選修21講義精練第2章2.32拋物線的簡單幾何性質(zhì)

2．3.2拋物線的簡潔幾何性質(zhì)第一課時拋物線的簡潔幾何性質(zhì)[讀教材·填要點]拋物線的幾何性質(zhì)類型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖象性質(zhì)焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準(zhǔn)線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0對稱軸x軸y軸頂點O(0,0)離心率e＝1開口方向向右向左向上向下[小問題·大思維]1．拋物線y2＝2px(p>0)有幾條對稱軸？是否是中心對稱圖形？提示：有一條對稱軸，即x軸，不是中心對稱圖形．2．拋物線上一點與焦點F的連線的線段叫作焦半徑，過焦點的直線與拋物線相交所得弦叫作焦點弦，假設(shè)P(x0，y0)是拋物線上任意一點，焦點弦的端點為A(x1，y1)，B(x2，y2)，依據(jù)上述定義，你能完成以下表格嗎？標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦半徑|PF||PF|＝____|PF|＝____|PF|＝____|PF|＝____焦點弦|AB||AB|＝____|AB|＝____|AB|＝____|AB|＝____提示：標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦半徑|PF||PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝eq\f(p,2)－x0|PF|＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)|PF|＝eq\f(p,2)－y0焦點弦|AB||AB|＝x1＋x2＋p|AB|＝p－x1－x2|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p|AB|＝p－y1－y2拋物線方程及其幾何性質(zhì)頂點在原點，以x軸為對稱軸，且過焦點垂直于x軸的弦AB的長為8，求出拋物線的方程，并指出它的焦點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程．[自主解答]當(dāng)焦點在x軸的正半軸上時，設(shè)方程為y2＝2px(p>0)．當(dāng)x＝eq\f(p,2)時，y＝±p，由|AB|＝2p＝8，得p＝4.故拋物線方程為y2＝8x，焦點坐標(biāo)為(2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－2.當(dāng)焦點在x軸的負(fù)半軸上時，設(shè)方程y2＝－2px(p>0)．由對稱性知拋物線方程為y2＝－8x，焦點坐標(biāo)為(－2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝2.用待定系數(shù)法求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，其主要步驟為：1．拋物線的焦點F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，假設(shè)△OAB的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：由題意，拋物線方程為y2＝2px(p≠0)，焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，直線l：x＝eq\f(p,2)，∴A，B兩點坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－p)).∴|AB|＝2|p|.∵△OAB的面積為4，∴eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))·2|p|＝4.∴p＝±2eq\r(2).∴拋物線方程為y2＝±4eq\r(2)x.拋物線幾何性質(zhì)的應(yīng)用A，B是拋物線y2＝2px(p＞0)上兩點，O為坐標(biāo)原點，假設(shè)|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點，求直線AB的方程．[自主解答]∵|OA|＝|OB|，∴設(shè)A，B坐標(biāo)分別為A(x0，y0)，B(x0，－y0)．∵△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點F，∴kFA·kOB＝－1，即eq\f(y0,x0－\f(p,2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(－y0,x0)))＝－1，∴yeq\o\al(2,0)＝x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0－\f(p,2)))＝2px0(x0＞0，p＞0)．∴x0＝eq\f(5,2)p.∴直線AB的方程為x＝eq\f(5,2)p.假設(shè)將“△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點〞改為“OA⊥OB〞，求|AB|的值．解：由題意知，△AOB為等腰直角三角形，且A，B兩點關(guān)于x軸對稱．如圖，設(shè)A(x0，y0)，那么kOA＝eq\f(y0,x0)＝1且yeq\o\al(2,0)＝2px0，∴x0＝y(tǒng)0＝2p，∴|AB|＝2y0＝4p.拋物線的幾何性質(zhì)在解與拋物線有關(guān)的問題時具有廣泛的應(yīng)用，但是在解題的過程中又簡潔無視這些隱含條件．此題的關(guān)鍵是依據(jù)拋物線的對稱性可知線段AB垂直于x軸．故求直線AB的方程時求出A的橫坐標(biāo)即可．2．A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上兩點，O為坐標(biāo)原點，假設(shè)OA⊥OB，且OA的方程為y＝2x，|AB|＝5eq\r(3)，求拋物線的方程．解：∵OA⊥OB，∴△AOB為直角三角形．∵OA所在直線為y＝2x，∴OB所在直線方程為y＝－eq\f(1,2)x.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,y2＝2px))得A點坐標(biāo)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p)).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x，,y2＝2px))得B點坐標(biāo)為(8p，－4p)．∵|AB|＝5eq\r(3)，∴eq\r(p＋4p2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)－8p))2)＝5eq\r(3).∵p>0，解得p＝eq\f(2\r(39),13)，∴所求拋物線方程為y2＝eq\f(4\r(39),13)x.拋物線中過焦點的弦長問題過拋物線y2＝4x的焦點作直線交拋物線于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，假設(shè)|AB|＝7，求AB的中點M到拋物線準(zhǔn)線的距離．[自主解答]拋物線的焦點為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋eq\f(p,2)＋x2＋eq\f(p,2)＝x1＋x2＋p，即x1＋x2＋2＝7，得x1＋x2＝5，于是弦AB的中點M的橫坐標(biāo)為eq\f(5,2)，因此點M到拋物線準(zhǔn)線的距離為eq\f(5,2)＋1＝eq\f(7,2).拋物線y2＝±2px(p>0)的過焦點的弦長|AB|＝x1＋x2＋p，其中x1，x2分別是點A，B橫坐標(biāo)的肯定值；拋物線x2＝±2py(p>0)的過焦點的弦長|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p，其中y1，y2分別是點A，B縱坐標(biāo)的肯定值．3．直線l：y＝4x－6與拋物線y2＝6x交于A，B兩點，求|AB|.解：設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝4x－6，,y2＝6x，))消去y得8x2－27x＋18＝0，①那么x1，x2是方程①的兩根，∴x1＋x2＝eq\f(27,8).∵y＝4x－6＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))過拋物線的焦點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，∴|AB|＝x1＋x2＋3＝eq\f(27,8)＋3＝eq\f(51,8).解題高手妙解題什么是才智，才智就是簡潔、高效、不走彎路拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交于A，B兩點，|AB|＝2eq\r(3)，求拋物線方程．[巧思]拋物線與圓相交，依據(jù)可設(shè)拋物線方程為y2＝ax(a≠0)，由圓和拋物線的對稱性，可推斷A與B關(guān)于x軸對稱，結(jié)合|AB|＝2eq\r(3)可得A，B坐標(biāo)，從而求出方程．[妙解]由拋物線的焦點可能在x軸正半軸上，也可能在負(fù)半軸上．故可設(shè)拋物線方程為y2＝ax(a≠0)．設(shè)拋物線與圓x2＋y2＝4的交點A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵拋物線y2＝ax(a≠0)與圓x2＋y2＝4都關(guān)于x軸對稱，∴點A與B關(guān)于x軸對稱．∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2eq\r(3).∴|y1|＝|y2|＝eq\r(3).代入圓x2＋y2＝4得x2＋3＝4，解得x＝±1，∴A(±1，eq\r(3))或A(±1，－eq\r(3))．代入拋物線方程，得(±eq\r(3))2＝±a，∴a＝±3.∴所求拋物線方程是y2＝3x或y2＝－3x.1．頂點在原點，焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()A．y2＝eq\f(3,2)x B．y2＝3xC．y2＝6x D．y2＝－6x解析：∵拋物線的焦點為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))，∴p＝3，且拋物線開口向右，∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝6x.答案：C2．拋物線y2＝－8x上的點P到焦點的距離的最小值是()A．2 B．4C．6 D．8解析：設(shè)拋物線上的點P的坐標(biāo)為(x0，y0)，那么P點到焦點的距離d＝|x0|＋eq\f(p,2)，故dmin＝eq\f(p,2)＝2.答案：A3．邊長為1的等邊三角形OAB，O為原點，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點且過A，B的拋物線方程為()A．y2＝eq\f(\r(3),6)x B．y2＝－eq\f(\r(3),6)xC．y2＝±eq\f(\r(3),6)x D．y2＝±eq\f(\r(3),3)x解析：由題意可知，拋物線的對稱軸為x軸，當(dāng)拋物線開口向右時，設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p>0)，且A為x軸上方的點，那么易求Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(1,2)))，∴eq\f(1,4)＝eq\r(3)p.∴p＝eq\f(\r(3),12).∴拋物線方程為y2＝eq\f(\r(3),6)x.同理，當(dāng)拋物線開口向左時，拋物線方程為y2＝－eq\f(\r(3),6)x.答案：C4．AB是拋物線2x2＝y(tǒng)的焦點弦，假設(shè)|AB|＝4，那么AB的中點的縱坐標(biāo)為________．解析：設(shè)AB的中點為P(x0，y0)，分別過A，P，B三點作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′，Q，B′.由題意得|AA′|＋|BB′|＝|AB|＝4，|PQ|＝eq\f(|AA′|＋|BB′|,2)＝2.又|PQ|＝y(tǒng)0＋eq\f(1,8)，所以y0＋eq\f(1,8)＝2，解得y0＝eq\f(15,8).答案：eq\f(15,8)5．拋物線y2＝x上到其準(zhǔn)線和頂點距離相等的點的坐標(biāo)為________．解析：設(shè)所求點(x0，y0)，那么xeq\o\al(2,0)＋yeq\o\al(2,0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(1,4)))2，又yeq\o\al(2,0)＝x0，∴x0＝eq\f(1,8).∴y0＝±eq\f(\r(2),4).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，±\f(\r(2),4)))6．過拋物線y2＝4x的焦點F的弦長為36，求弦所在的直線的方程．解：∵拋物線y2＝4x的焦點為F(1,0)，∴過焦點F，垂直于x軸的弦長為4＜36.∴弦所在直線斜率存在，由題意可設(shè)弦所在的直線的斜率為k，且與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點．∴設(shè)直線方程為y＝k(x－1)．由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝eq\f(2k2＋4,k2).∴|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋2＝eq\f(2k2＋4,k2)＋2.又|AB|＝36，∴eq\f(2k2＋4,k2)＋2＝36.∴k＝±eq\f(\r(2),4).故所求直線的方程為y＝eq\f(\r(2),4)x－1或y＝－eq\f(\r(2),4)x－1.一、選擇題1．設(shè)拋物線的焦點到頂點的距離為3，那么拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離的取值范圍是()A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)解析：∵拋物線的焦點到頂點的距離為3，∴eq\f(p,2)＝3，即p＝6.又拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離的最小值為eq\f(p,2)，∴拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離的取值范圍為[3，＋∞)．答案：D2．過拋物線的焦點且垂直于其對稱軸的弦是AB，拋物線的準(zhǔn)線交x軸于點M，那么∠AMB是()A．銳角 B．直角C．鈍角 D．銳角或鈍角解析：由題意可得|AB|＝2p.又焦點到準(zhǔn)線距離|FM|＝p，F(xiàn)為AB中點，∴|FM|＝eq\f(1,2)|AB|.∴△AMB為直角三角形且∠AMB＝90°.答案：B3．拋物線y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線l交x軸于R，過拋物線上點P(4，－4)作PQ⊥l于Q，那么梯形PQRF的面積是()A．18 B．16C．14 D．12解析：由題意知PQRF為始終角梯形，其中PQ∥RF，且|PQ|＝4＋1＝5，|RF|＝2，∴SPQRF＝eq\f(5＋2,2)×4＝14.答案：C4．設(shè)M(x0，y0)為拋物線C：x2＝8y上一點，F(xiàn)為拋物線C的焦點，以F為圓心、|FM|為半徑的圓和拋物線C的準(zhǔn)線相交，那么y0的取值范圍是()A．(0,2) B．[0,2]C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)解析：圓心到拋物線準(zhǔn)線的距離為p，即4，依據(jù)只要|FM|>4即可．依據(jù)拋物線定義，|FM|＝y(tǒng)0＋2，由y0＋2>4，解得y0>2，故y0的取值范圍是(2，＋∞)．答案：C二、填空題5．以原點為頂點，x軸為對稱軸且焦點在2x－4y＋3＝0上的拋物線方程是________．解析：由題意知，拋物線的焦點為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，0))，∴拋物線方程是y2＝－6x.答案：y2＝－6x6．假設(shè)拋物線y2＝mx與橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1有一個共同的焦點，那么m＝________.解析：橢圓的焦點為(±2,0)．當(dāng)拋物線焦點為(2,0)時，m＝8，當(dāng)拋物線焦點為(－2,0)時，m＝－8.答案：±87．對于拋物線y2＝4x上任意一點Q，點P(a,0)都滿意|PQ|≥|a|，那么a的取值范圍是________．解析：設(shè)點Q的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)，y0)).由|PQ|≥|a|，得|PQ|2≥a2，即yeq\o\al(2,0)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)－a))2≥a2，整理，得yeq\o\al(2,0)(yeq\o\al(2,0)＋16－8a)≥0.∵yeq\o\al(2,0)≥0，∴yeq\o\al(2,0)＋16－8a≥0.即a≤2＋eq\f(y\o\al(2,0),8)恒成立．而2＋eq\f(y\o\al(2,0),8)的最小值為2，∴a≤2.答案：(－∞，2]8．頂點與原點O重合，準(zhǔn)線為直線x＝－eq\f(1,4)的拋物線上有兩點A(x1，y1)和B(x2，y2)，假設(shè)y1·y2＝－1，那么∠AOB的大小是________．解析：由得拋物線方程為y2＝x，因此eq\o(OA,\s\up7(→))·eq\o(OB,\s\up7(→))＝x1x2＋y1y2＝y(tǒng)eq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＋y1y2＝(－1)2＋(－1)＝0.∴eq\o(OA,\s\up7(→))⊥eq\o(OB,\s\up7(→)).∴∠AOB＝90°.答案：90°三、解答題9．假設(shè)拋物線的頂點是雙曲線16x2－9y2＝144的中心，準(zhǔn)線過雙曲線的左頂點，且垂直于坐標(biāo)軸，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：雙曲線方程16x2－9y2＝144，化為標(biāo)準(zhǔn)形式為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,16)＝1，中心為原點，左頂點為(－3,0)，故拋物線頂點在原點，準(zhǔn)線為xy2＝2px(p>0)，可得eq\f(p,2)＝3，故p＝6.因此，所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝12x.10．證明：以拋物線的焦點弦為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．證明：如圖，設(shè)拋物線方程y2＝2px(p＞0)，準(zhǔn)線為l，AB為拋物線的焦點弦，點P為AB的中點，∴P為以AB為直徑的圓的圓心，AM⊥l，BN⊥l，PQ⊥l，垂足分別為M，N，Q.那么|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AM|＋|BN|＝2|PQ|，即|PQ|＝eq\f(1,2)|AB|，所以以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切．即得證．其次課時直線與拋物線的位置關(guān)系[讀教材·填要點]直線與拋物線的位置關(guān)系設(shè)直線l：y＝kx＋m，拋物線：y2＝2px(p＞0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程：ax2＋bx＋c＝0，(1)假設(shè)a≠0，當(dāng)Δ＞0時，直線與拋物線相交，有兩個交點；當(dāng)Δ＝0時，直線與拋物線相切，有一個交點；當(dāng)Δ＜0時，直線與拋物線相離，無公共點．(2)假設(shè)a＝0，直線與拋物線有一個交點，此時直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合．[小問題·大思維]假設(shè)直線與拋物線有且只有一個公共點，那么直線與拋物線有什么樣的位置關(guān)系？提示：直線與拋物線相切時，只有一個公共點，反過來，當(dāng)只有一個公共點時，直線與拋物線相切或直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合．直線與拋物線的位置關(guān)系假設(shè)直線l：y＝(a＋1)x－1與曲線C：y2＝ax恰好有一個公共點，試求實數(shù)a的取值集合．[自主解答]由于直線l與曲線C恰好有一個公共點，所以方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝a＋1x－1，,y2＝ax))有唯一一組實數(shù)解．消去y，得[(a＋1)x－1]2＝ax，整理得(a＋1)2x2－(3a＋2)x＋1＝0.①(1)當(dāng)a＋1＝0，即a＝－1時，方程①是關(guān)于x的一元一次方程，解得x＝－1，這時，原方程組有唯一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(2)當(dāng)a＋1≠0，即a≠－1時，方程①是關(guān)于x的一元二次方程．令Δ＝(3a＋2)2－4(a＋1)2＝a(5a＋4)＝0，解得a＝0或a＝－eq\f(4,5).當(dāng)a＝0時，原方程組有唯一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝0，))當(dāng)a＝－eq\f(4,5)時，原方程組有唯一解eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－5.,y＝－2.))綜上，實數(shù)a的取值集合是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(4,5)，0)).假設(shè)將“曲線C：y2＝ax恰有一個公共點〞改為“拋物線C：y2＝ax(a≠0)相交〞，如何求解？解：列方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝a＋1x－1，,y2＝axa≠0，))消去x并化簡，得(a＋1)y2－ay－a＝0.(*)①當(dāng)a＋1＝0即a＝－1時：方程(*)化為y＋1＝0，∴y＝－1.∴方程組的解為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1，))故直線與拋物線相交．②當(dāng)a＋1≠0即a≠－1時，由Δ＝(－a)2＋4a(a＋1)≥0，得5a2＋4a≥0，結(jié)合a≠0，解得a≤－eq\f(4,5)或a>0.綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(4,5)))∪(0，＋∞)．直線與拋物線的位置關(guān)系有三種，即相交、相切、相離，這三種位置關(guān)系可通過代數(shù)法借助判別式推斷．當(dāng)直線與拋物線的對稱軸平行或重合時直線與拋物線也是相交，此時只有一個交點．1.如圖，直線l：y＝x＋b與拋物線C：x2＝4y相切于點A.(1)求實數(shù)b的值；(2)求以點A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程．解：(1)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,x2＝4y))得x2－4x－4b＝0，(*)由于直線l與拋物線C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0.解得b＝－1.(2)由(1)可知b＝－1，故方程(*)為x2－4x＋4＝0.解得x＝2，代入x2＝4y，得y＝1，故點A(2,1)．由于圓A與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以圓A的半徑r就等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線y＝－1的距離．即r＝|1－(－1)|＝2.所以圓A的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.弦長、中點弦問題頂點在原點，焦點在y軸上的拋物線被直線x－2y－1＝0截得的弦長為eq\r(15)，求此拋物線方程．[自主解答]設(shè)拋物線方程為：x2＝ay(a≠0)，由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＝ay，,x－2y－1＝0.))消去y得：2x2－ax＋a＝0，∵直線與拋物線有兩個交點，∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8.設(shè)兩交點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝eq\f(a,2)，x1x2＝eq\f(a,2)，y1－y2＝eq\f(1,2)(x1－x2)，弦長為|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(\f(5,4)x1－x22)＝eq\r(\f(5,4)[x1＋x22－4x1x2])＝eq\f(1,4)eq\r(5a2－8a).∵|AB|＝eq\r(15)，∴eq\f(1,4)eq\r(5a2－8a)＝eq\r(15)，即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12，∴所求拋物線方程為：x2＝－4y或x2＝12y.(1)討論直線與拋物線的弦長問題，通常不求弦的端點坐標(biāo)，而是直接利用弦長公式|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|，另外要留意斜率不存在的狀況，當(dāng)弦過焦點時可利用焦點弦公式求解．(2)在直線與拋物線的問題中常常遇到中點弦的問題，處理的根本方法是點差法或利用根與系數(shù)的關(guān)系求出中點弦所在直線的斜率．2．過點Q(4,1)作拋物線y2＝8x的弦AB，假設(shè)弦恰被Q平分，求AB所在直線方程．解：設(shè)以Q為中點的弦AB端點坐標(biāo)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝8x1，①,y\o\al(2,2)＝8x2，②,x1＋x2＝8，③,y1＋y2＝2，④))k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)，⑤①－②得(y1＋y2)(y1－y2)＝8(x1－x2)．將④代入，得y1－y2＝4(x1－x2)，4＝eq\f(y1－y2,x1－x2).∴k＝4.閱歷證，此時直線與拋物線相交．∴所求弦AB所在直線方程為y－1＝4(x－4)，即4x－y－15＝0.拋物線中的定點、定值問題A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點，并滿意OA⊥OB，求證：(1)A，B兩點的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積，分別都是一個定值；(2)直線AB經(jīng)過一個定點．[自主解答](1)由于AB斜率不為0，設(shè)直線AB方程為my＝x＋b，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(my＝x＋b，,y2＝2px，))消去x，得y2－2pmy＋2pb＝0.由Δ＝(－2pm)2－8pb>0，又∵y1＋y2＝2pm，y1y2＝2pb，OA⊥OB，∴x1·x2＋y1·y2＝0.∴eq\f(y\o\al(2,1)·y\o\al(2,2),4p2)＋y1·y2＝0.∴b2＋2pb＝0.∴b＋2p＝0.∴b＝－2p.∴y1y2＝－4p2，x1·x2＝b2＝4p2.所以A，B兩點的橫坐標(biāo)之積、縱坐標(biāo)之積，分別是4p2和－4p2；(2)直線AB的方程為my＝x－2p，所以AB過定點(2p,0)．直線與拋物線相交問題中有許多的定值問題，假如該定值是個待求的未知量，那么可以利用特別位置(如斜率不存在、斜率等于0等)找出該定值，然后證明該定值即為所求．3．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作直線l交拋物線于A，B，求證：yA·yB＝－p2.證明：①斜率不存在時y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2.②斜率存在時，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))消去x得，y＝k·eq\f(y2,2p)－eq\f(kp,2)，∴y1·y2＝eq\f(－\f(kp,2),\f(k,2p))＝－p2.解題高手多解題條條大路通羅馬，換一個思路試一試拋物線y2＝x上，存在P，Q兩點，并且P，Q關(guān)于直線y－1＝k(x－1)對稱，求k的取值范圍．[解]法一：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝x1，,y\o\al(2,2)＝x2))?(y1－y2)(y1＋y2)＝x1－x2.又∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1－y2＝－\f(1,k)x1－x2，,\f(y1＋y2,2)－1＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)－1))，))∴y1＋y2＝－k.∴eq\f(－k,2)－1＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,1)＋y\o\al(2,2),2)－1))＝eq\f(k,2)[(y1＋y2)2－2y1y2－2]．∴－k－2＝k[k2－2y1(－k－y1)－2]．∴2kyeq\o\al(2,1)＋2k2y1＋k3－k＋2＝0.∴Δ＝4k4－8k(k3－k＋2)>0.∴k(－k3＋2k－4)>0.∴k(k3－2k＋4)<0.∴k(k＋2)(k2－2k＋2)<0.∴k∈(－2,0)．法二：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，且PQ的中點M(x0，y0)，由題意可知直線y－1＝k(x－1)的斜率存在，且k≠0.不妨設(shè)直線PQ的方程為x＋ky＋m＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋ky＋m＝0，,y2＝x，))得y2＋ky＋m＝0.∴y1＋y2＝－k.即y0＝－eq\f(k,2)，x0＝eq\f(1,2)－eq\f(1,k).又∵中點M(x0，y0)在拋物線的內(nèi)部，∴yeq\o\al(2,0)<x0，∴eq\f(k3－2k＋4,k)<0，即eq\f(k＋2k2－2k＋2,k)<0，∴k∈(－2,0)．1．假設(shè)直線y＝2x＋eq\f(p,2)與拋物線x2＝2py(p>0)相交于A，B兩點，那么|AB|等于()A．5p B．10pC．11p D．12p解析：將直線方程代入拋物線方程，可得x2－4px－p2A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝4p，∴y1＋y2＝9p.∵直線過拋物線的焦點，∴|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝10p.答案：B2．過點(1,0)作斜率為－2的直線，與拋物線y2＝8x交于A，B兩點，那么弦AB的長為()A．2eq\r(13) B．2eq\r(15)C．2eq\r(17) D．2eq\r(19)解析：不妨設(shè)A，B兩點坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，由直線AB斜率為－2，且過點(1,0)得直線AB方程為y＝－2(x－1)，代入拋物線方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，整理得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝1，∴|AB|＝eq\r(1＋k2|x1－x2|)＝eq\r(5[x1＋x22－4x1x2])＝2eq\r(15).答案：B3．過點(0,1)作直線，使它與拋物線y2＝2x僅有一個公共點，這樣的直線有()A．1條 B．2條C．3條 D．4條解析：斜率不存在時，直線x＝0符合題意，斜率存在時，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝2x，))得k2x2＋(2k－2)x＋1＝0，k＝0時，符合題意，k≠0時，由Δ＝0得k＝eq\f(1,2).答案：C4．△OAB為等腰直角三角形，其中|OA|＝|OB|，假設(shè)A，B兩點在拋物線y＝eq\f(1,4)x2上，那么△OAB的周長是________．解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，x2<0<x1，由|OA|＝|OB|及拋物線的對稱性知AB⊥y軸，y1＝x1，又y1＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,1)，所以x1＝y(tǒng)1＝4，故|OA|＝|OB|＝4eq\r(2)，|AB|＝8，△OAB的周長為8＋8eq\r(2).答案：8＋8eq\r(2)5．拋物線y2＝2px(p＞0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，假設(shè)線段AB的中點的縱坐標(biāo)為2，那么該拋物線的準(zhǔn)線方程為________．解析：拋物線的焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))，所以過焦點且斜率為1的直線方程為y＝x－eq\f(p,2)，即x＝y(tǒng)＋eq\f(p,2)，將其代入得：y2＝2px＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(p,2)))＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以eq\f(y1＋y2,2)＝p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x，準(zhǔn)線方程為x＝－1.答案：x＝－16．直線y＝kx－2交拋物線y2＝8x于A，B兩點，假設(shè)線段AB中點的橫坐標(biāo)等于2，求弦AB的長．解：將y＝kx－2代入y2＝8x中變形整理得：k2x2－(4k＋8)x＋4＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k≠0，,4k＋82－16k2>0))?k>－1且k≠0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意得：x1＋x2＝eq\f(4k＋8,k2)＝4?k2＝k＋2?k2－k－2＝0.解得k＝2或k＝－1(舍去)．由弦長公式得：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\f(\r(64k＋64),k2)＝eq\r(5)×eq\f(\r(192),4)＝2eq\r(15).一、選擇題1．過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點作一條直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，那么eq\f(y1y2,x1x2)的值為()A．4 B．－4C．p2 D．－p2解析：取特別位置，當(dāng)AB⊥x軸時，Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，p))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，－p)).∴eq\f(y1y2,x1x2)＝－4.答案：B2．設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q，假設(shè)過點Q的直線l與拋物線有公共點，那么直線l的斜率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B．[－2,2]C．[－1,1] D．[－4,4]解析：準(zhǔn)線x＝－2，Q(－2,0)，設(shè)l：y＝k(x＋2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋2，,y2＝8x，))得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0.當(dāng)k＝0時，x＝0，即交點為(0,0)，當(dāng)k≠0時，Δ≥0，－1≤k＜0或0＜k≤1.綜上，k的取值范圍是[－1,1]．答案：C3．雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左頂點與拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點的距離為4，且雙曲線的一條漸近線與拋物線的準(zhǔn)線的交點坐標(biāo)為(－2，－1)，那么雙曲線的焦距為()A．2eq\r(3) B．2eq\r(5)C．4eq\r(3) D．4eq\r(5)解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(b,a)x，,x＝－\f(p,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(bp,2a)，,x＝－\f(p,2).))由題得知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(bp,2a)＝－1，,－\f(p,2)＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝\f(1,2)，,p＝4.))又知eq\f(p,2)＋a＝4，故a＝2，b＝1，c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(5)，∴焦距2c＝2eq\r(5).答案：B4．設(shè)定點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(10,3)))與拋物線y2＝2x上的點P的距離為d1，P到拋物線準(zhǔn)線l的距離為d2，那么d1＋d2取最小值時，P點的坐標(biāo)為()A．(0,0) B．(1，eq\r(2))C．(2,2) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,8)，－\f(1,2)))解析：連接PF，那么d1＋d2＝|PM|＋|PF|≥|MF|，知d1＋d2的最小值為|MF|，當(dāng)且僅當(dāng)M，P，F(xiàn)三點共線時，等號成立，而直線MF的方程為y＝eq\f(4,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，與y2＝2x聯(lián)立可得x＝2，y＝2.答案：C二、填空題5．拋物線y2＝4x，過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點，那么yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)的最小值是________．解析：明顯x1>0，x2yeq\o\al(2,1)＝4x1，yeq\o\al(2,2)＝4x2，所以yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＝4(x1＋x2)≥8eq\r(x1x2)，當(dāng)且僅當(dāng)x1＝x2＝4時取等號，所以yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,1)的最小值為32.答案：326．過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作斜率為45°的直線交拋物線于A，B兩點，假設(shè)線段AB的長為8，那么p＝________.解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由條件可知直線AB的方程為y＝x－eq\f(p,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－\f(p,2)，,y2＝2px，))得x2－px＋eq\f(p2,4)＝2px.即x2－3px＋eq\f(p2,4)＝0，又|AB|＝8，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(p,2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(p,2)))＝8.∴x1＋x2＝8－p.即3p＝8－p，∴p＝2.答案：27．直線y＝x－3與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，過A，B兩點向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為P，Q，那么梯形APQB的面積為________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝4x，,y＝x－3))消去y得x2－10x＋9＝0，得x＝1或9，即eq\b\lc\{\rc\