高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)基礎(chǔ)夯實練46：空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系

基礎(chǔ)夯實練46空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系1．若直線上有兩個點在平面外，則()A．直線上至少有一個點在平面內(nèi)B．直線上有無窮多個點在平面內(nèi)C．直線上所有點都在平面外D．直線上至多有一個點在平面內(nèi)2．(多選)下列命題中不正確的是()A．空間四點共面，則其中必有三點共線B．空間四點不共面，則其中任意三點不共線C．空間四點中有三點共線，則此四點不共面D．空間四點中任意三點不共線，則此四點不共面3．已知平面α，β，γ兩兩垂直，直線a，b，c滿足a?α，b?β，c?γ，則直線a，b，c不可能滿足以下哪種關(guān)系()A．兩兩垂直 B．兩兩平行C．兩兩相交 D．兩兩異面4．在底面半徑為1的圓柱OO1中，過旋轉(zhuǎn)軸OO1作圓柱的軸截面ABCD，其中母線AB＝2，E是的中點，F(xiàn)是AB的中點，則()A．AE＝CF，AC與EF是共面直線B．AE≠CF，AC與EF是共面直線C．AE＝CF，AC與EF是異面直線D．AE≠CF，AC與EF是異面直線5.如圖，已知四面體ABCD的各條棱長均等于4，E，F(xiàn)分別是棱AD，BC的中點．若用一個與直線EF垂直，且與四面體的每一個面都相交的平面α去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則該多邊形截面面積的最大值為()A．3eq\r(2) B．4C．4eq\r(2) D．66．(2021·全國乙卷)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)7.(2023·廣州模擬)如圖為四棱錐A－DEFG的側(cè)面展開圖(點G1，G2重合為點G)，其中AD＝AF，G1D＝G2F.E是線段DF的中點，請寫出四棱錐A－DEFG中一對一定相互垂直的異面直線________．(填上你認為正確的一個結(jié)論即可，不必考慮所有可能的情形)8.如圖是某機械零件的幾何結(jié)構(gòu)，該幾何體是由兩個相同的直四棱柱組合而成的，且前后、左右、上下均對稱，每個四棱柱的底面都是邊長為2的正方形，高為4，且兩個四棱柱的側(cè)棱互相垂直．則這兩個四棱柱的表面相交的交線段總長度為________．9.如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點，G，H分別在BC，CD上，且BG∶GC＝DH∶HC＝1∶2.(1)求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面；(2)設(shè)EG與FH交于點P，求證：P，A，C三點共線．10.如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P－ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．11．(多選)(2023·朝陽模擬)在三棱錐A－BCD中，AB＝CD＝eq\r(2)，AD＝BC＝AC＝BD＝eq\r(5)，則()A．AB⊥CDB．三棱錐A－BCD的體積為eq\f(2,3)C．三棱錐A－BCD外接球半徑為eq\r(6)D．異面直線AD與BC所成角的余弦值為eq\f(3,5)12.如圖，E，F(xiàn)分別為正方體ABCD－A1B1C1D1的棱CC1，C1D1的中點，若AB＝6，則過A，E，F(xiàn)三點的截面的面積為()A．9eq\r(2)B．18eq\r(2)C.eq\f(21\r(17),2)D.eq\f(27\r(17),2)13．(2022·南陽模擬)如圖，AB和CD是異面直線，AB＝CD＝3，E，F(xiàn)分別為線段AD，BC上的點，且eq\f(AE,ED)＝eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2)，EF＝eq\r(7)，則AB與CD所成角的大小為________．14．已知三棱錐P－ABC的四個頂點都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6，AB＝2eq\r(3)，AC＝2，BC＝4，則：(1)球O的表面積為________；(2)若D是BC的中點，過點D作球O的截面，則截面面積的最小值是________．15．(2023·重慶模擬)如圖，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的側(cè)棱長為2，AB⊥BC，AB＝BC＝2，過AB，BB1的中點E，F(xiàn)作平面α與平面AA1C1C垂直，則平面α與該直三棱柱所得截面的周長為________.16.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，AD⊥DC，AB∥DC，AB＝2AD＝2CD＝2，點E是PB的中點．(1)線段PA上是否存在一點G，使得點D，C，E，G共面？若存在，請證明，若不存在，請說明理由；(2)若PC＝2，求三棱錐P－ACE的體積．參考答案1．D2.ACD3.B4.D5．B[將正四面體補成正方體如圖所示，可得EF⊥平面CHBG，且正方體的棱長為2eq\r(2).由于EF⊥平面α，且平面α與四面體的每一個面都相交，故截面為平行四邊形MNKL，且KL＋KN＝4，又KL∥BC，KN∥AD，且AD⊥BC，∴KN⊥KL，∴平行四邊形MNKL為矩形，∴S矩形MNKL＝KN·KL≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(KN＋KL,2)))2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)KN＝KL＝2時取等號．]6．D[方法一如圖，連接C1P，因為ABCD－A1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP?平面B1BP，所以C1P⊥BP.連接BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角．設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則在Rt△C1PB中，C1P＝eq\f(1,2)B1D1＝eq\r(2)，BC1＝2eq\r(2)，sin∠PBC1＝eq\f(PC1,BC1)＝eq\f(1,2)，所以∠PBC1＝eq\f(π,6).方法二以B1為坐標(biāo)原點，B1C1，B1A1，B1B所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則B(0,0,2)，P(1,1,0)，D1(2,2,0)，A(0,2,2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1，－1,2)，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(2,0，－2)．設(shè)直線PB與AD1所成的角為θ，則cosθ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PB,\s\up6(→))·\o(AD1,\s\up6(→)),|\o(PB,\s\up6())||\o(AD1,\s\up6(→))|)))＝eq\f(|－6|,\r(6)×\r(8))＝eq\f(\r(3),2).因為θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以θ＝eq\f(π,6).方法三如圖所示，連接BC1，A1B，A1P，PC1，則易知AD1∥BC1，所以直線PB與AD1所成的角等于直線PB與BC1所成的角．根據(jù)P為正方形A1B1C1D1的對角線B1D1的中點，易知A1，P，C1三點共線，且P為A1C1的中點．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1為等邊三角形，所以∠A1BC1＝eq\f(π,3)，又P為A1C1的中點，所以可得∠PBC1＝eq\f(1,2)∠A1BC1＝eq\f(π,6).]7．AE，DF(或AE，DG或AE，GF或AG，DF)8．8eq\r(6)9．證明(1)因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點，所以EF∥BD.在△BCD中，eq\f(BG,GC)＝eq\f(DH,HC)＝eq\f(1,2)，所以GH∥BD，所以EF∥GH.所以E，F(xiàn)，G，H四點共面．(2)因為EG∩FH＝P，P∈EG，EG?平面ABC，所以P∈平面ABC.同理P∈平面ADC.所以P為平面ABC與平面ADC的公共點．又平面ABC∩平面ADC＝AC，所以P∈AC，所以P，A，C三點共線．10．解(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P－ABC的體積V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如圖，取PB的中點E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE是異面直線BC與AD所成的角(或其補角)．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(AD2＋DE2－AE2,2·AD·DE)＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).11．ABD[將三棱錐補形為長方體，如圖所示．其中BE＝BN＝1，BF＝2，所以AB＝CD＝eq\r(2)，AD＝BC＝AC＝BD＝eq\r(5)，連接MF，則AM∥BF，AM＝BF，所以四邊形AMFB為平行四邊形，所以AB∥MF，又四邊形MCFD為正方形，所以MF⊥CD，所以AB⊥CD，故A正確；長方體的體積V1＝1×1×2＝2，三棱錐E－ABC的體積V2＝V三棱錐A－BEC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×1＝eq\f(1,3)，同理，三棱錐N－ABD，三棱錐F－BCD，三棱錐M－ACD的體積也為eq\f(1,3)，所以三棱錐A－BCD的體積V＝2－4×eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，故B正確；長方體的外接球的直徑為eq\r(12＋12＋22)＝eq\r(6)，所以長方體的外接球的半徑為eq\f(\r(6),2)，長方體的外接球也是三棱錐A－BCD的外接球，所以三棱錐A－BCD外接球的半徑為eq\f(\r(6),2)，故C錯誤；連接MN，交AD于點O，因為MN∥BC，所以∠AOM(或其補角)為異面直線AD與BC所成的角，由已知OA＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(\r(5),2)，OM＝eq\f(1,2)MN＝eq\f(\r(5),2)，AM＝2，所以cos∠AOM＝eq\f(\f(5,4)＋\f(5,4)－4,2×\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝－eq\f(3,5)，所以異面直線AD與BC所成角的余弦值為eq\f(3,5)，故D正確．]12．C[連接EF，作直線EF分別與直線DC，DD1的延長線相交于點P，Q，連接AP交BC于點M，連接AQ交A1D1于點N，連接NF，ME.則五邊形AMEFN即為過A，E，F(xiàn)三點的截面，如圖所示．由題意知AP＝AQ＝3eq\r(13)，PQ＝9eq\r(2)，∴S△APQ＝eq\f(27\r(17),2)，又ME∥AQ，且eq\f(ME,AQ)＝eq\f(1,3)，∴S△MPE＝S△QNF＝eq\f(1,9)S△APQ，∴S五邊形AMEFN＝eq\f(7,9)S△APQ＝eq\f(21\r(17),2).]13．60°解析在平面ABD中，過E作EG∥AB，交DB于點G，連接GF，如圖，∵eq\f(AE,ED)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(BG,GD)＝eq\f(1,2)，又eq\f(BF,FC)＝eq\f(1,2)，∴eq\f(BG,GD)＝eq\f(BF,FC)，則GF∥CD，∴∠EGF(或其補角)即為AB與CD所成角，在△EGF中，EG＝eq\f(2,3)AB＝2，GF＝eq\f(1,3)CD＝1，EF＝eq\r(7)，∴cos∠EGF＝eq\f(22＋12－\r(7)2,2×2×1)＝－eq\f(1,2)，∴∠EGF＝120°，∴AB與CD所成角的大小為60°.14．(1)52π(2)4π解析(1)由題意，根據(jù)勾股定理可得AC⊥AB，則可將三棱錐P－ABC放入以AP，AC，AB為長方體的長，寬，高的長方體中，則體對角線為外接球直徑，設(shè)外接球半徑為r，即2r＝eq\r(22＋62＋2\r(3)2)＝2eq\r(13)，則r＝eq\r(13)，所以球O的表面積為4πr2＝4π×(eq\r(13))2＝52π.(2)由題意，得△ABC為直角三角形，所以D為底面ABC的外接圓圓心，當(dāng)DO⊥截面時，截面面積最小，即截面為平面ABC的外接圓，半徑為2，故截面面積的最小值為π×22＝4π.15．3eq\r(2)＋eq\r(6)解析如圖所示，取AC的中點D，連接BD，取A1C1的中點D1，連接B1D1，取AD的中點G，連接EG，連接EF，分別取C1D1，B1C1的中點M，N，連接MN，F(xiàn)N，GM，可得EG∥BD，BD∥B1D1，MN∥B1D1，即有EG∥MN，又由AB＝BC，可得BD⊥AC，因為AA1⊥平面ABC，可得AA1⊥BD，又AC∩AA1＝A，AC，AA1?平面AA1C1C，所以BD⊥平面AA1C1C，可得EG⊥平面AA1C1C，由面面垂直的判定定理，可得平面EGMNF⊥平面AA1C1C，則平面EGMNF即為平面α，由EG＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(2),2)，GM＝eq\r(4＋2)＝eq\r(6)，MN＝eq\f(1,2)B1D1＝eq\f(\r(2),2)，NF＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，F(xiàn)E＝eq\r(1＋1)＝eq\r(2)，則所得截面的周長為eq\f(\r(2),2)×2＋eq\r(6)＋eq\r(2)×2＝3eq\r(2)＋eq\r(6).