一元二次方程根的分布(WORD含答案)

一元二次方程根的分布一．知識(shí)要點(diǎn)二次方程的根從幾何意義上來說就是拋物線yax2bxc與x軸交點(diǎn)的圖象上進(jìn)行yax2bxcax2bxc0的橫坐標(biāo)，所以研究方程的實(shí)根的情況，可從ax2bxc0研究．若在(,)內(nèi)研究方程ax2bxc0軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)及交點(diǎn)橫坐標(biāo)的符號(hào)，根據(jù)判別式以及韋達(dá)定理，由的實(shí)根情況，只需考察函數(shù)yax2bxc與x的系數(shù)yax2bxc可判斷出確定．的符號(hào)，從而判斷出實(shí)根的情況．,xx,xx1212若在區(qū)間內(nèi)研究二次方程ax2bxc0(m,n)，則需由二次函數(shù)圖象與區(qū)間關(guān)系來1．二次方程有且只有一個(gè)實(shí)根屬于(m,n)的充要條件若m,n其中一個(gè)是方程的根，則由韋達(dá)定理可求出另一根．若m,n不是二次方程ax2bxc0種可能：的根，二次函數(shù)的圖象有以下幾由圖象可以看f(x)ax2bxc（1）（3）（2）a0,xmxna0,mxnx1212（4）a0,mxnx1a0,xmxn212出，f(x)在xm處的值f(m)與在xn處的值f(n)符號(hào)總是相反，即f(m)f(n)0；反之，若，f(m)f(n)0f(x)的圖象的相對(duì)位置只能是圖中四種情況之一．所以得出結(jié)論：若m,n都不是方程ax2bxc0(a0)的根，記f(x)ax2bxc，則f(x)0有且只有一個(gè)實(shí)根屬于(m,n)的充要條件是f(m)f(n)0．2．二次方程兩個(gè)根都屬于(m,n)的充要條件方程ax2bcc0(a0)的兩個(gè)實(shí)根都屬于(m,n)，則二次函數(shù)f(x)ax2bxc的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)或相切于點(diǎn)，且兩個(gè)交點(diǎn)或切點(diǎn)的橫坐標(biāo)都大于m小于n，它的圖象有以下幾種情形：（1）（3）（2）a0,mxxna0,mxxn1212（4）a0,mxxna0,mxxn2112由此可得出結(jié)論：方程ax2bxc0(a0)的兩個(gè)實(shí)根都屬于區(qū)間(m,n)的充要條件是：．這里f(x)ax2bxc同理可得出：3．二次方程的兩個(gè)實(shí)根分別在區(qū)間的兩側(cè)（一根小于，另一(m,n)maxbxc02根大于）的充要條件是：n這里2bxc．f(x)ax4．二次方程的兩個(gè)實(shí)根都在的右側(cè)的充要條件是：(m,n)axbxc02二次方程的兩個(gè)實(shí)根都在的左側(cè)（兩根都小于）的充要條件是：(m,n)maxbxc02這里2bxc．f(x)ax二．例題選講例１．設(shè)關(guān)于的方程b0(bR），xx421x（1）若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)（2）當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，并求出方程的解。例２．f(x)=ax2+bx+c(a≠0).若方程f(x)=x無實(shí)根，求f[f(x)]=x也b的取值范圍；已知二次函數(shù)證：方程無實(shí)根．例３．設(shè)A[2,4)，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．BAa{ax40}Bxx2變式：已知方程x+(3m-1)x+(3m-2)=0的兩個(gè)根都屬于(-3,3)，且其中至少有一個(gè)根小2于1，求m的取值范圍．例４．已知方程有兩個(gè)負(fù)根，求的取值范圍．4x2(m1)x(2m3)0(mR)m2例５．求實(shí)數(shù)的范圍，使關(guān)于的方程．x22(m1)x2m60mx（１）有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比２大，一個(gè)比２?。ǎ玻┯袃蓚€(gè)實(shí)根，且滿足．,014（３）例６．已知關(guān)于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0.(1)若方程有兩根，(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間至少有一個(gè)正根．其中一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍-3與3之間，求a的取值范圍．的兩個(gè)根都小于m1，求的取值范圍．y=mx+(m－3)x+1的圖象與x軸的.變式：已知方程2x–2(2a-1)x+a+2=0的兩個(gè)根在2例７．已知二次方程mx(2m1)xm202變式：如果二次函數(shù)交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，2試求m的取值范圍例８．已知a是實(shí)數(shù)，函數(shù).2x3a，如果函數(shù)在區(qū)間上有零yf(x)11，f(x)2ax2點(diǎn)，求的取值范圍．a(chǎn)二次方程實(shí)根分布的一些方法除了直接用于判別二次方程根的情況，在其它的一些場(chǎng)合下也可以適當(dāng)運(yùn)用．下面再舉兩個(gè)例子：例９．求函數(shù)y=(1<x<2)的值域．例10．已知拋物線y=2x2-mx+m與直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)(0,0),(1,1)為端點(diǎn)的線段（除去兩個(gè)端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，求m的取值范圍．三．鞏固練習(xí)1．已知二次方程(3m1)x2(2m3)xm40有且只有一個(gè)實(shí)根屬于(-1,1)，求m的取值范圍．2．已知方程在上有兩個(gè)根，求的取值范圍．(,1)mm2(2m1)2xm02x3．已知二次方程(2m1)x22mx(m1)0有且只有一個(gè)實(shí)根屬于（1，2），且x1,x2都不是方程的根，求的取值范圍．m4．已知二次方程(m1)x(3m4)x(m1)0的兩個(gè)根都屬于（–1，1），求的取m2值范圍．5．若關(guān)于x的方程x2+(a-1)x+1=0有兩相異實(shí)根，且兩根均在區(qū)間[0,2]上，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．6．二次函數(shù)f(x)=px2+qx+r中實(shí)數(shù)p、q、r滿足pqr=0,其中m>0,求證m2m1m(1)pf(m)<0;m1(2)方程f(x)=0在(0，1)內(nèi)恒有解。參考答案例１．分析：可用換元法，設(shè)，原方程化為二次方程，但要注意t0，2txt2tb02故原方程有解并不等價(jià)于方程有解，而等價(jià)于方程在內(nèi)t2tb02t22tb0(0,)有解．另外，方程有解的問題也可以通過參變分離轉(zhuǎn)化為求值域的問題，它的原理是：若關(guān)于的方程af(x)有解，則af(x)的值域．x解：（1）原方程為b4x2x1，，4x2x1(2x)222x(2x1)211當(dāng)b[1,)時(shí)方程有實(shí)數(shù)解；（2）①當(dāng)b1時(shí)，，∴方程有唯一解x0；21x②當(dāng)b1時(shí)，.(21)21b2x11bx2x0,11b0,2x11b的解為令11b01b11b0,；xlog(11b)2當(dāng)1b0時(shí),2x11b的解為綜合①、②，得；；xlog(11b)21）當(dāng)1b0時(shí)原方程有兩解：xlog(11b)22）當(dāng)b0或b1時(shí)，原方程有唯一解3）當(dāng)b1時(shí)，原方程無解。；xlog(11b)2例２．證明：方程f(x)=x即f(x)-x=ax2+(b-1)x+c=0無實(shí)根，f(x)-x仍是二次函數(shù)，f(x)-x=0仍是二次方程，它無實(shí)根即Δ=(b-1)2-4ac＜0①若a＞0，則函數(shù)y=f(x)-x的圖象在x軸上方，∴y＞0，即f(x)-x＞0恒成立，即：f(x)＞x對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立?！鄬?duì)f(x)，有f(f(x))＞f(x)＞x恒成立∴f(f(x))=x無實(shí)根②若a＜0，函數(shù)y=f(x)-x的圖象在x軸下方∴y＜0，即f(x)-x＜0恒成立∴對(duì)任意實(shí)數(shù)x，f(x)＜0恒成立∴對(duì)實(shí)數(shù)f(x)，有：f(f(x))＜f(x)＜x恒成立∴f(f(x))=x無實(shí)根綜上可知，當(dāng)f(x)=x無實(shí)根時(shí)，方程f(f(x))=x也無實(shí)根．例３．分析：觀察到方程有兩個(gè)實(shí)根，故此題不妨用求根公式來解決．xax402解：因有兩個(gè)實(shí)根xax402xa4a2，a2，a424x2412故等價(jià)于且，即BAx21x42且，a4a22aa2442424解之得．0a3變式：解：原方程即為(x+1)(x+3m-2)=0，所以方程兩根分別為-1,2-3m，而-1在(-3,1)一根滿足-3<2-3m<3-<m<.上，則由題意，另例４．解：依題意有4(m1)44(2m3)02m11．(m1)02m30例５．解：設(shè)yf(x)x22(m1)x2m6．（１）依題意有，即，得．m1f(2)044(m1)2m60（２）依題意有f(0)2m6075解得：．f(1)4m50m54f(4)10m140（３）方程至少有一個(gè)正根，則有三種可能：0m1或m5①有兩個(gè)正根，此時(shí)可得，即3m1．f(0)02(m1)0m3m12②有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，此時(shí)可得，得．f(0)0m3620m③有一個(gè)正根，另一根為０，此時(shí)可得m3．2(m1)0綜上所述，得．m1例６．解：(1)條件說明拋物線f(x)=x2+2mx+2m+1與x軸的交點(diǎn)分別在區(qū)間(－1，0)和(1，2)內(nèi)，則m12f(0)2m10,mR,f(1)20,51，2mm1f(1)4m20,f(2)6m50,625m651∴實(shí)數(shù)m的范圍是.(,)62f(0)0,f(1)0,(2)據(jù)拋物線與x軸交點(diǎn)落在區(qū)間(0，1)內(nèi)，列不等式組0,0m1m1,2m1,-<m≤1-,2m12或m12,1m0.∴實(shí)數(shù)m的范圍是(1,12].2變式：解：設(shè)f(x)=2x2–2(2a-1)x+a+2，則原方程兩根都屬于(-3,3)的充要條件為<3))<3))-<m≤,4)或,4)≤m<.故a的取值范圍是(-,,4)]∪[,4),)．例７．解一：二次方程兩個(gè)根都小于1，其充要條件為37][37（1）即為8m212m10，它的解集是(,,)．44（2）即為m(2m1)0，它的解集是(,1)(0,)．2（3）的解集是(,0)(1,)．437,)．所以，的取值范圍是m(,1)[24解二：二次方程mx2(2m1)xm20有兩個(gè)根的充要條件是0．設(shè)兩根為，由于都小于1，即x10,x1012，其充要條件為：x,xx,x1212即因此，方程兩個(gè)根都小于1的充要條件是：以下同解法一（略）．解三：令yx1，原方程轉(zhuǎn)化為m(y1)(2m1)(y1)m20，即2my(4m1)y2m10（*）2因?yàn)樵匠虄筛夹∮?，所以方程（*）的兩個(gè)實(shí)根都小于0，其充要條件是：同樣可求出m的取值范圍（略）．變式：解：∵f(0)=1>0(1)當(dāng)m＜0時(shí)，二次函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)且分別在y軸兩側(cè)，符合題意.0(2）當(dāng)m>0時(shí)，則解得0＜m≤13m0m綜上所述，m的取值范圍是{m|m≤1且m≠0}.例８．解析1：函數(shù)在區(qū)間[-1，1]上有零點(diǎn)，即方程f(x)2ax22x3a=0在[-1，yf(x)1]上有解，a=0時(shí)，不符合題意，所以a≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>f(1)f(1)0或af(1)0af(1)037或37或a≥1.a5a22或1a5a48a(3a)01[1.1]aa的取值范圍是37或a≥1.所以實(shí)數(shù)a2解析2：a=0時(shí)，不符合題意，所以a≠0,又∴12x12f(x)2ax22x3a=0在[-1，1]上有解，1)a32x在[-1，1]上有解在(2xa32x2[-1，1]上有解，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)[-1，1]上的值域；設(shè)t=3-2x，x∈[-1，1]，2x12y32x則，t∈[1,5],1(t3)2217，y(t6)2x3t2t2t設(shè)7t此函數(shù)g(t)單調(diào)遞增，27，時(shí)，，此函數(shù)g(t)單調(diào)遞減，t(7,5]時(shí)，g'(t)>0,t[1,7)g'(t)0t2g(t)t.g'(t)t∴y的取值范圍是，∴=0在[-1，1]上有f(x)2ax22x3a[73,1]解1a例９．解：∈或37。[73,1]a1a2原函數(shù)即為y(x2-3x+2)=x+1,yx2-(3y+1)x+2y-1=0,①由題意，關(guān)于x的方程①在(1,2)上有實(shí)易知y<0,令f(x)=yx2-(3y+1)x+2y-1，則f(1)=-2<0,f(2)=-3<0，所以方程①在(1,2)上根．有實(shí)根當(dāng)且僅當(dāng)<2))，解得y≤-5-2.∴原函數(shù)的值域?yàn)?-,-5-2].例10．解：以(0,0),(1,1)為端點(diǎn)的線段所在直線為y=x，代入拋物線方程得：x=2x2-mx+m即2x2-(m+1)x+m=0,①由題意，方程①在區(qū)間(0,1)上有實(shí)f(0)·f(1)<0或<1,f(0)>0,f(1)>0))m<0或m≤3-2且m≠0．故m的取值范圍為(-,0)∪(0,3-2].根，令f(x)=2x2-(m+1)x+m，則當(dāng)且僅當(dāng)鞏固練習(xí)1．解：易知x=-1是方程的一個(gè)根，則另一根為x=，所以原方程有且僅有一個(gè)12實(shí)根屬于(-1,1)當(dāng)且(-,-)∪(,+).僅當(dāng)-1<<1，即+1>0,-1<0))>0,>0))m<-或m>，∴m的取值范圍為2．解：令t2x，當(dāng)時(shí)，．x(,1)t(0,2)由于t2x是一一映射的函數(shù)，所以在上有兩個(gè)值，則在上有兩個(gè)對(duì)x(,1)t(0,2)應(yīng)的值．因而方程在（0，2）上有兩個(gè)不等實(shí)根，其充要條件為mt(2m1)tm021）得：，1由（m4由（2）得：，m03）得：或，2由（m0m94）得：1．1由（m622m14m(,)9421，即的取值范圍為．93．解：設(shè)f(x)=(2m1)x22mx(m1)，由于f(x)是二次函數(shù)，所以2m+1≠0，即m≠-.f(x)=0在（1，2）上有且僅有一個(gè)實(shí)根當(dāng)且僅當(dāng)f(1)·f(2)<0(5