第05講全等三角形的判定（6大考點）（解析版）

第05講全等三角形的判定（6大考點）考點考點考向一.全等三角形的判定三角形全等判定方法1：文字：在兩個三角形中，如果有兩條邊及它們的夾角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等；圖形：符號：在與中，三角形全等判定方法2：文字：在兩個三角形中，如果有兩個角及它們的夾邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等；圖形：符號：在與中，三角形全等判定方法3：文字：在兩個三角形中，如果有兩個角及其中一個角的對邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等；圖形：符號：在與中，三角形全等判定方法4：文字：在兩個三角形中，如果有三條邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等.圖形：符號：在與中，直角三角形全等的判定：圖形定理符號如果兩個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等，那么這兩個直角三角形全等（簡記：H.L）在中，，二、用尺規(guī)作三角形1、已知三角形的兩邊及其夾角，求作這個三角形已知：線段a，c和∠α，如圖4－4－16所示．圖4－4－16求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α.作法：(1)作一條線段BC＝a(如圖4－4－17)；圖4－4－17(2)以B為頂點，以BC為一邊，作∠DBC＝∠α(如圖4－4－18)；圖4－4－18(3)在射線BD上截取線段BA＝c(如圖4－4－19)；圖4－4－19圖4－4－20(4)連接AC(如圖4－4－20)．△ABC就是所求作的三角形．[點析]我們這樣作出的三角形是唯一的，依據(jù)是兩邊及其夾角分別相等的兩個三角形全等．2、已知三角形的兩角及其夾邊，求作這個三角形已知：∠α，∠β和線段c，如圖4－4－21所示．圖4－4－21求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c.作法：(1)作∠DAF＝∠α；圖4－4－22圖4－4－23(2)在射線AF上截取線段AB＝c；圖4－4－24(3)以B為頂點，以BA為一邊，在AB的同側(cè)作∠ABE＝∠β，BE交AD于點C.△ABC就是所求作的三角形．[點析]我們這樣作出的三角形是唯一的，依據(jù)是兩角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等．3、已知三角形的三條邊，求作這個三角形已知：線段a，b，c，如圖4－4－25所示．圖4－4－25求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a.作法：(1)作一條線段BC＝a；圖4－4－26(2)分別以B，C為圓心，以c，b為半徑在BC的同側(cè)畫弧，兩弧交于A點；圖4－4－27(3)連接AB，AC，則△ABC就是所求作的三角形．圖4－4－28[點析]我們這樣作出的三角形是唯一的，依據(jù)是三邊分別相等的兩個三角形全等三、證題的思路（難點）考點考點精講考點一：利用SAS判斷兩個三角形全等1.（2020惠州市期末）如圖，點E、F分別是矩形ABCD的邊AB、CD上的一點，且DF＝BE.求證：AF=CE.【分析】由SAS證明△ADF≌△CBE，即可得出AF＝CE．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠B＝90°，AD＝BC，在△ADF和△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（SAS），∴AF＝CE．2.（2019·武漢市期中）已知：如圖，點C為AB中點，CD=BE，CD∥BE.求證:△ACD≌△CBE.【解析】證明：∵CD∥BE，∴∠ACD=∠B..∵點C為AB中點，∴AC=CB.又∵CD=BE，∴△ACD≌△CBE（SAS）3.（2019·蘭州市期末）如圖，△ABC中，AB=AC，點E，F(xiàn)在邊BC上，BE=CF，點D在AF的延長線上，AD=AC，（1）求證：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE=30°，則∠ADC=°．【答案】（1）證明見解析；（2）75．【分析】（1）根據(jù)等邊對等角可得∠B=∠ACF，然后利用SAS證明△ABE≌△ACF即可；（2）根據(jù)△ABE≌△ACF，可得∠CAF=∠BAE=30°，再根據(jù)AD=AC，利用等腰三角形的性質(zhì)即可求得∠ADC的度數(shù).【詳解】（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACF，在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（SAS）；（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，∴∠CAF=∠BAE=30°，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC==75°，故答案為75．考點二：利用ASA判斷兩個三角形全等1.（2019·玉林市期中）如圖，∠A＝∠B，AE＝BE，點D在AC邊上，∠1＝∠2，AE和BD相交于點O．求證：△AEC≌△BED；【分析】根據(jù)全等三角形的判定即可判斷△AEC≌△BED；【詳解】∵AE和BD相交于點O，∴∠AOD=∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO，∴∠AEC=∠BED．在△AEC和△BED中，∴△AEC≌△BED（ASA）．2.（2019·德州市期末）如圖，AB＝AC，AB⊥AC，AD⊥AE，且∠ABD＝∠ACE.求證：BD＝CE.【分析】先求出∠CAE＝∠BAD再利用ASA證明△ABD≌△ACE，即可解答【詳解】∵AB⊥AC，AD⊥AE，∴∠BAE+∠CAE＝90°，∠BAE+∠BAD＝90°，∴∠CAE＝∠BAD.又AB＝AC，∠ABD＝∠ACE，∴△ABD≌△ACE(ASA).∴BD＝CE.考點三：利用AAS判斷兩個三角形全等1.（2019·黃石市期中）如圖，在ABCD中，經(jīng)過A，C兩點分別作AE⊥BD，CF⊥BD，E，F(xiàn)為垂足．（1）求證：△AED≌△CFB；（2）求證：四邊形AFCE是平行四邊形．【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD＝BC，∠CBF＝∠ADE，再根據(jù)垂線的性質(zhì)可得∠CFB＝∠AED＝90°，再根據(jù)全等三角形的判定（角角邊）來證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE＝CF，再由AE⊥BD，CF⊥BD可得AE∥CF，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形即可證明.【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠CBF＝∠ADE，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠CFB＝∠AED＝90°，∴△AED≌△CFB（AAS）．（2）證明：∵△AED≌△CFB，∴AE＝CF，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形．2.（2019·興義市期末）如圖，已知在四邊形ABCD中，點E在AD上，∠BCE=∠ACD=90°，∠BAC=∠D，BC=CE．（1）求證：AC=CD；（2）若AC=AE，求∠DEC的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）112.5°．【分析】根據(jù)同角的余角相等可得到結(jié)合條件，再加上可證得結(jié)論；根據(jù)得到根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到由平角的定義得到【詳解】證明：在△ABC和△DEC中，，???ABC（2）∵∠ACD＝90°，AC＝CD，∴∠1＝∠D＝45°，∵AE＝AC，∴∠3＝∠5＝67.5°，∴∠DEC＝180°－∠5＝112.5°．3.（2019·溫州市期中）如圖，已知，，，在同一直線上，，，.試說明：.【分析】由AB∥CD可得∠BAC=∠DCA，由AF=CE可得AE=CF，由AAS可得△ABE≌△CDF．【詳解】證明∵，∴∵，∴，即.在和中，，∴（AAS）考點四：利用SSS判斷兩個三角形全等1.（2019·德州市期中）已知：如圖，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB，垂足為E，DF⊥AC，垂足為F．求證：DE＝DF．【分析】連接AD，利用“邊邊邊”證明△ABD和△ACD全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊上的高相等證明．【詳解】證明：如圖，連接AD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等）．2.（2019·陽泉市期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是BC的中點，點E在AD上，求證：∠1＝∠2.【分析】由AB=AC,AD=AD,BD=CD,可證得△ABD≌△ACD,得到∠BAE=∠CAE,再證明△ABE≌△ACE,即可得到結(jié)論.【詳解】證明:??AB=AC,AD=AD,BD=CD,在△ABD和△ACD中,△ABD≌△ACD,∠BAE=∠CAE,在△ABE和△ACE中,△ABE≌△ACE∠1=∠2.3.（2019·鄂州市期中）如圖，點A、D、C、F在同一條直線上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.(1)求證：ΔABC≌△DEF；(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度數(shù).【答案】（1）證明見解析；（2）37°【解析】（1）∵AC=AD+DC，DF=DC+CF，且AD=CF∴AC=DF在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）由（1）可知，∠F=∠ACB∵∠A=55°，∠B=88°∴∠ACB=180°－（∠A+∠B）=180°－（55°+88°）=37°∴∠F=∠ACB=37°4.（2020·石家莊市期末）如圖，點B，F(xiàn)，C，E在直線l上（F，C之間不能直接測量），點A，D在l異側(cè)，測得AB=DE，AC=DF，BF=EC．（1）求證：△ABC≌△DEF；（2）指出圖中所有平行的線段，并說明理由.【答案】（1）詳見解析；（2）∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,理由見解析.【解析】（1）證明：∵BF=EC，∴BF+CF=CF+CE，∴BC="EF"∵AB=DE，AC="DF"∴△ABC≌△DEF（SSS）（2）AB∥DE,AC∥DF,理由如下，∵△ABC≌△DEF，∴∠ABC=∠DEF，∠ACB=∠DFE,∴AB∥DE,AC∥DF.考點五：利用HL判斷兩個直角三角形全等1.（2019·云龍縣期中）已知：如圖，AC=BD，AD⊥AC，BC⊥BD．求證：AD=BC【分析】連接CD，利用HL定理得出Rt△ADC≌Rt△BCD進(jìn)而得出答案．【詳解】證明：如圖，連接CD，∵AD⊥AC，BC⊥BD，∴∠A=∠B=90°，在Rt△ADC和Rt△BCD中，∴Rt△ADC≌Rt△BCD（HL），∴AD=BC．2.（2019·開封市期中）已知：如圖，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F(xiàn)是垂足，．求證：（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義得到∠DEC=∠BFA=90°，推出Rt△DCE≌Rt△BFA（HL），由全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠C=∠A，根據(jù)平行線的判定即可得到AB∥CD.【詳解】證明：∵DE⊥AC，BF⊥AC∴∠DEC=∠BFA=90°在Rt△DEC和Rt△BFA中AB=CDDE=BF∴Rt△DCE≌Rt△BFA（HL）∴AF=CE∴∠C=∠A∴AB∥CD考點六：用尺規(guī)作三角形1.已知三角形的邊和角作三角形1已知：角α，β和線段a，如圖4－4－29所示，求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，BC＝a.圖4－4－29[解析]本題所給條件是兩角及其中一角的對邊，可利用三角形內(nèi)角和定理求出∠C，再利用兩角夾邊作圖．解：如圖4－4－30所示：(1)作∠γ＝180°－∠α－∠β；(2)作線段BC＝a；(3)分別以B，C為頂點，以BC為一邊作∠CBM＝∠β，∠BCN＝∠γ；(4)射線BM，CN交于點A.△ABC就是所求作的三角形．圖4－4－30[歸納總結(jié)](1)做此類題時，不妨先畫個草圖，再對草圖進(jìn)行分析，以確定作圖的思路與順序；(2)已知兩邊和夾角可以作出三角形，與全等判定方法的“SAS”對應(yīng)；已知兩角及夾邊可以作出三角形，與全等判定方法的“ASA”對應(yīng)；已知三邊，可以作出三角形，與全等判定方法的“SSS”對應(yīng)．2.（2021·全國八年級課時練習(xí)）如圖，已知線段a、b和，用尺規(guī)作一個三角形，使．（要求：不寫已知、求作、作法、只畫圖，保留作圖痕跡）【分析】先作，再以為圓心，分別以線段a、b長為半徑，畫弧與射線、交于點，即可．【詳解】解：先作，再以為圓心，分別以線段a、b長為半徑，畫弧與射線、交于點，連接，即為所求，如圖所示：【點睛】本題考查了復(fù)雜作圖，利用了作一個角等于已知角，作線段等于已知線段，是基本作圖，需熟練掌握．解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．3.（2021·全國八年級課時練習(xí)）如圖，已知線段．求作：直角，使，作法：（1）作；（2）以點C為圓心，__________為半徑畫弧，交射線于點B；（3）以點B為圓心，__________為半徑畫弧，交射線于點A；（4）連接__________，則就是所求．【答案】（2）a的長；（3）c的長；（4）【分析】作∠MCN＝90°，在射線CM上截取BC＝a，以B為圓心，c的長為半徑畫弧，交射線CN于點A，連接AB，△ABC就是所求．【詳解】作法：（1）作；（2）以點C為圓心，a的長為半徑畫弧，交射線于點B；（3）以點B為圓心，c的長為半徑畫弧，交射線于點A；（4）連接就是所求如圖所示：故答案為：a的長；c的長；．【點睛】此題主要考查的是作一條線段等于已知線段的作法以及直角三角形的作法，要靈活掌握．2.用尺規(guī)作較復(fù)雜的幾何圖形1.已知兩邊和第三邊上的中線，求作三角形．解：已知△ABC中的AB，AC和BC邊上的中線AD(如圖①所示)．求作：△A′B′C′，使△A′B′C′≌△ABC.作法：如圖②，(1)作線段A′B′＝AB；(2)以A′為圓心，2AD為半徑畫弧，以B′為圓心，以AC為半徑畫弧，交前弧于點E′；(3)作線段A′E′的中點D′；(4)連接B′D′并延長到C′，使D′C′＝B′D′；(5)連接A′C′.△A′B′C′就是所求作的三角形．②鞏固鞏固提升一、單選題1．（2021·全國八年級課時練習(xí)）如圖，點B在上，，要通過“”判定，可補充的一個條件是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)“ASA”的判定方法添加條件即可．【詳解】解：在△ABC與△ABD中，，∴△ABC≌△ABD（ASA），故選：A．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，熟練掌握三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．2．（2021·全國八年級課時練習(xí)）下列一定能使△ABC≌△DEF成立的是（）A．兩邊對應(yīng)相等 B．面積相等 C．三邊對應(yīng)相等 D．周長相等【答案】C【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法，分析、判斷即可．【詳解】解：A、兩邊對應(yīng)相等，不能使△ABC≌△DEF成立，該選項不符合題意；B、面積相等，不能使△ABC≌△DEF成立，該選項不符合題意；C、三邊對應(yīng)相等，根據(jù)SSS即可證明△ABC≌△DEF，該選項符合題意；D、周長相等，不能使△ABC≌△DEF成立，該選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題考查了三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等．3．（2021·福建八年級期中）如圖，D、E分別是AB、AC上的點，CD、BE相交于點O，已知．現(xiàn)在添加以下一個條件能判斷的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件、∠A=∠A，結(jié)合各選項條件分別依據(jù)“AAS、ASA、SSA、SAS”，逐一作出判斷即可得，其中SSA不能任意判定三角形全等．【詳解】解：A．由CD=BE、∠A=∠A、AB=AC不能判定△ABE≌△ACD，此選項不符合題意；B．由CD=BE、∠A=∠A、不能判定△ABE≌△ACD，此選項不符合題意；C．由CD=BE、∠A=∠A、可依據(jù)“AAS”△ABE≌△ACD，此選項符合題意；D．由CD=BE、∠A=∠A、不能判定△ABE≌△ACD，此選項不符合題意；故選：C．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的5種判定方法中，選用哪一種方法，取決于題目中的已知條件，若已知兩邊對應(yīng)相等，則找它們的夾角或第三邊；若已知兩角對應(yīng)相等，則必須再找一組對邊對應(yīng)相等，且要是兩角的夾邊，若已知一邊一角，則找另一組角，或找這個角的另一組對應(yīng)鄰邊．4．（2021·香河縣第九中學(xué)八年級期中）如圖，已知：，要證明，還需補充的條件是（）A． B． C． D．以上都不對【答案】B【分析】首先證明∠BAC=∠1+∠DAC=∠ADC+∠2=∠EAD，然后根據(jù)全等三角形的判定條件進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵∠1=∠2，∴∠BAC=∠1+∠DAC=∠ADC+∠2=∠EAD，當(dāng)AB=AE，BC=DE時，“SSA”不能判定△ABC≌△AED，故A選項不符合題意；當(dāng)AB=AE，AC=AD時，可以用“SAS”判定△ABC≌△AED，故B選項符合題意；當(dāng)AC=AE，BC=DE時，“SSA”不能判定△ABC≌△AED，故C選項不符合題意；故選B．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握全等三角形的判定條件．5．（2021·江蘇蘇州市·蘇州草橋中學(xué)八年級開學(xué)考試）工人師傅常用角尺平分一個任意角．做法如下：如圖所示，在的兩邊，上分別取，移動角尺，使角尺兩邊相同的刻度分與，重合，過角尺頂點的射線即是的平分線．畫法中用到三角形全等的判定方法是（）．A． B． C． D．【答案】A【分析】由三邊相等得，即由判定三角全等．做題時要根據(jù)已知條件結(jié)合判定方法逐個驗證．【詳解】解：由圖可知，，又，在和中，，，，即是的平分線．故選A.【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)．要熟練掌握確定三角形的判定方法，利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題是一種重要的能力，要注意培養(yǎng)．6．（2021·龍口市教學(xué)研究室八年級期中）如圖，經(jīng)過平行四邊形的對角線中點的直線分別交邊，的延長線于，，則圖中全等三角形的對數(shù)是（）A．對 B．對C．對 D．對【答案】C【分析】根據(jù)已知條件及全等三角形的判定方法進(jìn)行分析，從而得到答案．【詳解】：四邊形為平行四邊形，經(jīng)過的中點，，，，，，又，，，，，，，．故圖中的全等三角形共有5對．故選:C【點睛】此題主要考查全等三角形的判定方法，常用的判定方法有，，，等．做題時要從已知條件開始結(jié)合圖形利用全等的判定方法由易到難逐個尋找．7．（2021·蘭州市第五十五中學(xué)八年級月考）如圖，在△ABC中，AB=AC，AE是經(jīng)過點A的一條直線，且B、C在AE的兩側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，AD=CE，則∠BAC的度數(shù)是()A．45° B．60° C．90° D．120°【答案】C【分析】首先證明△BAD≌△CAE，可得∠BAD=∠ACE，由∠ACE+∠CAE=90°，可得∠BAD+∠CAE=90°即可解答．【詳解】解：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，∴∠ADB=∠E=90，在Rt△BAD和Rt△ACE中，AB=AC、AD=EC∴△BAD≌△CAE（HL），∴∠BAD=∠ACE，∵∠ACE+∠CAE=90°，∴∠BAC=∠BAD+∠CAE=90°．故選C．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題8．（2021·全國八年級課時練習(xí)）如圖，已知，要使，還需添加一個條件，你添加的條件是__________．【答案】【分析】要利用判定，已知，公共邊,只需要再添加一組對邊相等即可．【詳解】解：∵，，∴要利用判定，只需要在添加一組對邊相等即可．∴，故答案為：．【點睛】本題考查用三邊對應(yīng)相等判定三角形全等，根據(jù)圖形找到相關(guān)的條件是解題關(guān)鍵．9．（2021·全國八年級課時練習(xí)）如圖，已知，經(jīng)分析____________________，依據(jù)是__________．【答案】【分析】利用SAS得出全等三角形.【詳解】證明：∵AC＝BD，∴AD＝BC，在△ADF和△BCE中∵，∴△ADF≌△BCE（SAS）.故答案為：①，②，③.【點睛】此題主要考查了全等三角形的判定，熟練掌握判定方法是解題的關(guān)鍵10．（2021·青島大學(xué)附屬中學(xué)八年級期中）數(shù)學(xué)課上，同學(xué)們探討利用不同畫圖工具畫角的平分線的方法．小旭說：我用兩塊含的直角三角板就可以畫角平分線．如圖，取，把直角三角板按如圖所示的位置放置，兩直角邊交于點P，則射線OP是的平分線．小旭這樣畫的理論依據(jù)是______．【答案】HL【分析】由“HL”可證Rt△OMP≌Rt△ONP，可得∠MOP=∠NOP，可證OP是∠AOB的平分線．【詳解】解：∵∠OMP=∠ONP=90°，且OM=ON，OP=OP，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠MOP=∠NOP，∴OP是∠AOB的平分線．故答案為：HL．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明Rt△OMP≌Rt△ONP是本題的關(guān)鍵．11．（2021·全國八年級課時練習(xí)）已知線段a，b，c，求作，使．①以點B為圓心，c的長為半徑畫?。虎谶B接；③作；④以點C為圓心，b的長為半徑畫弧，兩弧交于點A．作法的合理順序是__________．【答案】③①④②【分析】根據(jù)作三角形的步驟：第一步先作一條線段等于三角形的一邊，第二步以已作的線段的兩個端點為圓心，以對應(yīng)的長為半徑畫弧確定交點位置，最后順次連接即可，由此進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：先作，再以點B為圓心，c的長為半徑畫??；接著以點C為圓心，b的長為半徑畫弧，兩弧交于點A，然后連接，則即為所求．故答案為：③①④②．【點睛】本題主要考查了用尺規(guī)作圖—作三角形的步驟，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．12．（2021·全國八年級課時練習(xí)）如圖，AD=BC，若利用“SSS”來證明△ABD≌△CDB，則需要添加的一個條件是__________．【答案】【分析】根據(jù)“SSS”判斷△ABD≌△CDB時，可添加AB=CD．【詳解】解：∵AD=BC，BD=DB，∴當(dāng)添加AB=CD時，可根據(jù)“SSS”判斷△ABD≌△CDB．故答案為：AB=CD．【點睛】本題考查了全等三角形的判定，關(guān)鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定兩個三角形全等，判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，若有兩邊一角對應(yīng)相等時，角必須是兩邊的夾角．13．（2021·全國八年級課時練習(xí)）如圖，AC=BD，AF=DE，BF=CE，∠E=30°，∠A=45°，則∠ACE=__________．【答案】【分析】利用“SSS”證明△ABF≌△DCE，即可求解．【詳解】解：∵AC=BD，∴AC?BC=BD?BC，∴AB=DC，又∵AF=DE，BF=CE，∴△ABF≌△DCE(SSS)，∴∠D=∠A=45°，∴∠ACE=∠D+∠E=45°+30°=75°．故答案為：75°．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．14．（2021·全國八年級課時練習(xí)）如圖，已知，要使，需加的兩個條件是__________．【答案】【分析】根據(jù)得到，根據(jù)SAS添加條件即可；【詳解】∵，∴，當(dāng)時，得到；故答案是：．【點睛】本題主要考查了探索全等三角形全等的條件，準(zhǔn)確分析判斷是解題的關(guān)鍵．15．（2021·全國八年級課時練習(xí)）兩個大小不同的等腰直角三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連接．一只蝸牛在爬行速度不變的情況下，從C爬到D所用的最短時間與它爬行線段__________所用的時間相同．（不要使用圖形中未標(biāo)注的字母）【答案】【分析】根據(jù)全等三角形的判定及性質(zhì)證明CD=BE即可得到結(jié)論．【詳解】∵和是等腰直角三角形，∴，∴，∴，在和中，，∴≌（SAS），∴．故答案為：BE．【點睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵．三、解答題16．（2021·全國八年級課時練習(xí)）如圖，已知在中，求證：．【分析】利用SAS證明，得到，即可求解．【詳解】證明：在和中，∴．∴．又∵，即，∴，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的證明與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．（2021·全國八年級課時練習(xí)）已知：如圖，，E是的中點，，求證：（1）；（2）．【分析】（1）根據(jù)∠ECD＝∠EDC，再利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）根據(jù)SAS證明△AEC與△BED全等，再利用全等三角形的性質(zhì)證明即可．【詳解】證明：（1）∵，∴，∵，∴；（2）∵E是的中點，∴，在和中，∴，∴．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用準(zhǔn)確尋找全等三角形解決問題，屬于中考常考題型．18．（2021·全國八年級課時練習(xí)）如圖，在中，是銳角，，是高，你能說明嗎？【分析】根據(jù)AAS易證△AEC≌△AFB，再利用全等三角形的性質(zhì)即可求證結(jié)論．【詳解】解：∵、是高，∴，在和中，∴△AEC≌△AFB（AAS），∴．【點睛】本題考查全等三角形的判定及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定方法“A