第02講玩轉(zhuǎn)立體幾何中的角度、體積、距離問題（原卷版）

第02講玩轉(zhuǎn)立體幾何中的角度、體積、距離問題【知識點梳理】知識點1.求點線、點面、線面距離的方法(1)若P是平面外一點，a是平面內(nèi)的一條直線，過P作平面的垂線PO，O為垂足，過O作OA⊥a，連接PA，則以PA⊥a．則線段PA的長即為P點到直線a的距離(如圖所示)．(2)一條直線與一個平面平行時，這條直線上任意一點到這個平面的距離叫直線與平面的距離．(3)求點面距離的常用方法：①直接過點作面的垂線，求垂線段的長，通常要借助于某個直角三角形來求解．②轉(zhuǎn)移法：借助線面平行將點轉(zhuǎn)移到直線上某一特殊點到平面的距離來求解．③體積法：利用三棱錐的特征轉(zhuǎn)換位置來求解．知識點2.異面直線所成角的常用方法求異面直線所成角的一般步驟：(1)找(或作出)異面直線所成的角——用平移法，若題設(shè)中有中點，?？紤]中位線.(2)求——轉(zhuǎn)化為求一個三角形的內(nèi)角，通過解三角形，求出所找的角.(3)結(jié)論——設(shè)(2)所求角大小為θ.若，則θ即為所求；若，則即為所求.知識點3.直線與平面所成角的常用方法求平面的斜線與平面所成的角的一般步驟(1)確定斜線與平面的交點(斜足)；(2)通過斜線上除斜足以外的某一點作平面的垂線，連接垂足和斜足即為斜線在平面上的射影，則斜線和射影所成的銳角即為所求的角；(3)求解由斜線、垂線、射影構(gòu)成的直角三角形.知識點4.作二面角的三種常用方法(1)定義法：在二面角的棱上找一個特殊點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線.如圖①，則∠AOB為二面角α-l-β的平面角.(2)垂直法：過棱上一點作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角.如圖②，∠AOB為二面角α-l-β的平面角.(3)垂線法：過二面角的一個面內(nèi)異于棱上的一點A向另一個平面作垂線，垂足為B，由點B向二面角的棱作垂線，垂足為O，連接AO，則為二面角的平面角或其補角.如圖③，為二面角的平面角.知識點5.求體積的常用方法選擇合適的底面，再利用體積公式求解.【題型歸納目錄】題型一：異面直線所成的角題型二：線面角題型三：二面角題型四：距離問題題型五：體積問題【典型例題】題型一：異面直線所成的角例1．（2022·山西省長治市第二中學(xué)校高一階段練習(xí)）已知圓柱的軸截面為正方形，為上底面圓弧的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．例2．（2022·福建·泉州五中高一期中）在長方體中，，，點、分別是棱、的中點，、、平面，直線平面，則直線與直線所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．例3．（2022·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)高一階段練習(xí)）在正方體中，E，F(xiàn)分別為棱AD，的中點，則異面直線EF與夾角的余弦值為（

）A． B． C． D．例4．（2022·江蘇省鎮(zhèn)江中學(xué)高一階段練習(xí)）在長方體中，已知，則直線和直線所成角的余弦值是___________.例5．（2022·河北邢臺·高一階段練習(xí)）如圖，S為等邊三角形ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC＝AB，E，F(xiàn)分別為SC，AB的中點，則異面直線EF與AC所成的角的正切值為______．例6．（2022·江蘇·連云港高中高一階段練習(xí)）已知四棱錐的底面是邊長為2的菱形，底面.(1)求證：平面；(2)當(dāng)，時，求直線與所成角的余弦值；題型二：線面角例7．（2022·黑龍江·大慶中學(xué)高一期中）如圖，在四棱錐中，平面，底面是菱形．(1)求證：平面；(2)若與相交于O，求與平面所成角的大?。?．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖所示，四面體中，已知平面平面，，，，.(1)求線段的長；(2)若二面角為，求直線與平面所成的角的正弦值.例9．（2022·甘肅定西·高一階段練習(xí)）如圖，在五面體中，為邊長為的等邊三角形，平面，，．點為的中點．(1)求證：平面；(2)求直線與平面所成角的余弦值．例10．（2022·山西·晉中新大陸雙語學(xué)校高一階段練習(xí)）在正方體中(1)求直線與平面ABCD所成角的正切值．(2)求證：．例11．（2022·河北邢臺·高一階段練習(xí)）如圖，已知在平面四邊形ABCP中，D為PA的中點，PA⊥AB，，且PA＝CD＝2AB＝2．將此平面四邊形ABCP沿CD折起，使平面PCD⊥平面ABCD，連接PA、PB．(1)求證：平面PBC⊥平面PBD；(2)設(shè)Q為側(cè)棱PC的中點，求直線PB與平面QBD所成角的余弦值．例12．（2022·河南·商丘市第一高級中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，已知是正三角形，EA、CD都垂直于平面ABC，且，，F(xiàn)是BE的中點，(1)求證：平面ABC；(2)求證：平面EDB；(3)求直線AD與平面EDB所成角的余弦值．題型三：二面角例13．（2022·浙江·湖州中學(xué)高一階段練習(xí)）已知平面四邊形，，，，現(xiàn)將沿邊折起，使得平面平面，此時，點為線段的中點.(1)求證：平面；(2)若為的中點，求與平面所成角的正弦值；(3)在（2）的條件下，求二面角的平面角的余弦值.例14．（2022·山東省臨沂第一中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，是的直徑，C是圓周上異于的點，是平面外一點，且．(1)求證：平面平面；(2)若，點是上一點，且與在直徑同側(cè)，．①設(shè)平面平面，求證：；②求二面角的正切值．例15．（2022·全國·高一專題練習(xí)）在四棱錐中，，，平面，分別為的中點，．(1)求證：平面平面；(2)求二面角的大?。?6．（2022·全國·高一專題練習(xí)）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD＝，AB＝BC＝2AD＝4，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點，EF∥BC，AE＝2，沿EF將梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如圖）．(1)證明：EF⊥平面ABE；(2)求二面角D﹣BF﹣E的余弦值．例17．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐V﹣ABCD中底面ABCD是正方形，側(cè)面VAD是正三角形，平面VAD⊥底面ABCD(1)證明：AB⊥平面VAD；(2)求面VAD與面VDB所成的二面角的余弦值．例18．（2022·全國·高一專題練習(xí)）在四棱錐中，底面是邊長為的菱形，，對角線與相交于點，平面，與平面所成的角為．(1)求四棱錐的體積；(2)若是的中點，求異面直線與所成角的余弦值；(3)求二面角的正切值．題型四：距離問題例19．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，，，PA=PB，AB=PC=4，點M是AB的中點，點N在線段BC上．(1)求證：平面PAB⊥平面ABCD；(2)若二面角的大小為，求N到平面PCD的距離．例20．（2022·上海市浦東復(fù)旦附中分校高一階段練習(xí)）長方體中．(1)求證：平面平面；(2)若此長方體，，，求平面到平面的距離．例21．（2022·湖南·高一課時練習(xí)）長方體的棱，，．(1)求點B和點之間的距離；(2)求直線CD和平面的距離；(3)求點到平面的距離．例22．（2022·內(nèi)蒙古·開魯縣第一中學(xué)高一期中）如圖在直三棱柱中，，，，E是上的一點，且，D、F、G分別是、、的中點，EF與相交于H．(1)求證：平面；(2)求證：平面平面；(3)求平面EGF與平面的距離．題型五：體積問題例23．（2022·北京·北師大實驗中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，直四棱柱中中，，，，，設(shè)M為的中點．(1)求四棱柱的表面積；(2)求證：面；(3)連接，記三棱錐的體積為，四棱柱的體積為，求的值．例24．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖1，在直角梯形ADCE中，AD∥EC，2AD=2DC=EC，，點B為線段EC上的中點，將△ABE沿AB折到的位置，使二面角的大小為，如圖2．(1)求證：AB∥平面；(2)試確定過AB的截面，使垂直于該截面，說明理由，并求該截面將幾何體分成的兩部分體積之比；例25．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，AD=4，BC=CD=2，PA=PC=PD，AD∥BC且AD⊥DC，O，M分別為AC，PA的中點．(1)求證：BM∥平面PCD；(2)求證：PO⊥平面ACD；(3)若二面角P﹣CD﹣A的大小為，求四棱錐P﹣ABCD的體積．例26．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，已知菱形所在平面與矩形所在平面相互垂直，且，是線段的中點，是線段上的動點．(1)與所成的角是否為定值，試說明理由；(2)若二面角為，求四面體的體積．例27．（2022·山東·濟南市教育教學(xué)研究院高一階段練習(xí)）如圖，四邊形ABCD為長方形，平面ABCD，，，點E、F分別為AD、PC的中點．設(shè)平面平面．(1)證明：平面PBE；(2)證明：；(3)求三棱錐的體積．例28．（2022·山東·高一期末）如圖，在圓錐中，，，為底面圓上的三個點，，且，．(1)證明：平面．(2)求四棱錐的體積．【過關(guān)測試】一、單選題1．（2022·山東·高一期末）在中，，，以BC所在的直線為軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面圍成一個幾何體，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．2．（2022·甘肅定西·高一階段練習(xí)）如圖，一個水平放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形，若，那么原的周長是（

）A． B． C． D．3．（2022·北京市海淀區(qū)教師進修學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖，已知正方體的棱長為2，則下列四個結(jié)論錯誤的是（

）A．直線與為異面直線B．平面C．三棱錐的表面積為D．三棱錐的體積為4．（2022·山東·濟南市教育教學(xué)研究院高一階段練習(xí)）正三棱柱的底面邊長為4，側(cè)棱長為3，D，E分別為，上靠近A，B的三等分點，則三棱錐的體積為（

）A． B． C． D．5．（2022·山東·高一期末）在正三棱柱中，，為的中點，則異面直線和夾角的余弦值為（

）A． B．C． D．6．（2022·山西·大同一中高一階段練習(xí)）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝BC＝2，AA1＝1，則點A到平面A1BC的距離為（

）A． B． C． D．7．（2022·山西·懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高一階段練習(xí)（文））如圖，在正方體中，直線與平面ABCD所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．8．（2022·上海市浦東復(fù)旦附中分校高一階段練習(xí)）在三棱錐中，平面；記直線與直線所成的角為，直線與平面所成的角為，二面角的平面角為，則（

）A． B．C． D．二、多選題9．（2022·河北·滄縣中學(xué)高一期中）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，側(cè)面為正三角形，且平面平面，則下列說法正確的是（

）A．異面直線與所成的角為B．三棱錐的體積為1C．二面角的大小為D．與底面所成的角的正切值為10．（2022·全國·高一課時練習(xí)）如圖，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=1，P為線段B1C1上的動點，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．點A到平面A1BC的距離為 B．平面A1PC與底面ABC的交線平行于A1PC．三棱錐P﹣A1BC的體積為定值 D．二面角A1-BC-A的大小為11．（2022·云南·會澤縣實驗高級中學(xué)校高一階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為1，則下列四個命題正確的是（

）A．兩條異面直線和所成的角為B．直線與平面所成的角等于C．點D到面的距離為D．三棱柱外接球半徑為12．（2022·福建三明·高一期中）《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”；底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽馬”；四個面均為直角三角形的四面體稱為“鱉膈”．如圖在塹堵ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，且AA1═AB═2．下列說法正確的是（

）A．四棱錐為“陽馬”、四面體為“鱉膈”．B．若平面與平面的交線為，且與的中點分別為M、N，則直線、、相交于一點．C．四棱錐體積的最大值為．D．若是線段上一動點，則與所成角的最大值為．三、填空題13．（2022·北京一七一中高一階段練習(xí)）在正方體中，直線與平面所成角為，___________.14．（2022·甘肅·天水市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）棱長為2的正方體中，點到平面的距離為___________.15．（2022·河北邢臺·高一階段練習(xí)）如圖，S為等邊三角形ABC所在平面外一點，且SA＝SB＝SC＝AB，E，F(xiàn)分別為SC，AB的中點，則異面直線EF與AC所成的角的正切值為______．16．（2022·全國·高一專題練習(xí)）如圖，在三棱錐中，，，則二面角的余弦值為___________.四、解答題17．（2022·全國·高一單元測試）如圖所示，在直三棱柱中，為棱的中點.(1)求證：平面；(2)若，，，，求異面直線與所成角的余弦值.18．（2022·湖北·高一階段練習(xí)）如圖，在直四棱柱中，四邊形ABCD是平行四邊形，F(xiàn)是的中點，點E是線段上，且．(1)證明：直線平面BDE．(2)若，，，求點F到平面BDE的距離．19．（2022·河南·商丘市第一高級中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在三棱柱中，平面ABC，D，E，F(xiàn)分別為，，的中點，，．(1)求證：平面BEF；(2)求點D與平面的距離；(3)求二面角的正切值；20．（2022·北京·清華附中朝陽學(xué)校高一階段練習(xí)）在四棱柱中，側(cè)面底面，且側(cè)面為矩形，底面為菱形，O為與交點，