，求夕十仇.

［思路點(diǎn)撥］(1)把a(bǔ)寫成夕+/360。(人晝2,0?；蛳Γ?60。)的形式后，判斷夕所在

的象限即可.

(2)將。寫成。=4+攵S60。伏￡2,0。?夕<360。)的形式，用觀察法驗(yàn)證女的不同

取值即可.

［解］(1)法一：?；一1910。=-6*360。+250。，

A-1910。角與250。角終邊相同，

.,.a=-6X360°+250°,它是第三象限角.

法二：設(shè)6(=夕+攵.360。(攵62),

則尸=一1910°—上360°eWZ).

令一19100—上360020,解得ZW—粵書=-5以.

JOU30

攵的最大整數(shù)解為左=-6,相應(yīng)的夕=250。，

于是a=250°—6X360°,它是第三象限角.

(2)由(1)知令e=250°+A?360°(ZWZ),取％=—1,-2就得到符合一

720°W8<0°的角：250。-360。=一110。，250。-720。=-470°.故。=一110°或一

470°.

(3)因?yàn)榕ca終邊相同的角為￡=。36同+250°/=Z).

所以取女=-1,0得與a終邊相同的最大負(fù)角為61i=-110°,最小正角為仇

=250°,所以8+仍=140°.

廠......成思領(lǐng)悟...........................

1.把任意角化為Jt-360°+a(A：ez且(rWa<360。)的形式，關(guān)鍵是確定k,

可以用觀察法(a的絕對(duì)值較小)，也可用除法.

2.要求適合某種條件且與已知角終邊相同的角時(shí)，其方法是先求出與已知

角終邊相同的角的一般形式，再依條件構(gòu)建不等式求出上的值.

3.終邊相同的角常用的三個(gè)結(jié)論

(1)終邊相同的角之間相差360。的整數(shù)倍.

(2)終邊在同一直線上的角之間相差180。的整數(shù)倍.

(3)終邊在相互垂直的兩直線上的角之間相差90。的整數(shù)倍.

提醒：kez,即％為整數(shù)這一條件不可少.

II類型3區(qū)域角的表示

【例3】已知，如圖所示.

①分別寫出終邊落在。8位置上的角的集合；

②寫出終邊落在陰影部分（包括邊界）的角的集合.

［解］①終邊落在0A位置上的角的集合為{砒7=90°+45。+%-360。，ZWZ}

={a|a=135°+k360°,kGZ}；

終邊落在08位置上的角的集合為{砒/=-30。+/360。，kGZ}.

②由題干圖可知，陰影部分（包括邊界）的角的集合是由所有介于［一30。，135°］

之間的與之終邊相同的角組成的集合，故該區(qū)域可表示為⑷-30。+

/360°WaW135°+匕360°,RGZ}.

［母題探究］

1.（變條件）若將本例改為如圖所示的圖形，那么終邊落在《

陰影部分（包括邊界）的角的集合如何表示？'挈

［解］在0。?360。范圍內(nèi)，終邊落在陰影部分（包括邊界）75端0。

的角為60。忘6<105。與240。★￡<285。，所以所有滿足題意的角

P為伊體360。+60°W夕</360。+105°,攵GZ}U{夕的360。+令B

240。忘夕<心360。+285。，kGZ}

={用2kl800+60。180。+105。，ZWZ}U{川（2Z+1）-180°+60。0<Qk

+l）-180o+105o,kGZ）

={9180。+60°q<〃480°+105。,nEZ）.

故角，的取值集合為{⑼〃?180。+60?；蚧?lt;〃?180°+105°,”WZ}.

2.（變條件）若將本例改為如圖所示的圖形，那么陰影部y

分（包括邊界）表示的終邊相同的角的集合如何表示？、6°。

［解］在0。?360。范圍內(nèi)，陰影部分（包括邊界）表示的----x

范圍可表示為：150。忘夕或225。，則所有滿足條件的角夕為

{用k360°+150°WQWA?360°+225°,k￡Z］.

........?JK思領(lǐng)悟???”??

表示區(qū)間角的三個(gè)步驟

第一步：先按逆時(shí)針的方向找到區(qū)域的起始和終止邊界；

第二步：按由小到大分別標(biāo)出起始和終止邊界對(duì)應(yīng)的一360。?360。范圍內(nèi)的

角a和夕，寫出最簡(jiǎn)區(qū)間｛x\a<x</3］,其中夕一a<360。；

第三步：起始、終止邊界對(duì)應(yīng)角a,夕再加上360。的整數(shù)倍，即得區(qū)間角集

合.

類型4角半〃如WN*)所在象限的確定

【例4】已知a是第二象限角，求角卷所在的象限.

［解］法一：Ya是第二象限角，

二匕360°+90°<a<%360。+180°伙GZ).

kak

二2-360°+45°<2<2-360°+90°(ZGZ).

當(dāng)上為偶數(shù)時(shí)，令女=2〃(〃ez),得

“?360°+45°<^<發(fā)360°+90。，

這表明與是第一象限角；

當(dāng)上為奇數(shù)時(shí)，令&=2〃+l(〃WZ),得

a

〃S60°+225°q<〃-360°+270。，

這表明今是第三象限角.

.?皮為第一或第三象限角.

法二：如圖，先將各象限分成2等份，再?gòu)膞軸正向的上方起，依次將各區(qū)

aCt

域標(biāo)上一、二、三、四，則標(biāo)有二的區(qū)域即為5的終邊所在的區(qū)域，故］為第一或

第三象限角.

［母題探究］

在本例條件下，求角2a的終邊的位置.

［解］:a是第二象限角，

，/360。+90。<小360。+180。(攵GZ).

二七720。+180°<2a<A:-720o+360。依GZ).

.?.角2a的終邊在第三或第四象限或在y軸的非正半軸上.

廠......?成思領(lǐng)悟.......................

倍角、分角所在象限的判定思路

(1)已知角a終邊所在的象限，確定〃a終邊所在的象限，可依據(jù)角a的范圍

求出〃a的范圍，再直接轉(zhuǎn)化為終邊相同的角即可.注意不要漏掉〃a的終邊在坐

標(biāo)軸上的情況.

(2)已知角a終邊所在的象限，確定彳終邊所在的象限，分類討論法要對(duì)女的

取值分以下幾種情況進(jìn)行討論：攵被〃整除；女被“除余1；女被“除余2,…，k

被〃除余〃一1.然后方可下結(jié)論.幾何法依據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，簡(jiǎn)單直觀.

7.1.2弧度制

知識(shí)點(diǎn)1弧度制的概念

(1)角度制：規(guī)定周角的+為1度的角，用度作為單位來(lái)度量角的單位制叫

作角度制.

(2)弧度制:把長(zhǎng)度等于坐徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫作1弧度的角，記作1rad,

用弧度作為角的單位來(lái)度量角的單位制稱為弧度制.

思考ki.“1弧度的角”的大小和所在圓的半徑大小有關(guān)系嗎？

［提示］“1弧度的角”是一個(gè)定值，與所在圓的半徑大小無(wú)關(guān).

星道k2.比值m與所取的圓的半徑大小是否有關(guān)？

［提示］一定大小的圓心角a所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與半徑的比值是唯一確定的，與

半徑大小無(wú)關(guān).

知識(shí)點(diǎn)2角度制與弧度制的換算

(1)角度制與弧度制的換算

角度化弧度弧度化角度

360°=27：rad2兀rad=360°

180。=匹rad兀rad=180°

71180』

l°=7^radQ().O1745rad1rad==度心57.30°

(2)一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

角度0°1°30°45°60°90°

兀三7T7T匹

弧度0

1806432

角度120°135°150°180°270°360°

2兀3兀5兀3兀

弧度兀2兀

T~46

(3)任意角的弧度數(shù)與實(shí)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系

正角的弧度數(shù)是正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù),零角的弧度數(shù)是。.

思考3.角度制與弧度制之間如何進(jìn)行換算？

［提示］利用l°=T^radF).01745rad和1rad=二°心57.30°進(jìn)行弧度與

1oU、兀，

角度的換算.

知識(shí)點(diǎn)3扇形的弧長(zhǎng)公式及面積公式

(1)弧度制下的弧長(zhǎng)公式：

如圖，/是圓心角a所對(duì)的弧長(zhǎng)，一是半徑，則圓心角a的弧

度數(shù)的絕對(duì)值是3=%弧長(zhǎng)/=皿.特別地，當(dāng)「=1時(shí)，弧長(zhǎng)/

=lal.

(2)扇形面積公式：

在弧度制中，若汝忌2兀，則半徑為r,圓心角為a的扇形的面積為S=空?無(wú)戶

(3)引入弧度制的意義

角的概念的推廣后，角的集合與弧度數(shù)的集合之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，即

角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立了對(duì)應(yīng)關(guān)系；每一個(gè)角都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)實(shí)

數(shù)，反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都對(duì)應(yīng)唯一的一個(gè)角，為以后三角函數(shù)的建立奠定了

基礎(chǔ).

考點(diǎn)

□類型1角度制與弧度制的互化

【例1】把下列弧度化成角度或角度化成弧度:

兀4兀

(1)-450°；(2)正；(3)一至；(4)112。30’.

兀57r

［解］(1)—450°=—450rad=-7rad

1oUZ

(2啟rad="*嚕=18。.

4兀4兀180°

⑶一至rad=-yX-=-240°.

7T5兀

(4)112°30/=112.5°=112.5rad=7-rad

1OUo

.....(JS思領(lǐng)悟......

角度制與弧度制換算的要點(diǎn)

提醒：角度化弧度時(shí)，應(yīng)先將分、秒化成度，再把角度化成弧度.

類型2用弧度制表示角的集合

【例2】用弧度制表示頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊重合于x軸的非負(fù)半軸，終邊落

在陰影部分內(nèi)的角的集合(不包括邊界，如圖所示).

［解］(I)'—京+2女?！聪Γ季碡?2如火￡Z|

3兀3兀

⑵—w+2E＜e＜4+2E,kGZ.

兀兀

(3)‘。5+左兀＜。＜］+左兀，々GZ;

廠.......應(yīng)思領(lǐng)悟............................

1.弧度制下與角a終邊相同的角的表示

在弧度制下，與角a的終邊相同的角可以表示為{⑼.=2E+a,ZWZ},即

與角a終邊相同的角可以表示成a加上2兀的整數(shù)倍.

2.根據(jù)已知圖形寫出區(qū)域角的集合的步驟

(1)仔細(xì)觀察圖形.

(2)寫出區(qū)域邊界作為終邊時(shí)角的表示.

(3)用不等式表示區(qū)域范圍內(nèi)的角.

提醒：角度制與弧度制不能混用.

類型3扇形的弧長(zhǎng)及面積問(wèn)題

【例3】已知扇形的周長(zhǎng)為8cm.

(1)若該扇形的圓心角為2rad,求該扇形的面積；

(2)求該扇形的面積的最大值，并指出對(duì)應(yīng)的圓心角.

［解］設(shè)扇形的半徑為r,弧長(zhǎng)為/,扇形面積為S.

(1)由題意得：2r+/=8,l=2r,

解得廠=2,1=4,S=g/r=4.

⑵由2r+/=8得/=8一2匕(0,4),

則5=^/r=(8—2r)r=4r—r=—(r—2)2+4,

當(dāng)r=2時(shí)，Smax=4,此時(shí)/=4,圓心角a=：=2.

［母題探究］

1.(變條件，變結(jié)論)本例條件下，若扇形面積為3cm2,求扇形的圓心角的

弧度數(shù).

［解］設(shè)扇形的半徑為r,弧長(zhǎng)為/,圓心角為a,

扇形面積為S.

2r+/=8,

由題意得：h

同=3,

解得/=6,尸=1或/=2,r=3,

I.7

所以a=;=6或g.

2.(變條件，變問(wèn)法)本例條件中“周長(zhǎng)為8cm”改為“面積為8cm2”，在

(1)的條件下求該扇形的弧長(zhǎng).

［解］設(shè)扇形的半徑為r,弧長(zhǎng)為/,扇形的面積為S,則由

S=；.a?得8=1x2Xr2,

所以r=2也，

所以/=a尸=2X2啦=4/(cm).

廠........成思領(lǐng)悟.............................

弧度制下有關(guān)扇形弧長(zhǎng)、面積問(wèn)題的解題策略及其注意點(diǎn)

(1)解題策略：

①明確弧度制下扇形弧長(zhǎng)公式/=|如，扇形的面積公式S斗產(chǎn)=如戶(其中I

是扇形的弧長(zhǎng)，a是扇形的圓心角).

②涉及扇形的周長(zhǎng)、瓠長(zhǎng)、圓心角、面積等的計(jì)算，關(guān)鍵是先分析題目已知

哪些量求哪些量，然后靈活運(yùn)用弧長(zhǎng)公式、扇形面積公式直接求解或列方程(組)

求解.

(2)注意點(diǎn):

①在弧度制中的弧長(zhǎng)公式及扇形面積公式中的圓心角可正可負(fù).

②看清角的度量制，選用相應(yīng)的公式.

③扇形的周長(zhǎng)等于弧長(zhǎng)加兩個(gè)半徑長(zhǎng).

7.2三角函數(shù)概念

7.2.1任意角的三角函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)1任意角三角函數(shù)的定義

在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)a的終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),

它與原點(diǎn)的距離是4r=正巧＞0),那么

名稱定義定義域

正弦sina='

rR

X

余弦cosa=；R

V|aaW1+E,kRZ}

正切tan

sina,cosa,tana分別稱為正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)，統(tǒng)稱為三角

函數(shù).

思考1.對(duì)于確定的角a,sina,cosa,tana的值是否隨尸點(diǎn)在終邊上的位

置的改變而改變？

［提示］不會(huì).因?yàn)槿呛瘮?shù)值是比值，其大小與點(diǎn)P(x,y)在終邊上的位置

無(wú)關(guān)，只與角a的終邊位置有關(guān)，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān).

思考2.若P(x,y)為角a與單位圓的交點(diǎn)，sina,cosa,tana的值怎樣表

示？

［提示］sina=y,cosa=x,tana=~.

知識(shí)點(diǎn)2三角函數(shù)在各象限的符號(hào)

y\y

0*0x0x

--++

sinacosatana

知識(shí)點(diǎn)3三角函數(shù)線

⑴有向線段：規(guī)定了方面(即規(guī)定了起點(diǎn)和終點(diǎn))的線段；有向直線：規(guī)定了

正方向的直線;

有向線段的數(shù)量：若有向線段在有向直線/上或與有向直線/平行，根

據(jù)有向線段AB與有向直線/的方向相同或相反,分別把它的長(zhǎng)度添上正號(hào)或負(fù)

號(hào)，這樣所得的數(shù)，叫作有向線段的數(shù)量，記為

(2)三角函數(shù)線

考點(diǎn)

口類型1三角函數(shù)的定義及應(yīng)用

【例1】(1)在平面直角坐標(biāo)系中，角。的終邊在直線〉=一2%上，求5皿6(,

cosa,tana的值.

兀、

(2)當(dāng)a=一§時(shí),求sina,cosa,tana的值.

［解］(1)當(dāng)a的終邊在第二象限時(shí)，在a終邊上取一點(diǎn)尸(一1,2),則r=

17+22=小,

22A/5

所以sina=-iVI,tana=4=-2.

忑=5，…》一$-1

當(dāng)a的終邊在第四象限時(shí),

在a終邊上取一點(diǎn)P'(1,-2),

則r=^/l2+(—2)2=^5,

~22出1A/5-2

所以sina=,tana=-'j=-2.

小一5'35

7T

(2)當(dāng)a=-］時(shí)，設(shè)a的終邊與單位圓的交點(diǎn)坐標(biāo)為P(x,y),(x>0,y<0)

根據(jù)直角三角形中銳角］的鄰邊是斜邊的一半，得x=g,由勾股定理得gj

+y2=l,y<0,解得y=一坐,

…2A/3212

因此sina=~j-=-2>cosa=I=/，tana=~j-=一4r3.

［母題探究］

1.將本例⑴的條件“y=—2x”改為“/x+y=0”其他條件不變，結(jié)果又

如何？

［解］直線小x+y=0,即>=一小》，當(dāng)a的終邊在第二象限時(shí)，在a的終

邊上取一點(diǎn)尸(一1,小)，則r=2,

rI

所以sina=^\cosa=-tana=—y［3;

當(dāng)a的終邊在第四象限時(shí)，在a終邊上取一點(diǎn)尸'(1,一小),

貝Ur=2,所以sina=-苧，cosa=/,tana=一小.

2.將本例⑴的條件“在直線y=-2x上”，改為“過(guò)點(diǎn)P(—3《4a)(aW0)”，

求2sina+cosa.

［解］因?yàn)閞=4(—3a)2+(甸2=5間,

①若〃>0,則尸=5。，角a在第二象限，

y4a4光一3a3

=T-=7,COS

sina=r5a59a=r~=~5^a-=—57',

83

所以2sina+cos1.

②若a<0,則r=-5a,角a在第四象限，

.4a4-3a3

sina=z=一cosa=7-=￡,

—5a5'—5a5

83

所以2sina+cosa=-§+；=-L

廠......(J5思領(lǐng)悟...................

1.已知角a終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值的方法

(1)先利用直線與單位圓相交，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，然后再利用正、余弦函數(shù)的

定義求出相應(yīng)的三角函數(shù)值.

(2)在a的終邊上任選一點(diǎn)P(x,y),設(shè)P到原點(diǎn)的距離為r(r>0),則sina=

夕cosa=*當(dāng)已知a的終邊上一點(diǎn)求a的三角函數(shù)值時(shí)，用該方法更方便.

2.已知特殊角a,求三角函數(shù)值的方法

(1)先設(shè)出角a的終邊與單位圓交點(diǎn)坐標(biāo)，由銳角三角形的定義結(jié)合勾股定

理求出該點(diǎn)的坐標(biāo).

(2)利用三角函數(shù)的定義，求出a的三角函數(shù)值.(此時(shí)尸到原點(diǎn)的距離「=

1)

3.當(dāng)角a的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際情況對(duì)

參數(shù)進(jìn)行分類討論.

D類型2三角函數(shù)值的符號(hào)

【例2】(1)若角。同時(shí)滿足sin9<0且tan0<0,則角。的終邊一定位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

(2)判斷下列各式的符號(hào).

①sin2015°cos2016°tan2017°；

②tan1910-cos190°；

③sin2cos3tan4.

(1)D［由sin。<0,可知。的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與y軸

的負(fù)半軸重合.由tan。<0,可知。的終邊可能位于第二象限或第四象限，故。

的終邊只能位于第四象限.］

⑵［解］①?.，2015。=1800o+215o=5X360o+215°,

o

2016=5X360°+216°,2017°=5X360°+217°,

.?.它們都是第三象限角，

.,.sin2015°<0,cos2016°<0,tan2017°>0,

Asin2015°cos2016°tan2017°>0.

②'.T%。角是第三象限角,Atan191°>0,cos191°<0,

Atan1910-cos191°>0.

,JI兀3TT

③?2<2<無(wú)，,<3<兀，兀<4(亍，

.?.2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角，

/.sin2>0,cos3<0,tan4>0,

sin2cos3tan4<0.

廠.......?廢思領(lǐng)悟.............................

判斷三角函數(shù)值在各象限符號(hào)的攻略

(1)基礎(chǔ)：準(zhǔn)確確定三角函數(shù)值中各角所在象限.

(2)關(guān)鍵：準(zhǔn)確記憶三角函數(shù)在各象限的符號(hào).

(3)注意：用弧度制給出的角常常不寫單位，不要誤認(rèn)為角度制導(dǎo)致象限判

斷錯(cuò)誤.

類型3應(yīng)用三角函數(shù)線解三角不等式

【例3］在單位圓中畫出適合下列條件的角a的終邊的范圍，并由此寫出

角a的集合：

(l)sin心乎;(2)cosaW—；.

嘗試與發(fā)現(xiàn)

1.在單位圓中，滿足sina=坐的正弦線有幾條？試在圖中明確.

［提示］兩條,如圖1所示，MPi與NP2都等于

2.在單位圓中，滿足cosa=-g的余弦線有幾條？在圖中明確.

［提示］一條,如圖2所示，0M=一/

［解］(1)作直線y=坐交單位圓于A,

B兩點(diǎn)、,連接04,0B,則0A與0B

圍成的區(qū)域(圖①陰影部分)即為角a的終邊的范圍，故滿足條件的角a的集合為

兀2兀

a2攵兀+§WaW2E+keZp

(2)作直線x=-3交單位圓于。，。兩點(diǎn)，連接OC,0D,則0C與。。圍

成的區(qū)域(圖②陰影部分)即為角a終邊的范圍，故滿足條件的角a的集合為

2攵兀+］兀.0￡<2①+%,kGZL

1............tS思領(lǐng)悟........\

利用三角函數(shù)線解三角不等式的方法

(1)正弦、余弦型不等式的解法

對(duì)于sinx2b,cosx》a(sinxWb,cosxWa),求解的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)貙で簏c(diǎn)，

只需作直線y=b或x=a與單位圓相交，連接原點(diǎn)與交點(diǎn)即得角的終邊所在的位

置，此時(shí)再根據(jù)方向即可確定相應(yīng)的范圍.

(2)正切型不等式的解法

對(duì)于tanx?c,取點(diǎn)(1,c),連接該點(diǎn)和原點(diǎn)并反向延長(zhǎng)，即得角的終邊所

在的位置，結(jié)合圖象可確定相應(yīng)的范圍.

7.2.2同角三角函數(shù)關(guān)系

知識(shí)點(diǎn)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos?a=l.

(2)商數(shù)關(guān)系：tana=^naWE+5,ZGZ).

Ll.sin2a+cos2y?=1恒成立嗎？

［提示］不一定.

思考葭2.對(duì)任意角a，sin22a+cos22a=1是否成立.

［提示］成立，平方關(guān)系中強(qiáng)調(diào)的同一個(gè)角且是任意的，與角的表達(dá)形式無(wú)

關(guān).

考點(diǎn)

II類型1利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求值

3

【例1】(1)已知sin。=—亍求cosa,tan。的值；

(2)已知sina+2cosa=0,求2sinacosa—cos2a的值.

「解］(1)因?yàn)閟inaVO,sinaW-1,所以a是第三或第四象限角.

由sin2a+cos2a=1得cos2q=1-sin2a=1——三=充.

如果a是第三象限角，那么cosa<0.

4

于是cos于

“-r-sina3

從而X

tana=cosa4,

43

如果a是第四象限角，那么cosa=m，tana=—^.

(2)法一：由sina+2cos<z=0,得tana=—2.

92sinacosa-cos2a2tana—1—4—1

所以2sinacosa-cosa==taM"1=不T=一

法二：由sina+2cosa=0得2cosa=_sina,

所以2sinacosa-cos2a=—sin2a-cos2a=—(sin2a+cos2a)=-1.

廠.......潑現(xiàn)規(guī)律.............................

1.求三角函數(shù)值的方法是什么？

［提示］(1)已知sin。(或cos。)求tan。常用以下方式求解

(2)已知tan0求sin。(或cos。)常用以下方式求解

當(dāng)角。的范圍不確定且涉及開方時(shí)，常因三角函數(shù)值的符號(hào)問(wèn)題而對(duì)角0

分區(qū)間(象限)討論.

2.已知角。的正切求關(guān)于sina,cosa的齊次式的方法是什么？

［提示］(1)關(guān)于sina,cosa的齊次式就是式子中的每一^頁(yè)都是關(guān)于sina,

cosa的式子且它們的次數(shù)之和相同，設(shè)為〃次，將分子、分母同除以cosa的〃

次寐，其式子可化為關(guān)于tana的式子，再代入求值.

(2)若關(guān)于sina,cosa的二次齊次式無(wú)分母時(shí)，把分母看作1,并將1用sin2a

+cos2a來(lái)代換，將分子、分母同除以cos2%可化為關(guān)于tana的式子，再代入

求值.

□類型2三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值

fA/1~2sin130°cos130°

【例2】⑴化間：可國(guó)書1二一埼3的

⑵若角a是第二象限角，化簡(jiǎn)：tanQ總另一1.

［思路點(diǎn)撥］(1)

(2)|切化弦|一「化簡(jiǎn)求值|

22

封hvA/sin130°-2sin130°cos130°+cos130°

［解］⑴原式-------sin13。。+#=13。。-----

|sin130°-cos130°|sin130°—cos130°

=sin130°+|cos130°|=sin1300-cos130o=k

2

…EL、/1—sin2a/cosctsina_Icosa\

⑵原式=tan叭/FT=tan勺高忑二日荔乂笈溫，

因?yàn)閍是第二象限角，所以sina>0,cosa<0,

所以原式=?*用4=?x=^=—1.

cosa|sina|cosasina

廠.....?成思領(lǐng)悟.......................

化簡(jiǎn)三角函數(shù)式的常用方法

(1)切化弦，即把非正弦、余弦函數(shù)都化成正弦、余弦函數(shù)，從而減少函數(shù)

種類以便化簡(jiǎn).

(2)對(duì)含有根號(hào)的，常把根號(hào)下式子化成完全平方式，然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)

的目的.

(3)對(duì)于化簡(jiǎn)高次的三角函數(shù)式，往往借助于因式分解，或用“1”的代換，

以降低函數(shù)次數(shù)，達(dá)到化簡(jiǎn)目的.

提醒：在應(yīng)用平方關(guān)系式求sina或cosa時(shí)，其正負(fù)號(hào)是由角a所在的象限

決定，不可憑空想象.

D類型3三角函數(shù)式的證明

――tana-sinatana+sina

【例3】求證：-------:—=-----：----.

tana-sinatana-sina

［證明口口i法、土一:左人邊Wsm：a=；sin」,

sina—sinacosa1—cosa

sintx+sinacosa1+cosa

右邊=

sin2asina'

因?yàn)閟in2<z=l—cos2a=(l+cosa)(l—cosa),

zsina1+cosa_,,,,..

所以t-------=—：-----,所以左邊=右邊,

1—cosasma'

所以原等式成立.

一,,,t.an-2a-si?n2za

法二：因?yàn)橛疫叾?;------：--——：—

(tana—sina)tanasma

tan?a-tantacos?a

(tana—sina)tanasina

tan?a(l-cos?c)

(tana-sina)tana-sina

tan2asin2a

(tana-sina)tanasina

tanasina

tana—sina

=左邊.

所以原等式成立.

(■-.....應(yīng)思領(lǐng)悟??......、

1.在計(jì)算、化簡(jiǎn)或證明三角恒等式時(shí)，常用的技巧有：減少不同名的三角

函數(shù),或化切為弦，或化弦為切(如：已知tana,求關(guān)于sina,cosa的齊次式

的問(wèn)題)；“1”的代換(I=sin2a+cos2a)；多項(xiàng)式運(yùn)算技巧的運(yùn)用(如因式分解、

通分、整體代換等)；條件或結(jié)論的重新整理、配置和改造，以便更有利于同角

三角函數(shù)式的應(yīng)用.

2.利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系證明三角恒等式的方法非常多，其主要方

法有：

(1)從左向右推導(dǎo)或從右向左推導(dǎo)，一般由繁到簡(jiǎn).

(2)左右歸一，即證明左右兩邊都等于同一個(gè)式子.

(3)化異為同法，即針對(duì)題設(shè)與結(jié)論間的差異，有針對(duì)地變形，以消除差異.

(4)變更命題法，如要證明怖=力可證ad=/?c或證等.

左邊

(5)比較法，即設(shè)法證明“左邊一右邊=0"或“不=1”.

類型4"sina±cos夕”同“sinacosa”間的關(guān)系

【例4】已知sina+cosa=￡,且OVaVm

求：(l)sinacos1的值；

(2)求sina—cosa的值.

［解［(l);sina+cos。=予

?，?(sina+cosa)2=^,

?，?1+2sinacosa=去,

麗?12

即sinacosc(=—

(2)*/(sina-cosa)2=1—2sinacosa

又?「OVaVTi,且sinacosa<0,

/.sina>0,cosa<0,

Asina—cosa>0,

?.7

..sma-cos。=亍

廠......J5思領(lǐng)悟......................

1.已知sin夕土cos。求sinOcos仇只需平方便可.

2.已知sin8cos。求sin先cos夕時(shí)需開方，此時(shí)要根據(jù)已知角。的范圍，確

定sinfttcos0的正負(fù).

7.2.3三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式

第1課時(shí)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（一?四）

知識(shí)點(diǎn)1誘導(dǎo)公式（一）

終邊相同的角的誘導(dǎo)公式（公式一）：

sin（a+2kn）=sina（k￡Z）；

cos（a+2kn）=cosa（k￡Z）；

tan（a+2E）=tana（k￡Z）.

用道kl.終邊相同的角的同一三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？

［提示］相等.

知識(shí)點(diǎn)2誘導(dǎo)公式（二）

終邊關(guān)于x軸對(duì)稱的角的誘導(dǎo)公式（公式二）：

sin（—g）=—sing；

cos（-a）=cosa；

tan（—a）=-tana.

思考12.角一a的終邊與單位圓的交點(diǎn)與角a的終邊與單位圓的交點(diǎn)有何關(guān)

系？

［提示］關(guān)于x軸對(duì)稱.

知識(shí)點(diǎn)3誘導(dǎo)公式（三）

終邊關(guān)于y軸對(duì)稱的角的誘導(dǎo)公式（公式三）：

sin（?！猘）=sina；

cos（7t-a）=-cosa；

tan（7c-a）=—tana.

思考3.兀一a與a的終邊什么關(guān)系？

［提示］關(guān)于y軸對(duì)稱.

知識(shí)點(diǎn)4誘導(dǎo)公式（四）

終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的角的誘導(dǎo)公式（公式四）：

sin（7i+a）=~sina；

cos（兀+a）=-cosa；

tan(兀+?)=tana.

思考4.兀+a與a的終邊有什么關(guān)系？

［提示］終邊在同一條直線上.

考點(diǎn)

類型1給角求值

［例I］求下列各三角函數(shù)式的值:

(l)sin(—660°)；(2)cos(3)2cos660°+sin630°；

(4)tan^.sinl

［解］⑴因?yàn)橐?60°=—2*360。+60。,

所以sin(-660°)=sin60。=與

小mO27TT,.3兀

⑵因?yàn)槎?6兀+彳,

27兀3兀

所以cos不=3］李

(3)原式=2cos(720°-60°)+sin(720°-90°)

=2cos60°—sin90°=2X^-1=0.

37兀5兀、

(4)tan二-finl

=tan(6兀+571?sin(-2兀+三

6

n.nA/3_V31

=tang-sin3=3X2=,

1........潑現(xiàn)規(guī)律.................

利用誘導(dǎo)公式求任意角的三角函數(shù)值的步驟是什么？

［提示］

卜負(fù)化正”1用公式一或二來(lái)贏f）

廣大化小”1用公式一將角化為0。到360。間前面）

廣小化銳”卜包公式三或四將大于90°的角轉(zhuǎn)化為銳角）

卜銳求值”1得到銳角的三角函數(shù)后求值）

類型2化簡(jiǎn)求值

【例2】化簡(jiǎn)下列各式.

cos(o+a)?sin(27i+a)

“)sin(—a-TT>COS(一兀-a)'

cos190°-sin(-210°)

(2)cos(-350°)-tan(-585°)-

.、日》—cosa-sinacosa-sina

[斛](1)原式=：~~~~~~~=1.

—sin(7t+a)-cos(7i+a)sina-cosa

cos(180°+10°)-[-sin(180°+30°)]

⑵原式=cos(—360°+10°)?[—tan(360。+225。)]

______—cos10°?sin30°__________2___

=cos10o-[-tan(180o+45°)]=-tan45o=2-

廠.....國(guó)思領(lǐng)悟......x

三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)方法

(1)利用誘導(dǎo)公式，將任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為銳角的三角函數(shù).

(2)常用“切化弦”法，即表達(dá)式中的切函數(shù)通?；癁橄液瘮?shù).

(3)注意"1"的變式應(yīng)用：如1=sin2a+cos2a=tan

□類型3給值求值問(wèn)題

【例3】求值.

(1)已知sing+a)=—3求sin(a一等的值；

(2)已知坐，求cosd+a)的值.

嘗試與發(fā)現(xiàn)

1.喘+a”與竽”間存在怎樣的關(guān)系？你能用"a+鏟表示

節(jié)571”嗎?

［提示］住+a)—(a—號(hào))=2兀,即。_|兀=,+m_2兀.

2.""a”與"看+a”間有怎樣的關(guān)系？你能用“京?！北硎?/p>

［解］(DV

=sin(a+*=—I

2-

(a+裔-(a+(|=

⑵???=兀，

7兀

??y+aj=cos7i+(a+*

cosl6

=-cos|+a

fir-3.

［母題探究］

1.（變條件）本例⑴條件變?yōu)椤耙阎猻inW+a）=T"，求sin（a—引的值.

5兀、

2.（變結(jié)論）本例⑵已知條件不變，求cosa的值.

「.......成思領(lǐng)悟...........................

解決給值求值問(wèn)題的技巧

（1）尋找差異：解決條件求值問(wèn)題，首先要仔細(xì)觀察條件與所求式之間的角、

函數(shù)名及有關(guān)運(yùn)算之間的差異及聯(lián)系.

（2）轉(zhuǎn)化：可以將已知式進(jìn)行變形向所求式轉(zhuǎn)化，或?qū)⑺笫竭M(jìn)行變形向已

知式轉(zhuǎn)化.

第2課時(shí)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式（五?六）

知識(shí)點(diǎn)1誘導(dǎo)公式五

終邊關(guān)于直線y=x對(duì)稱的角的誘導(dǎo)公式（公式五）:

sin^-aWcosa；

cos1一G)=sina.

皿1艘與角斜三角函數(shù)值有什么關(guān)系?

『坦一［.冗n1兀.冗dl

LIAEZFJsin%=cos2=2?cosa=sin

思考2.角a的終邊與角，一a的終邊有怎樣的對(duì)稱關(guān)系？

［提示］關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

知識(shí)點(diǎn)2誘導(dǎo)公式六

1+a型誘導(dǎo)公式（公式六）：

sinl2?I—cosa；

cosl2??I——sma.

思考