期權的基本概念和定價分析現(xiàn)代金融理論-上海交大

第7章

期權的基本概念和定價分析

1Black-Schole原假設改變的情況貢獻者(1)無風險利率為定常數無風險利率滿足隨機的情形Merton（1973）(2)連續(xù)模型離散的二項式定價方法Cox、Ross和Rubinstein（1977）、Rendleman和Barter（1977）數值解法和近似解法Barone-Adesi和Whaley（1987），Omberg（1987）和Chaudhury（1995）(3)根本證券不支付紅利考慮根本證券支付紅利的看漲期權定價公式Roll（1979）、Geseke（1979）、Whaley（1981）(4)歐式看漲期權美式看跌期權Parkinson（1977）美式期權最優(yōu)提早執(zhí)行的條件Cox和Rubinstein（1985），Geseke和Shastri（1985）亞式期權TurnbullandWakeman(1991)，Levy(1992)，Vorst(1992,1996)，MileskyandPosner(1998)擴散—跳空方程(Diffusion-JumpModel)Merton（1976）根本證券價格動力學滿足雙變量和多變量Ornstein-Uhlenbeck基礎上Andrew和Wang（1995）(6)波動率為定常數波動率為隨機變動的期權定價公式Hull和White（1990）(7)不存在交易成本交易成本與根本證券價格成比例的單階段期權定價公式Merton（1990）將Merton（1990）的方法推廣到多階段情形Boyle和Vorst（1992）(8)股票期權外匯期權GarmanandKohlhagen(1983)期貨期權Lieu（1990）、Chaudhury和Wei（1994）2Black-Schole原假設改變的情況貢獻者(1)無風險利率為定常數無風險利率滿足隨機的情形Merton（1973）(2)連續(xù)模型離散的二項式定價方法Cox、Ross和Rubinstein（1977）、Rendleman和Barter（1977）數值解法和近似解法Barone-Adesi和Whaley（1987），Omberg（1987）和Chaudhury（1995）(3)根本證券不支付紅利考慮根本證券支付紅利的看漲期權定價公式Roll（1979）、Geseke（1979）、Whaley（1981）(4)歐式看漲期權美式看跌期權Parkinson（1977）美式期權最優(yōu)提早執(zhí)行的條件Cox和Rubinstein（1985），Geseke和Shastri（1985）亞式期權(5)假設股票價格為對數正態(tài)分布股票價格為對數泊松分布時純跳空期權定價模型(PureJumpModel)Cox和Ross（1976）擴散—跳空方程(Diffusion-JumpModel)Merton（1976）根本證券價格動力學滿足雙變量和多變量Ornstein-Uhlenbeck基礎上Andrew和Wang（1995）(6)波動率為定常數波動率為隨機變動的期權定價公式Hull和White（1990）(7)不存在交易成本交易成本與根本證券價格成比例的單階段期權定價公式Merton（1990）將Merton（1990）的方法推廣到多階段情形Boyle和Vorst（1992）(8)股票期權外匯期權GarmanandKohlhagen(1983)期貨期權Lieu（1990）、Chaudhury和Wei（1994）36.1獨特性（1）期貨特性：線性100007500500025000(2500)(5000)(7500)(10000)94.0095.0096.0097.0098.0099.00100.00101.00102.00結算價格最終支付（馬克）多頭空頭圖4-1債券期貨合同雙方的交付4(2)期權特性：左右不對稱，非線性100007500500025000(2500)(5000)(7500)(10000)94.0095.0096.0097.0098.0099.00100.00101.00102.00最終支付（馬克）多頭空頭結算價格圖4-2國債（期貨）期權合同雙方的交付5期權特性：左右不對稱，非線性4。03。02。01。00-1。0-2。0-3。0-4。06.007.008.009.0010.0011.0012.0013.0014.00最終支付（馬克）多頭空頭結算價格股票期權合同雙方的交付，執(zhí)行價為106（3）期貨與期權的根本區(qū)別：期貨同時有權利和義務期權將權利和義務分離利潤損失期貨價格權利義務期貨多頭期貨空頭圖4-3期貨：權利和義務結合7圖4-4期權：權利和義務分離利潤期貨價格只有權利多頭看漲多頭看跌利潤損失期貨價格只有義務空頭看跌損失期權買方期權賣方空頭看漲86.2基本概念看漲期權和看跌期權持有一份看漲期權是：買的權利一定數量的對應資產一定的價格在給定日期或者之前執(zhí)行注意：看漲期權的買方有權利而沒有義務9持有一份看跌期權是：賣的權利一定數量的對應資產一定的價格在給定日期或者之前執(zhí)行注意：看跌期權的買方有權利而沒有義務10歐式：只能在到期日行使的期權美式：在到期日前任何一天都可以行使的期權權利金（期權價格或期權費）：買方為了獲得期權支付給賣方的費用交割價格（執(zhí)行價格）：行使期權的價格，通常事先確定內在價值：如果期權立即執(zhí)行其正的價值時間價值：權利金超過內在價值的值價內（折價）：有內在價值價外（溢價）：沒有內在價值平價：行使價格等于相關資產價格11圖4-5期權的基本交付模式買入看跌買入看漲賣出看跌賣出看漲12圖6-6價內、價外和平價期權的關系價外價內平價看漲期權價值看跌期權價值交割價格交割價格平價價內價外對應資產價格對應資產價格136.3到期日的價值和利潤模式圖4-7美元對馬克看漲期權的價值0.35000.30000.25000.20000.15000.10000.05000.00001.401.451.501.551.601.651.701.751.801.851.901.952.00利潤（馬克）對應資產價格（美元/馬克）140.25000.20000.15000.10000.05000.0000-0.0500-0.10001.401.451.501.551.601.651.701.751.801.851.901.952.00利潤（馬克）對應資產價格（美元/馬克）0.3000期權費平衡點圖6-815表4-1不同交割價格期權的期權費交割價格期權費價內平價價外1.50001.60001.70001.80001.90000.22000.13000.06000.02000.010016圖4-9五種美元對馬克看漲期權的利潤模式0.25000.20000.15000.10000.05000.0000-0.0500-0.10000.3000-0.1500-0.2000-0.25001.401.451.501.551.601.651.701.751.801.851.901.952.00對應資產價格（美元/馬克）利潤（馬克）1.50001.60001.70001.80001.900017圖4-10美元對馬克看跌期權的利潤模式0.35000.30000.25000.20000.15000.10000.05000.00000.4000-0.0500-0.1000-0.15001.401.451.501.551.601.651.701.751.801.851.901.952.00利潤（馬克）對應資產價格（美元/馬克）1.50001.60001.70001.80001.900018中值=10%標準差=20%圖4-11收益率的正態(tài)分布19中值=112.75標準差=22.78圖6-12價格的對數正態(tài)分布20概率密度圖6-13價外結果的對數正態(tài)分布21中值=112.75標準差=22.55概率圖6-14對應資產價格的分布22概率=0.66期權價值概率圖4-15期權價值的分布23模型假設：根本資產可以自由買賣根本資產可以賣空在到期前根本資產沒有任何收益資金的借貸適用相同的無風險利率且為連續(xù)復利歐式期權，即在到期前不能執(zhí)行沒有任何稅賦、交易成本或保證金根本資產價格是時間的連續(xù)函數，不會出現(xiàn)跳動或間斷情況根本資產的波動率、利率在契約期間不變24放寬假設：根本資產買賣有約束根本資產不能賣空在到期前根本資產有收益或紅利資金的借貸無風險利率不相同美式期權，即在到期前可以執(zhí)行有稅賦、交易成本或保證金根本資產價格出現(xiàn)突變根本資產的波動率、利率均為隨機過程25理論推導(1)布朗運動的假設

關鍵在,用是否可行是正態(tài)分布零均值方差為1

26（2）股票價格過程的假設幾何布朗運動

27(3)Ito過程設設G是x和t的函數，則有28多元函數泰勒展開：29用并把代入更高階無窮小量30ITO定理的特例應用31ITO定理在遠期合約中的應用從方程得到32ITO定理應用于股票價格對數變化G=lnS33Black--Scholes微分方程的推導(式*1)(式*2)34恰當的證券組合應該是:-1:衍生證券:股票此證券組合的持有者賣出一份衍生證券,買入數量為的股票。定義證券組合的價值為。根據定義：35時間后證券組合的價值變化為:(式*3)36將方程(式*1)和(式*2)代入方程(式*3),得到37對歐式看漲期權,關鍵的邊界條件為:當t=T時對歐式看跌期權,邊界條件為:當t=T時38

案例2

阿萊商品公司發(fā)行可售回股票

39阿萊商品公司發(fā)行可售回股票

1984年11月，德萊克塞爾投資銀行在幫助阿萊商品公司（ArleyMerchandiseCorporation）進行600萬股的股票首次公開出售時，設計了可售回股票。即阿萊商品公司的普通股與一份看跌權同時出售。普通股的售價是每股8美元，看跌期權則是給予投資者在兩年之后按8美元的價格將其持有的普通股出售給發(fā)行公司的權利。在這兩年內投資者無權行使該權利，只有在滿兩年時，即1986年11月，投資者才能行使期權。這樣。投資者在這兩年的投資每股至多損失時間成本，即利息。40當時，阿萊商品公司之所以愿意提供這樣的承諾，是因為老股東不愿意以每股低于8美元的價格出售普通股，但德萊克塞爾投資銀行卻認為，按當時的市場情況，阿萊的股票僅能以每股6美元左右的價格出售。為了滿足阿萊的要求，德萊克塞爾投資銀行便設計了可售回股票。結果，阿萊的股票順利的以每股8元的價格銷售一空。411984年11月15日，阿萊公司的股票在美國股票交易所AMSE上市。當天股價跌至7.625美元。在新股的適應期內，阿萊的股票不象一般的IPO股票一樣：阿萊的股票迅速下挫至每股6美元—這正是德萊克塞爾投資銀行的預測值。其后的一年半內，該股票始終在6美元左右徘徊，從1986年4月開始，它開始小幅攀升。

421986年8月16日，阿萊公司董事會接受了該公司的中層經理提出的管理層收購方案（MBO）。這些經理斥資4870萬美元，以每股10美元的價格購買阿萊公司。于是，在其可售回股票的執(zhí)行期內，阿萊公司的股價在9—10美元之間盤整，故“售回”沒被執(zhí)行。43阿萊公司的老股東和經理相對外部投資者而言，均是所謂的“內部人”，經理們愿意以每股10美元實施收購，足以證明其真實的股票價值斷然不至市場預測的每股6美元。這個案例說明可售回股票的確有助于緩解公司內外的信息不對稱問題，避免股價的低估。444.4期權平價定理454.5股票期權價格的特征一、影響期權價格的因素股票價格和執(zhí)行價格到期期限波動率無風險利率紅利46表4-2一個變量增加而其他變量保持不變

對股票期權價格的影響47二假設和符號為分析問題，可以合理地假定不存在套利機會以下字母的含義為：S：股票現(xiàn)價X：期權執(zhí)行價格T：期權的到期時間t:現(xiàn)在的時間ST：在T時刻股票的價格48r:在T時刻到期的無風險利率C：一股股票的美式看漲期權的價值P：一股股票的美式看跌期權的價值c:一股股票的歐式看漲期權的價值p:一股股票的歐式看跌期權的價值:股票價格的波動率49三、期權價格的上下限1期權價格的上限股票價格是期權價格的上限:502.不付紅利的歐式看跌期權的下限對于不付紅利的歐式看跌期權來說，其價格的下限為：51假定S=$37，X=$40，r=5%，T-t=0.5Xe-r(T-t)-S=40e-0.05*0.5-37=2.01或$2.01如果歐式看跌期權價格$1.00<$2.01(理論最小值)套利者可借入六個月期的$38.00，購買看跌期權和股票。在六個月末套利者將支付$38e0.05*0.5=$38.96。52如果股票價格低于$40.00,套利執(zhí)行期權以$40.00賣出股票，歸還所借款項本金和利息，其獲利為：$40.00-$38.96=$1.04如果股票價格高于$40.00，套利者放棄期權，賣出股票并償付所借款項本金和利息，甚至可獲得更高的利潤。例如，如果股票價格為$42.00，則套利者的利潤為：$42.00-$38.96=$3.0453考慮下面兩個組合：組合C：一個歐式看跌期權加上一股股票組合D：金額為Xe-r(T-t)的現(xiàn)金如果ST<X，在T時刻組合C中的期權將被執(zhí)行，該組合的價值為X。如果ST>

X，在T時刻看跌期權到期價值為零，該組合的價值為ST。因此，組合C在T時刻的價值為：max(ST,X)54假定現(xiàn)金按無風險利率進行投資，則在T時刻組合D的價值為X。因此，在T時刻組合C的價值通常不低于組合D的價值，并且有時組合C的價值會高于組合D的價值。在不存在套利機會時，組合C的現(xiàn)在價值一定高于組合D的現(xiàn)在價值。因此：

p+S>Xe-r(T-t)或p>Xe-r(T-t)-S55由于對于一個看跌期權來說，可能發(fā)生的最壞情況是期權到期價值為零所以期權的價值必須為正值，即p>0這意味著：

p>max(Xe-r(T-t)-S,0)式（*1）563.不付紅利的看漲期權的下限不付紅利的歐式看漲期權的下限是57例考慮一個不付紅利的股票的美式看漲期權此時股票價格為$51時，執(zhí)行價格為$50距到期日有六個月，無風險年利率為12％即在本例中，S＝$51，X=$50，T-t=0.5，r=0.12。根據c>max(S-Xe-r(T-t)，0)該期權價格的下限為S-Xe-r(T-t)或51-50e-0.12*0.5=$3.9158四、提前執(zhí)行：

提前執(zhí)行不付紅利的美式看漲期權是不明智的?？紤]一個不付紅利股票的美式看漲期權，距到期日還有1個月，股票價格為$50，執(zhí)行價格為$40。期權的實值額很大，期權的持有者可能很想立即執(zhí)行它。那些確實想持有股票的投資者將會購買該期權。這類投資者是一定存在的。否則股票的現(xiàn)價就不會是$50。C>S-Xe-r(T-t)59所以C>S-X。如果提前執(zhí)行是明智的，那么C應該等于S-X。我們的結論是：提前執(zhí)行是不明智的。60圖6-16

股價為S的不付紅利股票的美式或歐式看漲期權的價格變化61五、提前執(zhí)行：

提前執(zhí)行不付紅利的看跌期權可能是明智的。

提前執(zhí)行不付紅利的看跌期權可能是明智的。事實上，在期權有效期內的任一給定的時刻，如果看跌期權的實值額很大，則應提前執(zhí)行它。62考慮一個極端的例子假定執(zhí)行價格為$10，股票價格接近為0。通過立即執(zhí)行期權，投資者可立即獲利$10如果投資者等待，則執(zhí)行期權的盈利可能低于$10，但是由于股票價格不可能為負值，所以盈利不會超過$10。另外，現(xiàn)在收到$10比將來收到$10要好。這說明該期權應立即執(zhí)行。63圖6-17

股價為S的美式看跌期權的價格變化圖64圖6-18

股價為S的歐式看跌期權的價格變化圖65六、美式看漲期權和看跌期權之間的關系看漲與看跌期權之間平價關系僅適用于歐式期權。但也可推導出不付紅利股票的美式期權價格之間的某種關系。

S-X<C-P<S-Xe-r(T-t)

式（*2）66例考慮不付紅利股票的美式看漲期權，執(zhí)行價格為$20，到期期限為5個月，期權價格為$1.5。則同一股票相同執(zhí)行價格和到期期限的歐式看漲期權的價格也是如此。假定股票的現(xiàn)價為$19，無風險年利率為10％。根據C+Xe-r(T-t)=P+S，執(zhí)行價格為$20，到期期限為5個月的歐式看跌期權的價格為：1.50＋20e-0.1*0.4167-19=$1.6867根據式（*2）19-20<C-P<19-20e-0.1*0.4167或1>P-C>0.18這表明P-C在$1.00和$0.18之間。由于C為$1.50，P必須在$1.68和$2.50之間換句話說，與美式看漲期權執(zhí)行價格和到期期限相同的美式看跌期權價格的上限和下限分別為$2.50和$1.68。68七、紅利的影響用字母D表示在期權有效期內紅利的現(xiàn)值為此，人們假定在除息日發(fā)放紅利。1.看漲期權和看跌期權的下限2.提前執(zhí)行3.看漲與看跌期權之間的平價關系691.看漲期權和看跌期權的下限c>S-D-Xe-r(T-t)p>D+Xe-r(T-t)-S702.提前執(zhí)行當預期有紅利發(fā)放時，我們不再肯定美式看漲期權不應提前執(zhí)行。有時在除息日前，立即執(zhí)行美式看漲期權是明智的。這是因為發(fā)放紅利將使股票價格跳躍性下降，使期權的吸引力下降。713.看漲與看跌期權之間的平價關系c+D+Xe-r(T-t)=p+SS-D-X<C-P<S-Xe-r(T-t)726.6二項式定價7310012090風險資產期權C200圖4-20一期二項程序——具體舉例74考慮這樣一個資產組合（1）以價格C賣出三口看漲期權(100)（2）以價格100買進兩個單位的根本資產（3）以10%的利率借入資金163.647510012090風險資產期權C14410881上升C下降4480圖6-21兩期二項期權定價C76120144108風險資產期權C448圖6-22兩期二項期權定價——右上方分支7710012090風險資產期權C29.094.85圖6-23兩期二項期權定價——左方分支7810012090風險資產期權19.10144108814.8529.094480套頭率=1套頭率=0.30套頭率=0.81圖6-24兩期二項期權定價——完整過程79100.00100.00100.00100.00100.00100.00106.53106.53106.53106.53106.5393.8793.8793.8793.8793.87113.48113.48113.48113.48120.89120.89120.89120.89128.79128.79128.79137.19137.19137.19146.15146.15155.69155.69165.86176.69113.48128.79146.15165.86188.2288.1288.1288.1288.1288.1282.7282.7282.7282.7277.6577.6577.6577.6572.8972.8972.8968.4268.4268.4264.2364.2360.2960.2956.6053.13012345678910表6-3十步二項模型定價——資產價格800.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.008.7926.155.032.881.650.940.540.310.1818.6312.768.505.553.572.271.430.8945.8637.1229.0021.9016.0811.518.085.573.782.5468.2258.1248.7039.9431.9724.9919.0914.2910.507.585.40109876543210表6-4十步二項模型定價——期權價值81步數期權價格0102030405060708090100圖6-25二項模型的可靠性826.7 價格波動期權定價模型期權費對應資產價格交割價格到期日波動率估計利率“向前”期權定價模型期權費

對應資產價格交割價格到期日波動率估計利率“向后”圖6-26通過期權定價模型計算隱含波動率83案例外匯結構性產品

結構性存款（DCD，又稱雙幣種存款）雖然不是一種規(guī)避匯率風險的金融產品，但它目前較普遍地被用在財務管理中，是一種兼有幣種轉換和提高外匯收益的資金衍生產品。特別適用于當前手頭擁有某種外幣，并希望在預期的將來把它轉換為另一種外幣，用以支付應付賬款或償還外債，同時還可以獲得較高的存款收益。在這種情況下，客戶應選擇非常接近于即期匯率的執(zhí)行匯率價格，以獲得較高的存款利率并提高幣種轉換的可能性。

84結構性存款是一種與匯率掛鉤的投資性存款方式，其實質是做了一個看漲期權空頭（客戶賣出一份看漲期權給銀行），結構性存款中客戶雖然冒了幣種轉換的風險，但其基礎貨幣的收益有可能比常規(guī)收益高出近10倍。85該產品的操作方式是，投資者將某種基礎貨幣存入代理行。參考當前匯率，通過選擇匯率浮動范圍確定執(zhí)行匯率，一般范圍選擇得越小，則可能得到的存款報價就越高（其中原因將在下文解釋）。

86在存款到期日，客戶可以獲得當初與代理行之間約定的較高的存款利率，同時，在存款到期日，銀行有權選擇支付存款本金的幣種。如果實際匯率超出了當初約定的匯率，則其基礎貨幣就被轉換為當初約定的轉換貨幣；反之，銀行支付原存款幣種給存款人。

87下面以2003年3月21日/24日的匯率為例，分別列出了EUR/USD，USD/JPY，GBP/USD和AUD/USD的報價（見表１２-５至表１２-８）。該報價中對基礎貨幣的存款量要求為30萬美元至100萬美元，大于100萬美元，則報價利率在列示利率上再加0．50%（見表１２-９）。88表1２-5EUR/USD結構性存款報價

EUR/USD3月21日轉換匯率4月2日/4月4日4月16日/4月22EURdeposit+100pips1．073011．11%8．26%USDdeposit-50pips1．058014．91%9．95%匯率2周exp/del1個月exp/del+50pips1．068015．23%10．17%現(xiàn)匯參考1．0630-100pips1．053010．33%7．69%89表1２-6USD/JPY結構性存款報價

2周exp/del1個月exp/delUSD/JPY3月24轉換匯率4月2日/4月4日4月16日/4月22USDdeposit+100pips119．809．97%6．67%+50pips119．3014．88%8．57%現(xiàn)匯參考118．80JPYdeposit-50pips118．3014．67%8．65%-100pips117．809．76%6．67%90表1２-7GBP/USD結構性存款報價GBPdeposit+100pips1．57609．57%7．28%USDdeposit-50pips1．561012．21%8．37%2周exp/del1個月exp/delGBP/USD3月21日轉換匯率4月2日/4月44月16日/4月22+50pips1．571012．53%8．61%現(xiàn)匯參考1．5660-100pips1．55609．09%6．79%91表1２-8AUD/USD結構性存款報價

AUD/USD3月21轉換匯率4月2日/4月4日4月16日/4月22日+100pips0．60307．28%6．85%現(xiàn)匯參考0．5930-50pips0．588012．34%9．61%2周exp/del1Mexp/delAUDdeposit+50pips0．598012．76%9．64%USDdeposit-100pips0．58305．90%5．78%92表1２-9目前一個月存款參考利率USDEURAUDGBPJPY1．31%2．28%4．31%3．25%0．52%93以美元為例，比較結構性存款的利率與普通定期存款的利率。在匯率范圍選擇為＋50pips時，結構性美元存款的兩周存款利率按年利率可達14．88%，而１個月的存款利率也達到了8．57%。相比之下，美元普通１個月存款的利率只有1．31%，兩者相比，相差幾乎十倍。94（2）結構性存款報價分析影響DCD報價的因素主要是執(zhí)行價格和存款期。執(zhí)行匯率越靠近即期匯率，則存款利率越高；存款期越長，存款利息絕對值越大，但一般情況下，單位時間存款利率隨著存款期的延長反而降低。例如，USD/JPY結構性存款報價中，時間長度是2周的年利率為14．88%，而時間長度是1個月的年利率僅為8．57%。95①執(zhí)行匯率對價格的影響由于結構性存款的核心是客戶出售一個看漲期權給銀行，因此銀行報價的基礎是期權價格。購買期權合約的一方（即銀行）持有期權多頭頭寸，而出售或承約期權合約的一方持有期權空頭頭寸（即選擇做DCD的客戶）。期權的出售方事先收取現(xiàn)金（期權費），對于DCD，客戶從銀行處獲得了較高的存款利率回報，但隨后則具有潛在的責任。期權出售方的損益狀態(tài)與期權購買方的損益狀態(tài)正好相反。

96以上述存款本金為美元，兌換貨幣為日元的報價為例。3月24日美元對日元的匯率參考價為118．80，如果客戶選擇了＋50點的匯率作為交割匯率即119．30，則銀行存款利率的報價為14．88%；如果客戶選擇了＋100點的匯率作為交割匯率即119．80，則銀行存款利率的報價為9．97%。顯然＋50點的報價比＋100點的報價高。97②款期限對價格的影響上述報價單中，存款利率隨著存期的延長反而降低，這與一般的存款不同，因為對于一般的銀行存款，存款期越長，則存款利率越高。這一現(xiàn)象，可以通過高曼哥哈根模型來解釋。98期權價格與S，X，rb，rp，t，σ有關，一般情況下當S，X，rb，rp固定時，期限t越長，波動率σ越大，則期權價格越高，但是，t與C之間并非線性關系，也就是當存款期從一個星期增加到兩個星期，期權價格雖然也會增長，但不會同時增長一倍。除了t，波動率σ也同時對期權價格C產生影響。一般銀行計算期權價格時使用的隱含波動率采用了當天市場價，在一般情況下，短期的隱含波動率大于長期的隱含波動率。上述兩個因素決定了當存款期延長，雖然絕對利息收入增加，但單位時間存款利率卻反而降低。99結構性存款的定價（１）定價計算由于結構性存款是一個看漲期權空頭，低于執(zhí)行價格時，看漲期權的賣出方收取了期權費。所以，銀行對結構性存款的定價完全建立在它所收取的期權費的基礎上，結構性存款的定價就變?yōu)橛嬎憧礉q期權的期權費C。100（２）高曼哥哈根模型式中：C表示期權價格，S表示即期匯率，X表示執(zhí)行匯率，rb

表示基礎貨幣的連續(xù)復合利率，rp

表示定價貨幣的連續(xù)復合利率。101在上述公式中，只有一個參數不能從市場中直接觀察到，這就是波動率，它是用來衡量未來匯率價格變動的不確定性。隨著波動率的增加，看漲期權和看跌期權的價值都會增加。波動率有多種計算方法，從歷史數據估計波動率、波動率微笑曲線、波動率的期限結構和波動率矩陣等。102這里利用市場隱含波動率計算期權價格。根據當天Reuter上的即時報價，市場隱含波動率為9．85%。分析以美元為基礎貨幣，日元為兌換貨幣，交割匯率為＋100pips，1個月到期的結構性存款利率報價，必須計算該產品中的期權價格。103S＝118．80，X＝119．80，σ＝9．85%，t＝0．08333，rp＝0．05188%，rb＝1．30875%104=-0．3174

105假設美元存款30萬，則期權收益為２１８４美元（２5９４４０日元），折算為存款利率約為8．７4%（年利率）。銀行在2003年3月24日對美元１個月結構性存款利率的報價為6．67%（存款額30萬美元至100萬美元），銀行賺取了約２．０7%的年率收益。

106在2003年4月24日，如果匯率大于119．80，則美元以119．80被兌換成日元，公司獲得比在3月24日以118．80兌換成日元更合算的兌換比例，并且可以獲得年6．67%的利息，比日元存款利率0．05188%和美元存款利率1．30875%高得多。如果匯率小于119．80日元／美元，公司仍然可以保留美元，但可以獲得年6．67%的利息，同樣比日元存款利率0．05188%和美元存款利率1．30875%高得多。如果匯率等于119．80，公司可以兌換日元，也可以保留美元，但仍然可以獲得年利率6．67%的利息。同理可以計算不同執(zhí)行匯率，不同基礎貨幣的結構性存款的價格。107布萊克斯科爾斯定價模型雖然解決了期權定價的計算問題，但是該模型應用的前提條件是資產收益率服從對數正態(tài)分布。如果這一假設不成立，那么該模型給出的價格就可能存在偏差。而大量實證檢驗表明資產收益率分布具有尖峰胖尾的特征，并不服從對數正態(tài)分布。由于上述的肥尾現(xiàn)象，布萊克斯科爾斯模型給出的價格就會低估虛值與實值看漲期權和看跌期權的價格。上述利用市場隱含波動率計算期權價格就是這個道理。108如果不利用市場隱含波動率，而利用50個連續(xù)交易日的匯率價格的每日數據，計算2003年3月24日USD/JPY匯率的波動率，得到歷史波動率σ＝7．42%。下面利用歷史波動率計算期權價格，并與上述用市場隱含波動率計算而得的存款利率進行比較。其中，仍假設基礎貨幣為美元，兌換貨幣為日元，交割匯率為＋100pips。109S＝118．80，X＝119．80，σ＝7．42%，t＝0．08333，rp＝0．05188%，rb＝1．30875%110期權價格為0．5539日元。假設做期權的金額為３0萬美元，則１個月期權收益為1399美元（166170日元），折算為存款利率約為年利5．60%，與利用市場隱含波動率計算而得的存款利率8．74%相比，低了3．14%，這就是利用歷史波動率所產生的定價偏差

111布萊克斯科爾斯定價模型的不完美性，使實際從業(yè)人員在日常操作中，需要在通常偏差之上改變波動率參數以反映市場最新的信息。實際從業(yè)人員和研究人都發(fā)現(xiàn)隱含波動率依賴于執(zhí)行價格（波動率微笑效應）和有效期限長度（期限結構效應）。利用波動率矩陣可以進一步處理模型的不完美之處。用最新的隱含波動率數據可以構造這些矩陣，這些矩陣綜合考慮了波動率微笑和波動率期限結構。1126.8到期日前的期權價格1.40001.45001.50001.55001.60001.65001.70001.75001.80001.85001.90001.95002.00000.00000.05000.10000.15000.20000.25000.30000.3500對應資產價格(美元/德國馬克)期權價值(德國馬克)270天90天30天到期圖6-27期權到期日前的價值113時間價值內在價值因持有人可以推遲決定是否行使期權而形成的價值因持有人可以推遲出售或購買對應資產帶來的現(xiàn)金流而形成的價值，即持有成本期權獨有的現(xiàn)金工具期權的重要特征1141.40001.45001.50001.55001.60001.65001.75001.80001.85001.90001.95002.00000.00000.05000.10000.15000.20000.25000.30000.3500對應資產價格(美元/德國馬克)期權價值(德國馬克)1.7000時間價值內在價值圖6-28看漲期權的內在價值和時間價值1151.40001.45001.50001.55001.60001.65001.70001.75001.80001.85001.90001.95002.00000.00000.05000.10000.15000.20000.25000.30000.3500對應資產價格(美元/德國馬克)期權價值(德國馬克)負時間價值正時間價值時間價值內在價值圖6-29看跌期權的內在價值和時間價值116步數對應資產套頭率交易資產所持資產價值套頭現(xiàn)金流量期權現(xiàn)金流量總現(xiàn)金流量現(xiàn)金流量的現(xiàn)在值012345100.000.43090.430943.09-43.090.00-43.09-43。09111.740.62690.196170.06-21.91-21.91-21.65120.950.75920.132391.83-16.00-16.00-15.62118.070.6985-0.060782.477.177.176.92116.080.6395-0.059074.246.856.856.53116.730.6279-0.011673.291.361.361.28表6-對空頭看漲期權進行積極套頭交易117步數對應資產套頭率交易資產所持資產價值套頭現(xiàn)金流量期權現(xiàn)金流量總現(xiàn)金流量現(xiàn)金流量的現(xiàn)在值678910到期日106.060.3210-0.306934.2432.7332.7330.46108.860.3135-0.007534.130.810.810.75115.290.45310.139652.24-16.09-16.09-14.62124.790.802.90.3498100.19-43.65-43.65-39.18137.911.000.1971137.91-27.18-27.18-24.11-1.00000.00137.91120.00106.43-17.91凈現(xiàn)值-5.90表6-對空頭看漲期權進行積極套頭交易118平均=-5.40凈現(xiàn)值圖6-30套頭成本的分布1196.9 期權的行為120一個例子某金融機構出售了基于100,000股不付紅利股票的歐式看漲期權，獲利$300,000。假設在股票市場股票價格是$49執(zhí)行價格是$50無風險利率是年利率5%股票價格波動率是每年20%距到期時間還有20周股票的期望收益率是每年13%121使用一般的符號，這意味著：S=$49,X=$50,r=0.05σ=0.20,T-t=0.3846,μ=0.13122金融機構一般情況下很少出售基于單種股票的看漲期權。但用基于一種股票的看漲期權作為例子便于我們展開討論，所得結論也適用于其它類型的期權和衍生證券。由Black-Scholes定價模型可知該期權的價格大致為$240,000。這家機構因此以比該期權理論價值高出$60,000的價格出售了該期權，同時面臨著如何對沖其暴露頭寸的問題。123模擬過程假設保值過程為每周調整一次。在表13.2中，Delta的初始計算值為0.522。意味著在出售看漲期權的同時，必須借進$2,577,800并按$49價格購買52,200股股票。第一周內發(fā)生的利息費用為$2,500。到第一周末，股票價格下降到$48(1/8)。這使得Delta值相應減少到0.458，要保持Delta中性，此時應出售6,400股股票。以上操作得到$308,000的現(xiàn)金。124在第一周末累計借款余額為2,252,300。在第二周內，股票價格下降到$47(3/8),Delta值又減小了，如此等等。在期權臨近到期時，很明顯該期權將被執(zhí)行，Delta接近1.0。因此，到20周時，套期保值者具有完全的抵補期權頭寸。套期保值者持有股票的收入為$5,000,000，因此出售該期權并對沖該期權風險的總計支出為$263,400。125表6-Delta對沖的模擬；期權接近于實值期權狀態(tài)；

對沖成本＝$263,400126表4-7Delta對沖的模擬；期權接近于虛值期權狀態(tài)；對沖成本＝$256,600127裸期權頭寸策略（nakedposition）如果看漲期權被執(zhí)行，該金融機構不得不以當前的市場價格購買100,000股與該期權頭寸對沖，其損失為股票價格超出執(zhí)行價格部分的100,000倍。例如，若20周末到期時股票價格為$60，金融機構的期權成本為100,000×($60-$50)=$1,000,000，這遠遠高出先前的期權費收入$300,000。若20周末到期時股票價格低于$50，裸期權頭寸策略將運行得很有效。該期權不會被執(zhí)行，金融機構分文無損，整個交易中金融機構凈獲利$300,000。128抵補期權頭寸策略（coveredposition）,所做的就是在出售看漲期權的同時購買100,000股股票。如果到期時該期權被執(zhí)行，這個策略很有利，但在其余情況下，代價就會很昂貴。例如，如果股票價格降低到$40，該機構在股票頭寸上的損失將比$300,000高許多。從看漲期權與看跌期權之間的平價關系，也可以看出出售一個抵補看漲期權頭寸風險暴露與出售一個裸看跌期權頭寸風險暴露是相同的。129所以裸期權頭寸和抵補期權頭寸這兩種策略都不是理想的套期保值方法。130若某投資者出售了20份該股票看漲期權合約（20份股票看漲期權可購買2,000股股票）。投資者的保值頭寸保持Delta對沖狀態(tài)（或Delta中性狀態(tài)）這是因為隨著股票價格的變化和時間的流逝，Delta值也在不斷地變化。實際上，這套期保值操作中，需要定期地調整保值頭寸，這種調整稱為再均衡（rebalancing）。1311.40001.45001.50001.55001.60001.65001.70001.75001.80001.85001.90001.95002.00000.00000.05000.10000.15000.20000.25000.30000.3500對應資產價格(美元/馬克)價值(馬克)270天30天=0.12=0.03=0.33=0.60=0.02=0.54=0.98=1.00=1.00=0.92=0.81=0.96=0.00圖6-31顯示得爾塔值的利潤圖1320.00000.02000.04000.06000.08000.10002702402101801501209060300價內平價價外=-0.0001=-0.0002=-0.00036=-0.0001=-0.0001=-0.0003=-0.0003=-0.0002=-0.0001=-0.0006時間價值（馬克）到期日（天）圖6-32時間衰減和希