矩陣分析及繪圖

矩陣分析及繪圖第一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日4.1特殊矩陣1、通用特殊矩陣zeros(m,n)m行n列的零矩陣;ones(m,n)m行n列的元素全為1的陣;eye(n)n階單位矩陣;rand(m,n)m行n列[0,1]上均勻分布隨機(jī)數(shù)矩陣randn(m,n)均值為0，方差為1的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機(jī)矩陣?yán)航?*3，3*2的和矩陣A同樣大小的零矩陣Zero(3,3)Zero(3,2)Zero(size(A))第二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日例(1)在區(qū)間[20,50]內(nèi)均勻分布的5階隨機(jī)矩陣（2）均值為0.6，方差為0.1的5階正態(tài)分布隨機(jī)矩陣任意[a,b]區(qū)間上均勻分布的隨機(jī)數(shù)：均值為a，方差為b^2的隨機(jī)數(shù)：此外，常用的函數(shù)還有reshape(A,m,n)，它在矩陣總元素保持不變的前提下，將矩陣A重新排成m×n的二維矩陣。第三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日2、用于專門學(xué)科的特殊矩陣魔方矩陣

魔方矩陣有一個(gè)有趣的性質(zhì)，其每行、每列及兩條對(duì)角線上的元素和都相等。對(duì)于n階魔方陣，其元素由1,2,3,…,n2共n2個(gè)整數(shù)組成。MATLAB提供了求魔方矩陣的函數(shù)magic(n)，其功能是生成一個(gè)n階魔方陣。例：將101~125等25個(gè)數(shù)填入一個(gè)5行5列的表格中，使其每行每列及對(duì)角線的和均為565。觀察magic(5)，其元素為1~25，每行每列及對(duì)角線的和均為65第四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日4.2矩陣的結(jié)構(gòu)變換1、對(duì)角陣與三角陣（1）對(duì)角陣

只有對(duì)角線上有非0元素的矩陣稱為對(duì)角矩陣，對(duì)角線上的元素相等的對(duì)角矩陣稱為數(shù)量矩陣，對(duì)角線上的元素都為1的對(duì)角矩陣稱為單位矩陣。提取矩陣的對(duì)角線元素

設(shè)A為m×n矩陣，diag(A)函數(shù)用于提取矩陣A主對(duì)角線元素，產(chǎn)生一個(gè)具有min(m,n)個(gè)元素的列向量。

diag(A)函數(shù)還有一種形式diag(A,k)，其功能是提取第k條對(duì)角線的元素。構(gòu)造對(duì)角矩陣

設(shè)V為具有m個(gè)元素的向量，diag(V)將產(chǎn)生一個(gè)m×m對(duì)角矩陣，其主對(duì)角線元素即為向量V的元素。

diag(V)函數(shù)也有另一種形式diag(V,k)，其功能是產(chǎn)生一個(gè)n×n(n=m+k)對(duì)角陣，其第k條對(duì)角線的元素即為向量V的元素。第五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日例先建立5×5矩陣A，然后將A的第一行元素乘以1，第二行乘以2，…，第五行乘以5。第六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日（2）三角陣

三角陣又進(jìn)一步分為上三角陣和下三角陣，所謂上三角陣，即矩陣的對(duì)角線以下的元素全為0的一種矩陣，而下三角陣則是對(duì)角線以上的元素全為0的一種矩陣。上三角矩陣

求矩陣A的上三角陣的MATLAB函數(shù)是triu(A)。

triu(A)函數(shù)也有另一種形式triu(A,k)，其功能是求矩陣A的第k條對(duì)角線以上的元素。下三角矩陣

在MATLAB中，提取矩陣A的下三角矩陣的函數(shù)是tril(A)和tril(A,k)，其用法與提取上三角矩陣的函數(shù)triu(A)和triu(A,k)完全相同。第七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日>>triu(A)ans=123056009>>triu(A,1)ans=023006000>>triu(A,-1)ans=123456089>>tril(A,-1)ans=000400780>>tril(A,1)ans=120456789>>A=[123;456;789];第八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日矩陣的轉(zhuǎn)置與旋轉(zhuǎn)（1）矩陣的轉(zhuǎn)置

轉(zhuǎn)置運(yùn)算符是單撇號(hào)(‘)。（2）矩陣的旋轉(zhuǎn)

利用函數(shù)rot90(A,k)將矩陣A旋轉(zhuǎn)90o的k倍，當(dāng)k為1時(shí)可省略。第九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日（3）矩陣的左右翻轉(zhuǎn)

對(duì)矩陣實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)是將原矩陣的第一列和最后一列調(diào)換，第二列和倒數(shù)第二列調(diào)換，…，依次類推。MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施左右翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是fliplr(A)。（4）矩陣的上下翻轉(zhuǎn)

MATLAB對(duì)矩陣A實(shí)施上下翻轉(zhuǎn)的函數(shù)是flipud(A)。第十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日4.3矩陣的逆1．矩陣的逆

對(duì)于一個(gè)方陣A，如果存在一個(gè)與其同階的方陣B，使得：

A·B=B·A=I(I為單位矩陣)則稱B為A的逆矩陣，當(dāng)然，A也是B的逆矩陣。

求一個(gè)矩陣的逆是一件非常煩瑣的工作，容易出錯(cuò)，但在MATLAB中，求一個(gè)矩陣的逆非常容易。求方陣A的逆矩陣可調(diào)用函數(shù)inv(A)。

例求方陣A的逆矩陣，并驗(yàn)證其互逆。第十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日例：用求逆矩陣的方法解線性方程組第十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日4.4矩陣求值1．方陣的行列式值

把一個(gè)方陣看作一個(gè)行列式，并對(duì)其按行列式的規(guī)則求值，這個(gè)值就稱為矩陣所對(duì)應(yīng)的行列式的值。在MATLAB中，求方陣A所對(duì)應(yīng)的行列式的值的函數(shù)是det(A)。第十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日2．矩陣的秩和跡

（1）矩陣的秩

矩陣線性無關(guān)的行數(shù)與列數(shù)稱為矩陣的秩。在MATLAB中，求矩陣秩的函數(shù)是rank(A)。

（2）矩陣的跡

矩陣的跡等于矩陣的對(duì)角線元素之和，也等于矩陣的特征值之和。在MATLAB中，求矩陣的跡的函數(shù)是trace(A)。第十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日3．矩陣的特征值與特征向量

在MATLAB中，計(jì)算矩陣A的特征值和特征向量的函數(shù)是eig(A)，常用的調(diào)用格式有3種：

(1)E=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成向量E。

(2)[V,D]=eig(A)：求矩陣A的全部特征值，構(gòu)成對(duì)角陣D，并求A的特征向量構(gòu)成V的列向量。例用求特征值的方法解方程。3x5-7x4+5x2+2x-18=0

p=[3,-7,0,5,2,-18];

A=compan(p);%求伴隨矩陣A

x1=eig(A)%求A的特征值

x2=roots(p)%直接求多項(xiàng)式p的零點(diǎn)第十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日第十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日第十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日第十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日第十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日第5章MATLAB繪圖第二十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日5.1.1繪制單根二維曲線plot函數(shù)的基本調(diào)用格式為：

plot(x,y)5.1二維數(shù)據(jù)曲線圖其中x和y為長(zhǎng)度相同的向量，分別用于存儲(chǔ)x坐標(biāo)和y坐標(biāo)數(shù)據(jù)。例5-1

在0≤x≤2區(qū)間內(nèi)，繪制曲線

y=2e-0.5xcos(4πx)程序如下：x=0:pi/100:2*pi;y=2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x);plot(x,y)第二十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日例5-2繪制曲線。程序如下：t=0:0.1:2*pi;x=t.*sin(3*t);y=t.*sin(t).*sin(t);plot(x,y);plot函數(shù)最簡(jiǎn)單的調(diào)用格式是只包含一個(gè)輸入?yún)?shù)：

plot(x)

在這種情況下，當(dāng)x是實(shí)向量時(shí)，以該向量元素的下標(biāo)為橫坐標(biāo)，元素值為縱坐標(biāo)畫出一條連續(xù)曲線，這實(shí)際上是繪制折線圖。第二十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日1．plot函數(shù)的輸入?yún)?shù)是矩陣形式

(1)當(dāng)x是向量，y是有一維與x同維的矩陣時(shí)，則繪制出多根不同顏色的曲線。曲線條數(shù)等于y矩陣的另一維數(shù)，x被作為這些曲線共同的橫坐標(biāo)。5.1.2繪制多根二維曲線>>x=[123];>>y=[123;456;789];>>plot(x,y);第二十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日(2)當(dāng)x,y是同維矩陣時(shí)，則以x,y對(duì)應(yīng)列元素為橫、縱坐標(biāo)分別繪制曲線，曲線條數(shù)等于矩陣的列數(shù)。

(3)對(duì)只包含一個(gè)輸入?yún)?shù)的plot函數(shù)，當(dāng)輸入?yún)?shù)是實(shí)矩陣時(shí)，則按列繪制每列元素值相對(duì)其下標(biāo)的曲線，曲線條數(shù)等于輸入?yún)?shù)矩陣的列數(shù)。>>x=[123;456;789];>>y=[789;123;456];>>plot(x,y);>>x=[123;456;789];>>plot(x,y);第二十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日調(diào)用格式為：

plot(x1,y1,x2,y2,…,xn,yn)當(dāng)輸入?yún)?shù)都為向量時(shí)，x1和y1，x2和y2，…，xn和yn分別組成一組向量對(duì)，每一組向量對(duì)的長(zhǎng)度可以不同。每一向量對(duì)可以繪制出一條曲線，這樣可以在同一坐標(biāo)內(nèi)繪制出多條曲線。2．含多個(gè)輸入?yún)?shù)的plot函數(shù)>>x1=linspace(0,2*pi,100);>>y1=sin(x1);>>x2=linspace(0,3*pi,70);>>y2=1+sin(x2);>>plot(x1,y1,x2,y2)第二十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日(2)當(dāng)輸入?yún)?shù)有矩陣形式時(shí)，配對(duì)的x,y按對(duì)應(yīng)列元素為橫、縱坐標(biāo)分別繪制曲線，曲線條數(shù)等于矩陣的列數(shù)。>>x1=linspace(0,2*pi,100);>>y1=sin(x1);>>x2=linspace(0,3*pi,100);>>y2=1+sin(x2);>>x3=[x1;x2]';>>y3=[y1+2;y2+2]';>>plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3)第二十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日3．具有兩個(gè)縱坐標(biāo)標(biāo)度的圖形在MATLAB中，如果需要繪制出具有不同縱坐標(biāo)標(biāo)度的兩個(gè)圖形，可以使用plotyy繪圖函數(shù)。調(diào)用格式為：

plotyy(x1,y1,x2,y2)其中x1,y1對(duì)應(yīng)一條曲線，x2,y2對(duì)應(yīng)另一條曲線。橫坐標(biāo)的標(biāo)度相同，縱坐標(biāo)有兩個(gè)，左縱坐標(biāo)用于x1,y1數(shù)據(jù)對(duì)，右縱坐標(biāo)用于x2,y2數(shù)據(jù)對(duì)。第二十七頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日程序如下：x=0:pi/100:2*pi;y1=0.2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x);y2=2*exp(-0.5*x).*cos(pi*x);plotyy(x,y1,x,y2);例5-4用不同標(biāo)度在同一坐標(biāo)內(nèi)繪制曲線y1=0.2e-0.5xcos(4πx)和y2=2e-0.5xcos(πx)。縱坐標(biāo)范圍默認(rèn)在最大最小值之間。第二十八頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日4．圖形保持

holdon/off命令控制是保持原有圖形還是刷新原有圖形，不帶參數(shù)的hold命令在兩種狀態(tài)之間進(jìn)行切換。例4-5采用圖形保持，在同一坐標(biāo)內(nèi)繪制曲線y1=0.2e-0.5xcos(4πx)和y2=2e-0.5xcos(πx)。程序如下：x=0:pi/100:2*pi;y1=0.2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x);plot(x,y1)holdony2=2*exp(-0.5*x).*cos(pi*x);plot(x,y2);holdoff第二十九頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日5.2設(shè)置曲線樣式

MATLAB提供了一些繪圖選項(xiàng)，用于確定所繪曲線的線型、顏色和數(shù)據(jù)點(diǎn)標(biāo)記符號(hào)，它們可以組合使用。當(dāng)選項(xiàng)省略時(shí)，MATLAB規(guī)定，線型一律用實(shí)線，顏色將根據(jù)曲線的先后順序依次。要設(shè)置曲線樣式可以在plot函數(shù)中加繪圖選項(xiàng)，其調(diào)用格式為：

plot(x1,y1,選項(xiàng)1,x2,y2,選項(xiàng)2,…,xn,yn,選項(xiàng)n)線型線方式：-實(shí)線:點(diǎn)線-.虛點(diǎn)線--波折線。線型點(diǎn)方式：.圓點(diǎn)+加號(hào)*星號(hào)xx形o小圓顏色：b藍(lán)；g綠；r紅；c青；m紫；y黃；k黑；w白；第三十頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日>>x=0:pi/15:2*pi;>>y1=sin(x);y2=cos(x);>>plot(x,y1,'b:+',x,y2,'g-.*')第三十一頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日程序如下：x=linspace(0,2*pi,1000);y1=0.2*exp(-0.5*x).*cos(4*pi*x);y2=2*exp(-0.5*x).*cos(pi*x);k=find(abs(y1-y2)<1e-2);%查找y1與y2相等點(diǎn)(近似相等)的下標(biāo)x1=x(k);%取y1與y2相等點(diǎn)的x坐標(biāo)y3=0.2*exp(-0.5*x1).*cos(4*pi*x1);%求y1與y2值相等點(diǎn)的y坐標(biāo)plot(x,y1,x,y2,'k:',x1,y3,'bp');例5-6在同一坐標(biāo)內(nèi)，分別用不同線型和顏色繪制曲線y1=0.2e-0.5xcos(4πx)和y2=2e-0.5xcos(πx)，標(biāo)記兩曲線交叉點(diǎn)。第三十二頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日1．圖形標(biāo)注有關(guān)圖形標(biāo)注函數(shù)的調(diào)用格式為：title(圖形名稱)xlabel(x軸說明)ylabel(y軸說明)text(x,y,圖形說明)legend(圖例1,圖例2,…)5.3圖形標(biāo)注與坐標(biāo)控制函數(shù)中的說明文字，除使用標(biāo)準(zhǔn)的ASCII字符外，還可使用LaTeX格式的控制字符，這樣就可以在圖形上添加希臘字母、數(shù)學(xué)符號(hào)及公式等內(nèi)容。例如，text(0.3,0.5,‘sin({\omega}t+{\beta})’)將得到標(biāo)注效果sin(ωt+β)。第三十三頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日程序如下：x=0:pi/100:2*pi;y1=2*exp(-0.5*x);y2=cos(4*pi*x);plot(x,y1,x,y2)title('xfrom0to2{\pi}');%加圖形標(biāo)題xlabel('VariableX');%加X軸說明ylabel('VariableY');%加Y軸說明text(0.8,1.5,'曲線y1=2e^{-0.5x}');%在指定位置添加圖形說明text(2.5,1.1,'曲線y2=cos(4{\pi}x)');legend('y1','y2')%加圖例例5-7在0≤x≤2區(qū)間內(nèi)，繪制曲線y1=2e-0.5x和y2=cos(4πx)，并給圖形添加圖形標(biāo)注。第三十四頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日>>gtext('sinx')加入文字一種更直接的辦法：在圖形窗口十字線的交點(diǎn)是字符串的位置，用鼠標(biāo)點(diǎn)一下就可以將字符串放在那里第三十五頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日axis函數(shù)的調(diào)用格式為：axis([xminxmaxyminymaxzminzmax])

[]中分別給出x軸和y軸的最大值、最小值axis函數(shù)功能豐富，常用的格式還有：axisequal：縱、橫坐標(biāo)軸采用等長(zhǎng)刻度。axissquare：產(chǎn)生正方形坐標(biāo)系(缺省為矩形)。axisauto：使用缺省設(shè)置。axisoff：取消坐標(biāo)軸。axison：顯示坐標(biāo)軸。2．坐標(biāo)控制給坐標(biāo)加網(wǎng)格線用grid命令來控制。gridon/off命令控制是畫還是不畫網(wǎng)格線，不帶參數(shù)的grid命令在兩種狀態(tài)之間進(jìn)行切換。給坐標(biāo)加邊框用box命令來控制。boxon/off命令控制是加還是不加邊框線，不帶參數(shù)的box命令在兩種狀態(tài)之間進(jìn)行切換。第三十六頁，共四十頁，編輯于2023年，星期日程序如下：t=0:0.01:2*pi;x=exp(i*t);y=[x;2*x;3*x]';plot(y)gridon;%加網(wǎng)格線boxon;%加坐標(biāo)邊框axisequal%縱橫坐標(biāo)軸采用等