不等式專題講義 高三二輪復(fù)習(xí)

高三復(fù)習(xí)（不等式專題）專題01 不等式與不等關(guān)系一、比較大小學(xué)法指導(dǎo)：（1）作差法：作差，判斷差的符號(hào)；（2）作商法：兩式同為正，作商，判斷商與1的大小關(guān)系.（3）不等式性質(zhì)法：（4）函數(shù)單調(diào)性法：（5）中間值法：（6）導(dǎo)數(shù)法：（7）數(shù)形結(jié)合法：（8）基本不等式法：（9）特殊值法：（10）糖水不等式法：（見拓展資料）【例1】（1）已知，則_______．（用“>”或“<”填空）.（2）若a＝1816，b＝1618，則a與b的大小關(guān)系為________．（3）已知非零實(shí)數(shù)，滿足，則下列不等式中一定成立的是（）A． B． C． D．（4）已知函數(shù)，，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B．C． D．（5）已知，則（）A． B． C． D．（6）已知，，，且，則（）．A． B． C． D．（7）如圖所示：曲線，，和分別是指數(shù)函數(shù)，,和的圖象,則a，b，c，d與1的大小關(guān)系是（）A． B．C． D．（8）設(shè)(其中0<x<y)，則M，N，P的大小順序是（）A．P<N<M B．N<P<MC．P<M<N D．M<N<P二、證明不等式學(xué)法指導(dǎo)：（1）利用不等式基本性質(zhì)證明：常用思路：執(zhí)果索因，由因?qū)Ч?（2）分析法證明不等式.（3）綜合法證明不等式.（4）基本不等式證明不等式.（5）放縮法證明不等式.【例2】（1）若，，求證：．（2）證明：；（3）已知：，，且，求證：.（4）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，試證明不等式：eq\f(b＋c,a)＋eq\f(c＋a,b)＋eq\f(a＋b,c)≥6.（5）求證:（6）求證:三、判斷不等式是否成立學(xué)法指導(dǎo)：（1）選填題可取特值進(jìn)行否定排除；（2）用不等式基本性質(zhì)直接判斷.【例3】下列結(jié)論正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則四、利用不等式求范圍（值）（易錯(cuò)）學(xué)法指導(dǎo)：（1）對(duì)于與這種形式求范圍的不等式，需要看做整體；（2）用待定系數(shù)法求出系數(shù)，利用不等式性質(zhì)計(jì)算.【例4】（1）已知，，則的取值范圍是（）A． B． C． D．（2）已知?jiǎng)t的取值范圍是__________.專題02 不等式解法一、不含參數(shù)的不等式（一）一元二次不等式學(xué)法指導(dǎo)：（1）（2）一元二次不等式與韋達(dá)定理：不等式解集的端點(diǎn)是對(duì)應(yīng)方程的根.【例1】解下列一元二次不等式：（1）（2）（3）（4）【例2】不等式的解集為，則不等式的解集為（）A．或B．C．D．（二）一元高次不等式學(xué)法指導(dǎo)：用“數(shù)軸穿根法”：系數(shù)化正，因式分解，數(shù)軸標(biāo)根，從上往下，從右往左，寄穿偶回，注意等號(hào).【例3】解下列高次不等式：（1）（2）（三）分式不等式學(xué)法指導(dǎo)：移項(xiàng)通分，除法變乘法，分母不為零.【例4】解下列分式不等式：（1）（2）【例5】（1）； （2）； （3）（四）其余不等式學(xué)法指導(dǎo)：根式、指數(shù)、對(duì)數(shù)、抽象不等式等.【例6】（1）不等式的解為______.（2）函數(shù)的定義域是______.（3）函數(shù)的定義域是___________．(4已知函數(shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為______．二、解含參不等式（一）二次項(xiàng)系數(shù)不含參數(shù)學(xué)法指導(dǎo)：（1）分解因式得到，求出兩個(gè)根，；（2）比較兩個(gè)根的大小，；；，并分別進(jìn)行討論.【例7】（1）解關(guān)于的不等式；（2）解關(guān)于的不等式（二）二次項(xiàng)系數(shù)含有參數(shù)學(xué)法指導(dǎo)：（1）分析當(dāng)時(shí)的情況；（2）十字相乘得到，求出兩個(gè)根，，若不能十字相乘，則要討論的情況；（3）比較兩個(gè)根的大小，；；，并分別進(jìn)行討論.（4）其中一種情況涉及到以及，再分開口方向討論.【例8】（1）解關(guān)于的不等式：.（2）解關(guān)于的不等式：專題03 不等式恒成立、有解、無解問題一、不等式恒成立問題（一）R上恒成立（注意，二次項(xiàng)系數(shù)含參要討論）學(xué)法指導(dǎo)：（1）上恒成立；（2）上恒成立。【例1】（1）若不等式的解集是R，求m的范圍.（2）函數(shù)的定義域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．（二）給定區(qū)間上恒成立學(xué)法指導(dǎo)：（1）參數(shù)在常數(shù)位置或者變量范圍恒正恒負(fù)，優(yōu)先考慮參變分離；；.（2）參數(shù)在二次或一次項(xiàng)，且變量范圍有正有負(fù)，分類討論.【例2】（1）若不等式對(duì)一切恒成立，則的取值范圍是_________．（2）關(guān)于的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.（三）給定參數(shù)范圍恒成立學(xué)法指導(dǎo)：變更主元法，將參數(shù)看做變量.給定一次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒有，則可得同理，若在內(nèi)恒有，則有.【例3】（1）對(duì)于，不等式恒成立的的取值范圍是___.（2）若對(duì)于，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___.二、不等式有解問題學(xué)法指導(dǎo)：優(yōu)先考慮參變分離：；.參變分離不好做就分類討論.【例4】（1），使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.（2）已知關(guān)于的不等式在區(qū)間上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是____.（3）方程在區(qū)間內(nèi)有解，求的取值范圍.三、不等式無解問題學(xué)法指導(dǎo)：（1）已知關(guān)于的不等式的解集為，則一定滿足（2）已知關(guān)于的不等式的解集為，則一定滿足（3）或者轉(zhuǎn)化為恒成立問題，小于零為空等價(jià)于大于等于零恒成立.【例5】（1）已知關(guān)于的不等式解集為空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.（2）已知關(guān)于的不等式的解集是空集，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．專題04 基本不等式1．重要不等式如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”)．2．基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(1)基本不等式成立的條件：a>0，b>0．(2)等號(hào)成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)．3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)(1)設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為eq\f(a＋b,2)，幾何平均數(shù)為eq\r(ab)；(2)基本不等式可敘述為兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．4．用基本不等式求最值的結(jié)論(1)設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，若x＋y＝s(和s為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\f(s,2)時(shí)，積xy有最大值為eq\f(s2,4).(2)設(shè)x，y為正實(shí)數(shù)，若xy＝p(積p為定值)，則當(dāng)x＝y(tǒng)＝eq\r(p)時(shí)，和x＋y有最小值為2eq\r(p).5．基本不等式求最值的條件(1)x，y必須是正數(shù)．(2)求積xy的最大值時(shí)，應(yīng)看和x＋y是否為定值；求和x＋y的最小值時(shí)，應(yīng)看積xy是否為定值．(3)等號(hào)成立的條件是否滿足．一、常見模型學(xué)法指導(dǎo)：（1）模型一：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（2）模型二：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（3）模型三：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立. 倒數(shù)形式（二次比一次可化成模型一，一次式較復(fù)雜時(shí)令一次式為t）（4）模型四：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（5）模型五：已知，求最小值.（6）若出現(xiàn)，其中、、、、因?yàn)椋梢赞D(zhuǎn)化為或，從而求出及的取值范圍.若出現(xiàn)求取值范圍，先將式子因式分解成為形式，再用基本不等式求出最值?！纠?】（1）若函數(shù)在處有最小值,則（）．．3．．4（2）若對(duì)任意，恒成立,則的取值范圍是__________.（3）若,則有（）．最大值．最小值．最大值1．最小值1（4）已知正數(shù)x、y滿足，求的最小值.（5）求的值域.（6）設(shè)則()A.有最大值8B.有最小值8C.有最大值8D.有最小值8二、三個(gè)正數(shù)的均值不等式學(xué)法指導(dǎo)：（1）當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),“=”號(hào)成立；（2）,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí),“=”號(hào)成立.【例2】（1）求函數(shù)的最小值.（2）求函數(shù)的最大值.三、易錯(cuò)點(diǎn)學(xué)法指導(dǎo)：（1）忽略基本不等式的使用條件和取等條件；（2）多次使用基本不等式忽略取等條件.【例3】（1）已知，求的最小值.（2）已知，求證：.（3）已知，，求的最小值.專題05 基本不等式的應(yīng)用一、與向量綜合【例1】（1）在正方形中，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，E為邊上的動(dòng)點(diǎn)，若，則的最小值為___________.（2）如圖，在中，點(diǎn)滿足，過點(diǎn)的直線分別交直線、于不同的兩點(diǎn)、．設(shè)，，則的最小值是（）A． B． C． D．二、與三角恒等變換綜合【例2】已知銳角、滿足，則的最小值為（）A．4B．C．8D．三、與解三角形綜合【例3】已知中角，，所對(duì)的邊分別為，，，為邊上一點(diǎn)，且為的角平分線，若，，則最小值為___________．【例4】在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且.（1）求角的大??；（2）若，求的最大值.四、與數(shù)列綜合【例5】（1）已知數(shù)列滿足，則的最大值為________.（2）已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，且存在，使得，則的最小值為________．五、求面積最值【例6】設(shè)矩形的周長為，把沿向折疊，折過去后交于點(diǎn)P，設(shè).（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）求的最大面積及相應(yīng)x的值.六、求函數(shù)最值【例7】泰州市民小王新購置了一套住房，擬對(duì)新房進(jìn)行裝修.在裝修中需滿足如下要求：①窗戶面積應(yīng)小于地板面積，②窗戶面積不小于地板面積的，③窗戶面積與地板面積的比值越大，采光效果越好.設(shè)窗戶面積為m平方米，地板面積為n平方米，已知，其中k為常數(shù).已知當(dāng)窗戶和地板的總面積為22平方米時(shí)，窗戶面積恰好是地板面積的.（1）求實(shí)數(shù)k的值；（2）在滿足裝修的要求下，求窗戶面積可以取到的范圍；（3）當(dāng)采光效果最好時(shí)，求窗戶的面積.專題06 根的分布問題設(shè)x1，x2是實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的兩實(shí)根，則x1，x2的分布范圍與系數(shù)之間的關(guān)系如表所示．根的分布(m＜n＜p且m，n，p均為常數(shù))圖象滿足的條件x1＜x2＜m①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)<m，,f（m）>0.))m＜x1＜x2②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,－\f(b,2a)>m，,f（m）>0.))x1＜m＜x2③f(m)<0.m＜x1＜x2＜n④eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ>0，,m<－\f(b,2a)<n，,f（m）>0，,f（n）>0.))m＜x1＜n＜x2＜p⑤eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）>0，,f（n）<0，,f（p）>0.))m<x1＝x2<n⑥eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(Δ＝0，,m<－\f(b,2a)<n.))只有一根在區(qū)間(m，n)內(nèi)⑦f(m)·f(n)<0.【例1】已知關(guān)于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的取值范圍；(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的取值范圍．專題07 拓展資料一、柯西不等式學(xué)法指導(dǎo)：柯西不等式的一般形式：設(shè)a1，a2，…，an，b1，b2，…bn為實(shí)數(shù)，則(aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n))·(beq\o\al(2,1)＋beq\o\al(2,2)＋…＋beq\o\al(2,n))≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.柯西不等式二元式：設(shè)，，，，有當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立。模型一：其中，例如；模型二：模型三：一高一低和式配湊類型已知的值，求的取值范圍，或者已知的值，求的最值或者求的最值即，其中，例或者寫成模型四：同次積式配湊類型已知的值，求的最值，利用求最值.【例1】（1），且，則_________.（2）已知，則_________.（3），則的最小值是．（4）設(shè)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，的最大值是．（5）已知，且，則的最大值是．（6）已知，，，則的最小值為（）A．49 B．