狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)與計(jì)算

Ch.3線性系統(tǒng)的時(shí)域分析2021/5/91狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)與計(jì)算(1/1)3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)與計(jì)算

下面進(jìn)一步討論前面引入的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,主要內(nèi)容為:基本定義矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)2021/5/92狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)與計(jì)算(1/1)3.2.1狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義2021/5/93當(dāng)系統(tǒng)矩陣A為nn維方陣時(shí),狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(t)亦為nn維方陣,且其元素為時(shí)間t的函數(shù)下面討論幾種特殊形式的系統(tǒng)矩陣A的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(1)對(duì)角線矩陣

當(dāng)A為如下對(duì)角線矩陣:Adiag{1

2…n}

則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為式中,diag{…}表示由括號(hào)內(nèi)元素組成對(duì)角線矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義(2/4)2021/5/94(2)塊對(duì)角矩陣當(dāng)A為如下塊對(duì)角矩陣:

Ablock-diag{A1

A2…Al},

其中Ai為mimi維的分塊矩陣,

則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

式中,block-diag{…}表示由括號(hào)內(nèi)各方塊矩陣組成塊對(duì)角矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義(3/4)2021/5/95(3)約旦塊矩陣當(dāng)Ai為特征值為i的mimi維約旦塊,則分塊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)為對(duì)上述三種特殊形式矩陣的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù),可利用矩陣指數(shù)函數(shù)的展開(kāi)式證明狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義(4/4)2021/5/96矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(1/4)3.2.2矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)由矩陣指數(shù)函數(shù)的展開(kāi)式和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義,可證明矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(t)具有如下性質(zhì)1)

Φ(0)eA0

I2)

eA(t+s)eAteAs,

Φ(t+s)Φ(t)Φ(s),式中t和s為兩個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量自變量證明:

由指數(shù)矩陣函數(shù)的展開(kāi)式,有2021/5/97矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(2/4)3)[Φ(t2t1)]1

Φ(t1t2)

4)對(duì)于nn階的方陣A和B,下式僅當(dāng)AB

BA時(shí)才成立e(A+B)teAteBt5)

6)

[Φ(t)]n

Φ(nt)7)

Φ(t2t1)Φ(t1t0)

Φ(t2t0)2021/5/98矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(3/4)由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義,有x(t2)=Φ(t2-t1)x(t1)=Φ(t2-t1)[Φ(t1-t0)x(t0)]=[Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)]x(t0)而x(t2)=Φ(t2-t0)x(t0)因此,性質(zhì)7)表明,在系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過(guò)程中,既可以將系統(tǒng)的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移分解成多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移,也可以將系統(tǒng)的多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移等效為一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移,如上圖所示系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移2021/5/99矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(4/4)例3-3

求如下系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的逆矩陣解：對(duì)于該系統(tǒng),在例3-1已求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為由于Φ1(t)=Φ(t),所以求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的逆矩陣為2021/5/910狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算(1/1)3.3.3狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算

在狀態(tài)方程求解中,關(guān)鍵是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)的計(jì)算對(duì)于線性定常連續(xù)系統(tǒng),該問(wèn)題又歸結(jié)為矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計(jì)算上一節(jié)已經(jīng)介紹了基于拉氏反變換技術(shù)的矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計(jì)算方法,下面講述計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)的下述其他兩種常用方法級(jí)數(shù)求和法約旦規(guī)范形法

2021/5/911級(jí)數(shù)求和法(1/3)1.級(jí)數(shù)求和法

由上一節(jié)對(duì)矩陣指數(shù)函數(shù)的定義過(guò)程中可知:矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計(jì)算可由上述定義式直接計(jì)算由于上述定義式是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù),故在用此方法計(jì)算eAt時(shí)必須考慮級(jí)數(shù)收斂性條件和計(jì)算收斂速度問(wèn)題2021/5/912級(jí)數(shù)求和法(2/3)顯然,用此方法計(jì)算eAt一般不能寫(xiě)成封閉的和簡(jiǎn)潔的解析形式,只能得到數(shù)值計(jì)算的近似計(jì)算結(jié)果其計(jì)算精度取決于矩陣級(jí)數(shù)的收斂性與計(jì)算時(shí)所取的項(xiàng)數(shù)的多少如果級(jí)數(shù)收斂較慢,則需計(jì)算的級(jí)數(shù)項(xiàng)數(shù)多,人工計(jì)算是非常麻煩的,一般只適用于計(jì)算機(jī)計(jì)算因此,該方法的缺點(diǎn):計(jì)算量大精度低非解析方法,難以得到計(jì)算結(jié)果的簡(jiǎn)潔的解析表達(dá)式2021/5/913級(jí)數(shù)求和法(3/3)例3-4

用直接計(jì)算法求下述矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù):解按矩陣指數(shù)函數(shù)的展開(kāi)式計(jì)算如下:2021/5/914約旦規(guī)范形法

(1/8)2.約旦規(guī)范形法

上節(jié)給出了對(duì)角線矩陣、塊對(duì)角矩陣和約旦塊三種特殊形式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)由于任何矩陣都可經(jīng)線性變換成為對(duì)角線矩陣或約旦矩陣,因此可通過(guò)線性變換將一般形式的矩陣變換成對(duì)角線矩陣或約旦矩陣,再利用上述特殊形式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)來(lái)快速計(jì)算矩陣矩陣指數(shù)函數(shù)下面討論之2021/5/915下面首先討論矩陣指數(shù)函數(shù)的一條性質(zhì):對(duì)矩陣A,經(jīng)變換矩陣P作線性變換后,有則相應(yīng)地有如下矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系約旦規(guī)范形法

(2/8)2021/5/916約旦規(guī)范形法(3/8)該結(jié)論可簡(jiǎn)單證明如下:根據(jù)上述性質(zhì),對(duì)矩陣A,

可通過(guò)線性變換方法得到對(duì)角線矩陣或約旦矩陣,然后利用該類(lèi)特殊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù),由矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系來(lái)求原矩陣A的矩陣指數(shù)函數(shù)2021/5/917約旦規(guī)范形法(4/8)例3-5

試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)解1.先求A的特征值由特征方程可求得特征值為1

122332.求特征值所對(duì)應(yīng)的特征向量由前述的方法可求得特征值1,2和3所對(duì)應(yīng)的特征向量分別為p1

[101]

p2

[124]

p3

[169]特征值、特征向量及將A變換為對(duì)角矩陣的變換矩陣P已由2.4節(jié)求出2021/5/918約旦規(guī)范形法(5/8)故將A變換成對(duì)角線矩陣的變換矩陣P及其逆陣P1為3.對(duì)角線規(guī)范形及對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣:2021/5/919約旦規(guī)范形法(6/8)例3-6

試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)4.

由系統(tǒng)矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系,得2021/5/920約旦規(guī)范形法(7/8)解1.先求A的特征值由特征方程可求得特征值為1