《高等幾何》復(fù)習(xí)大綱、樣題和答案全

/《高等幾何》復(fù)習(xí)大綱仿射坐標(biāo)與仿射變換一、要求1.掌握透視仿射對(duì)應(yīng)概念和性質(zhì).以及仿射坐標(biāo)的定義和性質(zhì)。熟練掌握單比的定義和坐標(biāo)表示。2.掌握仿射變換的兩種等價(jià)定義；熟練掌握仿射變換的代數(shù)表示.以及幾種特殊的仿射變換的代數(shù)表示。3.掌握?qǐng)D形的仿射性質(zhì)和仿射不變量。二、考試內(nèi)容1.單比的定義和求法。2.仿射變換的代數(shù)表示式.以及圖形的仿射性質(zhì)和仿射不變量。3.仿射變換的不變點(diǎn)和不變直線的求法。射影平面一、要求1.掌握中心射影與無窮遠(yuǎn)元素的基本概念.理解無窮遠(yuǎn)元素的引入。2.熟練掌握笛薩格〔Desargues定理及其逆定理的應(yīng)用。3.熟練掌握齊次點(diǎn)坐標(biāo)的概念及其有關(guān)性質(zhì)。4.理解線坐標(biāo)、點(diǎn)方程的概念和有關(guān)性質(zhì)。5.掌握對(duì)偶命題、對(duì)偶原則的理論。二、考核內(nèi)容1.中心投影與無窮遠(yuǎn)元素中心投影.無窮遠(yuǎn)元素.圖形的射影性質(zhì)。2.笛薩格〔Desargues定理應(yīng)用笛薩格〔Desargues定理及其逆定理證明有關(guān)結(jié)論。3.齊次點(diǎn)坐標(biāo)齊次點(diǎn)坐標(biāo)的計(jì)算及其應(yīng)用。4.線坐標(biāo)線坐標(biāo)的計(jì)算及其應(yīng)用。5.對(duì)偶原則作對(duì)偶圖形.寫對(duì)偶命題.對(duì)偶原則和代數(shù)對(duì)偶的應(yīng)用。射影變換與射影坐標(biāo)一、要求1.熟練掌握共線四點(diǎn)與共點(diǎn)四線的交比與調(diào)和比的基本概念、性質(zhì)和應(yīng)用。2.掌握完全四點(diǎn)形與完全四線形的調(diào)和性及其應(yīng)用。3.掌握一維射影變換的概念、性質(zhì).代數(shù)表示式和參數(shù)表示式。4.掌握二維射影變換的概念、性質(zhì)以及代數(shù)表示式。5.理解一維、二維射影坐標(biāo)的概念以及它們與仿射坐標(biāo)、笛氏坐標(biāo)的關(guān)系。二、考試內(nèi)容1.交比與調(diào)和比交比的定義、基本性質(zhì)及其計(jì)算方法.調(diào)和比的概念及其性質(zhì)。2.完全四點(diǎn)形與完全四線形完全四點(diǎn)形與完全四線形的概念及其調(diào)和性。3.一維基本形的射影對(duì)應(yīng)一維射影對(duì)應(yīng)的性質(zhì).與透視對(duì)應(yīng)的關(guān)系.以及代數(shù)表示式。。4.二維射影變換5.二維射影對(duì)應(yīng)〔變換與非奇線性對(duì)應(yīng)的關(guān)系。6.射影坐標(biāo)一維射影坐標(biāo)、二維射影坐標(biāo)。7.一維、二維射影變換的不變?cè)厍笠痪S射影變換的不變點(diǎn).二維射影變換的不變點(diǎn)和不變直線。變換群與幾何學(xué)一、要求1.了解變換群的概念。2.理解幾何學(xué)的群論觀點(diǎn)。3.弄清歐氏幾何、仿射幾何、射影幾何之間的關(guān)系及其各自的研究對(duì)象。二、考試內(nèi)容1.變換群與幾何學(xué)的關(guān)系。2仿射幾何、射影幾何學(xué)相應(yīng)的變換群、研究對(duì)象基本不變量和基本不變性。二次曲線的射影理論一、要求1.掌握二隊(duì)〔級(jí)曲線的射影定義、二階曲線與直線的相關(guān)位置.二階曲線的切線.二階曲線與二級(jí)曲線的關(guān)系。2.掌握巴斯加定理、布利安桑定理以及巴斯加定理特殊情形。3.掌握極點(diǎn).極線的概念和計(jì)算方法.熟練掌握配極原則。4.了解二階曲線的射影分類。二、考試內(nèi)容1.二階〔級(jí)曲線的概念.性質(zhì)和互化.求二階曲線的主程和切線方程。2.應(yīng)用巴勞動(dòng)保護(hù)加定理和布利安桑定理及其特殊情形證明有關(guān)問題.解決相在的作圖問題。3.二階曲線的射影分類。二次曲線的仿射性質(zhì)和度量性質(zhì)一、要求和考試內(nèi)容1.掌握二次曲線的中心、直徑、共軛直徑、漸近線等概念和性質(zhì)。<一>一、填空題〔每題2分.共10分1、平行四邊形的仿射對(duì)應(yīng)圖形為：；2、線坐標(biāo)〔1.2.1的直線的齊次方程為：；3、直線上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為：；4、設(shè)<AB,CD>=.則點(diǎn)偶調(diào)和分割點(diǎn)偶；5、兩個(gè)射影點(diǎn)列成透視的充要條件是；二、作圖題〔每題6分.共6分1、敘述下列圖形中的點(diǎn)線結(jié)合關(guān)系及其對(duì)偶命題.并畫出對(duì)偶圖形。三、計(jì)算題〔每題10分.共30分求仿射變換式使直線x＋2y－1＝0上的每個(gè)點(diǎn)都不變.且使點(diǎn)〔1.-1變?yōu)椤?1.2求射影變換的固定元素。3、敘述二次曲線的中心、直徑.共軛直徑漸近線等概念.并舉例說明。四、證明題〔每題12分.共24分1、敘述并證明布利安桑定理。2、設(shè)〔AB、CD=-1.O為CD的中點(diǎn).則OC2=OA·OB〔此題為有向線段參考答案一、填空題1、平行四邊形2、3、〔2.-3.04、AC,BD5、保持公共元素不變二、作圖題1、每三點(diǎn)不共線的五個(gè)點(diǎn).兩兩連線。對(duì)偶：沒三線不共點(diǎn)的五條線.兩兩相交。對(duì)偶圖形就是自己三、計(jì)算題1解設(shè)所求仿射變換為在已知直線x+2y-1=0上任取兩點(diǎn).例如取〔1.0、〔3.-1.在仿射變換下.此二點(diǎn)不變。而點(diǎn)〔1.-1變?yōu)椤?1.2.把它們分別代入所設(shè)仿射變換式.得.由以上方程聯(lián)立解得：＝2.=2,=-1,=-,=-2,=故所求的仿射變換為：解由題設(shè)的射影變換式.得把它們代入射影變換的固定方程組6.5公式<2>,即得由此得特征方程為:=0,即<1+u><1-u>2=0解得u=1〔二重根,u=—1將u=—1代入固定點(diǎn)方程組.即得固定點(diǎn)為〔1.0.0將u=1代入固定點(diǎn)方程組.得x1=0這是一固定點(diǎn)列即直線A2A3上的每一點(diǎn)都是固定點(diǎn)。把的值代入射影變換的固定直線方程組6。5公式〔5.即得則特征方程為=0即〔1+v<1-v>2=0,解得v=-1v=1<二重根>。將v=-1代入固定直線方程組.即得固定直線為〔1.0.0。將v=1代入固定直線方程組.得u1=0,即通過點(diǎn)〔1.0.0見課本四、證明題1、見課本2、證明這里所用的都是有向線段.利用O為CD中點(diǎn)這一假設(shè).便有OD=-OC來論證的.由〔AB.CD=-1.得=-1即AC·BD+AD·BC=0〔1把所有線段都以O(shè)點(diǎn)做原點(diǎn)來表達(dá).由〔1得〔OC-OA〔OD-OB+〔OD-OA〔OC-OB=0〔2由〔2去括號(hào).移項(xiàng).分解因子.得2〔OA·OB+OC·OD=〔OA+OB〔OC+OD2〔OA·OB-OC2=〔OA+OB·0∴OA·OB-OC2=0即OC2=OA·OB〔二填空題〔每小題4分.共20分1、設(shè)<1>.<-1>.<>為共線三點(diǎn).則1。2、寫出德薩格定理的對(duì)偶命題：如果兩個(gè)三線形對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)在一條直線上.則對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線交于一點(diǎn)。3、若共點(diǎn)四直線a,b,c,d的交比為<ab,cd>=-1.則交比<ad,bc>=__2____。4、平面上4個(gè)變換群.射影群.仿射群.相似群.正交群的大小關(guān)系為：射影群包含仿射群.仿射群包含相似群.相似群包含正交群二次曲線的點(diǎn)坐標(biāo)方程為.則其線坐標(biāo)方程為是選擇題〔每小題2分.共10分1.下列哪個(gè)圖形是仿射不變圖形？<D>A.圓B.直角三角形C.矩形D.平行四邊形2.表示<C>A.以-1/4為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以1/2為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)B.以-4為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以2為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)C.以4為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以-2為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)D.以1/4為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)和以-1/2為方向的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)3.兩個(gè)不共底且不成透視的射影點(diǎn)列至少可以由幾次透視對(duì)應(yīng)組成？<B>A.一次B.兩次C.三次D.四次4.下面的名稱或定理分別不屬于仿射幾何學(xué)有<A>：A.三角形的垂心B.梯形C.在平面內(nèi)無三線共點(diǎn)的四條直線有六個(gè)交點(diǎn)D.橢圓5.二次曲線按射影分類總共可分為<B>A.4類B.5類C.6類D.8類三、判斷題〔每小題2分.共10分1.仿射對(duì)應(yīng)不一定保持二直線的平行性?！病?.兩直線能把射影平面分成兩個(gè)區(qū)域?！病?.當(dāng)正負(fù)號(hào)任意選取時(shí).齊次坐標(biāo)表示兩個(gè)相異的點(diǎn)?！病?.在一維射影變換中.若已知一對(duì)對(duì)應(yīng)元素<非自對(duì)應(yīng)元素>符合對(duì)合條件.則此射影變換一定是對(duì)合。〔√配極變換是一種非奇線性對(duì)應(yīng)?！病趟?、作圖題〔8分已知線束中三直線a,b,c.求作直線d.使<ab,cd>=-1?！伯媹D.寫出作法過程和根據(jù)作法過程：1、設(shè)a,b,c交于點(diǎn)A.在c上任取一點(diǎn)C,〔2分2、過C點(diǎn)作兩直線分別與a交于B、E.與b交于F.D.〔2分3、BD與EF交于G,4、AG即為所求的d。〔2分根據(jù)：完全四點(diǎn)形的調(diào)和共軛性〔2分五、證明題〔10分如圖.設(shè)FGH是完全四點(diǎn)形ABCD對(duì)邊三點(diǎn)形.過F的兩直線TQ與SP分別交AB.BC.CD.DA于T.S.Q.P.試?yán)玫滤_格定理〔或逆定理證明：TS與QP的交點(diǎn)M在直線GH上。在三點(diǎn)形BTS與三點(diǎn)形DQP中〔4分對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線BD,TQ,SP三線共點(diǎn).〔2分由德薩格定理的逆定理知.〔2分對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)BT與DQ的交點(diǎn)G.TS與QP的交點(diǎn)M以及BS與DP的交點(diǎn)H三點(diǎn)共線.即TS與QP的交點(diǎn)M在直線GH上六、計(jì)算題〔42分1.〔6分平面上經(jīng)過A〔-3.2和B〔6.1兩點(diǎn)的直線被直線x+3y-6=0截于P點(diǎn).求單比<ABP>解：設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為〔x0.yo〔分割比.〔2分且P在直線x+3y-6=0上.解得λ=1.〔2分即P是AB中點(diǎn).且〔ABP=－12.〔6分已知仿射平面上直線l的非齊次坐標(biāo)方程為x-2y+1=0.求〔1l的齊次坐標(biāo)方程；〔2l上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)；〔3l上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的方程?！?〔2分〔2〔1.1/2.0〔2分〔33.<8分>在直線上取笛氏坐標(biāo)為2.0.3的三點(diǎn)作為射影坐標(biāo)系的P*,P0,E.<i>求此直線上任一點(diǎn)P的笛氏坐標(biāo)x與射影坐標(biāo)λ的關(guān)系；〔ii問有沒有一點(diǎn).它的兩種坐標(biāo)相等？解：〔i由定義λ=〔P*P0.EP=〔20.3x=〔4分<ii>若有一點(diǎn)它的兩種坐標(biāo)相等.即x=λ則有.即3x2－7x=0.∴當(dāng)x=0及x=時(shí)兩種坐標(biāo)相等。〔8分求點(diǎn)列上的射影變換.它將參數(shù)為1,2,3的點(diǎn)分別變?yōu)閰?shù)為1,3,2的點(diǎn).并求出此射影變換的自對(duì)應(yīng)元素的參數(shù)。設(shè)射影變換的方程為：〔2分由題意知：a+,,6a+3b+2c+d=0得到：故射影變換方程為：〔4分二重元素滿足：得=7/3或=1<6分>求由兩個(gè)射影線束..所構(gòu)成的二階曲線的方程。解：由題意：〔2分由上式得：〔2分故所求方程即為<8分>試求二次曲線Γ：+2x1x3-4x2x3=0的中心與漸近線。二次曲線的齊次方程為：x12+3x1x2-4x22+2x1x3－10x2x3=0.∴二次曲線為常態(tài)的.設(shè)中心則中心為〔4分求漸近線方程：a11X2+2a12XY+a22Y2=0.X=x－ξ.Y=y－η。從X2+3XY－4Y2=0→〔X+4Y〔X－Y=0.X+4Y=<x－>+4<y+>=0→5x+20y+18=0.〔2分X－Y=<x－>－<y+>=0→5x－5y－8=0?！踩?、填空題<每空2分.共20分>1.經(jīng)過一切透視仿射不改變的性質(zhì)和數(shù)量.稱為仿射不變性和仿射不變量.2.共線三點(diǎn)的簡(jiǎn)比是___仿射____不變量.3.平面內(nèi)三對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)<原象不共線.映射也不共線>決定唯一___仿射變換____.4.點(diǎn)坐標(biāo)為<1.0.0>的方程是__u1=0_____.5.=0代表點(diǎn)____<1.1.0>、<1.-1.0>___的方程.6.已知共線四點(diǎn)A、B、C、D的交比<AB.CD>=2.則<CA.BD>=____-1___.7.對(duì)合由____兩對(duì)不同的對(duì)應(yīng)元素___唯一決定.8.二階曲線就是_____兩個(gè)射影線束對(duì)應(yīng)直線交點(diǎn)__的全體.9.證明公理體系的和諧性常用____模型___法.10.羅巴切夫斯基平面上既不相交.又不平行的兩直線叫做___分散____直線.二、計(jì)算題<每小題6分.共30分>1.求直線x-2y+3=0上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)。1.解：化為齊次式x1-2x2+3x3=0,以x3=0代入得x1-2x2=0.x1=2x2或x2=∴無窮遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為<2.1.0>2.求仿射變換的不變點(diǎn).2.解：由得解此方程.得不變點(diǎn)為求四點(diǎn)<2.1.-1>.<1.-1.1>.<1.0.0>.<1.5.-5>順這次序的交比.3.解：以<2.1.-1>和<1.-1.1>為基底.則<2.1.-1>+μ1<1,-1,1>相當(dāng)于<1.0.0>∴得μ1=1又<2.1.-1>+μ2<1,-1,1>相當(dāng)于<1.5.-5>∴得μ2=-所求交比為4.試求二階曲線的方程.它是由兩個(gè)射影線束x1-λx3=0與x2-x3=0<=>所決定的.4.解：∵=<1>將x1-λx3=0,x2-x3=0中的.λ.代入<1>得得x2<x1+2x3>-x3<x1-x3>=0.化簡(jiǎn).即得所求的二階曲線方程5.求二次曲線2x2+xy-3y2+x-y=0的漸近線.5.解：∵系數(shù)行列式∴A31=,A32=,A33=-,因此中心坐標(biāo)ξ=-,η=-.由2X2+XY-3Y2=0.即<2X+3Y><X-Y>=0.得2X+3Y=0X-Y=0.<1>將X=x+Y=y+代入<1>得2x+3y+1=0x-y=0即為所求的漸近線方程三、作圖題<每小題6分.共18分>1.給定點(diǎn)A、B.作出點(diǎn)C.使<ABC>=4.作法：∵<ABC>=.∴,即=3.在AB延長(zhǎng)線上.作點(diǎn)C.使BC=AB2.過定點(diǎn)P.作一條直線.使通過兩條已知直線的不可到達(dá)的點(diǎn).作法：2.作法：<利用代沙格定理>：任取線束S.設(shè)束中兩條直線交a于A.C.交b于A′.C′；連直線PC.PC′分別交線束S的第三條直線于B.B′；直線BA和B′A′的交點(diǎn)Q與點(diǎn)P的連線.即為所求的直線.注：1°文字.2°也可利用巴卜斯定理；或完全四點(diǎn)形調(diào)和性質(zhì)作圖.3.如圖.求作點(diǎn)P關(guān)于二次曲線Γ的極線作法：3.作法：過P點(diǎn)任引兩直線.使與Γ分別交于A、B及C、D.設(shè)Q=AC×BD.R=AD×BC.那么直線QR即為所求的極線.四、證明題<第1、2題各10分.第3小題12分.共32分>1.設(shè)P、Q、R、S是完全四點(diǎn)形的頂點(diǎn).A=PS×QR,B=PR×QS,C=PQ×RS,證明A1=BC×QR,B1=CA×RP,C1=AB×PQ三點(diǎn)共線.證明：1.證明：在△ABC及△PQR中.∵AP、BQ、CR共點(diǎn)S.∴對(duì)應(yīng)邊的交點(diǎn)C1=AB×PQ.B1=CA×RP,A1=BC×RQ三點(diǎn)共線2.過二次曲線的焦點(diǎn)F.引兩條共軛直線l,l′.證明l⊥l′.證明：2.證明：已知F為焦點(diǎn).l.l′為由F所引的二共軛直線.按其點(diǎn)定義.兩迷向直線FI.FJ是二次曲線的切線.從而<FI.FJ.l.l′>=-1.所以l⊥l′3.將△ABC的每邊分成三等份.每個(gè)分點(diǎn)跟三角形的對(duì)頂相連.這六條線構(gòu)成一個(gè)六邊形<圖甲>.求證它的三雙對(duì)頂連線共點(diǎn)。證明<按以下程序作業(yè)>：第一步：將△ABC仿射變換為等邊△A′B′C′<圖乙>.為什么這樣變換存在?第二步：在圖乙中.畫出圖甲的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和線段.并敘述原來命題對(duì)應(yīng)地變成怎樣的命題。第三步：證明：變換后的相應(yīng)命題成立。這樣原來命題也就成立.為什么?3.第一步.∵任意兩三角形.總存在仿射變換.使其中一個(gè)三角形仿射變換為另一三角形.第二步：正三角形的每邊三等份.每一分點(diǎn)跟三角形的對(duì)頂相連.這六條線構(gòu)成一個(gè)六邊形.求證它的三雙對(duì)頂?shù)倪B線共點(diǎn).第三步：由A′作B′C′邊上的高線A′S.∵△A′B′C′是正三角形.由對(duì)稱性可知K′.N′在A′S上.同理J′、M′與P′L′也分別在過點(diǎn)B′、C′所作的高線上.因?yàn)椤鰽′B′C′的三高線共點(diǎn).所以六邊形J′K′L′M′N′P′的三對(duì)頂點(diǎn)的連線共點(diǎn).正三角形的垂心和重心是合一的.由于仿射變換構(gòu)成變換群.且同素性和接合關(guān)系以及三角形的重心是仿射不變性.所以原命題也成立.〔四填空題〔2分12=24分1、平行四邊形的仿射對(duì)應(yīng)圖形為：平行四邊形；2、直線上無窮遠(yuǎn)點(diǎn)坐標(biāo)為：〔5.-1.03、已知,則3-24、過點(diǎn)A<1,,2>的實(shí)直線的齊次方程為：5、方程表示的圖形坐標(biāo)〔1,2,0〔1,3,06、已知軸上的射影變換式為.則原點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)-7、求點(diǎn)關(guān)于二階曲線的極線方程8、為平行四邊形.過引與對(duì)角線平行.則=-19、一點(diǎn)列到自身的兩射影變換a：..；b：..其中為對(duì)合的是：b10、求射影變換的自對(duì)應(yīng)元素的參數(shù)111、兩個(gè)線束點(diǎn)列成透視的充要條件是底的交點(diǎn)自對(duì)應(yīng)12、直線上的三點(diǎn)..的單比=1二、求二階曲線的方程.它是由下列兩個(gè)射影線束所決定的：與且。解：射影對(duì)應(yīng)式為。由兩線束的方程有：。將它們代入射影對(duì)應(yīng)式并化簡(jiǎn)得.此即為所求二階曲線的方程。三、證明：如果兩個(gè)三點(diǎn)形內(nèi)接于同一條二次曲線.則它們也同時(shí)外切于一條二次曲線。證明：三點(diǎn)形ABC和三點(diǎn)形內(nèi)接于二次曲線〔C.設(shè)AB=DAB=EBC=AC=.則所以.即這兩個(gè)點(diǎn)列對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線AC..,BC連同這兩個(gè)點(diǎn)列的底AB