2024屆高考數(shù)學(xué)專題27 數(shù)列問題（解析版）

專題27數(shù)列問題例1．隨著商用進(jìn)程的不斷加快，手機(jī)廠商之間圍繞用戶的爭奪越來越激烈，手機(jī)也頻頻降價(jià)飛入尋常百姓家.某科技公司為了打開市場，計(jì)劃先在公司進(jìn)行“抽獎免費(fèi)送手機(jī)”優(yōu)惠活動方案的內(nèi)部測試，測試成功后將在全市進(jìn)行推廣.（1）公司內(nèi)部測試的活動方案設(shè)置了第次抽獎中獎的名額為，抽中的用戶退出活動，同時(shí)補(bǔ)充新的用戶，補(bǔ)充新用戶的名額比上一次中獎用戶的名額少2個.若某次抽獎，剩余全部用戶均中獎，則活動結(jié)束.參加本次內(nèi)部測試第一次抽獎的有15人，甲、乙均在其中.①請分別求出甲在第一次中獎和乙在第二次中獎的概率；②請求出甲參加抽獎活動次數(shù)的分布列和期望.（2）由于該活動方案在公司內(nèi)部的測試非常順利，現(xiàn)將在全市進(jìn)行推廣.報(bào)名參加第一次抽獎活動的有20萬用戶，該公司設(shè)置了第次抽獎中獎的概率為，每次中獎的用戶退出活動，同時(shí)補(bǔ)充相同人數(shù)的新用戶，抽獎活動共進(jìn)行次，已知用戶丙參加了第一次抽獎，并在這次抽獎活動中中獎了，在此條件下，求證：用戶丙參加抽獎活動次數(shù)的均值小于.【解析】（1）①甲在第一次中獎的概率為乙在第二次中獎的概率為②設(shè)甲參加抽獎活動的次數(shù)為X，則，；；，X123P.（2）證明：丙在第奇數(shù)次中獎的概率為，在第偶數(shù)次中獎的概率為.設(shè)丙參加抽獎活動的次數(shù)為Y，“丙中獎”為事件A，則，令，，則丙在第次中獎的概率在第次中獎的概率，即，在丙中獎的條件下，在第，次中獎的概率為，則丙參加活動次數(shù)的均值為設(shè)，則，，，所以.例2．某幾位大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè)創(chuàng)辦了一個服務(wù)公司提供、兩種民生消費(fèi)產(chǎn)品（人們購買時(shí)每次只買其中一種）服務(wù)，他們經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)：第一次購買產(chǎn)品的人購買的概率為、購買的概率為，而前一次購買產(chǎn)品的人下一次來購買產(chǎn)品的概率為、購買產(chǎn)品的概率為，前一次購買產(chǎn)品的人下一次來購買產(chǎn)品的概率為、購買產(chǎn)品的概率也是，如此往復(fù).記某人第次來購買產(chǎn)品的概率為.（1）求，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；（2）記第二次來公司購買產(chǎn)品的3個人中有個人購買產(chǎn)品，求的分布列并求；（3）經(jīng)過一段時(shí)間的經(jīng)營每天來購買產(chǎn)品的人穩(wěn)定在800人，假定這800人都已購買過很多次該兩款產(chǎn)品，那么公司每天應(yīng)至少準(zhǔn)備、產(chǎn)品各多少份.（直接寫結(jié)論、不必說明理由）.【解析】（1）依題意，知，則當(dāng)時(shí)，可得，∴數(shù)列是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列.（2）第二次買A產(chǎn)品的概率；第二次買B產(chǎn)品的概率∴第二次來的3人中有個人購買產(chǎn)品，的所有可能取值為0、1、2、3有，∴的分布列為0123故.（3）由(1)知：∴當(dāng)趨于無窮大時(shí)，，即第次來購買產(chǎn)品的概率約為.故公司每天應(yīng)至少準(zhǔn)備產(chǎn)品320份、產(chǎn)品480份.例3．從原點(diǎn)出發(fā)的某質(zhì)點(diǎn)，按向量移動的概率為，按向量移動的概率為，設(shè)可到達(dá)點(diǎn)的概率為(1)求和的值；(2)求證：；(3)求的表達(dá)式.【解析】(1)(2)證明：到達(dá)點(diǎn)有兩種情況：①從點(diǎn)按向量移動，即②從點(diǎn)按向量移動，即(3)數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.又例4．某人玩硬幣走跳棋的游戲。已知硬幣出現(xiàn)正反面的概率都是，棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、、第100站.一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣，棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋子向前跳一站(從到)；若擲出反面，棋子向前跳兩站(從到)，直到棋子跳到第99站(勝利大本營)或跳到第100站(失敗集中營)時(shí)，該游戲結(jié)束.設(shè)棋子跳到第站的概率為.(1)求的值；(2)求證：，其中；(3)求玩該游戲獲勝的概率及失敗的概率.【解析】(1)解：棋子開始在第0站為必然事件，.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子跳到第1站，其概率為，.棋子跳到第2站應(yīng)從如下兩方面考慮：①前兩次擲硬幣都出現(xiàn)正面，其概率為；②第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，其概率為..(2)證明：棋子跳到第站的情況是下列兩種，而且也只有兩種：①棋子先到第站，又?jǐn)S出反面，其概率為；②棋子先到第站，又?jǐn)S出正面，其概率為..(3)解：由(2)知當(dāng)時(shí)，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列..以上各式相加，得，獲勝的概率為，失敗的概率例5．有人玩擲硬幣走跳棋的游戲。已知硬幣岀現(xiàn)正反面的概率都是，棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、、第100站。一枚棋子開始在第0站，棋手每擲一次硬幣棋子向前跳動一次，若擲出正面，棋子向前跳一站（從到）；若擲出反面，祺子向前跳二站（從到），直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或跳到第100站（失敗集中營）時(shí)，該游戲結(jié)束。設(shè)棋子跳到第站的概率為.（1）求的值（2）寫出的遞推關(guān)系，其中，且；（3）求玩該游戲獲勝的概率.【解析】（1）棋子開始在第0站為必然事件，所以.第一次擲硬幣出現(xiàn)正面，棋子跳到第1站，其概率為，所以.棋子跳到第2站有下列兩種情況：情形一前二次擲硬幣均出現(xiàn)正面，其概率為;情形二第一次擲硬幣出現(xiàn)反面，其概率為.所以；（2）棋子跳到第站有下列兩種情況：情形一棋子先跳到第站，又?jǐn)S出反面，其概率為；情形二棋子先跳到第站，又?jǐn)S出正面，其概率為.所以，從而；（3）由（1）與（2）知，，則，即，所以數(shù)列是首相為，公比為的等比數(shù)列，所以.于是，于是.所以玩游戲獲勝的概率為.例6．4人互相傳球，由開始發(fā)球，并作為第一次傳球，經(jīng)過5次傳球后，球仍回到手中，則不同的傳球方式有多少種？若有個人相互傳球次后又回到發(fā)球人手中的不同傳球方式有多少種？【解析】4人傳球時(shí)，傳球次共有種傳法。設(shè)第次將球傳給的方法數(shù)共有種傳法，則不傳給的有種，故，且不傳給的下次均可傳給，即兩邊同除以得，令，則，則當(dāng)時(shí)，.當(dāng)人數(shù)為時(shí)，分別用，n取代3,4時(shí)，可得.例7．一種拋硬幣游戲的規(guī)則是：拋擲一枚硬幣，每次正面向上得分，反面向上得分.(1)設(shè)拋擲次的得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)求恰好得到分的概率.【解析】(1)的可能取值為.設(shè)拋擲5次得分的概率為其分布列如下表：5678910；(2)設(shè)表示恰好得到分的概率.不出現(xiàn)分的唯一情況是得到分以后再擲出一次反面.因?yàn)?不出現(xiàn)分”的概率是，“恰好得到分”的概率是，因?yàn)椤皵S一次出現(xiàn)反面”的概率是.所以，即，.所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.所以，即.答：恰好得到分的概率為.例8．質(zhì)點(diǎn)在軸上從原點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動，每次平移一個單位或兩個單位，且移動一個單位的概率為，移動2個單位的概率為，設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動到點(diǎn)的概率為。（Ⅰ）求和；（Ⅱ）用表示，并證明是等比數(shù)列；（Ⅲ）求．【解析】（Ⅰ）P1=，（Ⅱ）由題意可知，質(zhì)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)（n,0），可分兩種情形，由點(diǎn)（n-1,0）右移1個單位或由點(diǎn)（n-2,0）右移2個單位，故由條件可知：（n≥3）上式可變形為是以為公比的等比數(shù)列。其首項(xiàng)P2－P1=（Ⅲ）由（Ⅱ）知Pn－Pn－1=（n≥2）∴例9．某人拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，構(gòu)造數(shù)列{an}，使，記Sn＝a1＋a2＋＋an(n∈Z)．(1)求S6＝2的概率；(2)求S2≠0且S6＝2的概率．【解析】(1)S6＝2，需6次中出現(xiàn)4次偶數(shù)點(diǎn)2次奇數(shù)點(diǎn)，設(shè)其概率為P1，則P1＝.(2)S2≠0，即前兩次同時(shí)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)或同時(shí)出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)．①當(dāng)前兩次同時(shí)出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)時(shí)，S2＝2.要使S6＝2，需后四次中出現(xiàn)兩次偶數(shù)點(diǎn)，兩次奇數(shù)點(diǎn)，設(shè)其概率為P2，則P2＝××()2×()2＝.②當(dāng)前兩次同時(shí)出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)時(shí)，S2＝－2.要使S6＝2，需后四次全出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，設(shè)其概率為P3，則P3＝××()4＝.所以S2≠0且S6＝2的概率P＝P2＋P3＝.例10．某人玩擲正方體骰子走跳棋的游戲，已知骰子每面朝上的概率都是相等的，棋盤上標(biāo)有第0站，第1站，第2站，……，第100站。一枚棋子開始在第0站，選手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次，若擲出朝上的點(diǎn)數(shù)為1或2，棋子向前跳一站；若擲出其余點(diǎn)數(shù)，則棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第99站（勝利大本營）或第100站（失敗大本營）時(shí)，該游戲結(jié)束。設(shè)棋子跳到第n站的概率為.（1）求；(2)求證：為等比數(shù)列；(3)求玩該游戲獲勝的概率.【解析】（1）顯然，跳動一站有點(diǎn)數(shù)為1或2兩種情況，共有6鐘情況，故，跳動兩站分兩種情況：跳兩次概率為，跳一次概率為，故；(2)由題意知：是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列；（3）由（2）知，于是，將這98個式子累加得：，于是，所以玩該游戲獲勝的概率為.例11．春節(jié)來臨，有農(nóng)民工兄弟、、、四人各自通過互聯(lián)網(wǎng)訂購回家過年的火車票，若訂票成功即可獲得火車票，即他們獲得火車票與否互不影響.若、、、獲得火車票的概率分別是，其中，又成等比數(shù)列，且、兩人恰好有一人獲得火車票的概率是.（1）求的值；（2）若、是一家人且兩人都獲得火車票才一起回家，否則兩人都不回家.設(shè)表示、、、能夠回家過年的人數(shù)，求的分布列和期望.【解析】（1）、兩人恰好有一人獲得火車票的概率是聯(lián)立方程，，解得（2）的分布列為01234.例12．武漢又稱江城，是湖北省省會城市，被譽(yù)為中部地區(qū)中心城市，它不僅有著深厚的歷史積淀與豐富的民俗文化，更有著眾多名勝古跡與旅游景點(diǎn)，每年來武漢參觀旅游的人數(shù)不勝數(shù)，其中黃鶴樓與東湖被稱為兩張名片為合理配置旅游資源，現(xiàn)對已游覽黃鶴樓景點(diǎn)的游客進(jìn)行隨機(jī)問卷調(diào)查，若不游玩東湖記1分，若繼續(xù)游玩東湖記2分，每位游客選擇是否游覽東湖景點(diǎn)的概率均為，游客之間選擇意愿相互獨(dú)立.（1）從游客中隨機(jī)抽取3人，記總得分為隨機(jī)變量，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）（i）若從游客中隨機(jī)抽取人，記總分恰為分