狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)與計(jì)算

Ch.3線性系統(tǒng)的時(shí)域分析2021/5/91狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)與計(jì)算(1/1)3.2狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)與計(jì)算

下面進(jìn)一步討論前面引入的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣,主要內(nèi)容為:基本定義矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)2021/5/92狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)與計(jì)算(1/1)3.2.1狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義2021/5/93當(dāng)系統(tǒng)矩陣A為nn維方陣時(shí),狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(t)亦為nn維方陣,且其元素為時(shí)間t的函數(shù)下面討論幾種特殊形式的系統(tǒng)矩陣A的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(1)對角線矩陣

當(dāng)A為如下對角線矩陣:Adiag{1

2…n}

則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為式中,diag{…}表示由括號內(nèi)元素組成對角線矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義(2/4)2021/5/94(2)塊對角矩陣當(dāng)A為如下塊對角矩陣:

Ablock-diag{A1

A2…Al},

其中Ai為mimi維的分塊矩陣,

則狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為

式中,block-diag{…}表示由括號內(nèi)各方塊矩陣組成塊對角矩陣狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義(3/4)2021/5/95(3)約旦塊矩陣當(dāng)Ai為特征值為i的mimi維約旦塊,則分塊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)為對上述三種特殊形式矩陣的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù),可利用矩陣指數(shù)函數(shù)的展開式證明狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義(4/4)2021/5/96矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(1/4)3.2.2矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)由矩陣指數(shù)函數(shù)的展開式和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義,可證明矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Φ(t)具有如下性質(zhì)1)

Φ(0)eA0

I2)

eA(t+s)eAteAs,

Φ(t+s)Φ(t)Φ(s),式中t和s為兩個(gè)獨(dú)立的標(biāo)量自變量證明:

由指數(shù)矩陣函數(shù)的展開式,有2021/5/97矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(2/4)3)[Φ(t2t1)]1

Φ(t1t2)

4)對于nn階的方陣A和B,下式僅當(dāng)AB

BA時(shí)才成立e(A+B)teAteBt5)

6)

[Φ(t)]n

Φ(nt)7)

Φ(t2t1)Φ(t1t0)

Φ(t2t0)2021/5/98矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(3/4)由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義,有x(t2)=Φ(t2-t1)x(t1)=Φ(t2-t1)[Φ(t1-t0)x(t0)]=[Φ(t2-t1)Φ(t1-t0)]x(t0)而x(t2)=Φ(t2-t0)x(t0)因此,性質(zhì)7)表明,在系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移過程中,既可以將系統(tǒng)的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移分解成多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移,也可以將系統(tǒng)的多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移等效為一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移,如上圖所示系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移2021/5/99矩陣指數(shù)函數(shù)和狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)(4/4)例3-3

求如下系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的逆矩陣解：對于該系統(tǒng),在例3-1已求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為由于Φ1(t)=Φ(t),所以求得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的逆矩陣為2021/5/910狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算(1/1)3.3.3狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣計(jì)算

在狀態(tài)方程求解中,關(guān)鍵是狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣(t)的計(jì)算對于線性定常連續(xù)系統(tǒng),該問題又歸結(jié)為矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計(jì)算上一節(jié)已經(jīng)介紹了基于拉氏反變換技術(shù)的矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計(jì)算方法,下面講述計(jì)算矩陣指數(shù)函數(shù)的下述其他兩種常用方法級數(shù)求和法約旦規(guī)范形法

2021/5/911級數(shù)求和法(1/3)1.級數(shù)求和法

由上一節(jié)對矩陣指數(shù)函數(shù)的定義過程中可知:矩陣指數(shù)函數(shù)eAt的計(jì)算可由上述定義式直接計(jì)算由于上述定義式是一個(gè)無窮級數(shù),故在用此方法計(jì)算eAt時(shí)必須考慮級數(shù)收斂性條件和計(jì)算收斂速度問題2021/5/912級數(shù)求和法(2/3)顯然,用此方法計(jì)算eAt一般不能寫成封閉的和簡潔的解析形式,只能得到數(shù)值計(jì)算的近似計(jì)算結(jié)果其計(jì)算精度取決于矩陣級數(shù)的收斂性與計(jì)算時(shí)所取的項(xiàng)數(shù)的多少如果級數(shù)收斂較慢,則需計(jì)算的級數(shù)項(xiàng)數(shù)多,人工計(jì)算是非常麻煩的,一般只適用于計(jì)算機(jī)計(jì)算因此,該方法的缺點(diǎn):計(jì)算量大精度低非解析方法,難以得到計(jì)算結(jié)果的簡潔的解析表達(dá)式2021/5/913級數(shù)求和法(3/3)例3-4

用直接計(jì)算法求下述矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù):解按矩陣指數(shù)函數(shù)的展開式計(jì)算如下:2021/5/914約旦規(guī)范形法

(1/8)2.約旦規(guī)范形法

上節(jié)給出了對角線矩陣、塊對角矩陣和約旦塊三種特殊形式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)由于任何矩陣都可經(jīng)線性變換成為對角線矩陣或約旦矩陣,因此可通過線性變換將一般形式的矩陣變換成對角線矩陣或約旦矩陣,再利用上述特殊形式矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)來快速計(jì)算矩陣矩陣指數(shù)函數(shù)下面討論之2021/5/915下面首先討論矩陣指數(shù)函數(shù)的一條性質(zhì):對矩陣A,經(jīng)變換矩陣P作線性變換后,有則相應(yīng)地有如下矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系約旦規(guī)范形法

(2/8)2021/5/916約旦規(guī)范形法(3/8)該結(jié)論可簡單證明如下:根據(jù)上述性質(zhì),對矩陣A,

可通過線性變換方法得到對角線矩陣或約旦矩陣,然后利用該類特殊矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù),由矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系來求原矩陣A的矩陣指數(shù)函數(shù)2021/5/917約旦規(guī)范形法(4/8)例3-5

試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)解1.先求A的特征值由特征方程可求得特征值為1

122332.求特征值所對應(yīng)的特征向量由前述的方法可求得特征值1,2和3所對應(yīng)的特征向量分別為p1

[101]

p2

[124]

p3

[169]特征值、特征向量及將A變換為對角矩陣的變換矩陣P已由2.4節(jié)求出2021/5/918約旦規(guī)范形法(5/8)故將A變換成對角線矩陣的變換矩陣P及其逆陣P1為3.對角線規(guī)范形及對應(yīng)的轉(zhuǎn)移矩陣:2021/5/919約旦規(guī)范形法(6/8)例3-6

試求如下系統(tǒng)矩陣的矩陣指數(shù)函數(shù)4.

由系統(tǒng)矩陣和矩陣指數(shù)函數(shù)的變換關(guān)系,得2021/5/920約旦規(guī)范形法(7/8)解1.先求A的特征值由特征方程可求得特征值為1