第二節(jié)余弦定理(要點歸納夯實基礎(chǔ)練)

第二節(jié)余弦定理【要點歸納】一、余弦定理三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.二、余弦定理的推論1．余弦定理的變形：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).2．對余弦定理變形的理解(1)應(yīng)用推論，可以由三角形的三邊計算出三角形的三個內(nèi)角．(2)定理及推論把用“邊、角、邊”和“邊、邊、邊”判定三角形全等的方法從數(shù)量化的角度進(jìn)行了刻畫，使其變成了可以計算的公式．(3)余弦定理與勾股定理的關(guān)系在△ABC中，由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC，若角C＝90°，則cosC＝0，于是c2＝a2＋b2－2a·b·0＝a2＋b2，這說明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推廣．3．三角形中三邊平方關(guān)系決定三角形的形狀設(shè)c是△ABC中最大的邊(或C是△ABC中最大的角)，則a2＋b2<c2?△ABC是鈍角三角形，且角C為鈍角；a2＋b2＝c2?△ABC是直角三角形，且角C為直角；a2＋b2>c2?△ABC是銳角三角形，且角C為銳角.eq\a\vs4\al([常用結(jié)論])1．在△ABC中，A＞B?a＞b?sinA＞sinB．2．三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．3．內(nèi)角和公式的變形：(1)sin(A＋B)＝sinC；(2)cos(A＋B)＝－cosC.4．角平分線定理：在△ABC中，若AD是角A的平分線，如圖，則eq\f(AB,AC)＝eq\f(BD,DC).三、利用正、余弦定理判斷三角形形狀的常用結(jié)論1．若a＝b或(a－b)(b－c)(c－a)＝0，則△ABC為等腰三角形．2．若a2＋b2＝c2，則△ABC為以C為直角的直角三角形；3．若a2＋b2>c2，則△ABC中角C為銳角；若a2＋b2<c2，則△ABC為以C為鈍角的鈍角三角形．4．若(a2－b2)(a2＋b2－c2)＝0，則△ABC為等腰三角形或直角三角形；5．若a＝b且a2＋b2＝c2，則△ABC為等腰直角三角形；6．若sin2A＝sin2B，即A＝B或A＋B＝eq\f(π,2)，則△ABC為等腰三角形或直角三角形．【夯實基礎(chǔ)練】1．(2022?天津市耀華中學(xué)高三第二次檢測)已知△ABC的三邊為a，b，c，且，△ABC面積為S，且，則面積S的最大值為()A． B． C．D．【解析】，所以，，即，顯然A為銳角，，解得，，由，得，當(dāng)時，取等號，，即.故選：C【答案】C2．(2022?陜西省西安中學(xué)高三三模)黑板上有一道解三角形的習(xí)題，求解過程是正確的，但一位同學(xué)不小心把其中一部分擦去了，現(xiàn)在只能看到：在中，角、、的對邊分別為、、，已知，…，解得，根據(jù)以上信息，你認(rèn)為下面哪個選項不可以作為這個習(xí)題的其余已知條件()A．， B．C．， D．，【解析】對于A：因為，，，所以，又，所以，故A選項可以；對于B：因為，，所以根據(jù)正弦定理得，即，所以，又，所以，所以，故B選項可以；對于C：因為，，，所以根據(jù)正弦定理得，即，所以，又，且，所以或，故C選項不可以；對于D：因為，，，所以根據(jù)余弦定理得，又，所以，故D選項可以；故選：C.【答案】C3．(2022?吉林省東北師范大學(xué)附屬中學(xué)高三第二次摸底考試)為加快推進(jìn)“5G+光網(wǎng)”雙千兆城市建設(shè)，如圖，在東北某地地面有四個5G基站A，B，C，D．已知C，D兩個基站建在松花江的南岸，距離為；基站A，B在江的北岸，測得，，，，則A，B兩個基站的距離為()A． B．C． D．【解析】在中，，所以，有，所以，在中，，由正弦定理，得，在中，由余弦定理，得，所以，即兩個基站A、B之間的距離為.故選：D【答案】D4．(2022?黑龍江省鶴崗市第一中學(xué)高三(上)期末)的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，的周長等于()A． B． C．D．【解析】因為，且，可得，解得，又由余弦定理得，即，可得，所以，所以的周長為.故選：D.【答案】D5．(2022?黑龍江省哈三中第五次驗收)在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，滿足，則___________.【解析】因為，所以由正弦定理得，又，所以可得，所以.故答案為：.【答案】6．(2022?陜西省西安市高新第一中學(xué)高三第八次大練習(xí))在中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，滿足，則___________.【解析】因為，所以由正弦定理得，又，所以可得，所以.故答案為：.【答案】7．(2022?長春外國語學(xué)校高三(下)期初考試)若的三內(nèi)角，，滿足：，則以為一內(nèi)角且其對邊長為的三角形的外接圓的面積為__________．【解析】設(shè)內(nèi)角所對的邊分別為a,b,c,由題設(shè)a=2k(k>0),則b=c=3k,,則,設(shè)所求三角形的外接圓半徑為R,則,解得,所以三角形的外接圓的面積為,故填.【答案】8．(2022?北京師范大學(xué)附屬實驗中學(xué)高三(下)摸底考試)在中，，，，則_______；_________.【解析】由余弦定理得：==4，故；因為=，所以=.【答案】2,9．(2022?高考浙江卷)在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【解析】(1)由于，，則．因為，由正弦定理知，則．(2)因為，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．【答案】(1)；(2)．10．(2022?重慶市育才中學(xué)高三(下)入學(xué)考試)在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，已知，．(1)求角的大小；(2)求的最小值．【解析】(1)因為，所以，整理得，所以，又，所以．(2)因為，，所以，故，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為4．【答案】(1)(2)411．(2022?重慶市第八中學(xué)高三(下)第二次調(diào)研檢測)在中，角的對邊分別是，的面積為.(1)若，，，求邊；(2)若是銳角三角形且角，求的取值范圍.【解析】(1)∵，∴，又，則或當(dāng)時，；當(dāng)時，∴或(2)由正弦定理得，，∵是銳角三角形，∴，，；∴，，；∴∴，∴∴的取值范圍為.【答案】(1)或；(2),12．(2022?重慶市第八中學(xué)高三第五次月考)如圖，四邊形內(nèi)接于一個圓中，其中為直徑，，，.(1)求的長；(2)求的面積.【解析】(1)在中，由余弦定理得：，解得：，設(shè)為外接圓半徑，由正弦定理得：，即.(2)為直徑，，，，又，.【答案】(1)；(2).13．(2022?天津市耀華中學(xué)高三第三次月考)在中，角A，，的對邊分別為，，，已知．(1)求角A的大??；(2)若，，求的面積．【解析】(1)，由正弦定理得：，即，因為，所以，解得：或-2(舍去)，因為，所以.(2)由余弦定理得：，解得：，所以，，所以【答案】(1)(2)14．(2022?天津市新華中學(xué)高三(上)期末)在中，角的對邊分別為，已知的面積為，周長為.且.(1)求及的值；(2)求的值.【解析】(1)∴∴∴..(2)由(1)得，，∴∴，【答案】(1)；(2)15．(2022?四川省樹德中學(xué)高三(下)開學(xué)考試)如圖，已知平面四邊形中，．(1)若，，求的面積；(2)若，，，求t的最大值．【解析】(1)由正弦定理可得∴，∴(2)中，由余弦定理得：，，∴∴，∴時，t的最大值是2．【答案】(1)；(2)2．16．(2022?山東省滕州市第一中學(xué)高三(下)開學(xué)考試)在中，角所對的邊分別為，已知，且.(1)求的值；(2)若的面積，求的值.【解析】(1)由題意，結(jié)合余弦定理得，，所以.(2)由于，，，所以，，又，所以，.【答案】(1)6(2)17．(2022?遼寧省沈陽市第二中學(xué)高三二模)△的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.(1)求角C；(2)若，求的面積.【解析】(1)由已知及正弦定理，得，即.故，可得，∵，∴；(2)由已知及余弦定理得，，又，故，因此，，∴△的面積.【答案】(1)；(2).18．(2022?東北師大附中、黑龍江省大慶實驗中學(xué)高三聯(lián)合模擬考試)在中，，，分別是內(nèi)角，，的對邊，已知，，.(1)求的面積；(2)若是邊上一點，且，求的長.【解析】(1)在中，由正弦定理及得：，由余弦定理得：，即，則，而，解得，，，所以的面積是.(2)由(1)及余弦定理得，而，則，在中，由余弦定理得，解得，所以的長為.【答案】(1)；(2).19．(2022?湖南省長郡中學(xué)高三第四次月考)在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知.(1)求角B的大??；(2)設(shè)a=2，c=3，求b和的值.【解析】(Ⅰ)在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因為，可得B=．(Ⅱ)在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因為a<c，故．因此，所以，【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.20．(2022?湖南省雅禮中學(xué)高三第七次月考)在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足.(1)求角A的大?。?2)求的取值范圍.【解析】(1)由，結(jié)合正弦定理可得：整理得：，即又，所以，又，故.(2)由余弦定理知：，再結(jié)合內(nèi)角和定理：從而又因為，故，從而即取值范圍為.【答案】(1)；(2).21．(2022?湖北省圓創(chuàng)聯(lián)考高三(下)第二次聯(lián)合測評)在中，，，所對的邊分別為，，，且滿足，．(1)求邊長；(2)求面積的最大值．【解析】(1)由正弦定理知，，因為，所以，即，所以；(2)在中，由余弦定理得，∴(當(dāng)且僅當(dāng)取“=”)，∴，∴，又∵，∴，即面積最大值為.【答案】(1)1(2)22．(2022?黑龍江省哈六中高三(上)期末)如圖所示，中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．Ⅰ求角C的大?。虎螯cD為邊AC的中點，，求面積的最大值．【解析】Ⅰ．由正弦定理可得，，，故Ⅱ在中，設(shè)，，由余弦定理知，所以，，此時

，面積有最大值.【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)23．(2022?河北省衡水中學(xué)高三二模)在中，角，，的對邊分別為，，，且.(1)求角的大小；(2)若，求面積的最大值及此時邊，的值.【解析】(1)在中由正弦定理得：，，，化簡得：.即∵，∴，∴，∵，∴.(2)由余弦定理得，又，∴，又，∴，則∴的面積最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.即此時，.【答案】(1)；(2)的面積最大值為，此時，.24．(2022?海南省嘉積中學(xué)高三(下)四校聯(lián)考)在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)求角A的大??；(2)若的面積為，且，求的周長.【解析】(1)由正弦定理得：，即，，又，故.(2)由(1)知，，，，，故的周長為【答案】(1)(2)25．(2022?四川省南充高級中學(xué)高三第三次月考)已知中，，點在線段上，，．(1)求的大?。?2)求的面積．【解析】(1)∵，∴，(方法一)由正弦定理及得，，由正弦定理，可得，，∵，∴，即，得，∴；(方法二)由正弦定理，，得，，∵，∴，即，得，∴；(2)∵，∴，由余弦定理及得，，化簡得，∴，或(舍去)，∴的面積．【答案】(1)；