新教材人教B版必修第四冊(cè)1132直線(xiàn)與平面平行學(xué)案

11.3.2直線(xiàn)與平面平行必備學(xué)問(wèn)·自主學(xué)習(xí)“直線(xiàn)在平面外〞與“直線(xiàn)與平面沒(méi)有公共點(diǎn)〞是相同的意思嗎?提示:不相同.前者包括直線(xiàn)與平面平行及直線(xiàn)與平面相交這兩種狀況,而后者僅指直線(xiàn)與平面平行.(1)直線(xiàn)與平面平行的判定定理中“平面外〞可以去掉嗎?試畫(huà)圖舉例說(shuō)明.提示:不行以.如下圖,a∥b,b?α,但是a與α不平行,實(shí)際上a?α.(2)假設(shè)一條直線(xiàn)平行于一個(gè)平面內(nèi)的一條直線(xiàn),那么這條直線(xiàn)和這個(gè)平面平行,對(duì)嗎?提示:依據(jù)直線(xiàn)與平面平行的判定定理可知該結(jié)論錯(cuò)誤.(3)直線(xiàn)與平面平行的判定定理的本質(zhì)是將直線(xiàn)與平面平行轉(zhuǎn)化為什么?提示:將直線(xiàn)與平面平行轉(zhuǎn)化為直線(xiàn)與直線(xiàn)平行.(1)直線(xiàn)a∥平面α,過(guò)平面α內(nèi)的點(diǎn)P如何作與直線(xiàn)a平行的直線(xiàn)?提示:經(jīng)過(guò)直線(xiàn)a和點(diǎn)P作一個(gè)平面和平面相交,那么交線(xiàn)和直線(xiàn)a平行,此交線(xiàn)在平面α內(nèi),就是要作的直線(xiàn).(2)直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理有什么作用?提示:定理的作用:①線(xiàn)面平行?線(xiàn)線(xiàn)平行;②畫(huà)一條直線(xiàn)與直線(xiàn)平行.(3)線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理給出了線(xiàn)面平行的什么條件?提示:由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理以及充要條件的定義可知:線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理給出了線(xiàn)面平行的一個(gè)必要條件.(4)假設(shè)a∥α,b?α,那么直線(xiàn)a肯定與直線(xiàn)b平行嗎?∥α可知直線(xiàn)a與平面α無(wú)公共點(diǎn),又b?α,所以a與b無(wú)公共點(diǎn),所以直線(xiàn)a與直線(xiàn)b平行或異面.1.辨析記憶(對(duì)的打“√〞,錯(cuò)的打“×〞)(1)假設(shè)直線(xiàn)a與平面α內(nèi)很多條直線(xiàn)平行,那么a∥α.()(2)假設(shè)直線(xiàn)l∥平面α,那么l與平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都不相交.()(3)假設(shè)直線(xiàn)a∥平面α,直線(xiàn)a∥直線(xiàn)b,那么直線(xiàn)b∥平面α.()(4)假設(shè)直線(xiàn)a,b和平面α滿(mǎn)意a∥α,b∥α,那么a∥b.()提示:(1)×.假設(shè)直線(xiàn)a與平面α內(nèi)很多條直線(xiàn)平行,那么這條直線(xiàn)可能在這個(gè)平面內(nèi),也可能與這個(gè)平面平行,所以該命題錯(cuò)誤.(2)√.假設(shè)直線(xiàn)l∥平面α,那么l與平面α無(wú)公共點(diǎn),所以l與平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都不相交.(3)×.直線(xiàn)b有可能在平面α內(nèi).(4)×.假設(shè)直線(xiàn)a,b和平面α滿(mǎn)意a∥α,b∥α,那么a與b平行、相交和異面都有可能.2.以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是()A.假設(shè)直線(xiàn)a∥平面α,直線(xiàn)b∥平面α,那么直線(xiàn)a∥直線(xiàn)bB.假設(shè)直線(xiàn)a∥平面α,直線(xiàn)a與直線(xiàn)b相交,那么直線(xiàn)b與平面α相交C.假設(shè)直線(xiàn)a∥平面α,直線(xiàn)a∥直線(xiàn)b,那么直線(xiàn)b∥平面αD.假設(shè)直線(xiàn)a∥平面α,那么直線(xiàn)a與平面α內(nèi)任意一條直線(xiàn)都無(wú)公共點(diǎn)【解析】選D.A中直線(xiàn)a與直線(xiàn)b也可能異面、相交,所以不正確;B中,直線(xiàn)b也可能與平面α平行,所以不正確;C中,直線(xiàn)b也可能在平面α內(nèi),所以不正確;依據(jù)直線(xiàn)與平面平行的定義知D正確.3.假設(shè)a,b是異面直線(xiàn),a∥α,那么b與α的關(guān)系為()∥α或b?αα相交或b?α或b∥αα相交或b∥αα相交或b?α【解析】′B′C′D′中,①A′D′與AB異面,A′D′∥平面BCC′B′,而AB與平面BCC′B′相交;②A(yíng)′D′與BB′異面,A′D′∥平面BCC′B′,而B(niǎo)B′在平面BCC′B′內(nèi);③分別取AB,A′B′中點(diǎn)E,F,EF與A′D′異面,A′D′∥平面BCC′B′,而EF與平面BCC′B′平行.4.(教材二次開(kāi)發(fā):例題改編)如下圖,在空間四邊形ABCD中,M∈AB,N∈AD,假設(shè)QUOTE=QUOTE,那么MN與平面BDC的位置關(guān)系是_______.

【解析】由于在△ABD,中QUOTE=QUOTE,所以MN∥BD,又由于MN?平面BCD,BD?平面BCD,所以MN∥平面BCD.答案:平行關(guān)鍵力量·合作學(xué)習(xí)類(lèi)型一直線(xiàn)與平面平行的判定(規(guī)律推理)【典例】1.平面α與△ABC的兩邊AB,AC分別交于D,E,且QUOTE=QUOTE,如下圖,那么BC與平面α的位置關(guān)系是()?α2.如圖,在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,P,Q分別是BC,C1D1,AD1(1)求證:PQ∥平面DCC1D1.(2)求證:EF∥平面BB1D1D.【思路導(dǎo)引】QUOTE=QUOTE可以推出ED∥BC.2.(1)充分借助于P,Q為中點(diǎn)這一條件,用三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)證明直線(xiàn)與直線(xiàn)平行.(2)要證明EF∥平面BB1D1D,需要在平面BB1D1D內(nèi)找到與EF平行的直線(xiàn),此直線(xiàn)與EF構(gòu)成平行四邊形.【解析】QUOTE=QUOTE,所以ED∥BC,又DE?α,BC?α,所以BC∥α.2.(1)連接AC,D1C由于四邊形ABCD是正方形,所以Q是AC的中點(diǎn),又P是AD1的中點(diǎn),所以PQ∥D1C由于PQ?平面DCC1D1,D1C?平面DCC1D1,所以PQ∥平面DCC1D1(2)連接D1Q,QE,由于Q,E分別是BD,BC的中點(diǎn),所以QE∥DC,QE=QUOTEDC,由于F是C1D1的中點(diǎn),四邊形DCC1D1是正方形,所以D1F∥DC,D1F=QUOTEDC,所以QE∥D1F,QE=D1F,所以四邊形QEFD1是平行四邊形,所以EF∥QD1,由于EF?平面BB1D1D,QD1?平面BB1D1D,所以EF∥平面BB1D1D.應(yīng)用判定定理證明線(xiàn)面平行的步驟上面的第一步“找〞是證題的關(guān)鍵,其常用方法有:①空間直線(xiàn)平行關(guān)系的傳遞性法;②三角形中位線(xiàn)法;③平行四邊形法;④成比例線(xiàn)段法.提示:線(xiàn)面平行判定定理應(yīng)用的誤區(qū)(1)條件排列不全,最易遺忘的條件是“直線(xiàn)在平面外〞.(2)不能利用題目條件順當(dāng)?shù)卣业絻善叫兄本€(xiàn).1.如圖,在三棱臺(tái)DEFABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點(diǎn).求證:BD∥平面FGH.【證明】連接DG,在三棱臺(tái)DEFABC中,AB=2DE,G為AC的中點(diǎn),可得DF∥GC,DF=GC,所以四邊形DFCG為平行四邊形,連接CD,設(shè)CD∩FG=O,那么O為CD的中點(diǎn),連接OH.又H為BC的中點(diǎn),所以O(shè)H∥BD.又OH?平面FGH,BD?平面FGH,所以BD∥平面FGH.2.如圖,有公共邊AB的兩個(gè)全等的正方形ABCD和ABEF不在同一平面內(nèi),M,N分別是對(duì)角線(xiàn)AC,BF上的點(diǎn),且AM=FN,求證:MN∥平面CBE.【證明】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是a,AM=FN=x,作MP⊥BC,NQ⊥BE,那么MP∥AB,NQ∥AB,所以MP∥NQ,又NQ=aQUOTEx,MP=aQUOTEx,所以MPNQ,即MPQN是平行四邊形,所以MN∥PQ,由于PQ?平面CBE,MN?平面CBE,所以MN∥平面CBE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如圖,四棱錐EABCD中,底面ABCD是平行四邊形,M,N分別為BC,DE的中點(diǎn).證明:CN∥平面AEM.【證明】取AE中點(diǎn)F,連接MF,FN.由于在△AED中,F,N分別為EA,ED中點(diǎn),所以FNQUOTEAD.又由于四邊形ABCD是平行四邊形,所以BCAD.又M是BC中點(diǎn),所以MCQUOTEAD,所以FNMC.所以四邊形FMCN為平行四邊形,所以CN∥MF,又CN?平面AEM,MF?平面AEM,所以CN∥平面AEM.類(lèi)型二直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理的應(yīng)用(規(guī)律推理)【典例】如下圖,四邊形ABCD是平行四邊形,點(diǎn)P是平面ABCD外的一點(diǎn),M是PC的中點(diǎn),在DM上取一點(diǎn)G,過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH,求證:PA∥GH.【思路導(dǎo)引】要證PA∥GH,觀(guān)看到過(guò)PA的平面PAHG與平面BDM相交于GH,需要先證PA∥平面BDM.【證明】連接AC,設(shè)AC∩BD=O,連接MO.由于四邊形ABCD為平行四邊形,所以O(shè)是AC的中點(diǎn),又M是PC的中點(diǎn),所以MO∥PA.又MO?平面BDM,PA?平面BDM,所以PA∥平面BDM.又由于平面BDM∩平面PAHG=GH,PA?平面PAHG,所以PA∥GH.將本例條件“M是PC的中點(diǎn),在DM上取一點(diǎn)G,過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH〞改為“點(diǎn)E在線(xiàn)段PA上,PC∥平面BDE〞,求證:AE=PE.【證明】連接AC交BD于點(diǎn)F,連接EF,由于底面ABCD是平行四邊形,所以F是AC的中點(diǎn),由于PC∥平面BDE,又由于平面BDE∩平面PAC=EF,PC?平面PAC,所以PC∥EF,所以EF是△PAC的中位線(xiàn),所以AE=PE.(1)依據(jù)線(xiàn)面平行關(guān)系推出線(xiàn)線(xiàn)平行關(guān)系.(2)在三角形內(nèi)利用三角形中位線(xiàn)性質(zhì)、平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理推出有關(guān)線(xiàn)段的關(guān)系.(3)利用所得關(guān)系計(jì)算所求值.1.如圖,四棱錐PABCD的底面是平行四邊形,AC交BD于點(diǎn)O,E為AD的中點(diǎn),F在PA上,AP=λAF,PC∥平面BEF,那么λ的值為()A.1B.QUOTE【解析】選D.如下圖,設(shè)AO交BE于點(diǎn)G,連接FG,由于E為AD的中點(diǎn),那么AE=QUOTEAD=QUOTEBC.由于四邊形ABCD是平行四邊形,AD∥BC,所以△AEG∽△CBG,由于QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,由于PC∥平面BEF,PC?平面PAC,平面BEF∩平面PAC=GF,所以GF∥PC,所以λ=QUOTE=QUOTE=3.2.如圖,在三棱柱ABCA1B1C1中,D是BC的中點(diǎn),E是A1C1上一點(diǎn),A1B∥平面B1DE,那么QUOTE的值為_(kāi)______.

【解析】如下圖,連接BC1交B11B1C1中,由于BCB1C1所以△BDF∽△C1B1F所以BD=QUOTEBC=QUOTEB1C1,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.由于A(yíng)1B∥平面B1DE,A1B?平面A1BC1,平面A1BC1∩平面B1DE=EF,所以A1B∥EF,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE3.在矩形ABCD中,E為AB上一點(diǎn),將B點(diǎn)沿線(xiàn)段EC折起至點(diǎn)P,連接PA,PD,取PD的中點(diǎn)F,假設(shè)有AF∥平面PEC,試確定E點(diǎn)的位置.【解析】E為AB的中點(diǎn)時(shí),有AF∥平面PEC.證明如下:取PC中點(diǎn)G,連接GE,GF,由條件知:GF∥CD.由于EA∥CD,所以GF∥EA,那么G,E,A,F四點(diǎn)共面,由于A(yíng)F∥平面PEC,平面GEAF∩平面PEC=GE,所以FA∥GE,所以四邊形GEAF為平行四邊形,由于GF=QUOTECD,所以EA=GF=QUOTECD=QUOTEBA,所以E為AB的中點(diǎn).類(lèi)型三線(xiàn)面平行判定定理與性質(zhì)定理的綜合運(yùn)用(規(guī)律推理、直觀(guān)想象)【典例】如圖,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,點(diǎn)P∈BB1(P不與B,B1重合),PA∩A1B=M,PC∩BC1【思路導(dǎo)引】利用線(xiàn)面平行的判定定理證明AC∥平面A1BC1,再由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理得AC∥MN.【證明】連接AC,A1C1,在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中,AA1∥CC1,AA1=CC1,所以四邊形ACC1A1是平行四邊形,所以AC∥A由于A(yíng)C?平面A1BC1,A1C1?平面A1BC1,所以AC∥平面A1BC1由于A(yíng)C?平面PAC,平面A1BC1∩平面PAC=MN,所以AC∥MN.由于MN?平面ABCD,AC?平面ABCD,所以MN∥平面ABCD.利用線(xiàn)面平行的判定定理和性質(zhì)定理的關(guān)鍵及思索方向關(guān)鍵:是過(guò)直線(xiàn)作平面與平面相交.思索方向:假設(shè)條件中含有線(xiàn)線(xiàn)平行,可考慮線(xiàn)面平行的判定定理;假設(shè)條件中含有線(xiàn)面平行,可考慮線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理得線(xiàn)線(xiàn)平行.如圖,用平行于四周體ABCD的一組對(duì)棱AB,CD的平面截此四周體,求證:截面MNPQ是平行四邊形.【證明】由于A(yíng)B∥平面MNPQ,平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB?平面ABC,所以由線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理,知AB∥MN.同理AB∥PQ,所以MN∥∥NP.所以截面MNPQ是平行四邊形.【延長(zhǎng)探究】1.假設(shè)此題條件不變,求證:QUOTE=QUOTE.【證明】由題解知:PQ∥AB,所以QUOTE=QUOTE.又QM∥DC,所以QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE.2.假設(shè)此題中添加條件:AB⊥CD,AB=10,CD=8,且BP∶PD=1∶1,求四邊形MNPQ的面積.【解析】由題解知,四邊形MNPQ是平行四邊形,由于A(yíng)B⊥CD,所以PQ⊥QM,所以四邊形MNPQ是矩形.又BP∶PD=1∶1,所以PQ=5,QM=4,所以四邊形MNPQ的面積為5×4=20.備選類(lèi)型與平行有關(guān)的存在性問(wèn)題(規(guī)律推理)【典例】P為平行四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn),M,N分別為AB,PC的中點(diǎn),平面PAD∩平面PBC=l.(1)推斷BC與l的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(2)推斷MN與平面PAD的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論.【思路導(dǎo)引】(1)由BC∥AD,可得BC∥平面PAD,再利用線(xiàn)面平行的性質(zhì)定理可得BC∥l;(2)取PD的中點(diǎn)Q,連接AQ,NQ,可證四邊形AMNQ為平行四邊形,由線(xiàn)面平行的判定定理可得線(xiàn)面平行.【解析】(1)BC∥l.證明如下:由于BC∥AD,CB?平面PAD,AD?平面PAD,所以BC∥平面PAD,又由于BC?平面PBC,平面PAD∩平面PBC=l,所以BC∥l.(2)MN∥平面PAD.證明如下:取PD的中點(diǎn)Q,連接NQ,AQ,那么NQ∥CD,NQ=QUOTECD,又CDAB,所以NQAM,所以四邊形AMNQ為平行四邊形,所以MN∥AQ,又由于A(yíng)Q?平面PAD,MN?平面PAD,所以MN∥平面PAD.解決與平行有關(guān)的存在性問(wèn)題的根本策略(1)假定題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立).(2)在這個(gè)前提下進(jìn)行規(guī)律推理.①假設(shè)能導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí),說(shuō)明假設(shè)成立,即存在,并可進(jìn)一步證明;②假設(shè)導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H狀況相沖突的結(jié)果,那么說(shuō)明假設(shè)不成立,即不存在.如圖,在四棱錐PABCD中,底面四邊形ABCD為直角梯形,AD=QUOTEBC,AD∥BC,∠BCD=90°,在線(xiàn)段PB上是否存在點(diǎn)M,使得AM∥平面PCD?假設(shè)存在,請(qǐng)確定M點(diǎn)的位置;假設(shè)不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.【思路導(dǎo)引】∥PE及AD=QUOTEBC,AD∥BC可得M為PB上的一個(gè)三等分點(diǎn),且靠近點(diǎn)P.【解析】存在,點(diǎn)M是線(xiàn)段PB上靠近點(diǎn)P的一個(gè)三等分點(diǎn).證明如下:延長(zhǎng)BA,CD交于點(diǎn)E,連接PE,那么PE?∥平面PCD,由平面PBE∩平面PCD=PE,AM?平面PBE,那么AM∥PE.由AD=QUOTEBC,AD∥BC,得QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE=QUOTE,故點(diǎn)M是線(xiàn)段PB上靠近點(diǎn)P的一個(gè)三等分點(diǎn).課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.直線(xiàn)a和平面α,那么能得出a∥α的一個(gè)條件是()A.存在一條直線(xiàn)b,a∥b且b?αB.存在一條直線(xiàn)b,a∥b且b?αβ,a?β且α∥ββ,a∥β且α∥β【解析】選C.在選項(xiàng)A,B,D中,均有可能a在平面α內(nèi),故A,B,D不符合題意;在C中,兩平面平行,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都平行于另一個(gè)平面,故C符合題意.2.如圖,在三棱錐SABC中,E,F分別是SB,SC上的點(diǎn),且EF∥平面ABC,那么()A.EF與BC相交 B.EF∥BCC.EF與BC異面 【解析】選B.由于平面SBC∩平面ABC=BC,又由于EF∥平面ABC,所以EF∥BC.3.(教材二次開(kāi)發(fā):練習(xí)改編)如圖,在五面體FEABCD中,四邊形CDEF為矩形,M,N分別是BF,BC的中點(diǎn),那么MN與平面ADE的位置關(guān)系是_______.

【解析】由于M,N分別是BF,BC的中點(diǎn),所以MN∥CF.又四邊形CDEF為矩形,所以CF∥DE,所以MN∥DE.又MN?平面ADE,DE?平面ADE,所以MN∥平面ADE.答案:平行4.以下三個(gè)命題在“_______〞處都缺少同一個(gè)條件,補(bǔ)上這個(gè)條件使其構(gòu)成真命題(其中l(wèi),m為直線(xiàn),α為平面),那么此條件是_______.

【解析】①l∥m,m∥α,l?α?l∥α;②m?α,l∥m,l?α?l∥α;③l⊥m,m⊥α,l?α?l∥α.答案:l?α5.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,AB=2,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),點(diǎn)F在CD上.假設(shè)EF∥平面AB1C,那么線(xiàn)段EF的長(zhǎng)度等于【解析】由于EF∥平面AB1C,EF?平面DABC,且平面AB1C所以EF∥AC,又由于E為AD的中點(diǎn),所以F為CD的中點(diǎn),所以EF=QUOTEAC,由于正方體的棱長(zhǎng)為2.所以AC=2QUOTE,所以EF=QUOTE.答案:QUOTE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)十六直線(xiàn)與平面平行(20分鐘35分)1.以下命題:①假如一條直線(xiàn)不在平面內(nèi),那么這條直線(xiàn)就與這個(gè)平面平行;②過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn),可以作很多個(gè)平面與這條直線(xiàn)平行;③假如一條直線(xiàn)與平面平行,那么它與平面內(nèi)的任何直線(xiàn)平行.其中正確命題的個(gè)數(shù)為 ()A.0個(gè) 【解析】選B.①直線(xiàn)與平面可以相交;②正確;③“任何直線(xiàn)〞改為“很多條〞才正確.2.如圖,四棱錐PABCD中,M,N分別為AC,PC上的點(diǎn),且MN∥平面PAD,那么 ()A.MN∥PD B.MN∥PAC.MN∥AD 【解析】選B.四棱錐PABCD中,M,N分別為AC,PC上的點(diǎn),且MN∥平面PAD,MN?平面PAC,平面PAC∩平面PAD=PA,MN?平面PAC,故由直線(xiàn)與平面平行的性質(zhì)定理可得:MN∥PA.3.如圖,在四周體ABCD中,假設(shè)M,N,P分別為線(xiàn)段AB,BC,CD的中點(diǎn),那么直線(xiàn)BD與平面MNP的位置關(guān)系為 ()?平面MNP【解析】選A.由于N,P分別為線(xiàn)段BC,CD的中點(diǎn),所以NP∥BD,又BD?平面MNP,NP?平面MNP,所以BD∥平面MNP.4.(2020·開(kāi)灤高一檢測(cè))以下命題(a,b表示直線(xiàn),α表示平面):①假設(shè)a∥b,b?α,那么a∥α;②假設(shè)a∥α,b∥α,那么a∥b;③假設(shè)a∥b,b∥α,那么a∥α;④假設(shè)a∥α,b?α,那么a∥b.其中正確命題的個(gè)數(shù)是.

【解析】①要想a∥α,還需要a?α這個(gè)條件,故本命題是假命題;②a,b除了平行以外還可以相交,異面,故本命題是假命題;③還存在a?α這種可能性,故本命題是假命題;④a,b可以是兩條異面直線(xiàn),故本命題是假命題,因此正確的命題的個(gè)數(shù)為零.答案:05.如圖,在以下四個(gè)正方體中,A,B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M,N,Q為所在棱的中點(diǎn),那么在這四個(gè)正方體中,直線(xiàn)AB與平面MNQ平行的是.

【解析】要證明直線(xiàn)AB與平面MNQ平行,需要證明直線(xiàn)AB與平面MNQ內(nèi)的一條直線(xiàn)平行,①平面MNQ中無(wú)法找到與直線(xiàn)AB平行的直線(xiàn),所以①中直線(xiàn)AB與平面MNQ不平行;②由正方體性質(zhì)可知MQ∥AB,又AB不在平面MNQ內(nèi),所以可以證得直線(xiàn)AB與平面MNQ平行;③由正方體性質(zhì)可知MQ∥AB,又AB不在平面MNQ內(nèi),所以可以證得直線(xiàn)AB與平面MNQ平行;④由正方體性質(zhì)可知NQ∥AB,又AB不在平面MNQ內(nèi),所以可以證得直線(xiàn)AB與平面MNQ平行.答案:②③④6.如下圖,兩條異面直線(xiàn)AB與CD,平面MNPQ與AB,CD都平行,且點(diǎn)M,N,P,Q依次在線(xiàn)段AC,BC,BD,AD上,求證:四邊形MNPQ是平行四邊形.【證明】由于A(yíng)B∥平面MNPQ,且過(guò)AB的平面ABC交平面MNPQ于MN,所以AB∥MN.又過(guò)AB的平面ABD交平面MNPQ于PQ,所以AB∥PQ,所以MN∥∥MQ.所以四邊形MNPQ為平行四邊形.(30分鐘60分)一、單項(xiàng)選擇題(每題5分,共20分)1.以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是 ()A.假如a,b是兩條直線(xiàn),a∥b,那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何一個(gè)平面B.假如直線(xiàn)a和平面α滿(mǎn)意a∥α,那么a平行于平面α內(nèi)的任何一條直線(xiàn)C.假如直線(xiàn)a,b滿(mǎn)意a∥α,b∥α,那么a∥bD.假如直線(xiàn)a,b和平面α滿(mǎn)意a∥b,a∥α,b?α,那么b∥α【解析】選D.如圖,在長(zhǎng)方體ABCDA′B′C′D′中,AA′∥BB′,AA′卻在過(guò)BB′的平面AB′內(nèi),應(yīng)選項(xiàng)A不正確;AA′∥平面B′C,BC?平面B′C,但AA′不平行于BC,應(yīng)選項(xiàng)B不正確;AA′∥平面B′C,A′D′∥平面B′C,但AA′與A′D′相交,所以選項(xiàng)C不正確;選項(xiàng)D中,假設(shè)b與α相交,由于a∥b,所以a與α相交,這與a∥α沖突,故b∥α,即選項(xiàng)D正確.2.如圖,四棱錐SABCD的全部的棱長(zhǎng)都等于2,E是SA的中點(diǎn),過(guò)C,D,E三點(diǎn)的平面與SB交于點(diǎn)F,那么四邊形CDEF的周長(zhǎng)為 ()A.2+QUOTE B.3+QUOTE C.3+2QUOTE D.2+2QUOTE【解析】∥AB,AB?平面SAB,CD?平面SAB,所以CD∥平面SAB.又CD?平面CDEF,平面SAB∩平面CDEF=EF,所以CD∥EF,且EF≠CD,由于E是SA的中點(diǎn),EF∥AB,所以F是SB的中點(diǎn),所以DE=CF,所以四邊形CDEF為等腰梯形,且CD=2,EF=1,DE=CF=QUOTE,所以四邊形CDEF的周長(zhǎng)為3+2QUOTE.3.如圖,在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分別是線(xiàn)段A1C1上的點(diǎn),且A1E=EF=FG=GC1.那么以下直線(xiàn)與平面A1【解析】選B.如圖,連接AC,使AC交BD于點(diǎn)O,連接A1O,CF,那么O為AC的中點(diǎn),在正方體ABCDA1B1C1D1中,AA1∥CC1且AA1=CC1那么四邊形AA1C1C為平行四邊形,所以A1C1∥由于O,F分別為AC,A1C1的中點(diǎn),所以A1F∥OC且A所以四邊形A1OCF為平行四邊形,那么CF∥A1O,由于CF?平面A1BD,A1O?平面A1BD,因此,CF∥平面A1BD.4.如圖,E是正方體ABCDA1B1C1D1的棱C1D1上的一點(diǎn)(不與端點(diǎn)重合),BD1∥平面B11∥CE 1⊥BD11E=2EC1 1E=EC1【思路導(dǎo)引】設(shè)B1C∩BC1=O,可得平面D1BC1∩平面B1CE=EO,由BD1∥平面B1CE,依據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)可得BD1∥EO,D1E=EC1【解析】選D.如圖,連接BC1,設(shè)B1C∩BC1=O,連接EO,可得平面D1BC1∩平面B1CE=EO,由于BD1∥平面B1CE,依據(jù)線(xiàn)面平行的性質(zhì)可得BD1∥EO,由于O為BC1的中點(diǎn),所以E為C1D1的中點(diǎn),所以D1E=EC1二、多項(xiàng)選擇題(每題5分,共10分,全部選對(duì)得5分,選對(duì)但不全的得3分,有選錯(cuò)的得0分)5.如下圖,P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn),矩形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為O,M為PB的中點(diǎn),給出以下結(jié)論,其中正確的選項(xiàng)是 ()A.OM∥PD B.OM∥平面PCDC.OM∥平面PDA D.OM∥平面PBA【解析】選ABC.由題意知,OM是△BPD的中位線(xiàn),所以O(shè)M∥PD,故A正確;PD?平面PCD,OM?平面PCD,所以O(shè)M∥平面PCD,故B正確;同理,可得OM∥平面PDA,故C正確;OM與平面PBA相交,故D不正確.6.如圖是一幾何體的平面綻開(kāi)圖,其中四邊形ABCD為正方形,E,F,G,H分別為PA,PD,PC,PB的中點(diǎn).在此幾何體中,給出以下結(jié)論,其中正確的結(jié)論是 ()A.直線(xiàn)EH∥平面BDGB.直線(xiàn)PA∥平面BDGC.直線(xiàn)EF∥平面PBCD.直線(xiàn)EF∥平面BDG【解析】選BC.作出立體圖形如下圖.連接DG,BG,EF,FG,GH,EH,AC,BD且AC∩BD=M,連接GM.對(duì)于A(yíng),由于E,H分別是PA,PB的中點(diǎn),所以EH∥AB.再結(jié)合圖形可得,AB∩BD=B,那么直線(xiàn)EH與平面BDG不平行,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,由題意知M為AC與BD的中點(diǎn),所以MG∥PA,又MG?平面BDG,PA?平面BDG,所以PA∥平面BDG,故B正確;對(duì)于C,由題意知EF∥AD,AD∥BC,所以EF∥BC,由于EF?平面PBC,BC?平面PBC,所以直線(xiàn)EF∥平面PBC,故C正確;對(duì)于D,依據(jù)C中的分析可知EF∥BC,再結(jié)合圖形可得,BC∩BD=B,那么直線(xiàn)EF與平面BDG不平行,故D錯(cuò)誤.三、填空題(每題5分,共10分)7.如圖,幾何體ABCDA1B1C1D1是正方體,假設(shè)過(guò)A,C,B1三點(diǎn)的平面與底面A1B1C1D1的交線(xiàn)為l,那么l與AC的位置關(guān)系是【解析】連接A1C1由于A(yíng)C∥A1C1,A1C1?平面A1B1C1D1,AC?平面A1B1C所以AC∥平面A1B1C1D1又AC?平面AB1C,平面AB1C∩平面A1B1C1D1答案:AC∥l1B1C1D1中,E為棱CD上一點(diǎn),且CE=2DE,F為棱AA1的中點(diǎn),且平面BEF與DD1交于點(diǎn)G,與AC1交于點(diǎn)H,那么QUOTE=,QUOTE=.

【解析】由于A(yíng)BCDA1B1C1D1所以平面A1B1BA∥平面C1D1DC,由于BF?平面A1B1BA,所以BF∥平面CDD1C1由于平面BFGE∩平面C1D1DC=GE,那么BF∥GE,那么QUOTE=QUOTE,即QUOTE=QUOTE,又CE=2DE,那么QUOTE=QUOTE.連接AC交BE于M,過(guò)M作MN∥CC1,MN與A