時(shí)間序列分析的基本概念

時(shí)間序列分析的基本概念第一頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六本章結(jié)構(gòu)隨機(jī)過(guò)程基礎(chǔ)概念和基本理論介紹平穩(wěn)過(guò)程的特征線性差分方程時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理2第二頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六隨機(jī)過(guò)程描述在對(duì)某些隨機(jī)現(xiàn)象的變化過(guò)程進(jìn)行研究時(shí)，需要考慮無(wú)窮多個(gè)隨機(jī)變量，必須用一簇隨機(jī)變量才能刻畫(huà)這種隨機(jī)現(xiàn)象的全部統(tǒng)計(jì)特征，這樣的隨機(jī)變量族通常稱為隨機(jī)過(guò)程。例子：隨機(jī)游動(dòng)(或游走)模型，Brown運(yùn)動(dòng)等等3第三頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六設(shè)X1,X2,…是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，令

Sn=S0+X1+X2+…+Xn則稱隨機(jī)變量序列{Sn；n=0,1,…}為隨機(jī)游動(dòng)。其中S0是與X1,X2,…相互獨(dú)立(但是不同分布)的隨機(jī)變量，一般地，我們總是假定S0=0。如果P(Xn=1)=P(Xn=-1)=1/2就是一般概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材中提到的簡(jiǎn)單隨機(jī)游動(dòng)。隨機(jī)游動(dòng)4第四頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六設(shè){X(t)，t∈T}是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程均值函數(shù)協(xié)方差函數(shù)方差函數(shù)隨機(jī)過(guò)程的特征統(tǒng)計(jì)量第五頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六平穩(wěn)過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程：隨機(jī)過(guò)程處于某種平穩(wěn)狀態(tài)，其主要性質(zhì)與變量之間的時(shí)間間隔有關(guān)，而與所考察的起始點(diǎn)無(wú)關(guān)。平穩(wěn)過(guò)程的分類：嚴(yán)平穩(wěn)寬平穩(wěn)6第六頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六嚴(yán)平穩(wěn)是一種條件比較苛刻的平穩(wěn)性定義，它認(rèn)為只有當(dāng)過(guò)程所有的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)都不會(huì)隨著時(shí)間的推移而發(fā)生變化時(shí)，該隨機(jī)過(guò)程才能被認(rèn)為平穩(wěn)。定義：有限維分布關(guān)于時(shí)間是平移不變的設(shè)隨機(jī)過(guò)程{X(t)，t∈T}對(duì)任意的t1,…,tn∈T和任意的h有(X(t1+h),X(t2+h),…,X(tn+h))和(X(t1),X(t2),…,X(tn))具有相同的聯(lián)合分布，記為(X(t1+h),X(t2+h),…,X(tn+h))=(X(t1),X(t2),…,X(tn))則稱過(guò)程{X(t)，t∈T}是嚴(yán)平穩(wěn)的。嚴(yán)平穩(wěn)(strictlystationary)第七頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六寬平穩(wěn)是使用隨機(jī)過(guò)程的特征統(tǒng)計(jì)量來(lái)定義的一種平穩(wěn)性。它認(rèn)為隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)主要由它的低階矩決定，所以只要保證低階矩平穩(wěn)(二階)，就能保證隨機(jī)過(guò)程的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定。定義：滿足如下條件的隨機(jī)過(guò)程{X(t)，t∈T}稱為寬平穩(wěn)過(guò)程，簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過(guò)程?！咀ⅰ咳鬞是離散集，則稱平穩(wěn)過(guò)程{X(t)}為平穩(wěn)序列{Xn}。寬平穩(wěn)(weaklystationary)第八頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系區(qū)別：寬平穩(wěn)對(duì)時(shí)間推移的不變性表現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)平均的一、二階矩上，對(duì)于高于二階的矩沒(méi)有任何要求；嚴(yán)平穩(wěn)對(duì)時(shí)間推移的不變性表現(xiàn)在統(tǒng)計(jì)平均的概率分布上，以保證序列所有的統(tǒng)計(jì)特征都相同；兩者的要求不同，一般說(shuō)來(lái)，嚴(yán)平穩(wěn)比寬平穩(wěn)要求要“嚴(yán)”。第九頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)的關(guān)系聯(lián)系：嚴(yán)寬：因?yàn)閷捚椒€(wěn)要求期望和協(xié)方差都存在，而嚴(yán)平穩(wěn)要求概率分布存在，并不斷言一二階矩存在。而服從柯西分布的嚴(yán)平穩(wěn)序列就不是寬平穩(wěn)序列，因?yàn)樗囊?、二階矩均不存在；寬嚴(yán)：不言而喻；嚴(yán)平穩(wěn)+二階矩存在寬平穩(wěn)，但反過(guò)來(lái)一般不成立；對(duì)于正態(tài)過(guò)程來(lái)說(shuō)，有嚴(yán)平穩(wěn)寬平穩(wěn)。在實(shí)際應(yīng)用中，研究最多的還是看寬平穩(wěn)時(shí)間序列。第十頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六寬平穩(wěn)是使用隨機(jī)過(guò)程的特征統(tǒng)計(jì)量來(lái)定義的一種平穩(wěn)性。它認(rèn)為隨機(jī)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)主要由它的低階矩決定，所以只要保證低階矩平穩(wěn)(二階)，就能保證隨機(jī)過(guò)程的主要性質(zhì)近似穩(wěn)定。定義：滿足如下條件的隨機(jī)過(guò)程{X(t)，t∈T}稱為寬平穩(wěn)過(guò)程，簡(jiǎn)稱平穩(wěn)過(guò)程?！咀ⅰ咳鬞是離散集，則稱平穩(wěn)過(guò)程{X(t)}為平穩(wěn)序列{Xt}。寬平穩(wěn)(weaklystationary)第十一頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六平穩(wěn)時(shí)間序列{Xt}的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)常數(shù)均值：(自)協(xié)方差函數(shù)只依賴于時(shí)間的平移長(zhǎng)度,而與時(shí)間的起止點(diǎn)無(wú)關(guān)：

延遲k自協(xié)方差函數(shù)：

常數(shù)方差：第十二頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六規(guī)范性：對(duì)稱性：非唯一性：一個(gè)平穩(wěn)序列唯一決定了它的自相關(guān)函數(shù)，但一個(gè)自相關(guān)函數(shù)未必唯一對(duì)應(yīng)著一個(gè)平穩(wěn)序列。自相關(guān)系數(shù)延遲k自相關(guān)系數(shù)：反映序列Xt在時(shí)刻t和t+k時(shí)的線性相關(guān)性。非負(fù)定性：第十三頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六平穩(wěn)過(guò)程的遍歷性如果均方連續(xù)的平穩(wěn)過(guò)程的均值和相關(guān)函數(shù)都具有各態(tài)歷經(jīng)性(隨機(jī)過(guò)程的時(shí)間平均等于過(guò)程的統(tǒng)計(jì)平均)，則稱該平穩(wěn)過(guò)程具有各態(tài)歷經(jīng)性或遍歷性。難點(diǎn)：在實(shí)際問(wèn)題中，要嚴(yán)格驗(yàn)證平穩(wěn)過(guò)程是否滿足遍歷性的條件是比較困難的。遍歷性的理論意義：一個(gè)遍歷的寬平穩(wěn)過(guò)程，可用任意一個(gè)樣本函數(shù)的時(shí)間平均代替平穩(wěn)過(guò)程的統(tǒng)計(jì)平均。第十四頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六純隨機(jī)過(guò)程定義：如果隨機(jī)過(guò)程X(t)是由一個(gè)不相關(guān)的隨機(jī)變量序列構(gòu)成，即對(duì)于所有s≠t，隨機(jī)變量Xs和Xt的協(xié)方差均為零，即隨機(jī)變量Xs和Xt互不相關(guān)，則稱其為純隨機(jī)過(guò)程。純隨機(jī)性：

各序列值之間沒(méi)有任何相關(guān)關(guān)系，即為“沒(méi)有記憶”的序列，序列在進(jìn)行完全無(wú)序的隨機(jī)波動(dòng)。

------------不需要建模第十五頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六白噪聲過(guò)程定義：期望和方差都為常數(shù)的純隨機(jī)過(guò)程稱為白噪聲過(guò)程。白噪聲序列(Whitenoise)：白噪聲過(guò)程的樣本實(shí)現(xiàn)。若εt滿足則稱{εt}是一個(gè)白噪聲序列，記為第十六頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)白噪聲序列時(shí)序圖

均值為零方差為常數(shù)純隨機(jī)性第十七頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六線性差分方程一階差分方程p階差分方程放到第三章去講第十八頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六時(shí)間序列數(shù)據(jù)的預(yù)處理動(dòng)態(tài)隨機(jī)數(shù)據(jù)：具有動(dòng)態(tài)隨機(jī)變化特征的數(shù)據(jù)時(shí)間序列方法的對(duì)象：平穩(wěn)的非純隨機(jī)的時(shí)間序列預(yù)處理：平穩(wěn)性檢驗(yàn)正態(tài)性檢驗(yàn)獨(dú)立性檢驗(yàn)離群點(diǎn)的檢驗(yàn)與處理第十九頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六時(shí)間序列的平穩(wěn)性是時(shí)間序列建模的重要前提。檢驗(yàn)的對(duì)象：序列是否具有常數(shù)均值和常數(shù)方差？序列的自相關(guān)函數(shù)是否僅與時(shí)間間隔有關(guān)，而與時(shí)間的起止點(diǎn)無(wú)關(guān)？檢驗(yàn)的方法：平穩(wěn)性的參數(shù)檢驗(yàn)法平穩(wěn)性的非參數(shù)檢驗(yàn)法時(shí)序圖檢驗(yàn)法平穩(wěn)性檢驗(yàn)第二十頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六檢驗(yàn)的方法：平穩(wěn)性的參數(shù)檢驗(yàn)法比較麻煩平穩(wěn)性的非參數(shù)檢驗(yàn)法-----游程檢驗(yàn)法可用SPSS軟件計(jì)算Analyze→NonparametricTests→Runs∣Z∣≤1.96，則該時(shí)間序列平穩(wěn)。時(shí)序圖檢驗(yàn)法平穩(wěn)序列的均值和方差為常數(shù)，故其時(shí)序圖應(yīng)該在一個(gè)常數(shù)值附近隨機(jī)波動(dòng)，且波動(dòng)的范圍有界、無(wú)明顯趨勢(shì)及周期特征。平穩(wěn)性檢驗(yàn)第二十一頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六1994年1月1日-1995年12月31日香港環(huán)境數(shù)據(jù)序列：(c)表示二氧化氮的日平均水平；(d)表示可吸入的懸浮顆粒物的日平均水平。第二十二頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六背景：時(shí)間序列模型是有時(shí)建立在具有正態(tài)分布特性的白噪聲基礎(chǔ)之上。因此，需要檢驗(yàn)采集的數(shù)據(jù)是否具有正態(tài)特性。檢驗(yàn)方法：χ2擬合優(yōu)度檢驗(yàn)比較麻煩J-B統(tǒng)計(jì)量及相伴概率P相伴概率P>0.05，接受原假設(shè)，認(rèn)為序列服從正態(tài)分布。正態(tài)性檢驗(yàn)第二十三頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六獨(dú)立性檢驗(yàn)即為純隨機(jī)性檢驗(yàn)Bartlett定理：如果一個(gè)時(shí)間序列是純隨機(jī)的，得到一個(gè)觀察期數(shù)為n

的觀察序列，那么該序列的延遲非零期的樣本自相關(guān)系數(shù)將近似服從均值為零，方差為序列觀察期數(shù)倒數(shù)的正態(tài)分布第二十四頁(yè)，共二十六頁(yè)，編輯于2023年，星期六獨(dú)立性檢驗(yàn)Bartlett定理：原假設(shè)：延遲期數(shù)小于或等于m期的序列值之間相互獨(dú)立檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：Q統(tǒng)計(jì)量：Box和Pierce共同推導(dǎo)出

LB統(tǒng)計(jì)量：Box和Ljung共同推導(dǎo)出結(jié)論：當(dāng)統(tǒng)計(jì)量的相伴概率P>0.05時(shí)，接受原假設(shè)，認(rèn)為序列為純隨