2023考研概率統(tǒng)計全考點(diǎn)精講-第七講 參數(shù)估計

22第七講參數(shù)估計【考試要求】（數(shù)一理解I數(shù)三了解）參數(shù)的點(diǎn)估計、估計量與估計值的概念.掌握矩估計法（一階矩、二階矩）和最大似然估計法.（僅數(shù)一，2009年之后數(shù)學(xué)三不再考察）了解估計量的無偏性、有效性（最小方差性）和一致性（相合性）的概念，并會驗證估計量的無偏性.（僅數(shù)一）理解區(qū)間估計的概念，會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間，會求兩個正態(tài)總體的均值差和方差比的置信區(qū)間.考點(diǎn)：點(diǎn)估計、矩估計法與最大似然估計法點(diǎn)估計設(shè)X|,X2，???，X“是來自總體X的樣本，相應(yīng)的樣本值為外,易,…，叢，點(diǎn)估計的問題就是構(gòu)造適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量0（X|,X2，???,X〃），用它的觀察值00,旳,…戍）來估計未知參數(shù)。.稱如X*…,Xn）為。的估計量，稱0（心也，???，也）為。的估計值.矩估計法（1） 矩估計法的思想：用樣本矩（原點(diǎn)矩或中心矩）代替相應(yīng)的總體矩，樣本矩（原點(diǎn)矩或中心矩）的函數(shù)代替相應(yīng)的總體矩的同一函數(shù)而求得未知參數(shù)的?種估計方法稱為矩估計法.【注】矩估計法的理論依據(jù)是：大數(shù)定律.（2） 矩估計法的求解步驟求總體矩；（若有A個未知參數(shù)，則求前&階原點(diǎn)矩或中心矩）列矩估計方程（或方程組）；解上述方程（或方程組），求出矩估計量；若有樣本觀察值，代入求得矩估計值.TOC\o"1-5"\h\z［例1】設(shè)總體X X 0 1 2 3P20（1-0）02 \-20其中0（0＜以）是未知參數(shù)，利用總體X的如下樣本值3,1,3,0,3,123,求。的矩估計值.【例2】設(shè)X*…,X”是來自總體X的簡單隨機(jī)樣本，X的概率密度函數(shù)為f（x；O）=，了'*>0,其中0>0為未知參數(shù)，求。的矩估計量.0,else最大似然估計法（1） 最大似然估計法若有0（XVX2,-,xn）,使得匕（為,工2,…，[；0）達(dá)到最大值，則稱03，邑,??"“）為0的最大似然估計值，而相應(yīng)的統(tǒng)計量0（X|,X2，???,XQ稱為參數(shù)。的最大似然估計量.【注】最大似然估計法的思想：從。可能的取值范圍。內(nèi)選取。使得樣本X],乂2,???，X”取得觀測值為,易，…由的概率達(dá)到最大.（2） 似然函數(shù)設(shè)X|,X2,…，X.是來自總體X的樣本，X"2,…內(nèi)是相應(yīng)于樣本Xi，Xg?,Xn的觀察值.當(dāng)總體X為離散型隨機(jī)變量時，其分布律P{X=x）=p（x^）, 0是未知參數(shù).似然函數(shù)￡（。）=丄0,尤2,…，與；°）=「I吊弔泌），0 ?/=1當(dāng)總體x為連續(xù)型隨機(jī)變量，其概率密度為13"腿0,0是未知參數(shù)似然函數(shù)丄（0）=丄3%,…，也；°）=「If0渺），。印.M（3） 最大似然估計法的求解步驟寫出似然函數(shù)；取對數(shù)得對數(shù)似然函數(shù)；求導(dǎo)（求偏導(dǎo)），得似然方程；求解上述方程（方程組），求得駐點(diǎn).若駐點(diǎn)存在且唯一，則一般為最大似然估計值；若駐點(diǎn)不存在，則最值點(diǎn)一般在邊界點(diǎn)上取得，此時可直接由定義求得.【注】最大似然估計的不變性：設(shè)0是總體分布中的未知參數(shù)。的最大似然估計，函數(shù)u=u(O)具有單值反函數(shù)0=叩)，則?=是砸)的最大似然估計?TOC\o"1-5"\h\z［例3】設(shè)總體X X0 1 2 3P°220(1-0)02 \-201、其中00<6?<-是未知參數(shù)，利用總體X的如下樣本值3,130,3,1,2,3,求。的最L)大似然估計值.【例4】設(shè)總體X的概率密度為= '°<*"，其中0>-\0,其他是未知參數(shù)，是來自總體X的一個容量為〃的簡單隨機(jī)樣本，求。的最大似然估計量.考點(diǎn)：估計量的評選標(biāo)準(zhǔn)（僅數(shù)一）無偏性設(shè)0=0（X|,X2，??，X.）為。的估計量，若E（6）=e,則稱0為。的無偏估計.有效性（最小方差性）設(shè)&=&（X|,X2，...,X?）,a=02（X|,X2，...,X“）都是。的無偏估計，若滿足信）且不恒等，則稱&比初有效.相合性（一致性）設(shè)0=0（X],X2，...,X“）為。的估計量，若對任意￡>0,有

iimP{|0—ei<￡}=i,則稱0為e的相合估計量（或一致估計量）.【例1】設(shè)K，乂2，...,Xn是來自正態(tài)總體N3扌）的一個簡單隨機(jī)樣本，求常數(shù)c,使得C藝（X中-X,.）2為（/的無偏估計.J-1#考點(diǎn)：區(qū)間估計（僅數(shù)一）區(qū)間估計的定義設(shè)。為總體X分布中的未知參數(shù)，XPX2,...,X?是來自總體X的樣本，對給定的a（O<a<l）,若統(tǒng)計量a=0（X|,X2，???，X?）和包=倉（用,乂2，???,乂〃）0<&）滿足P0<。v底｝=1一a,則稱（&,底）為。的置信水平為1一a的置值區(qū)間,0和@分別稱為置信水平為1-。的雙側(cè)置信區(qū)冋的置信下限和置信上限，1-。稱為置信水平（或置信度）.單個正態(tài)怠體均值與方差的置信區(qū)間設(shè)已給定置信水平為1—a,X|,X2，…,X.為來自總體X~N（/j,a2）的簡單隨機(jī)樣本，X.S?分別是樣本均值和樣本方差.（1） 均值“的置信區(qū)間f S已知，卩的置信水平為1—a的置信區(qū)間為|X—^=uaKVW2未知，〃的置信水平為l-a的置信區(qū)間為（x_^=農(nóng)（〃一1）,X（2） 方差（J?的置信區(qū)間①〃己知，“2的置信水平為1-。的置信區(qū)間為置（X廠〃y2=1 /=1

②，〃未知，的置信水平為1-。的置信區(qū)間為（〃-1$（n-l）S2

尤（〃一1）'②，〃未知，的置信水平為1-。的置信區(qū)間為—1—兩個正態(tài)總體均值差與方差比的置信區(qū)間（從未考過）【例1】設(shè)由來自正態(tài)總體X~N（//,0.92）容量為9的簡單隨機(jī)樣本，得樣本均值x=5,則未知參數(shù)卩的置信度為0.95的置信區(qū)間是 （峋025=L