數(shù)學分析第二十二章曲面積分

數(shù)學分析第二十二章曲面積分第一頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日一、概念的引入實例

所謂曲面光滑即曲面上各點處都有切平面,且當點在曲面上連續(xù)移動時,切平面也連續(xù)轉(zhuǎn)動.§1第一型曲面積分第二頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日分割取近似求和取極限勻質(zhì)之質(zhì)量非勻質(zhì)之質(zhì)量，用元素法解決第三頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日定義1設(shè)S為可求面積的曲面,為定義在S上的函數(shù).對曲面S作分割T,將S分成

n個小曲面塊Si(i=1,2,...,n),Si的面積記為在Si任取一點若極限存在,則稱此極限為f(x,

y,z)在S上的第一型曲面積分,記作第四頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日面積元素被積函數(shù)積分曲面積分和式即第五頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日2.對面積的曲面積分的性質(zhì)特別，第六頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日3.用曲面積分表示與物質(zhì)曲面有關(guān)的物理量第七頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日按照曲面的不同情況分為以下三種：記憶口訣：“一投，二換，三代”.

二第一型曲面積分的計算第八頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日,則三代：二換：一投：第九頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日,則三代：二換：一投：第十頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日注：（1）這里積分曲面的方程必須是單值顯函數(shù)，否則可利用可加性，分塊計算，結(jié)果相加（2）把曲面投影到哪一個坐標面，取決于曲面方程即方程的表達形式（3）將曲面的方程代入被積函數(shù)的目的和意義是把被積函數(shù)化為二元函數(shù)（4）切記任何時候都要換面積元（5）若曲面為參數(shù)方程,只要求出在參數(shù)意義下dS的表達式,也可將對面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對參數(shù)的二重積分.第十一頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日定理22.1

設(shè)有光滑曲面

f(x,y,z)在S上連續(xù),則第一型曲面積分的計算的證明第十二頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日證明

由定義知

而第十三頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日(光滑)第十四頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日例1解第十五頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第十六頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第十七頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下兩部分,則第十八頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日例2解第十九頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第二十頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日所以，第二十一頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第二十二頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第二十三頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第二十四頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日例3解第二十五頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第二十六頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第二十七頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第二十八頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日例4解第二十九頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第三十頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日例5第三十一頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日解第三十二頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日（左右兩片投影相同）第三十三頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第三十四頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日例6

計算曲面積分

其中S為立體的邊界曲面.解設(shè)第三十五頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日所以第三十六頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日例7

計算

其中

是介于平面

之間的圓柱面

分析若將曲面分為前后(或左右)則解取曲面面積元素兩片,則計算較繁.第三十七頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日例8計算

解

取球面坐標系,則第三十八頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第三十九頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第四十頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日四、小結(jié)2、對面積的曲面積分的解法是將其化為投影域上的二重積分計算.1、對面積的曲面積分的概念;（按照曲面的不同情況分為三種）作業(yè)：P282:1(1)~(4)，2，3.第四十一頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日思考題在對面積的曲面積分化為二重積分的公式中,有因子,試說明這個因子的幾何意義.第四十二頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日思考題解答是曲面元的面積,故是曲面法線與軸夾角的余弦的倒數(shù).第四十三頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日習題二(P193)作業(yè)1；2；4；5；6.第四十四頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日練習題第四十五頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第四十六頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日練習題答案第四十七頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第二十二章曲面積分§2第二型曲面積分第四十八頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日?曲面分類

雙側(cè)曲面單側(cè)曲面莫比烏斯帶曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)曲面分左側(cè)和右側(cè)(單側(cè)曲面的典型)一、基本概念第四十九頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日設(shè)連通曲面S上處處有連續(xù)設(shè)M0為曲面S上一點，確定方向為正方向，另一個方向為負方向.

L為S上任一經(jīng)過點M0且不超出S邊界的閉曲線.設(shè)點M從M0出發(fā)，沿L連續(xù)移動，M在M0點與M0變動的切平面（或法線）曲面在M0點的一個法線有相同的法線方向，當點M連續(xù)移動時，其法線方向也連續(xù)變動，最后當M沿L回到M0時，若這時M的法線方向仍與M0點的法線方向一致，則稱此曲面S為雙側(cè)曲面；若與M0的法線方向相反，則稱S為單側(cè)曲面第五十頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日曲面的分類:1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面第五十一頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:播放第五十二頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日曲面法向量的指向決定曲面的側(cè).決定了側(cè)的曲面稱為有向曲面.上側(cè)下側(cè)第五十三頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日方向余弦>0為前側(cè)<0為后側(cè)封閉曲面>0為右側(cè)<0為左側(cè)>0為上側(cè)<0為下側(cè)外側(cè)內(nèi)側(cè)側(cè)的規(guī)定第五十四頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日曲面的投影問題:類似地可定義第五十五頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日二、概念的引入實例:流向曲面一側(cè)的流量.第五十六頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第五十七頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日1.分割則該點流速為.法向量為.第五十八頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日2.求和第五十九頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日3.取極限第六十頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日三、概念及性質(zhì)第六十一頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日積分曲面被積函數(shù)有向面積元類似可定義第六十二頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日存在條件:組合形式:物理意義:第六十三頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日性質(zhì):第六十四頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日四、計算法第六十五頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第六十六頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日注意:對坐標的曲面積分,必須注意曲面所取的側(cè).第六十七頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日這就是把對坐標的曲面積分化成二重積分的計算公式概括為：代：將曲面的方程表示為二元顯函數(shù)，然后代入被積函數(shù)，將其化成二元函數(shù)投：將積分曲面投影到與有向面積元素（如dxdy）中兩個變量同名的坐標面上（如xoy面）定號：由曲面的方向，即曲面的側(cè)確定二重積分的正負號一代、二投、三定號、四換域第六十八頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日換域：改變積分域，曲面變投影域注積分曲面的方程必須表示為單值顯函數(shù)否則分片計算，結(jié)果相加②確定正負號的原則：曲面取上側(cè)、前側(cè)、右側(cè)時為正曲面取下側(cè)、后側(cè)、左側(cè)時為負第六十九頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日解例1

計算曲面積分

其中S為球面外側(cè)在第一和第五卦限部分.把S分為上下兩部分第七十頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第七十一頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日思考第七十二頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日例2

計算平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所圍成的空間區(qū)域的整個邊界曲面的外側(cè)oxyz解分成四個部分左側(cè)下側(cè)后側(cè)上側(cè)第七十三頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日同理第七十四頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日同理注:對坐標的曲面積分的對稱性被積表達式具有輪換對稱性，即將被積表達式中的所有字母按xyz順序代換后原式不變積分曲面及其側(cè)具有對稱性，這是指曲面在各坐標面上的投影區(qū)域均相同，且配給的符號也相同第七十五頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日例3

計算

其中S是以原點為中心,邊長為

2

的正立方體的整個表面的外側(cè).解其中S1是S的頂部取上側(cè)

S2是S的底部取下側(cè)第七十六頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日由對稱性，有第七十七頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日例4

計算

其中S是球面取外側(cè)為正向.解設(shè)S1是上半球面取上側(cè)

S2是下半球面取下側(cè)在xy坐標面上的投影區(qū)域先計算積分第七十八頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第七十九頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日同理可得所以第八十頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日設(shè)光滑曲面S，其指定一側(cè)的法方向余弦為：則沿曲面S指定一側(cè)的曲面積分五、兩類曲面積分的聯(lián)系第八十一頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第八十二頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日一般地有其中為曲面S指定一側(cè)的法方向余弦.第八十三頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日向量形式第八十四頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日解第八十五頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第八十六頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日1.定義六、小結(jié)第八十七頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日2.性質(zhì)3.計算設(shè)上正下負第八十八頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日兩類曲面積分的聯(lián)系:4、物理意義5、計算時應注意以下兩點曲面的側(cè)“一投,二代,三定號”第八十九頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日思考題第九十頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日思考題解答此時的左側(cè)為負側(cè)，而的左側(cè)為正側(cè).第九十一頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日練習題第九十二頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第九十三頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日練習題答案第九十四頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第二十二章曲面積分§3高斯(Gauss)公式與

斯托克斯(stokes)公式第九十五頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日一問題的提出前面我們將Newton-Lebniz公式推廣到了平面區(qū)域的情況，得到了Green公式。此公式表達了平面閉區(qū)域上的二重積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系。下面我們再把Green公式做進一步推廣，這就是下面將要介紹的Gauss公式，Gauss公式表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系，同時Gauss公式也是計算曲面積分的一有效方法。第九十六頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日二、高斯公式1.定理:第九十七頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日證明第九十八頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日根據(jù)三重積分的計算法根據(jù)曲面積分的計算法投影法（先一后二法）第九十九頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第一百頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日同理------------------高斯公式和并以上三式得：第一百零一頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日Gauss公式的實質(zhì)表達了空間閉區(qū)域上的三重積分與其邊界曲面上的曲面積分之間的關(guān)系.由兩類曲面積分之間的關(guān)系知第一百零二頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日注不滿足上述條件，可以引進若干張輔助曲面分成幾個有限的小區(qū)域使之都滿足上述條件注意到沿輔助曲面相反兩側(cè)的兩個曲面積分絕對值相等，而符號相反，相加時正好抵消，因此上述公式對這樣的區(qū)域也成立，故一般地1.若第一百零三頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日2.公式成立的條件根據(jù)Gauss公式，用三重積分來計算曲面積分是比較方便的，但Gauss公式同時也說明，可用曲面積分來計算三重積分第一百零四頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第一百零五頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日三高斯公式的簡單應用解第一百零六頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日(利用柱面坐標得)思考:

若改為內(nèi)側(cè),結(jié)果有何變化?若為圓柱側(cè)面(取外側(cè)),又如何計算?第一百零七頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第一百零八頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日解空間曲面在面上的投影域為曲面不是封閉曲面,為利用高斯公式第一百零九頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第一百一十頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日故所求積分為第一百一十一頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日例3計算其中S是由x=y=z=0,x=y=z=a六個平面所圍的正立方體表面并取外側(cè)為正向.解第一百一十二頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日例1計算所圍的空間區(qū)域的表面，方向取外側(cè).解其中S為錐面與平面課堂練習第一百一十三頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第一百一十四頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日設(shè)S1為上半球體的底面，例3計算的外側(cè).解其中S是上半球面取下側(cè).于是第一百一十五頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日(1).通量的定義:3.物理意義:第一百一十六頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日(2).散度的定義:第一百一十七頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日散度在直角坐標系下的形式積分中值定理,兩邊取極限,第一百一十八頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日高斯公式可寫成第一百一十九頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日高斯(1777–1855)德國數(shù)學家、天文學家和物理學家,是與阿基米德,牛頓并列的偉大數(shù)學家,他的數(shù)學成就遍及各個領(lǐng)域,在數(shù)論、級數(shù)、復變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開創(chuàng)性的貢獻,他還十分重視數(shù)學的應用,地測量學和磁學的研究中發(fā)明和發(fā)展了最小二乘法、曲面論和位勢論等.他在學術(shù)上十分謹慎,原則:代數(shù)、非歐幾何、微分幾何、超幾何在對天文學、大恪守這樣的“問題在思想上沒有弄通之前決不動筆”.第一百二十頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日斯托克斯公式建立了沿曲面S的曲面積分與沿S

的邊界曲線L的曲線積分之間的聯(lián)系.對曲面S的側(cè)與其邊界曲線L的方向作如下規(guī)定：設(shè)人站在曲面S上的指定一側(cè)，沿邊界曲線L行走，指定的側(cè)總在人的左方，則人前進的方向為邊界曲線

L的正向.這個規(guī)定方法也稱為右手法則.第一百二十一頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日二斯托克斯(stokes)公式斯托克斯公式第一百二十二頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日右手法則是有向曲面的正向邊界曲線證明如圖第一百二十三頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日思路曲面積分1二重積分2曲線積分第一百二十四頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日1第一百二十五頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日根椐格林公式平面有向曲線2空間有向曲線第一百二十六頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日同理可證故有結(jié)論成立.第一百二十七頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日情形2則可通過作輔助線把

分成與z軸只交于一點的幾部分,在每一部分上應用斯托克斯公式,然后相加,由于沿輔助曲線方向相反的兩個曲線積分相加剛好抵消,所以對這類曲面斯托克斯公式仍成立.證畢曲面與平行z軸的直線交點多于一個,第一百二十八頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日便于記憶形式另一種形式第一百二十九頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日

斯托克斯公式的實質(zhì)：第一百三十頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日例1

利用斯托克斯公式計算積分

其中

L

為平面x+y+z=1與各坐標面的交線，解取逆時針方向為正向如圖所示.記三角形ABC為S,取上側(cè),則第一百三十一頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第一百三十二頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日解則第一百三十三頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日即第一百三十四頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日例3

利用斯托克斯公式計算積分

其中

L

為y2+z2

=1,x=y所交的橢圓正向.解記以L為邊界的橢圓面為S,其方向按右手法則確定，于是有第一百三十五頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第一百三十六頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理22.5

設(shè)Ω是空間單連通區(qū)域,函數(shù)P,Q,R

在Ω上具有連續(xù)一階偏導數(shù),則下列四個條件相互等價:(1)對Ω內(nèi)任一按段光滑閉曲線L,有(2)對Ω內(nèi)任一按段光滑曲線L,與路徑無關(guān)第一百三十七頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日(4)在Ω內(nèi)處處有(3)在Ω內(nèi)存在某一函數(shù)u,使第一百三十八頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日與路徑無關(guān),解:令積分與路徑無關(guān),因此例4.

驗證曲線積分并求函數(shù)第一百三十九頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日五、物理意義---環(huán)流量與旋度1.環(huán)流量的定義:第一百四十頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日利用stokes公式,有2.旋度的定義:第一百四十一頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第一百四十二頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日斯托克斯公式的又一種形式其中第一百四十三頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日斯托克斯公式的向量形式其中第一百四十四頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日Stokes公式的物理解釋:第一百四十五頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日三、小結(jié)3、應用的條件4、物理意義2、高斯公式的實質(zhì)1、高斯公式第一百四十六頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日6,斯托克斯公式成立的條件5,斯托克斯公式作業(yè):P295:1,2,3,4,5.第一百四十七頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日思考題解答曲面應是分片光滑的閉曲面.思考題曲面應滿足什么條件才能使高斯公式成立？第一百四十八頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日練習題第一百四十九頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第一百五十頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日第一百五十一頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日練習題答案第一百五十二頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日斯托克斯(1819-1903)英國數(shù)學物理學家.他是19世紀英國數(shù)學物理學派的重要代表人物之一,其主要興趣在于尋求解重要數(shù)學物理問題的有效且一般的新方法,在1845年他導出了著名的粘性流體運動方程(后稱之為納維–斯托克斯方程),1847年先于柯西提出了一致收斂的概念.他提出的斯托克斯公式是向量分析的基本公式.他一生的工作先后分五卷出版.第一百五十三頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日曲線積分與曲面積分習題課第一百五十四頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日（一）曲線積分與曲面積分（二）各種積分之間的聯(lián)系（三）場論初步

一、主要內(nèi)容第一百五十五頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日曲線積分曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分定義計算定義計算聯(lián)系聯(lián)系（一）曲線積分與曲面積分第一百五十六頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日曲線積分對弧長的曲線積分對坐標的曲線積分定義聯(lián)系計算三代一定二代一定(與方向有關(guān))第一百五十七頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日與路徑無關(guān)的四個等價命題條件等價命題第一百五十八頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日曲面積分對面積的曲面積分對坐標的曲面積分定義聯(lián)系計算一代,二換,三投(與側(cè)無關(guān))一代,二投,三定向(與側(cè)有關(guān))第一百五十九頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日定積分曲線積分重積分曲面積分計算計算計算Green公式Stokes公式Guass公式（二）各種積分之間的聯(lián)系第一百六十頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日積分概念的聯(lián)系定積分二重積分第一百六十一頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日曲面積分曲線積分三重積分曲線積分第一百六十二頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日計算上的聯(lián)系第一百六十三頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日其中第一百六十四頁，共一百九十五頁，編輯于2023年，星期日理論上的聯(lián)系1.定積分與不定積分的聯(lián)系牛頓--萊布尼茨公式2.二重積分與曲線積分的聯(lián)系格林公式第一百六十五頁，共一百九十五