方差與標準差

方差與標準差第一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六復習回憶:何謂一組數(shù)據(jù)的極差?極差反映了這組數(shù)據(jù)哪方面的特征?答一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差叫做這組數(shù)據(jù)的極差。極差反映的是這組數(shù)據(jù)的變化范圍或變化幅度，也稱離散程度極差只能反映一組數(shù)據(jù)中兩個極值之間的大小情況，而對其他數(shù)據(jù)的波動情況不敏感。第二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六乒乓球的標準直徑為40mm，質檢部門從A、B兩廠生產的乒乓球中各抽取了10只，對這些乒乓球的直徑了進行檢測。結果如下（單位：mm）：A廠：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1；B廠：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2.你認為哪廠生產的乒乓球的直徑與標準的誤差更小呢?請你算一算它們的平均數(shù)和極差。是否由此就斷定兩廠生產的乒乓球直徑同樣標準？今天我們一起來探索這個問題。情境一：第三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六第四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六甲，乙兩名射擊手都很優(yōu)秀，現(xiàn)只能挑選一名射擊手參加比賽.若你是教練，你認為挑選哪一位比較適宜？教練的煩惱？情境二：第五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六第一次第二次第三次第四次第五次甲命中環(huán)數(shù)688810乙命中環(huán)數(shù)1061068甲，乙兩名射擊手的測試成績統(tǒng)計如下：⑴請分別計算兩名射手的平均成績；教練的煩惱？

=8（環(huán)）=8（環(huán)）甲x第六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六第一次第二次第三次第四次第五次甲命中環(huán)數(shù)688810乙命中環(huán)數(shù)1061068012234546810甲，乙兩名射擊手的測試成績統(tǒng)計如下：成績（環(huán)）射擊次序⑴請分別計算兩名射手的平均成績；⑵請根據(jù)這兩名射擊手的成績在下圖中畫出折線統(tǒng)計圖；教練的煩惱？他們的極差分別是多少？第七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六第一次第二次第三次第四次第五次甲命中環(huán)數(shù)688810乙命中環(huán)數(shù)1061068012234546810甲，乙兩名射擊手的測試成績統(tǒng)計如下：成績（環(huán)）射擊次序⑴請分別計算兩名射手的平均成績；⑵請根據(jù)這兩名射擊手的成績在下圖中畫出折線統(tǒng)計圖；教練的煩惱？第八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六第一次第二次第三次第四次第五次甲命中環(huán)數(shù)688810乙命中環(huán)數(shù)1061068012234546810甲，乙兩名射擊手的測試成績統(tǒng)計如下：成績（環(huán)）射擊次序⑴請分別計算兩名射手的平均成績；⑵請根據(jù)這兩名射擊手的成績在下圖中畫出折線統(tǒng)計圖；⑶現(xiàn)要挑選一名射擊手參加比賽，若你是教練，你認為挑選哪一位比較適宜？為什么？教練的煩惱？第九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六誰的穩(wěn)定性好？應以什么數(shù)據(jù)來衡量？甲射擊成績與平均成績的偏差的和：乙射擊成績與平均成績的偏差的和：（6-8）+（8-8）+（8-8）+（8-8）+（10-8）=0（10-8）+（6-8）+（10-8）+（6-8）+（8-8）=0怎么辦？第一次第二次第三次第四次第五次甲命中環(huán)數(shù)688810乙命中環(huán)數(shù)1061068第十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六誰的穩(wěn)定性好？應以什么數(shù)據(jù)來衡量？（10-8）2+（6-8）2+（10-8）2+（6-8）2+（8-8）2=（6-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（8-8）2+（10-8）2=甲射擊成績與平均成績的偏差的平方和：乙射擊成績與平均成績的偏差的平方和：找到啦！有區(qū)別了！816第一次第二次第三次第四次第五次甲命中環(huán)數(shù)688810乙命中環(huán)數(shù)1061068第十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六想一想上述各偏差的平方和的大小還與什么有關？——與射擊次數(shù)有關！所以要進一步用各偏差平方的平均數(shù)來衡量數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性設一組數(shù)據(jù)x1、x2、…、xn中，各數(shù)據(jù)與它們的平均數(shù)的差的平方分別是(x1－x)2、(x2－x)2、…(xn－x)2，那么我們用它們的平均數(shù)，即用S2=[(x1－x)2＋(x2－x)2

＋…＋(xn－x)2

]1n第十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六方差的定義：我們采用各偏差平方的平均數(shù)來衡量數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性，即叫做這組數(shù)據(jù)的方差（用S2來表示）。

第十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六方差越大,說明數(shù)據(jù)的波動越大,越不穩(wěn)定.方差用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動大小(即這批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小).S2=[(x1－x)2＋(x2－x)2

＋…＋(xn－x)2

]1n第十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六誰的穩(wěn)定性好？應以什么數(shù)據(jù)來衡量？第一次第二次第三次第四次第五次甲命中環(huán)數(shù)688810乙命中環(huán)數(shù)1061068試一試計算甲，乙兩組數(shù)據(jù)的方差第十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六由方差的定義，要注意：1、方差是衡量數(shù)據(jù)穩(wěn)定性的一個統(tǒng)計量；2、要求某組數(shù)據(jù)的方差，要先求數(shù)據(jù)的平均數(shù)；3、方差的單位是所給數(shù)據(jù)單位的平方；4、方差越大，波動越大，越不穩(wěn)定；方差越小，波動越小，越穩(wěn)定。第十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六例題精選例為了考察甲乙兩種小麥的長勢，分別從中抽出10株苗，測得苗高如下（單位：cm）：甲：12，13，14，15，10，16，13，11，15，11；乙：11，16，17，14，13，19，6，8，10，16；問：哪種小麥長得比較整齊？X甲＝（cm）X乙＝（cm）

S2甲＝（cm2）S2乙＝（cm2）

因為S2甲<S2乙，所以甲種小麥長得比較整齊。

解:第十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六乒乓球的標準直徑為40mm，質檢部門從A、B兩廠生產的乒乓球中各抽取了10只，對這些乒乓球的直徑了進行檢測。結果如下（單位：mm）：A廠：40.0，39.9，40.0，40.1，40.2，39.8，40.0，39.9，40.0，40.1；B廠：39.8，40.2，39.8，40.2，39.9，40.1，39.8，40.2，39.8，40.2.你認為哪廠生產的乒乓球的直徑與標準的誤差更小呢?現(xiàn)在可以判斷了嗎？試試看。小試牛刀：第十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六標準差的定義為了使得與數(shù)據(jù)單位一致，可用方差的算術平方根來表示（即標準差）：，S為標準差。特殊的：如果方差與標準差為零，說明數(shù)據(jù)都沒有偏差，即每個數(shù)都一樣。一般來說，一組數(shù)據(jù)的方差或標準差越小，這組數(shù)據(jù)離散程度越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定。第十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六練習：1.若甲組數(shù)據(jù)的方差比乙組數(shù)據(jù)的方差大，那么下列說法正確的是（）A.甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)比乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)大B.甲組數(shù)據(jù)比乙組數(shù)據(jù)穩(wěn)定C.乙組數(shù)據(jù)比甲組數(shù)據(jù)穩(wěn)定D.甲，乙組的穩(wěn)定性不能確定C第二十頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六練習：2.一組數(shù)據(jù)的7、8、9、10、11、12、13的方差是______.標準差是______.3.已知一組數(shù)據(jù)-1，x，0，1，-2的平均數(shù)是0，那么這組數(shù)據(jù)的方差是______.第二十一頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六反映數(shù)據(jù)離散程度的指標是什么？在一次數(shù)學測試中，甲、乙兩班的平均成績相同，甲班成績的方差為42，乙班成績的方差為35，這樣的結果說明兩個班的數(shù)學學習狀況各有什么特點？第二十二頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六（探究題）已知數(shù)據(jù)x1、x2、x3、x4、x5的平均數(shù)是2，方差是，那么另一組數(shù)據(jù)2x1－1，2x2－1，2x3－1，2x4－1，2x5－1的平均數(shù)和方差分別是（）

A、2，B、4，

C、2，D、3，D第二十三頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六總結：若x1，x2，x3，x4，…，xn方差為S2，則x1＋a，x2＋a，x3＋a，x4＋a，…，xn＋a的方差仍是S2，而ax1，ax2，ax3，ax4，…，axn的方差是a2S2。若x1，x2，x3，x4，…，xn平均數(shù)為x，則x1＋a，x2＋a，x3＋a，x4＋a，…，xn＋a的平均數(shù)是x+a，而ax1，ax2，ax3，ax4，…，axn的平均數(shù)是ax。第二十四頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六已知一組數(shù)據(jù)ｘ1，ｘ2，…，ｘn的方差是a。平均數(shù)是b則數(shù)據(jù)ｘ1-4,ｘ2-4,…ｘn－4的方差是

；平均數(shù)______.數(shù)據(jù)3ｘ1，3ｘ2，…，3ｘn的方差是

。平均數(shù)是_______.數(shù)據(jù)3ｘ1－４，3ｘ2－４，…，3ｘn－４方差是＿＿＿＿＿.平均數(shù)是________.拓展延伸ab-49a3b3b-49a第二十五頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六你的收獲今天我們一起探索了數(shù)學的有關什么知識？你取得了哪些收獲？①平均數(shù)是反映一組數(shù)據(jù)總體趨勢的指標，方差、標準差均是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的指標.②計算方差的步驟可概括為“先平均，后求差，平方后，再平均”.第二十六頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六.方差和標準差的區(qū)別與聯(lián)系：聯(lián)系：方差和標準差都是用來衡量（或描述）一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大?。床▌哟笮。┑闹笜耍Ｓ脕肀容^兩組數(shù)據(jù)的波動情況。第二十七頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六區(qū)別：方差是用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”的方法得到的結果，主要反映整組數(shù)據(jù)的波動情況，是反映一組數(shù)據(jù)與其平均值離散程度的一個重要指標，每個數(shù)據(jù)的變化都將影響方差的結果，是一個對整組數(shù)據(jù)波動情況更敏感的指標。在實際使用時，往往計算一組數(shù)據(jù)的方差，來衡量一組數(shù)據(jù)的波動大小。標準差實際是方差的一個變形，只是方差的單位是原數(shù)據(jù)單位的平方，而標準差的單位與原數(shù)據(jù)單位相同。第二十八頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六

極差、方差和標準差的區(qū)別與聯(lián)系：聯(lián)系：極差、方差和標準差都是用來衡量（或描述）一組數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小（即波動大?。┑闹笜耍Ｓ脕肀容^兩組數(shù)據(jù)的波動情況。區(qū)別：極差是用一組數(shù)據(jù)中的最大值與最小值的差來反映數(shù)據(jù)的變化范圍，主要反映一組數(shù)據(jù)中兩個極端值之間的差異情況，對其他的數(shù)據(jù)的波動不敏感。第二十九頁，共三十一頁，編輯于2023年，星期六