高中數(shù)學(xué)五學(xué)案：2．2.2　等差數(shù)列的通項公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。2。2等差數(shù)列的通項公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1。掌握等差數(shù)列通項公式的推導(dǎo)及應(yīng)用。2。能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的重要性質(zhì).3。能運用等差數(shù)列的性質(zhì)解決有關(guān)問題．知識點一等差數(shù)列的通項公式思考等差數(shù)列｛an}中，首項為a1，公差為d，如何用a1，d表示an?梳理一般地，an＝a1＋(n－1）d稱為等差數(shù)列{an}的通項公式．知識點二等差數(shù)列通項公式的幾何意義思考已知等差數(shù)列{an｝的首項a1和公差d能表示出通項公式an＝a1＋（n－1）d，如果已知第m項am和公差d，又如何表示通項公式an?梳理等差數(shù)列通項公式可變形為an＝dn＋(a1－d),其圖象為一條直線上孤立的一系列點，（1,a1）,（m,am）,（n，an)都是這條直線上的點．d為直線的斜率,故兩點(1,a1)，（n，an）連線的斜率d＝eq\f（an－a1，n－1).當(dāng)兩點為(n，an),(m，am）時，有d＝eq\f（an－am,n－m)。知識點三等差數(shù)列的性質(zhì)思考還記得高斯怎么計算1＋2＋3＋…＋100的嗎？梳理在有窮等差數(shù)列中,與首末兩項“等距離"的兩項之和等于首項與末項的和．即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…。注意到上式中的序號1＋n＝2＋（n－1）＝…，有：在等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q（m，n，p,q∈N*），則am＋an＝________.特別地，若m＋n＝2p,則an＋am＝________。類型一求等差數(shù)列的通項公式例1甲蟲是行動較快的昆蟲之一，下表記錄了某種類型的甲蟲的爬行速度：時間t（s)123…？…60距離s（cm）9。819。629.4…49…?(1)你能建立一個等差數(shù)列的模型，表示甲蟲的爬行距離和時間之間的關(guān)系嗎？(2)利用建立的模型計算，甲蟲1min能爬多遠(yuǎn)？它爬行49cm需要多長時間?反思與感悟由于an＝am＋（n－m)d，要求通項公式，只需求出該數(shù)列的任意一項和公差．跟蹤訓(xùn)練1已知等差數(shù)列｛an}：3，7，11,15,…。(1)135,4m＋19（m∈N*)是{an}中的項嗎？試說明理由；（2)若ap,aq(p，q∈N＊）是數(shù)列{an｝中的項,則2ap＋3aq是數(shù)列｛an｝中的項嗎?并說明你的理由．類型二等差數(shù)列通項公式及推廣形式的應(yīng)用命題角度1列方程（組)求基本量例2在等差數(shù)列｛an}中,已知a2＝5，a8＝17,求數(shù)列的公差及通項公式．反思與感悟把已知條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1,d的方程組求解，是一種常用思想,稱為方程思想．靈活利用等差數(shù)列的性質(zhì),可以減少運算量．跟蹤訓(xùn)練2等差數(shù)列｛an}為遞減數(shù)列，且a2＋a4＝16，a1a5＝28，求數(shù)列{an｝的通項公式．命題角度2等差數(shù)列的通項公式與一次函數(shù)關(guān)系例3已知數(shù)列｛an｝的通項公式為an＝pn＋q，其中p,q為常數(shù)，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？若是，首項和公差分別是多少？反思與感悟從通項公式代數(shù)特點上看,an＝kn＋b(k,b為常數(shù)，n∈N＊）?｛an｝是等差數(shù)列．其中公差為k.借助這一性質(zhì)可以迅速判斷某數(shù)列是否為等差數(shù)列,但不宜用來證明．證明要用定義：an＋1－an＝d，n∈N*.跟蹤訓(xùn)練3若｛an｝是等差數(shù)列,下列數(shù)列中仍為等差數(shù)列的有________個．①｛|an｜}；②｛an＋1－an}；③{pan＋q｝（p，q為常數(shù)）；④｛2an＋n｝．類型三等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用例4已知等差數(shù)列{an｝中,a1＋a4＋a7＝15，a2a4a6＝45，求此數(shù)列的通項公式．引申探究1．在本例中，不難驗證a1＋a4＋a7＝a2＋a4＋a6，那么，在等差數(shù)列｛an｝中，若m＋n＋p＝q＋r＋s,m，n,p，q，r，s∈N＊，是否有am＋an＋ap＝aq＋ar＋as？2．在等差數(shù)列｛an｝中，已知a3＋a8＝10,則3a5＋a7＝________。反思與感悟解決等差數(shù)列運算問題的一般方法:一是靈活運用等差數(shù)列｛an}的性質(zhì)；二是利用通項公式,轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的首項與公差求解，屬于通項方法；或者兼而有之．這些方法都運用了整體代換與方程的思想．跟蹤訓(xùn)練4在等差數(shù)列{an}中，已知a1＋a4＋a7＝39，a2＋a5＋a8＝33，求a3＋a6＋a9的值．1．在等差數(shù)列｛an}中，已知a3＝10，a8＝－20，則公差d＝________。2．在等差數(shù)列｛an｝中，已知a4＝2,a8＝14,則a15＝________.3．等差數(shù)列{an}中，a4＋a5＝15，a7＝12，則a2＝________.4．下列命題中正確的是________．①若a，b,c成等差數(shù)列，則a2，b2，c2成等差數(shù)列；②若a，b,c成等差數(shù)列，則log2a，log2b，log2c成等差數(shù)列;③若a，b，c成等差數(shù)列,則a＋2，b＋2，c＋2成等差數(shù)列；④若a,b,c成等差數(shù)列，則2a,2b,2c成等差數(shù)列．1．等差數(shù)列｛an}中，每隔相同的項抽出來的項按照原來的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列．2．在等差數(shù)列｛an}中，首項a1與公差d是兩個最基本的元素,有關(guān)等差數(shù)列的問題,如果條件與結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可根據(jù)a1,d的關(guān)系列方程組求解，但是，要注意公式的變形及整體計算，以減少計算量．

答案精析問題導(dǎo)學(xué)知識點一思考an＝a1＋（a2－a1)＋(a3－a2）＋…＋（an－an－1）＝a1＋d＋d＋d＋…＋eq\o(d,\s\do4（n－1個）)＝a1＋(n－1)d.知識點二思考設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，則am＝a1＋（m－1）d，變形得a1＝am－(m－1)d,則an＝a1＋(n－1)d＝am－(m－1）d＋（n－1）d＝am＋(n－m)d.知識點三思考利用1＋100＝2＋99＝…。梳理ap＋aq2ap題型探究例1解（1）由題目表中數(shù)據(jù)可知，該數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差都是常數(shù)9。8，所以該模型是一個等差數(shù)列模型．因為a1＝9.8,d＝9。8，所以甲蟲的爬行距離s與時間t的關(guān)系是s＝9.8t.(2)當(dāng)t＝1min＝60s時，s＝9。8t＝9。8×60＝588（cm)．當(dāng)s＝49cm時，t＝eq\f（s,9。8）＝eq\f（49,9.8)＝5(s)．跟蹤訓(xùn)練1解a1＝3，d＝4，an＝a1＋(n－1）d＝4n－1。（1)令an＝4n－1＝135,∴n＝34,∴135是數(shù)列｛an}中的第34項．令an＝4n－1＝4m＋19，則n＝m＋5(m,n∈N*）．∴4m＋19是數(shù)列｛an｝中的第m＋5項．(2)∵ap，aq是數(shù)列{an}中的項，∴ap＝4p－1，aq＝4q－1.∴2ap＋3aq＝2(4p－1）＋3(4q－1)＝8p＋12q－5＝4（2p＋3q－1）－1,其中2p＋3q－1∈N*,∴2ap＋3aq是數(shù)列｛an｝中的第2p＋3q－1項．例2解方法一設(shè)公差為d，則eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝a1＋d＝5，，a8＝a1＋7d＝17,)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a1＝3,，d＝2，）)所以an＝a1＋（n－1)d＝3＋(n－1）×2＝2n＋1。方法二因為a8＝a2＋(8－2)d，所以17＝5＋6d，解得d＝2.又因為an＝a2＋（n－2）d，所以an＝5＋(n－2）×2＝2n＋1.跟蹤訓(xùn)練2解a2＋a4＝a1＋a5＝16，所以eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a1＋a5＝16，，a1a5＝28，））又a1>a5，故a1＝14,a5＝2，d＝－3，故an＝14－3（n－1）＝17－3n.例3解取數(shù)列｛an｝中任意相鄰兩項an和an－1（n>1）,求差得an－an－1＝（pn＋q)－[p（n－1）＋q]＝pn＋q－(pn－p＋q)＝p。它是一個與n無關(guān)的常數(shù)，所以｛an}是等差數(shù)列．由于an＝pn＋q＝q＋p＋（n－1)p，所以首項a1＝p＋q,公差d＝p。跟蹤訓(xùn)練33例4解方法一因為a1＋a7＝2a4,所以a1＋a4＋a7＝3a4＝15，即a4＝5。又因為a2a4a6＝45，所以a2a6＝9，即(a4－2d)（a4＋2d）＝9，(5－2d)(5＋2d)＝9，解得d＝±2。若d＝2，an＝a4＋（n－4）d＝2n－3；若d＝－2，an＝a4＋（n－4)d＝13－2n。方法二設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則由a1＋a4＋a7＝15，得a1＋a1＋3d＋a1＋6d＝15，即a1＋3d＝5， ①由a2a4a6＝45，得（a1＋d）(a1＋3d)(a1＋5d)＝45，將①代入上式，得(a1＋d）×5×(5＋2d)＝45， 即(a1＋d）×(5＋2d）＝9， ②解①，②組成的方程組，得a1＝－1，d＝2或a1＝11，d＝－2，所以an＝－1＋2(n－1)＝2n－3或an＝11－2(n－1）＝－2n＋13。引申探究1．解設(shè)公差為d，則am＝a1＋（m－1)d,an＝a1＋（n－1）d，ap＝a1＋（p－1）d，aq＝a1＋(q－1)d，ar＝a1＋(r－1）d,as＝a1＋(s－1）d，∴am＋an＋ap＝3a1＋(m＋n＋p－3）d,aq＋ar＋as＝3a1＋(q＋r＋s－3)d，∵m＋n＋p＝q＋r＋s,∴am＋an＋ap＝aq＋ar＋as.2．20解析∵a3＋a8＝10，∴a3＋a3＋a8＋a8＝20?！?＋3＋8＋8＝5＋5＋5＋7，∴a3＋a3＋a8＋a8＝a5＋a5＋a5＋a7,即3a5＋a7＝2(a3＋a8)＝20。跟蹤訓(xùn)練4解∵(a2＋a5＋a8）－（a1＋a4＋a7