已知遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的常見(jiàn)類型

已知遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的常見(jiàn)類型鐘祥一中陳國(guó)仿普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)⑤（必修）第二章《數(shù)列》的考題B組題6：已知數(shù)列{an}中，a1=5，a2=2，an=2an-1+3an-2(n≥3)，對(duì)于這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式作一研究，能否寫出它的通項(xiàng)公式？可以看到，新課程改革對(duì)遞推數(shù)列的要求比舊教材更高，現(xiàn)將常見(jiàn)的由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的情形歸納如下：1、an+1－an＝f(n)型當(dāng)f(n)為常數(shù)時(shí)，即為等差數(shù)列；當(dāng)f(n)不為常數(shù)時(shí)，這類數(shù)列，可考慮利用累加法.例1：已知數(shù)列{an}中，a1=1，且an+1－an＝3n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式解：由于本例給出了數(shù)列{an}中連續(xù)兩項(xiàng)的差，故可考慮用累加法求解an＝（an－an-1）＋（an-1－an-2）＋…＋（a3－a2）＋（a2－a1）＋a1＝3n-1＋3n-2＋…＋3＋1＝＝練習(xí)1：已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n＋2，求an.答：（）2、＝f(n)型當(dāng)f(n)為非零常數(shù)時(shí)，即為等比數(shù)列，當(dāng)f(n)不為常數(shù)時(shí)，這類數(shù)列，可考慮利用累乘或迭代法.例2：在數(shù)列{an}中，已知＝，且a1＝1，求通項(xiàng)an解：由于本例給出了連續(xù)兩項(xiàng)的比，故可考慮用累乘法求解.an＝···…···a1＝···…···1＝n練習(xí)：已知＝，a1＝1，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和答：先求得an=，進(jìn)而Sn＝3、an＋1＝λan＋μ型對(duì)于形如an＋1＝λan＋μ型所決定的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，我們可以設(shè)an＋1＋x=λ（an＋x），從而構(gòu)造一個(gè)數(shù)列{an+x}，它是一個(gè)首項(xiàng)為a1＋x，公比為λ的等比數(shù)列，從而得到數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式例3：已知an＋1＝an＋，且a1＝，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式解：由于an＋1＝an＋可變形為an＋1－＝（an－）故數(shù)列{an－}是以a1－＝為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列∴an－＝（）n∴an＝（）n＋練習(xí)3：①已知a1＝，且3an＋1－an－1＝0，求數(shù)列的通項(xiàng)an答：an＝（）n-1+②已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋3，求an答：an＝2n+1－34、an＋1＝λan＋n＋β型對(duì)于此種遞推關(guān)系，可變形為an＋1＋p(n+1)＋q＝λ（an＋pn＋q），使數(shù)列{an＋pn＋q}為一個(gè)等比數(shù)列，從而求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式例4：已知數(shù)列{an}中，an＋1＝2an＋3n＋2，且a1＝1，求通項(xiàng)an解：設(shè)an＋1＋p(n+1)＋q＝2（an＋pn＋q），比較得，p=3，q=5從而有an＋1＋3（n+1）+5＝2（an＋3n＋5）所以{an＋3n＋5}是首項(xiàng)為a1+3×1＋5＝9，公比為2的等比等列∴an＋3n＋5＝9×2n-1∴an＝9×2n-1－3n－5練習(xí)4：①已知an＋1＝an＋2n＋，a1＝2，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an及前n項(xiàng)和Sn答：an＝（）n-1＋3n－2，Sn＝＋－×（）n②已知an＋1＝3an＋4n＋4，且a1＝2，求通項(xiàng)an答：an＝7×3n-1－2n－35、an＋1＝λan＋p·λn型當(dāng)λ＝1時(shí)，即為等差數(shù)列，當(dāng)λ≠1時(shí)，對(duì)于此種遞推關(guān)系，可兩邊同除以λn得到數(shù)列{}為等差數(shù)列例5：已知an＋1＝2an＋2n，且a1＝3，求通項(xiàng)an解：由an＋1＝2an＋2n可得－＝1∴數(shù)列{}是首項(xiàng)為＝3，公差為1的等差數(shù)列∴＝3＋（n－1）×1＝n＋2∴an＝（n＋2）×2n-1練習(xí)5：已知an＋1＝3an+3n，且a1＝2，求通項(xiàng)an答：an＝（n＋1）×3n-16、an＋1＝λan＋μqn（q≠λ）型當(dāng)λ＝1時(shí)，即為類型1，當(dāng)λ≠1時(shí)，對(duì)于此種類型的遞推關(guān)系，可變形為an＋1＋p×qn+1＝λ（an＋p·qn）得到{an＋p·qn}為一等比數(shù)列例6：已知數(shù)列{an}滿足an＋1＝3an＋2n，且a1=1，求通項(xiàng)an解：由于an＋1＝3an＋2n可變形為an＋1＋2n+1＝3（an＋2n）∴{an＋2n}是首項(xiàng)為a1+2=3，公比為3的等比數(shù)列∴an＋2n＝3n∴an＝3n－2n練習(xí)6：①已知an＋1＝2an＋3n，且a1=2，求通項(xiàng)an答：an＝3n－2n－1②已知an＋1＝4an＋3×2n+1，a1=1，求通項(xiàng)an答：an=7×4n-1－3×2n7、a＝λan型對(duì)于此種類型的遞推關(guān)系，兩邊取對(duì)數(shù)，即化為類型③例7：已知a＝4an，且a1=1，求通項(xiàng)an解：由a＝4an兩邊取對(duì)數(shù)得2logan＋1＝logan＋2∴l(xiāng)ogan＋1＝logan＋1從而可得logan＋1－2＝(logan－2)∴{logan－2}是首項(xiàng)為－2，公比為的等比數(shù)列∴l(xiāng)ogan－2＝－2×（）n-1∴an＝2練習(xí)7：已知a＝3an，且a1＝9，求通項(xiàng)an答：an＝38、含an＋1an與an＋1±an對(duì)于形如an＝的遞推數(shù)列，總能取倒，化為類型3，進(jìn)而求出通項(xiàng)an例：已知3anan－1＋an－an－1＝0，a1＝，求通項(xiàng)an解：由3anan－1＋an－an－1＝0，得an＝取倒得＝＝＋3∴－＝3∴{}是首項(xiàng)為＝2，公差為3的等差數(shù)列∴＝2＋（n－1）×3＝3n－1∴an＝練習(xí)8：①已知3anan－1＋an＋an－1＝0，a1＝，求通項(xiàng)an答：an＝②已知an＝，a1＝2，求通項(xiàng)an答：an＝9、an－1＝型對(duì)于此種遞推關(guān)系，當(dāng)b=0時(shí)，此即類型8，當(dāng)b≠0時(shí)，可兩邊同加上常數(shù)λ，化為類型8例9：數(shù)列{an}中，已知a7＝4，且an+1＝，求數(shù)列{an}的最小項(xiàng)與最大項(xiàng)解：設(shè)an+1+λ=令，得λ=－2∴an+1－2=∴==－∴{}等差∴=+（n－7）×（－）=∴an＝2＋＝2－∴a9最大，a9＝12，a10最小，a10＝－8練習(xí)9：①數(shù)列{an}中，已知a5＝6，an+1＝，求通項(xiàng)an答：an＝3＋＝②數(shù)列{an}中，已知a5＝6，an+1an－an+1－7an＋16＝0，求通項(xiàng)an答：an＝10、an+2＝pan+1+qan型對(duì)此種類型的遞推關(guān)系，可設(shè)an+2+λan+1=μ（an+1+λan），其中λ、μ滿足，從而得到數(shù)列{an+1+λan}