連續(xù)型隨機變量的分布

連續(xù)型隨機變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型的隨機變量,不能象離散型隨機變量那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.

下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機變量的描述方法.連續(xù)型隨機變量的分布,使得對任意,有

對于隨機變量X,如果存在非負可積函數(shù)f(x)

,x

則稱X為連續(xù)型隨機變量，稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度或密度函數(shù).(II)連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數(shù)的定義(III)概率密度函數(shù)的性質(zhì)1o2o這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)

f(x)是否為某隨機變量X的概率密度函數(shù)的充要條件.

f(x)xo面積為1

故

X的密度f(x)

在x

這一點的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當于線密度.

若x是f(x)的連續(xù)點，則：=f(x)3.對f(x)的進一步理解:

要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度.

f(x)xo4.連續(xù)型隨機變量取任一指定值的概率為0.即：a為任一指定值這是因為由此得，1)對連續(xù)型隨機變量X,有2)由P(X=a)=0可推知而{X=a}并非不可能事件,可見，由P(A)=0,不能推出并非必然事件由P(B)=1,不能推出

B=三、連續(xù)型隨機變量的概率分布⒈定義:對于隨機變量X,若存在一個非負可積函數(shù)f(x),－∞<x<＋∞,

使對于任意兩個實數(shù)a，b(a<b)都有則稱X為連續(xù)型隨機變量，稱f(x)為X的概率分布密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù)。簡記為X~f(x).2.性質(zhì):(1)f(x)≥0,－∞<x<＋∞;(2)注意滿足性質(zhì)(1)(2)的函數(shù)都可以看為某個隨機變量的概率密度.例滿足：(1)f(x)≥0;(2)所以f（x）是一個概率密度函數(shù)。例6.設(shè)隨機變量X~求(1)A;(2)P(-1/2<X<1/2);(3)P(-3<X<2)解:(1)由性質(zhì)2得:即Aπ=1,所以A=1/π(2)P(-1/2<X<1/2)==1/π(π/6+π/6)=1/3(3)P(-3<X<2)==1思考:P(-1/2<X<2)=?是某一個隨機變量X的密度函數(shù)。1.證明課堂練習2.設(shè)隨機變量X~且P(1<X<3/2)=3/8,求(1)a,b;(2)P(1/2<X<3/2)(a>0)a=-1,b=2指數(shù)分布稱隨機變量X服從參數(shù)為λ的指數(shù)分布,記為X~E(λ)(λ>0),定義:若練習:驗證是否一個概率密度函數(shù).均勻分布記為X~U(a,b)稱隨機變量X服從參數(shù)為μ,σ2的正態(tài)分布,σ>0，μ是任意實數(shù)，若正態(tài)分布定義:性質(zhì):(1)(2)概率密度圖形是以x=μ為對稱軸的R上的連續(xù)函數(shù),f(x)x0μ在x=μ點f(x)取得最大值;(3)若σ固定,μ改變,密度曲線隨對稱軸左右移動,形狀保持不變;若μ固定,σ改變,σ越大,曲線越平坦,σ越小,曲線越陡峭.σ小σ大一般正態(tài)分布X~N(μ,σ2)例8.設(shè)隨機變量

X~U(2,5).現(xiàn)在對X進行三次獨立觀測，試求至少有兩次觀測值大于3的概率。解:由題意得:記